第17章 一元二次方程及其应用（单元自测卷）八年级数学新教材沪科版

第17章 一元二次方程及其应用 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程，即方程的未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，，1 B．2，3，1 C．2，， D．2，3， 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，，1． 故选：A． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）近年来，由于新能源汽车的兴起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年6月份售价为20万元，8月份售价为18万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，7月份的售价为万元，8月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 4．（25-26九年级上·安徽·期中）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用“两根之和等于”计算另一根． 根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知根，直接计算另一根． 【详解】解：∵方程的一个根为，设另一个根为， 又∵，， ∴两根之和为， 即， ∴， 故另一个根为1． 故选：D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是． 故选：C． 6．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．通过计算判别式的值来判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 一元二次方程有两个实数根的条件是判别式大于或等于零，据此列不等式求解． 【详解】解：∵ 方程 有两个实数根， ∴ 判别式， ∴ ，即 ， 故选：D． 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 9．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为），其他边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏）．若车棚的占地面积为，则车棚的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ， 故选：B． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）我们知道，利用这个性质可以求方程的解．两边平方，得，从而求出该方程的解为．若方程的解为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握平方根定义，算术平方根定义，二次根式的性质，是解题的关键． 先将一个二次根式移到等号右边，两边同时平方去根号，移项，再平方，直至根号完全去掉，最后解整式方程，注意由于未知数的取值范围扩大，要检验根． 【详解】解：∵， ∴， 两边平方，得， ∴， ∴， 解得：或， 经检验：或都是原方程的解， ∴原方程的解为：，． A. ，∴A正确； B. ，∴B不正确； C. ，∴C不正确； D. ，∴D不正确． 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）方程的正根为 ． 【答案】 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程，先求出方程的两个根，然后选取正根即可． 【详解】解：， 开方得， 解得或， 故正根为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏常州·月考）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 13．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为 m． 【答案】14 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和一元一次不等式，根据题意的等量关系列出方程是解题关键． 设，则，由矩形面积公式列出方程，解出x即可，同时要注意不能超过墙长． 【详解】解：设，则， 根据题意列方程得，， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，，     ∵墙长为， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：14． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）（1）一元二次方程在范围内有 个根； （2）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解．熟练掌握是解决本题的关键． （1）先解一元二次方程，然后通过根判断在范围内的个数即可； （2）分两种情况进行讨论，当方程只有一个解时，当方程有2个不相同的解时，分别列出判别式以及不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）， ， ∴， 在范围内有1个根， 故答案为：1； （2）当方程只一个解且在范围时， ，即， 解得， ∵此时， ∴， ∴， 当方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ， 解得或， ∵方程在的范围内有实数根， ∴，不等式组无解， 或 ，解得， ∴m取值范围或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分）（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【详解】（1）， ， 则， 或， 解得，； （2）， ， 则，即， ， ，． 16．（8分）（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据根的判别式计算即可； （2）运用求根公式得到，，结合题意列式求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ． 无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）解：， 解得：，， 方程的一个根大于1， ． 解得：． 17．（8分）（25-26九年级上·安徽淮南·月考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出的取值范围； （2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 18．（8分）（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）某农场现有一长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙的最大可用长度为22米，养鸡场面积是160平方米．为改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行了重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材），且养鸡场的面积保持不变． (1)设米，则______米（用含的代数式表示）； (2)求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)8米 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的图形问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据设米，且板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材），进行列式化简，即可作答． （2）理解题意，且设米，则米，即，再解得，，进行下一步分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设米，且围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材）， ∴（米）； （2）解：由（1）得设米，则米， ∵养鸡场面积是160平方米．养鸡场的面积保持不变． ∴， 整理得， 解得，， 当时，（米）， 即的长为24米米，不合题意，舍去； 当时，（米）， 即的长为20（米）米，符合题意； ∴重建后的养鸡场的宽为8米． 19．（10分）（25-26七年级上·安徽滁州·期中）某超市新进一批进货价为30元／个的玩具，超市经理将该玩具的销售价定为40元／个进行销售，平均每月能售出60个．根据当地市场调研，发现当销售单价每上涨2元时，其销售量就将减少6个．设该玩具每个的销售价上涨元． (1)试用含的代数式填空． ①涨价后，每个玩具的销售价为____________元． ②涨价后，每个玩具的利润为__________元． ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为__________个． (2)如果超市销售该玩具，要想销售利润平均每月达到675元，经理甲说“在原销售价40元／个的基础上再上涨5元，可以完成任务”，经理乙说“在原销售价的基础上提高也可以”，试判断经理甲与经理乙的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)①，②，③ (2)经理甲的说法正确，经理乙的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）已知玩具的原销售价定为40元，每个玩具的销售价上涨元，根据利润为涨价后的价格减去原售价，计算求解即可； （2）根据总利润为单个利润与销售量的乘积，列出月销售利润的方程为元，分别计算甲经理上涨5元和乙经理提价后的月销售利润，进行判断即可． 【详解】（1）根据题意得：原来玩具得销售价定为40元，每个玩具的销售价上涨元， 则①涨价后，每个玩具的销售价为：元， ②涨价后，每个玩具的利润为：元， ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为：个， 故答案为：①；②；③； （2）解：经理甲的说法正确，经理乙的说法不正确，理由如下： 根据题意可得，超市该玩具的月销售利润为元 当时，（元） 当时，（元）， 故经理甲的说法正确，经理乙的说法不正确． 20．（10分）（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程” (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的一元二次方程．（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)是，计算见解析 (2)或 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再根据题意即可得到答案； （2）根据题意利用公式法解一元二次方程，再列出两根相减等于1的式子，解出即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵符合“邻根方程”定义， ∴是“邻根方程”； （2）解：∵关于的二次方程．（是常数）是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴或， ①当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：； ②当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：； ③当时，即， 方程根为， 不符合题意，不存在的值使得其中一个根比另一个根大1， ∴综上所述：或． 21．（12分）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 22．（12分）（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． (1)已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． (2)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2)所求方程为 (3)关于的一元二次方程的两个实数根为 【分析】本题主要考查了定义新运算，一元二次方程的计算，理解定义新运算的概念及计算，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意得到，结合题意的计算即可求解； （2）令方程的根为，设所求方程的根为，结合题意的计算即可求解； （3）根据题意变形得到关于的一元二次方程为，结合题意的计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的方程，两个根分别为：，， ∴， 关于的方程的两个根分别为和， ∴， 解得，， ∴所求方程为， 故答案为：； （2）解：令方程的根为，设所求方程的根为， ∴，则， ∴， 整理得，，即， ∴所求方程为； （3）解：关于的一元二次方程变形得， ， 由（2）可知，关于的一元二次方程与关于的一元二次方程的两根互为倒数， ∴与互为倒数或与互为倒数， ∴或， 解得，或， ∴关于的一元二次方程的两个实数根为． 23．（14分）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)-1 【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1），； 故答案为；； （2），，且， 、可看作方程， ，， ； （3）把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 一元二次方程及其应用 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，，1 B．2，3，1 C．2，， D．2，3， 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）近年来，由于新能源汽车的兴起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年6月份售价为20万元，8月份售价为18万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽·期中）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 9．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为），其他边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏）．若车棚的占地面积为，则车棚的长为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）我们知道，利用这个性质可以求方程的解．两边平方，得，从而求出该方程的解为．若方程的解为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）方程的正根为 ． 12．（25-26九年级上·江苏常州·月考）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 13．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为 m． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）（1）一元二次方程在范围内有 个根； （2）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为 ． 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分）（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）解方程： (1)； (2)． 16．（8分）（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 17．（8分）（25-26九年级上·安徽淮南·月考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 18．（8分）（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）某农场现有一长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙的最大可用长度为22米，养鸡场面积是160平方米．为改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行了重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材），且养鸡场的面积保持不变． (1)设米，则______米（用含的代数式表示）； (2)求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 19．（10分）（25-26七年级上·安徽滁州·期中）某超市新进一批进货价为30元／个的玩具，超市经理将该玩具的销售价定为40元／个进行销售，平均每月能售出60个．根据当地市场调研，发现当销售单价每上涨2元时，其销售量就将减少6个．设该玩具每个的销售价上涨元． (1)试用含的代数式填空． ①涨价后，每个玩具的销售价为____________元． ②涨价后，每个玩具的利润为__________元． ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为__________个． (2)如果超市销售该玩具，要想销售利润平均每月达到675元，经理甲说“在原销售价40元／个的基础上再上涨5元，可以完成任务”，经理乙说“在原销售价的基础上提高也可以”，试判断经理甲与经理乙的说法是否正确，并说明理由． 20．（10分）（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程” (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的一元二次方程．（是常数）是“邻根方程”，求的值． 21．（12分）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22．（12分）（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． (1)已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． (2)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 23．（14分）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 一元二次方程及其应用 单元测评卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B D C B D A B A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11． 12．， 13．14 14．1 或 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分） 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【详解】（1）， ， 则， 或， 解得，；··············································4分 （2）， ， 则，即， ， ，．·············································8分 16．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据根的判别式计算即可； （2）运用求根公式得到，，结合题意列式求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ． 无论k取何值，该方程总有两个实数根；·············································4分 （2）解：， 解得：，， 方程的一个根大于1， ． 解得：．·············································8分 17．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出的取值范围； （2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得；·············································3分 （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：，，·············································6分 又∵， ∴．·············································8分 18．（8分） 【答案】(1) (2)8米 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的图形问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据设米，且板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材），进行列式化简，即可作答． （2）理解题意，且设米，则米，即，再解得，，进行下一步分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设米，且围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材）， ∴（米）；·············································3分 （2）解：由（1）得设米，则米， ∵养鸡场面积是160平方米．养鸡场的面积保持不变． ∴， 整理得， 解得，，·············································6分 当时，（米）， 即的长为24米米，不合题意，舍去； 当时，（米）， 即的长为20（米）米，符合题意； ∴重建后的养鸡场的宽为8米．·············································8分 19．（10分） 【答案】(1)①，②，③ (2)经理甲的说法正确，经理乙的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）已知玩具的原销售价定为40元，每个玩具的销售价上涨元，根据利润为涨价后的价格减去原售价，计算求解即可； （2）根据总利润为单个利润与销售量的乘积，列出月销售利润的方程为元，分别计算甲经理上涨5元和乙经理提价后的月销售利润，进行判断即可． 【详解】（1）根据题意得：原来玩具得销售价定为40元，每个玩具的销售价上涨元， 则①涨价后，每个玩具的销售价为：元， ②涨价后，每个玩具的利润为：元， ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为：个， 故答案为：①；②；③；·············································3分 （2）解：经理甲的说法正确，经理乙的说法不正确，理由如下： 根据题意可得，超市该玩具的月销售利润为元 当时，（元） 当时，（元）， 故经理甲的说法正确，经理乙的说法不正确．·············································10分 20．（10分） 【答案】(1)是，计算见解析 (2)或 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再根据题意即可得到答案； （2）根据题意利用公式法解一元二次方程，再列出两根相减等于1的式子，解出即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，·············································2分 ∵符合“邻根方程”定义， ∴是“邻根方程”；·············································4分 （2）解：∵关于的二次方程．（是常数）是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴或， ①当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：；·············································6分 ②当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：；·············································8分 ③当时，即， 方程根为， 不符合题意，不存在的值使得其中一个根比另一个根大1， ∴综上所述：或．·············································10分 21．（12分） 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，，·············································2分 ∴．·············································4分 （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于．·············································8分 （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于．·············································12分 22．（12分） 【答案】(1) (2)所求方程为 (3)关于的一元二次方程的两个实数根为 【分析】本题主要考查了定义新运算，一元二次方程的计算，理解定义新运算的概念及计算，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意得到，结合题意的计算即可求解； （2）令方程的根为，设所求方程的根为，结合题意的计算即可求解； （3）根据题意变形得到关于的一元二次方程为，结合题意的计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的方程，两个根分别为：，， ∴， 关于的方程的两个根分别为和， ∴， 解得，， ∴所求方程为， 故答案为：；·············································3分 （2）解：令方程的根为，设所求方程的根为， ∴，则， ∴， 整理得，，即， ∴所求方程为；·············································6分 （3）解：关于的一元二次方程变形得， ， 由（2）可知，关于的一元二次方程与关于的一元二次方程的两根互为倒数， ∴与互为倒数或与互为倒数， ∴或， 解得，或， ∴关于的一元二次方程的两个实数根为．·············································12分 23．（14分） 【答案】(1)；； (2)； (3)-1 【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1），； 故答案为；；·············································4分 （2），，且， 、可看作方程， ，， ；·············································8分 （3）把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ．·············································14分 【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $