上海市2026届高三第二次模拟考试数学试题

2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．把3本不同的语文书，4本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是 ． 【答案】 【分析】利用捆绑法，将语文书当做一个元素，与4本数学书一起全排列，再将语文书排列，即可得出语文书排在一起的情况有多少，然后计算出7本书全排列的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可． 【详解】本书的全排列有种， 语文书排在一起的排法有种， 语文书排在一起的概率是. 故答案为． 2．已知集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】直接利用集合的交集运算得到答案. 【详解】由， 所以. 故答案为： 3．将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】/ 【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】 当时 故答案为： 4．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点，则的值是 . 【答案】/ 【分析】由题意和三角函数定义可得sinα和cosα，再由二倍角公式可得答案． 【详解】由题意和三角函数的定义可得， ， 所以. 故答案为： 5．若函数，则 ． 【答案】 【分析】对函数求导，然后将代入计算即可求解. 【详解】因为函数，对函数求导得， 所以，解得. 故答案为： 6．已知直线与圆相切，则的值为 ． 【答案】－18或8 【分析】直接根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案. 【详解】，即，圆心为，半径， 直线与圆相切，故，解得， 故答案为：－18或8 7．求值： . 【答案】 【分析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出． 【详解】 ． 故答案为． 8．设函数，方程有四个不相等的实数根，，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出分段函数的解析式，然后作出函数图象，确认零点所在区间以及零点之间的关系，然后将转化为关于的函数，求出函数的值域即可. 【详解】因为，则 ， 作出函数图象，如图： 不妨设，由图象知关于直线对称， 所以，，所以， 所以， 所以 因为，所以 令， 所以原式化为， 因为在单调递增， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 9．已知等边的边长为2，点、分别在边、上且满足，则 . 【答案】 【分析】用向量的分解方法来计算，因为等边任意两条边夹角为特殊角，所以可以将向量取两条边作为基底来分解. 【详解】因为 而故，又因为，，所以。所以 故答案为： 10．设由复数组成的数列满足：对任意的，都有(是虚数单位)，则数列的前2020项和的值为 ． 【答案】0 【分析】根据等比数列的定义和通项公式得前n项和公式，可求得，再运用可得答案. 【详解】设数列的首项为，数列的前n项和为，则由已知得，所以 ，而， 所以， 故答案为：0. 11．已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】（1，＋∞） 【分析】由已知条件得出函数为奇函数，并且在R时单调递增，由此可得出关于x 不等式，解之可得不等式的解集. 【详解】因为，所以函数为奇函数， 又，当时，，所以函数在时单调递增； 当时，，所以函数在时单调递增， 所以函数在R时单调递增. 所以不等式化为，所以，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 12．已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】不等式同构变形为 ，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围． 【详解】因为，，所以等价于. 若，则，，显然恒成立. 若，令，则在上恒成立，则在上单调递增， 由，得，则，则在上恒成立. 令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，从而，解得.综上所述，a的取值范围为. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．“”是“函数是在上的单调函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先应用对数函数的单调性判断函数单调性，再结合分段函数单调性列不等式求参得出，再应用充分必要条件定义判断即可. 【详解】依题意，函数是在上的单调函数， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 所以且，即． 时不能得到，时一定满足， 所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件． 故选：B. 14．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少？”记这个人原来持金为斤，设，则（    ） A． B．7 C．13 D．26 【答案】C 【分析】根据题意，列出数列前5项，利用裂项相消法求和，得到的值，再直接求值即可. 【详解】由题意知：这个人原来持金为斤，第1关收税金为斤， 第2关收税金为斤， 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤， 第5关收税金为斤， 所以， 即， 解得，又， 所以. 故选：C. 15．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为，根据水体积和容器容积关系得到，再逐项检验即可． 【详解】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为， 则水面半径为．当水的体积等于容器容积的一半时， 有，整理得． 因为，，，，则D选项更接近. 故选：D． 16．设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的奇偶性化简，结合的单调性确定的大小关系. 【详解】依题意是定义域为R的偶函数， ， ， ， ， ， ， ， 由于在上单调递增，所以. 故选：D 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，， (1)求证：； (2)求平面与平面ABCD的夹角的余弦值. 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，由，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面角即可． 【详解】（1）连接BD，直四棱柱中，，则点F在平面内，（1分） 因为平面ABCD，且平面ABCD，所以，（3分） 又底面ABCD为正方形，所以，（4分） 又，平面，所以平面， 平面，所以；（6分） （2）因为平面ABCD，DA，平面ABCD， 所以，， 又底面ABCD为正方形，所以， 以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则，，所以； 因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量； 设平面与平面ABCD的夹角为， 则， 所以平面与平面ABCD的夹角余弦值为（14分；注：建系全对，有一个向量错，就直接全扣） 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知数列满足，且，其前项和记为． (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 【分析】（1）根据题意可得是公差为的等差数列，由可得，进而可知公差为1，进而可写出通项公式； （2）由（1）可写出，进而的表达式可知，利用裂项求和的方法即可证明不等式. 【详解】（1）因为，所以，（2分） 所以是公差为的等差数列．（4分） 又，所以，从而公差为1，（5分） 所以．（6分） （2），（8分） ，（10分） 所以 ，（12分） 因为，所以，不等式得证.（14分） 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． (1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 98 60 40 20 求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）； (3)证明：． 附：经验回归方程系数：，； 参考数据：，，（其中，） 【分析】（1）结合相互独立、独立重复试验的概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. （2）利用换元法，结合回归直线方程的计算公式，计算出关于的回归方程，并由求得预测值. （3）通过求“在前轮没有成功的概率”大于，来求得“前轮就成功的概率”小于，从而证得不等式成立. 【详解】（1）由题知，的取值可能为1，2，3所以； ；；（3分） 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望为.（4分） （2）令，则，由题知：，， 所以，（5分） 所以，， 故所求的回归方程为：，（7分） 所以，估计时，；估计时，；估计时，； 预测成功的总人数为.（8分） （3）由题知，在前轮就成功的概率为 （10分） 又因为在前轮没有成功的概率为 ，（12分） 故（14分） 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，左焦点为，点在椭圆上. (1)求C的方程； (2)设直线l与C交于不同于B的M，N两点，且，证明直线l恒过定点； (3)在的条件下，求的最大值. 【分析】（1）由题意可得b，c的值，进而求出a的值，即求出椭圆的方程； （2）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，，整理可得参数的关系，求出直线恒过定点的坐标； （3）由（2）可设，求出面积的表达式后根据双勾函数的单调性可求最大． 【详解】（1）由题意可得，，所以，（3分） 所以椭圆的方程为：；（4分） （2）证明：由可得，如图， 当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立，整理可得：，（5分） ，可得， 且，，（6分） 因为， ， 即， 即， 整理可得：，可得或，（7分） 即直线l的方程为或， 所以直线l过舍或恒过定点；（8分） 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，， 设，， 将代入椭圆的方程可得，可得， 因为，所以， 即，解得或舍， 即直线l的方程为，显然过，（10分） 综上所述：直线恒过定点， （3）由题设的斜率不为零，设，（11分） 由可得，（13分） 故，（14分） 所以， 故，令，（15分） 则，由双勾函数的性质可得，（16分） 故，当且仅当时等号成立（17分） 故的最大值为（18分） 21．（本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题10分） 已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)设函数，若，求的值. 【分析】（1）由题意，利用分离参数法得到对恒成立.设，利用导数判断出函数在上单调递增，求出； （2）把题意转化为，恒成立.由为的一个极小值点，解得.代入原函数验证成立. 【详解】（1）由题意知（1分） 因为函数在上单调递增，所以， 即对恒成立（3分） 设，则（5分） 当时， 当时， 所以函数在上单调递增（7分） 所以（8分） （2）由题知（9分） 所以，（10分） 因为，所以， 即为的最小值，为的一个极小值点， 所以，解得（12分） 当时， 所以（14分） ①当时，（当且仅当时等号成立） 所以在上单调递增（15分） ②当时，若，； 若， 所以在上单调递减（16分） 综上，在上单调递减，在上单调递增（17分） 所以当时，（18分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 2 123 23 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 1234 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 6 6 5. 正确填涂■ 缺考标记 789 789 56789 456789 45678 6789 6789 123456789 456789 12345678 9 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6， 题每题4分，第7-12 题每题5分) 艾南 3 5 6 8. 10 11. 12 箭 二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第 1516题每题5分) 9阳 13[A]B][C][D] 14[A][B][CD] 15[A]B][C][D] 16[A][B][C[D] 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共？8分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分14分) D G D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(本题满分18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(本题满分18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．把3本不同的语文书，4本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是 ． 2．已知集合，集合，则 ． 3．将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 4．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点，则的值是 . 5．若函数，则 ． 6．已知直线与圆相切，则的值为 ． 7．求值： . 8．设函数，方程有四个不相等的实数根，，，，则的取值范围为 ． 9．已知等边的边长为2，点、分别在边、上且满足，则 . 10．设由复数组成的数列满足：对任意的，都有(是虚数单位)，则数列的前2020项和的值为 ． 11．已知函数，则不等式的解集为 ． 12．已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．“”是“函数是在上的单调函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少？”记这个人原来持金为斤，设，则（    ） A． B．7 C．13 D．26 15．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（    ） A． B． C． D． 16．设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，， (1)求证：； (2)求平面与平面ABCD的夹角的余弦值. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知数列满足，且，其前项和记为． (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． (1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 98 60 40 20 求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）； (3)证明：． 附：经验回归方程系数：，； 参考数据：，，（其中，） 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，左焦点为，点在椭圆上. (1)求C的方程； (2)设直线l与C交于不同于B的M，N两点，且，证明直线l恒过定点； (3)在的条件下，求的最大值. 21．（本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题10分） 已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)设函数，若，求的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $