2026年浙江省杭州市中考数学专题二十四：古典问题

2026年浙江省杭州市中考专题十九：古典问题 1. 我国古代数学名著《九章算术》中记载有这样一道题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马二牛价不满一万，如半牛之价．1问牛、马价各几何？”其大意是：今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格；1匹马、2头牛的总价不足10000钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？若设每头牛的价格为x钱，每匹马的价格为y钱，则根据题意列方程组正确的为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格；1匹马、2头牛的总价不足10000钱，所差的钱数相当于头牛的价格”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意， 故选：C． 2. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长a尺，木长b尺，所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】设绳子长a尺，木长b尺，由用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4．5尺；可得，由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，，从而可得答案． 【详解】解：设绳子长a尺，木长b尺，则 ， 3.我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意得， ． 故选：A． 4.如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：设图2中AB＝x，则CD＝AB＝x， ∴S△ACDCD•ABx2， ∴S2＝4S△ACD＝2x2， ∵S1＝S2，S1+S2＝m2， ∴4x2＝m2， ∴m＝2x， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2， ∴x2+（x+n）2＝m2， ∴x2+（x+n）2＝4x2， ∴x+nx， ∴n＝（1）x， ∴， 故选：B． 5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是（　　） A．9.5 B．9 C．7.5 D．7 【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b， 由题意可知： S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2， 因为S1+S2+S3＝21，即 （a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝21 3（a2+b2）＝21， 所以3S2＝21， S2的值是7． 故选：D． 6.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（　　） A． B． C．9x+7x＝1 D．9x﹣7x＝1 【解答】解：设经过x天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 7.《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚x人，小和尚y人，下列方程组列式正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得， 故选：D． 8.今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，则根据题意列出方程正确的是（　　） A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C．8x﹣3＝7x﹣4 D．8x+3＝7x+4 【分析】可设有x个人，根据所花总钱数不变列出方程即可． 【解答】解：设有x人，根据题意， 可列方程：8x﹣3＝7x+4， 故选：B． 9.《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为x人，物价为y钱，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 10.我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意如图所示（单位：尺）．已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，则下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得：AD∥BC， 设BE交AD于F， 则△EFD∽△EBC， ∴，即， 故选：D． 11.我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是类似地，表述图2所示的算筹图的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题要理解图1中算筹所示表示方法，依此即可推出图2所示的方程组． 【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法， 可推出图2所示的算筹表示的方程组： 故选：A． 12.作为一个悠久历史和灿烂文化文明古国，中国古代数学家曾写下不少数学著作，现从《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《海岛算经》、《缉古算经》5本著作中随机挑选一本来研读，恰好选择《九章算术》的概率是______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了利用概率公式求概率，找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：从5本著作中随机挑选一本来研读，恰好选择《九章算术》的概率是， 故答案为：． 13.《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：设绳长x尺，井深y尺， 依题意，得：． 故选：C． 14.（我国古代算题）马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马，牛各价几何？设马价为每匹两，牛价为每头两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据马四匹，牛六头，共价四十八两，马三匹，牛五头，共价三十八两，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可列方程组为： ； 故选D． 15.勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N， 由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形， 设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为x，小正方形的边长为x， 即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EGb， 由题意得：，解得：， 在△GDE中，EGGHb，则NE＝NDEDbx，EGGH（a﹣b）x， 则tan∠DGE， 则sin∠DGE， 故选：A． 16.勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N， 由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形， 设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为x，小正方形的边长为x， 即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EGb， 由题意得：，解得：， 在△GDE中，EGGHb，则NE＝NDEDbx，EGGH（a﹣b）x， 则tan∠DGE， 则sin∠DGE， 17.沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由是弦的中点，根据垂径定理得到，；由是的中点，根据垂径定理得到；根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，设，则，后根据勾股定理得到，求得的大小，代入公式计算即可． 本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点是弦的中点， ∴，； ∵是的中点， ∴； 根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线， 设，则， ∴， 解得； ∴， ∴， 故选：A． ． 18.【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】 已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 　8　 ． 【解答】解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16， ∴mx3＝4x3×2， ∴m＝8， 故答案为：8． 故选：A． 19.司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图1，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20．根据八个方位将圆形八等分（图2中点A﹣H），过点E作⊙O的切线，与AG的延长线交于点M，连接EG． （1）求∠AEG的值． （2）求线段MG的长． 【解答】解：（1）∵， ∴AG＝EG， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠AGB＝90°， ∴∠GAE＝∠GEA＝45°； （2）∵EM与⊙O相切于点E， ∴∠AEM＝90°， ∵∠EAG＝45°， ∴∠M＝90°﹣∠EAG＝45°， 即∠EAG＝∠M＝45°， ∴AE＝ME＝20， ∵∠AGE＝90°， ∴∠EGM＝180°﹣∠AGE＝90°， 在Rt△EMG中，MG＝EM•cos45°＝2010， ∴线段MG的长为10． 20.小杭在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小杭记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 100 （1）小杭通过分析表格数据发现，F是l的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （2）根据以上数据和图象，判断F是l的什么函数？直接写出F关于l的函数表达式（不要求写自变量l取值范围）．并判断当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 【解答】解：（1）函数图象如图所示： （2）当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下： ∵Fl＝300， ∴， ∵k＞0， ∴在第一象限内，F随l的增大而减小， 即当OA的长增大时，拉力F是减小． 所以F是l的反比例函数，解析式为，当OA的长增大时，拉力F是减小． 21.问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．筒车涉水宽度AB＝3.6m，筒车涉水深度（劣弧AB中点E到水面AB的距离）是0.6m． 问题解决： （1）求该筒车半径r． （2）筒车开始工作时，⊙O上C处的某盛水筒到水面AB的距离是0.9m，经过85秒后，该盛水筒旋转到点D处． ①求∠COD的度数． ②当盛水筒旋转至D处时，求它到水面AB的距离． 【解答】解：（1）连接OA、OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，与劣弧AB交于点E，如图1， 设半径为rm， 即OA＝rm， 由题意得EF＝0.6m， ∴OF＝（r﹣0.6）m， 由根据垂径定理可得AEAB＝1.8m， 在Rt△OAE中，OA2＝AF2+OF2， 即r2＝（1.8）2+（r﹣0.6）2， 解得r＝3m， 答：该筒车半径r为3m． （2）①过点D作DG⊥OF，过点C作CH⊥OF，如图2， ∵筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120s， ∴每秒旋转360°÷120＝3°， 由于经过85s后该盛水筒旋转到点D处， ∴∠COD＝360°﹣85×3°＝255°＝105°； ②∵⊙O上C处的某盛水筒到水面AB的距离是0.9m， ∴HF＝0.9m， ∴OH＝r﹣EF﹣HF＝3﹣0.9﹣0.6＝1.5（m）， ∴sin∠OCH， ∴∠OCH＝30°， ∴∠COH＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DOF＝360°﹣255°﹣60°＝45°， ∵∠DOF＝90°， ∴△OGD为等腰直角三角形， ∴OG＝DG， 在Rt△OGD中，OG2+DG2＝OD2， ∴OG＝DG， ∴GF＝OF﹣OG＝（3﹣0.6）（m）． 答：它到水面AB的距离为m． 22.《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题，是测量城池、山高和井深之的测量问题，这种测量方法称为“重差术”（图1），“重差术”起源于魏晋时期刘徽的“日高图”，他曾用此方法测量太阳的高度．某天小浔偶然翻阅到“重差术”这一章，一时来了兴趣便开始了研究，请你帮助小浔完成这个研究． （1）如图2，为了测量教学楼的高度，小浔将一个直角三角尺放置于地上，并使得A、C、E在同一直线上，，若测量得米，米，米，请帮助小浔计算楼高的长． （2）“重差术”介绍了古人测量太阳高度的一种方法．如图3，为了测量太阳（点A）的高度，在相距1000米的D、G两地分别直立一个旗杆，旗杆长2米，分别测得旗杆的影子长和，便可计算太阳的高度，小浔发现图中有两组相似三角形，根据，可以求出的值，又根据，可得（的值，设影子长，； ①请分别用a和b的代数式表示和． ②若米，米，计算“太阳”的高度． 【答案】（1）14米 （2）①，；②1252米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）通过证明，得到，代入数据求出的长即可； （2）①利用相似三角形对应边成比例的性质表示即可；②设，，由①中的结论得到，，解方程求出的值，即可求出的长． 【小问1详解】 解：米，米， 米， ，， ， ， ，即， 解得：米， 答：楼高的长为14米． 【小问2详解】 解：①， ， ； ， ， ； 综上所述，，． ②设，， 由①可得，，， ，， 解得：米，米， 米， 答：“太阳”的高度为1252米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州市中考专题十九：古典问题 1. 我国古代数学名著《九章算术》中记载有这样一道题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马二牛价不满一万，如半牛之价．1问牛、马价各几何？”其大意是：今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格；1匹马、2头牛的总价不足10000钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？若设每头牛的价格为x钱，每匹马的价格为y钱，则根据题意列方程组正确的为 （ ） A. B. C. D. 2. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长a尺，木长b尺，所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 3.我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　） A． B． C． D． 4.如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是（　　） A．9.5 B．9 C．7.5 D．7 6.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（　　） A． B． C．9x+7x＝1 D．9x﹣7x＝1 7.《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚x人，小和尚y人，下列方程组列式正确的是（　　） A． B． C． D． 8.今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，则根据题意列出方程正确的是（　　） A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C．8x﹣3＝7x﹣4 D．8x+3＝7x+4 9.《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为x人，物价为y钱，则（　　） A． B． C． D． 10.我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意如图所示（单位：尺）．已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，则下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 11.我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是类似地，表述图2所示的算筹图的方程组是（ ） A. B. C. D. 12.作为一个悠久历史和灿烂文化文明古国，中国古代数学家曾写下不少数学著作，现从《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《海岛算经》、《缉古算经》5本著作中随机挑选一本来研读，恰好选择《九章算术》的概率是______． 13.《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 14.（我国古代算题）马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马，牛各价几何？设马价为每匹两，牛价为每头两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 15.勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（　　） A． B． C． D． 16.勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（　　） A． B． C． D． 17.沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ） A. B. C. D. 18.【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】 已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 　 　 ． 19.司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图1，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20．根据八个方位将圆形八等分（图2中点A﹣H），过点E作⊙O的切线，与AG的延长线交于点M，连接EG． （1）求∠AEG的值． （2）求线段MG的长． 20.小杭在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小杭记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 100 （1）小杭通过分析表格数据发现，F是l的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （2）根据以上数据和图象，判断F是l的什么函数？直接写出F关于l的函数表达式（不要求写自变量l取值范围）．并判断当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 21.问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．筒车涉水宽度AB＝3.6m，筒车涉水深度（劣弧AB中点E到水面AB的距离）是0.6m． 问题解决： （1）求该筒车半径r． （2）筒车开始工作时，⊙O上C处的某盛水筒到水面AB的距离是0.9m，经过85秒后，该盛水筒旋转到点D处． ①求∠COD的度数． ②当盛水筒旋转至D处时，求它到水面AB的距离． 22.《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题，是测量城池、山高和井深之的测量问题，这种测量方法称为“重差术”（图1），“重差术”起源于魏晋时期刘徽的“日高图”，他曾用此方法测量太阳的高度．某天小浔偶然翻阅到“重差术”这一章，一时来了兴趣便开始了研究，请你帮助小浔完成这个研究． （1）如图2，为了测量教学楼的高度，小浔将一个直角三角尺放置于地上，并使得A、C、E在同一直线上，，若测量得米，米，米，请帮助小浔计算楼高的长． （2）“重差术”介绍了古人测量太阳高度的一种方法．如图3，为了测量太阳（点A）的高度，在相距1000米的D、G两地分别直立一个旗杆，旗杆长2米，分别测得旗杆的影子长和，便可计算太阳的高度，小浔发现图中有两组相似三角形，根据，可以求出的值，又根据，可得（的值，设影子长，； ①请分别用a和b的代数式表示和． ②若米，米，计算“太阳”的高度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $