上海市市北中学2025-2026学年第一学期高二数学期末考试试卷

2025学年市北中学第一学期高二年级数学期终考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 直线为的一个法向量是__________. 2. 已知圆的一般方程为，则圆的半径为__________. 3. 直线的倾斜角为__________. 4. 已知，若，则__________. 5. 用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个.（用数字作答） 6. 已知表示圆，则__________. 7. 已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 8. 若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为1，则球的表面积为__________. 9. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则__________. 10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为__________. 11. 已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是__________. 12. 若椭圆内有圆，若该圆的任意一条切线与椭圆交于两点，且满足（其中为坐标原点），则的最小值是__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件　　　D. 既不充分也不必要条件 14. 如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（），其离心率分别为.则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ） A. 　　B. C. 　　D. 15. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥不对立　　B. 与相互独立 C. 与对立　　　　　D. 与既互斥又相互独立 16. 设抛物线的焦点为，过的直线交于，过且垂直于的直线交于，过点作准线的垂线，垂足为，则错误的是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点.若抛物线过点. (1) 求抛物线的方程； (2) 焦点到直线的距离. 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点. (1) 若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2) 设，若的斜率存在，求证：为定值. 19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知到原点和的距离之比为2的点轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点是曲线上任意一点，点到直线的距离为，求的最小值； （3）点是上的一个动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为.若两条切线与轴分别交于点，求的最小值. 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知椭圆，直线与椭圆交于两点. （1） 求； （2） 点，过点向椭圆引切线，切点为，求直线的方程； （3） 设过点的直线交椭圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足. 问：直线是否过定点？若是，请求出此定点；若不是，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $