专题06 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（思维导图+2大知识点+8大题型）（讲义+精练）-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题06 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理） 4 知识点二、分步乘法计数原理 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：分类加法计数原理 6 题型二：分步乘法计数原理 6 题型三：两个计数原理的综合应用 8 题型四：数字排列组数问题 9 题型五：占位模型的标准选取问题 10 题型六：图形涂色计数问题 11 题型七：实际情境种植计数问题 12 题型八：列举法 13 05 强化训练 16 知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理） 1、分类加法计数原理： 完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、加法原理的特点是： ①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 知识点二、分步乘法计数原理 1、分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2、乘法原理的特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ②完成每一步有若干种方法； ③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别： 1、分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关． 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理； 若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算． 题型一：分类加法计数原理 【例1】（2025·高二·甘肃嘉峪关·期末）小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】B 【解析】根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车（12种）或飞机（2种），总计种方式． 故选：B 【变式1-1】（2025·高二·甘肃兰州·期末）现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，有多少种不同的选法?（   ） A．13 B．78 C．18 D．20 【答案】A 【解析】根据题意，选择其中一人为负责人，共有三种情况： 若选出的是高一学生，有3种情况； 若选出的是高二学生，有4种情况； 若选出的是高三学生，有6种情况. 由分类加法计数原理可得：共有种不同的选法. 故选：A 【变式1-2】（2025·高二·甘肃武威·期末）小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．17 C．90 D．144 【答案】B 【解析】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B 【变式1-3】（2025·高二·河南·月考）某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（   ） A．5种 B．7种 C．15种 D．20种 【答案】D 【解析】由题意，兴趣小组有名成员，从中选1名，有20种不同的选法． 故选：D． 题型二：分步乘法计数原理 【例2】（2025·高二·辽宁辽阳·期末）从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（   ） A．7条 B．12条 C．64条 D．81条 【答案】B 【解析】由题意可知所求不同的路线有条. 故选：B 【变式2-1】（2025·高二·河南·月考）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解析】先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配种数． 故选:B． 【变式2-2】（2025·高二·河南·月考）已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（   ） A．2个 B．4个 C．1个 D．12个 【答案】B 【解析】在第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数， 由题意得点的横坐标有，两种选择，点的纵坐标有3，5两种选择． 由分步乘法计数原理，得在第二象限的点有个． 故选：B． 【变式2-3】用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（    ）种涂法， A． B． C． D． 【答案】D 【解析】把区域分成三部分，第一部分为，，，有种涂法. 第二部分为，，.当，同色时，，各有2种涂法；当，异色时，有种涂法，，均只有种涂法. 故第二部分共有种涂法. 第三部分为，，，与第二部分一样，共有种涂法. 因此根据分步乘法计数原理，共有种涂法， 故选：D. 题型三：两个计数原理的综合应用 【例3】（2025·高二·全国·单元测试）如图，当一条电路从处到处接通时，不同的线路共有 条（每条线路仅含一条通路）．    【答案】8 【解析】由题意知可以按上、下两条线路分为两类，上线路中有2条，下线路中有（条）． 根据分类加法计数原理，得不同的线路共有（条）． 故答案为：8 【变式3-1】有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则共有 种放法. 【答案】20 【解析】先在五个球中任选两个球放入与球编号相同的盒子内，有10种放法， 剩下的三个球，不妨设其编号为3，4，5.其中3号球可以放入4，5号盒子中，有2种放法； 而4，5号球只有1种放法.根据分步乘法计数原理可知，共有种放法. 故答案为：20 【变式3-2】（2025·高二·安徽·月考）已知有4名工人分别在4个不同的岗位，现根据需要进行轮岗调整，则至少有3名工人岗位变动的轮岗方式种数有 . 【答案】17 【解析】分两类：当恰有3名工人岗位变动时，则先从4名工人中选出1名保持岗位不变， 剩余3名工人进行错位排列有种； 当4名工人岗位全部变动时，则不妨记4名工人分别为，对应的岗位分别为， 工人有3种岗位选择，若工人选择岗位时， 则工人选择对应的岗位为、或共3种轮岗方式， 同理工人选择岗位时有3种轮岗方式，工人选择岗位时有3种轮岗方式， 所以4名工人进行错位排列有种； 综上，共有种轮岗方式. 故答案为：17 【变式3-3】（2025·高二·吉林·期中）如图，随机闭合两个开关使电路从A处到B处只有一条支路接通，可以有 种不同的闭合方法. 【答案】 【解析】根据题意分三类情况： 第一类，上路接通中路下路不通有种情况， 第二类，中路接通上路下路不通有种情况， 第三类，下路接通上路中路不通有种情况， 所以闭合两个开关使电路从A处到B处只有一条支路接通， 共有种不同的闭合方法. 故答案为： 题型四：数字排列组数问题 【例4】（2025·高二·辽宁·月考）比2000小且没有重复数字的四位偶数有 个．（用数字表示） 【答案】280 【解析】当千位数字为1时，个位数字可以为0，2，4，6，8，有5种选择， 百位数字从剩下8个数字中选择，十位数字从剩下7个数字中选择， 共有个． 故答案为：280 【变式4-1】用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 【答案】420 【解析】①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有种法． ②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字，根据分步乘法计数原理，有种取法． 所以根据分类加法计数原理，共可以组成个无重复数字的四位偶数． 故答案为：420. 【变式4-2】1800的不同的正奇数因数有 个． 【答案】9 【解析】由题意得，，则1800的正因数， 由题意，，可取0，1，2；可取0，1，2； 根据分步乘法计数原理，可得不同的正奇数因数有个. 故答案为： 【变式4-3】（2025·高二·广东佛山·月考）用这5个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数有 个. 【答案】36 【解析】先考虑个位，有3种情况，再考虑百位和十位，共有个 故答案为：36 题型五：占位模型的标准选取问题 【例5】（2025·高二·吉林长春·期末）名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队， 则每个同学都有种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为种. 故选：D. 【变式5-1】（2025·高二·甘肃白银·期末）3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（    ） A．81 B．64 C．24 D．12 【答案】B 【解析】由题意，每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是. 故选：B 【变式5-2】（2025·高二·甘肃武威·期末）甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（   ） A．7 B．12 C．81 D．64 【答案】D 【解析】甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座， 即每人去听一个讲座共有种选择，则三人各选一个讲座种数为． 故选：D． 【变式5-3】（2025·高二·甘肃兰州·期末）甲、乙、丙、丁四名同学可以随机地选修王老师、张老师、李老师中任何一位老师开设的课程，则不同的选课方案有（   ） A．24种 B．36种 C．64种 D．81种 【答案】D 【解析】甲、乙、丙、丁四名同学每名同学选课均有王老师、张老师、李老师共3种选择，根据分步乘法计数原理共有种选择． 故选：D. 题型六：图形涂色计数问题 【例6】（2025·高三·陕西渭南·月考）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种.        【答案】 【解析】根据题意，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色． 先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择； 当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择， 故不同的涂色方案有种． 故答案为： 【变式6-1】（2025·高二·河北沧州·期末）用三种颜色给图中的四个区域涂色，相邻区域涂不同颜色，共有 种涂色方法. 【答案】24 【解析】从左边第一个区域开始涂色， 第一个区域有3种方法.第二个区域有2种方法.第三个区域有2种方法.第四个区域有2种方法， 共种涂色方法. 故答案为：. 【变式6-2】（2025·高二·山西临汾·期中）如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有 种不同的涂色方法.    【答案】 1200 960 【解析】第一空：若C，E的涂色相同，则共有种方法； 若C，E的涂色不相同，则共有种方法. 故共有种不同的涂色方法. 第二空：因为区域D不能涂甲油漆，所以区域D 的涂色方法有4种. 若C，E的涂色相同，则共有种方法； 若C，E的涂色不相同，则共有种方法. 故共有种不同的涂色方法. 故答案为：1200，960. 【变式6-3】（2025·高二·山东泰安·月考）如图所示，用4种不同的颜色分别给，，，四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 种． 【答案】48 【解析】事件给4个区域涂色可分为4步完成， 第一步，给A区域涂色，有4种颜色可选； 第二步，给B区域涂色，有3种颜色可选； 第三步，给C区域涂色，有2种颜色可选； 第四步，给D区域涂色，由于D区域可以重复使用区域B中已有过的颜色，故也有2种颜色可选． 由分步计数原理知，共有（种）涂色方法． 故答案为：. 题型七：实际情境种植计数问题 【例7】（2025·高二·安徽六安·期中）用5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是 . 【答案】240 【解析】由题意，区域A可选的方法数为5，区域B可选的方法数为4，区域C可选的方法数为3， 区域D可选的方法数为4，可得总的方法数为. 故答案为：. 【变式7-1】（2025·高二·北京·月考）如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有 种（用数字作答） 【答案】260 【解析】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种， 当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种， 所以不同的种植方案共有种， 故答案为：260 【变式7-2】（2025·高二·江苏淮安·期末）某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有 种．（用数字作答） 【答案】180 【解析】先在1中种植，有5种不同的种植方法，再在2中种植，有4种不同的种植方法， 再在3中种植，有3种不同的种植方法，最后在4中种植，有3种不同的种植方法， 所以不同的种植方案共有（种）． 故答案为：180． 题型八：列举法 【例8】（2025·高三·河北保定·开学考试）我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（    ） A．66个 B．55个 C．36个 D．28个 【答案】C 【解析】当首位数字为1时，后两位相加为7， “幸运数”分别是116,161,125,152,134,143,107,170，共8个； 当首位数字为2时，后两位相加为6， “幸运数”分别是206,260,215,251,224,242,233，共7个； 当首位数字为3时，后两位相加为5，“幸运数”分别是305,350,314,341,323,332，共6个； 当首位数字为4时，后两位相加为4，“幸运数”分别是404,440,413,431,422，共5个； 当首位数字为5时，后两位相加为3，“幸运数”分别是503,530,512,521，共4个； 当首位数字为6时，后两位相加为2，“幸运数”分别是602,620,611，共3个； 当首位数字为7时，后两位相加为1，“幸运数”分别是701,710，共2个； 当首位数字为8时，后两位相加为0，“幸运数”是800，共1个. 因此，所有的“幸运数”共有个. 故选：C. 【变式8-1】如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【解析】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有共2种情况， 若脱落2个，则有共6种情况， 若脱落3个，则有共4种情况， 若脱落4个，则有共1种情况， 由分类加法计数原理，情况种数共有种． 故选：C． 【变式8-2】如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点爬到相对的顶点，则其中经过条棱的路线共有（    ）条.    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从顶点出发有条路线，分别经过，，. 经过有条路线，经过有条路线，经过有条路线. 根据分类加法计数原理可知，从顶点到顶点，经过条棱的路线共有条， 故选：B. 【变式8-3】（2025·高二·全国·单元测试）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有，，共2个； 若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标，则符合题意的点有，，，，共4个． 综上，在第二象限内的点的个数为． 故选：D. 1．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 【答案】D 【解析】由题意可知：每位同学均有3个运动队选择， 所以不同的报名方法种数是. 故选：D. 2．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中第一，二象限不同点的个数为（   ） A．18 B．17 C．16 D．10 【答案】B 【解析】因在第一，二象限内的点的横坐标可正可负，而纵坐标为正，这样的点分为两类情况： ①点的横坐标取自集合，纵坐标取自集合时，不同的点有个； ②点的横坐标取自集合，纵坐标取自集合时，不同的点有个. 由分类加法计数原理，第一，二象限不同点的个数为个. 故选：B 3．如图，将条线段的个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色.现有种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：按照两个端点颜色是否相同分类涂色. 当两个端点颜色相同时，按涂色顺序， 根据分步乘法计数原理，有种涂法； 当两个端点颜色不相同时，按涂色顺序， 若两个端点颜色相同，有种涂法， 若两个端点颜色不相同，有种涂法， 所以不同的涂色方法共有种. 法二：按照涂色，根据分步乘法计数原理，有种涂法. 故选：C. 4．（多选题）（25-26高二上·河南·月考）用数字，，，，组成数字，下列说法正确的有（   ） A．可以组成个没有重复数字的三位数 B．可以组成个没有重复数字的四位奇数 C．可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数 D．可以组成个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数 【答案】BCD 【解析】对于A，百位上的数字有种选择，十位上的数字有种选择，个位上的数字有种选择， 由分步乘法计数原理，可以组成个没有重复数字的三位数，故A错误； 对于B，因为是奇数，所以个位上的数字有，，，共种选择， 千位上的数字有种选择，百位上的数字有种选择，十位上的数字有种选择， 由分步乘法计数原理，可以组成个没有重复数字的四位奇数，故B正确； 对于C，因为是偶数，所以个位上的数字有，，共种选择， 若个位上的数字是，因为组成的数小于，所以百位上的数字有，，，共种选择，十位上的数字有种选择， 由分步乘法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数， 若个位上的数字是，因为组成的数小于，所以百位上的数字有，，共种选择，十位上的数字有种选择， 由分步乘法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数． 由分类加法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数，故C正确； 因为十位上的数字最大，所以十位上的数字可以是，，， 当十位上的数字是时，若个位上的数字是，则百位上的数字有种选择， 若个位上的数字不是，则个位上的数字有种选择，百位上的数字有种选择， 所以可以组成个符合要求的三位数； 当十位上的数字是时，个位和百位都有种选择，所以可以组成个符合要求的三位数， 当十位上的数字是时，符合要求的三位数只有，共个， 综上，可以组成个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数，故D正确； 故选：BCD． 5．（多选题）（2025·四川成都·模拟预测）用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 【答案】ACD 【解析】对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字的四位数个，A正确， B错误； 对于C，若个位数为0，则有个，若个位数不为0，则有个， 所以可以组成无重复数字的四位偶数个，C正确； 对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字且大于2000的四位数个，D正确． 故选：ACD 6．（25-26高二上·江西·月考）3名同学计划去A，B，C，D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是 .（用数字作答） 【答案】64 【解析】由题意知，每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是. 故答案为： 7．已知甲乙丙丁四位教师分别任教（1），（2），（3），（4）班.在某一次考试中，要求每个班级都有一位教师监考，且四位教师不能去监考自己所教的班级.则不同的监考方法有 种 【答案】 【解析】若甲去（2）班，则有共种； 若甲去（3）班，则有共种； 若甲去（4）班，则有共种， 所以不同的监考方法有种. 故答案为：. 8．（25-26高二上·吉林长春·期末）10080有 个不同的正因数. 【答案】72 【解析】， 10080的每一个正因数都可以表示为，其中，且为整数， 对于有6种可能的选法，即， 对于有3种可能的选法，即， 对于有2种可能的选法，即， 对于有2种可能的选法，即， 由分步乘法计数原理可得，10080的正因数有个， 故答案为：72. 9．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）某日小张坐火车从沈阳市到葫芦岛市，已知当天从沈阳市到葫芦岛市的火车中，“K”字开头的车次有7个，“D”字开头的车次有2个，“C”字开头的车次有1个，“G”字开头的车次有20个，“T”字开头的车次有2个，“Z”字开头的车次有7个，则小张当日车次的选择共有 种． 【答案】39 【解析】由分类加法计数原理可得小张当日车次的选择共有种． 故答案为：. 10．（25-26高三上·浙江·月考）用1，2，3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有 个.（用数字作答） 【答案】60 【解析】若四位数中没有2，共有个， 若四位数中有1个2，共有个， 若四位数中有2个2，共有个， 因此共有60个. 故答案为：60 11．如图，对四棱锥的各面进行染色，要求有公共棱的两个面不同色.现有种颜色可供选择，则不同的染色方法共有 种. 【答案】 【解析】先染底面，有种颜色可选，再染侧面，有种颜色可选. （1）当侧面与侧面同色时，侧面有种颜色可选，侧面有种颜色可选， 故共有种. （2）当侧面与侧面不同色时，侧面有种颜色可选，侧面只能染种颜色，侧面也只能染种颜色， 故共有种. 因此，不同的染色方法共有种. 故答案为：. 12．某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一个棋子放在如图所示的正方形（边长为个单位长度）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向走几个单位长度，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向走i个单位长度，一直循环下去.此人抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到起点A处的不同走法共有 种. 【答案】 【解析】正方形的周长为，故抛掷三次骰子的点数之和为或. （1）点数之和为的情况有种：，，，，， 其中，，都含有个相同数字，各有种走法；而，由个不同的数字组成，各有种走法. 所以共有种走法. （2）点数之和为的情况有种：，，共有种走法. 因此，由分类加法计数原理可知共有种不同的走法， 故答案为：. 13．某玩具厂参加展出，带了四款不同类型、不同价格的玩具，它们的价格分别是元、元、元、元.某礼品进货商准备买若干款不同类型的玩具样品（至少购买一款，且每款只购一只），因信用卡出现故障，他身上只剩元现金，则他买玩具样品的方案有 种. 【答案】 【解析】按照玩具的种类分成种情况. （1）只购买一款玩具样品，共种方案. （2）购买两款玩具样品：买元和元的各一只；买元和元的各一只； 买元和元的各一只；买元和元的各一只；买元和元的各一只； 买元和元的各一只.共种方案. （3）购买三款玩具样品：买元、元和元的各一只；买元、元和元的各一只； 买元、元和元的各一只.共种方案. 综上，购买玩具的方案共有种， 故答案为：. 14．三个人传球，由甲开始发球，并作为第1次传球，经过5次传球后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式共有 种． 【答案】10 【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分类加法计数原理可知： 经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种， 故答案为：10. 15．有红、黄、蓝三色旗各三面，每次可升旗一面、两面或三面，在旗杆上纵向排列，不同的颜色和旗帜数均代表不同的信号，共可组成不同的信号 种. 【答案】39 【解析】根据所升旗的数量进行分类： ①升1面旗，有三种颜色可供选择，故可组成3种不同信号； ②升2面旗，则升第一面旗时，有三种颜色可供选择，升第二面旗时，同样有三种颜色可供选择，故可组成种不同信号； ③升3面旗，则升每面旗时，均有三种颜色可供选择，故可组成的不同信号有种. 综上所述，可组成的不同信号共有（种）． 故答案为：39 16．（25-26高二上·上海·期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加，，三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目． (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一项目，丙不报A项目，则有多少种不同的报名方法？ 【解析】（1）每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为. （2）甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为， 丙不报项目，则丙有种选择，丁有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为. 17．现有3名医生，5名护士，2名麻醉师.从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 【解析】第一步，选出1名医生有3种选派方法； 第二步，选1名护士有5种选派方法； 第三步，选1名麻醉师有2种选派方法. 由分步计数可知，总的选派方法有种. 18．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得分、分、分.已知甲球队已赛场，积分，则在这场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有多少种？ 【解析】设甲球队胜场、平场、负场， 则有，解得或或， （1）平场，只有种情况. （2）胜场、平场、负场，有种情况. （3）胜场、负场，有种情况. 故共有种情况. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理） 4 知识点二、分步乘法计数原理 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：分类加法计数原理 6 题型二：分步乘法计数原理 6 题型三：两个计数原理的综合应用 7 题型四：数字排列组数问题 7 题型五：占位模型的标准选取问题 7 题型六：图形涂色计数问题 8 题型七：实际情境种植计数问题 8 题型八：列举法 9 05 强化训练 11 知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理） 1、分类加法计数原理： 完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、加法原理的特点是： ①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 知识点二、分步乘法计数原理 1、分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2、乘法原理的特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ②完成每一步有若干种方法； ③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别： 1、分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关． 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理； 若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算． 题型一：分类加法计数原理 【例1】（2025·高二·甘肃嘉峪关·期末）小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 【变式1-1】（2025·高二·甘肃兰州·期末）现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，有多少种不同的选法?（   ） A．13 B．78 C．18 D．20 【变式1-2】（2025·高二·甘肃武威·期末）小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．17 C．90 D．144 【变式1-3】（2025·高二·河南·月考）某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（   ） A．5种 B．7种 C．15种 D．20种 题型二：分步乘法计数原理 【例2】（2025·高二·辽宁辽阳·期末）从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（   ） A．7条 B．12条 C．64条 D．81条 【变式2-1】（2025·高二·河南·月考）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式2-2】（2025·高二·河南·月考）已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（   ） A．2个 B．4个 C．1个 D．12个 【变式2-3】用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（    ）种涂法， A． B． C． D． 题型三：两个计数原理的综合应用 【例3】（2025·高二·全国·单元测试）如图，当一条电路从处到处接通时，不同的线路共有 条（每条线路仅含一条通路）．    【变式3-1】有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则共有 种放法. 【变式3-2】（2025·高二·安徽·月考）已知有4名工人分别在4个不同的岗位，现根据需要进行轮岗调整，则至少有3名工人岗位变动的轮岗方式种数有 . 【变式3-3】（2025·高二·吉林·期中）如图，随机闭合两个开关使电路从A处到B处只有一条支路接通，可以有 种不同的闭合方法. 题型四：数字排列组数问题 【例4】（2025·高二·辽宁·月考）比2000小且没有重复数字的四位偶数有 个．（用数字表示） 【变式4-1】用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 【变式4-2】1800的不同的正奇数因数有 个． 【变式4-3】（2025·高二·广东佛山·月考）用这5个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数有 个. 题型五：占位模型的标准选取问题 【例5】（2025·高二·吉林长春·期末）名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高二·甘肃白银·期末）3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（    ） A．81 B．64 C．24 D．12 【变式5-2】（2025·高二·甘肃武威·期末）甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（   ） A．7 B．12 C．81 D．64 【变式5-3】（2025·高二·甘肃兰州·期末）甲、乙、丙、丁四名同学可以随机地选修王老师、张老师、李老师中任何一位老师开设的课程，则不同的选课方案有（   ） A．24种 B．36种 C．64种 D．81种 题型六：图形涂色计数问题 【例6】（2025·高三·陕西渭南·月考）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种.        【变式6-1】（2025·高二·河北沧州·期末）用三种颜色给图中的四个区域涂色，相邻区域涂不同颜色，共有 种涂色方法. 【变式6-2】（2025·高二·山西临汾·期中）如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有 种不同的涂色方法.    【变式6-3】（2025·高二·山东泰安·月考）如图所示，用4种不同的颜色分别给，，，四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 种． 题型七：实际情境种植计数问题 【例7】（2025·高二·安徽六安·期中）用5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是 . 【变式7-1】（2025·高二·北京·月考）如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有 种（用数字作答） 【变式7-2】（2025·高二·江苏淮安·期末）某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有 种．（用数字作答） 题型八：列举法 【例8】（2025·高三·河北保定·开学考试）我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（    ） A．66个 B．55个 C．36个 D．28个 【变式8-1】如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【变式8-2】如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点爬到相对的顶点，则其中经过条棱的路线共有（    ）条.    A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·高二·全国·单元测试）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 1．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 2．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中第一，二象限不同点的个数为（   ） A．18 B．17 C．16 D．10 3．如图，将条线段的个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色.现有种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ）种. A． B． C． D． 4．（多选题）（25-26高二上·河南·月考）用数字，，，，组成数字，下列说法正确的有（   ） A．可以组成个没有重复数字的三位数 B．可以组成个没有重复数字的四位奇数 C．可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数 D．可以组成个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数 5．（多选题）（2025·四川成都·模拟预测）用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 6．（25-26高二上·江西·月考）3名同学计划去A，B，C，D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是 .（用数字作答） 7．已知甲乙丙丁四位教师分别任教（1），（2），（3），（4）班.在某一次考试中，要求每个班级都有一位教师监考，且四位教师不能去监考自己所教的班级.则不同的监考方法有 种 8．（25-26高二上·吉林长春·期末）10080有 个不同的正因数. 9．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）某日小张坐火车从沈阳市到葫芦岛市，已知当天从沈阳市到葫芦岛市的火车中，“K”字开头的车次有7个，“D”字开头的车次有2个，“C”字开头的车次有1个，“G”字开头的车次有20个，“T”字开头的车次有2个，“Z”字开头的车次有7个，则小张当日车次的选择共有 种． 10．（25-26高三上·浙江·月考）用1，2，3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有 个.（用数字作答） 11．如图，对四棱锥的各面进行染色，要求有公共棱的两个面不同色.现有种颜色可供选择，则不同的染色方法共有 种. 12．某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一个棋子放在如图所示的正方形（边长为个单位长度）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向走几个单位长度，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向走i个单位长度，一直循环下去.此人抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到起点A处的不同走法共有 种. 13．某玩具厂参加展出，带了四款不同类型、不同价格的玩具，它们的价格分别是元、元、元、元.某礼品进货商准备买若干款不同类型的玩具样品（至少购买一款，且每款只购一只），因信用卡出现故障，他身上只剩元现金，则他买玩具样品的方案有 种. 14．三个人传球，由甲开始发球，并作为第1次传球，经过5次传球后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式共有 种． 15．有红、黄、蓝三色旗各三面，每次可升旗一面、两面或三面，在旗杆上纵向排列，不同的颜色和旗帜数均代表不同的信号，共可组成不同的信号 种. 16．（25-26高二上·上海·期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加，，三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目． (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一项目，丙不报A项目，则有多少种不同的报名方法？ 17．现有3名医生，5名护士，2名麻醉师.从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 18．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得分、分、分.已知甲球队已赛场，积分，则在这场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有多少种？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $