第08讲 一元一次不等式（组）及应用（复习讲义，3考点8题型2重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦一元一次不等式（组）及应用，覆盖不等式定义性质、解法、整数解与参数问题、实际应用及与方程函数综合等中考核心考点，通过考情剖析、知识导航、考点解析、真题训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 亮点在于分层设计与核心素养培养，如通过“由不等式组整数解求参数”题型训练推理能力，“不等式与函数综合”题培养模型意识。设基础巩固、能力提升、全国新趋势三级练习，配合真题精讲，提升学生应用意识和应考能力，助力教师精准把控复习节奏。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲 一元一次不等式（组）及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 不等式的定义及性质 题型01不等式的定义及解集 题型02不等式的性质 命题点二 一元一次不等式（组） 题型01 一元一次不等式（组）的定义 题型02解一元一次不等式（组） 题型03由一元一次不等式（组）的整数解求参数 题型04由一元一次不等式（组）的解集求参数 命题点三 一元一次不等式（组）的应用 题型01 列一元一次不等式（组） 题型02一元一次不等式（组）的应用 05·重难突破·思维进阶难 14 突破一 不等式（组）和方程（组）的综合 突破二 不等式（组）和函数的综合 06·优题精选·练能提分 16 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 不等式的性质 / / 北京卷 T4 了解不等式的基本性质并能熟练的运用。 求一元一次不等式的解集 北京卷 T9 / / 熟练地运用不等式的基本性质解一元一次不等式，会求不等式的特殊解。 求不等式组的解集 北京卷 T18 北京卷 T18 北京卷 T18 掌握一元一次不等式组的解法及不等式组解集的确定。 不等式与函数综合 北京卷 T21 北京卷 T22 北京卷 T22 不等式（组）与函数的综合应用中，不等式是找不等关系（大于、小于、超过、不超过等）。结合函数图象解决问题。 命题预测 列不等式、不等式的基本性质解不等式（组）及应用是本章节的中点，也是历年中考的考点之一，掌握住解不等式（组）的解法及解集的确定。在不等式（组）的应用中抓住题干中的不等条件。主要题型有选择题、填空题和解答题。属于基础题，易得分。 考点一 不等式的定义及性质 1.不等式 定义：用不等式符号（）表示不等关系的式子叫做不等式。 基本表达形式： 常见的不等号 （1） 是正数表示为，是负数表示为； （2） 是非负数表示为，是非正数表示为； （3） 同号表示为，异号表示为. 2. 不等式的解与解集 不等式的解：一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。 不等式的解集：所有不等式的解的全体称为这个不等式的解集。 3. 不等式解集的表示方式 无理数：无限不循环小数叫做无理数（判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环）. 【补充】三种常见的形式：（1）开方开不尽的数，如：，等. （2） 含有的一类数，如：，等. （3） 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如：（每相邻两个1之间依次多一个0）. 不等式的解集 数轴表示 4. 不等式的基本性质 性质1：如果，那么. 性质2：如果 ，那么 ，. 性质3：如果 ，那么 ，. 性质4：如果，那么. 性质5：如果，那么. 1．（2023·北京·中考真题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京丰台·二模）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京朝阳·一模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 考点二 一元一次不等式（组） 1. 一元一次不等式 定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。 一元一次不等式的解法一般步骤：去分母→去括号→合并同类项→系数化为1 2. 一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成不等式组叫做一元一次不等式组。 一元一次不等式组的解集 不等式组（） 不等式组的解集 无解 不等式组的解集在数轴上的表示 解一元一次不等式组的一般步骤： 分别解每个不等式→确定不等式组解集→写出解集 1．（2025·北京·中考真题）解不等式组： 2．（2024·北京·中考真题）解不等式组： 3．（2023·北京·中考真题）解不等式组：． 考点三 一元一次不等式（组）的应用 一元一次不等式（组）的应用 基本步骤： （1） 审：认真审题，分清题目中的已知量、未知量，并明确它们之间的不等关系； （2） 设：恰当的设未知数； （3） 列：依据题目中的不等关系列出不等式组； （4） 解：解不等式组，求出解集； （5） 验：检验所求的的解集是否符合题意和实际意义； （6） 答：写出答案。 1．（2019·北京·中考真题）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4； ②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 解答下列问题： （1）填入补全上表； （2）若，，，则的所有可能取值为______； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首． 2．（2025·北京朝阳·一模）小明假期外出短途旅游，搭乘飞机产生的碳排放量约为，为了抵消这些碳排放量，他决定在开学后从家长开私家车接送改为只乘坐公交或骑自行车上下学，通过查阅资料得知几种交通方式的碳排放量如下表： 交通方式 碳排放量 开私家车 乘坐公交 骑自行车 0 小明每天上下学往返共约，往返需选择同一种交通工具，若他计划在上下学的100天内抵消这些碳排放量，则在这100天中，最多有几天可以乘坐公交？ 3．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 命题点一 不等式的定义及性质 ►题型01 正不等式的定义及解集 / 【典例】1．（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式】1．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·一模）下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． ►题型02 不等式的性质 / 【典例】1．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·北京房山·二模）已知，则下列论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·陕西西安·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·模拟预测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京昌平·二模）已知命题“若，则”是假命题，则的值可以是 ． 命题点二 一元一次不等式（组） ►题型01 一元一次不等式（组）的定义 / 【典例】1．（24-25七年级下·青海玉树·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广东佛山·月考）下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·陕西西安·月考）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 3．（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 题型02 解一元一次不等式（组） / 【典例】1．（2025·广西·一模）解不等式：． 2．（2025·北京海淀·模拟预测）解不等式组： 【变式】1．（2025·安徽合肥·二模）解不等式． 2．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 3．（2025·北京·模拟预测）解不等式组． 题型03 由一元一次不等式（组）的整数解求参数 / 【典例】1．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 2．（2025·四川绵阳·三模）若关于x的不等式组共有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为 ． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型04 由一元一次不等式（组）的解集求参数 / 【典例】1．（2025·湖北襄阳·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 2．（2025·重庆永川·模拟预测）关于 x的一元一次不等式组 的解集为，且关于 y 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【变式】1．（2025·河南周口·二模）关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是 ． 2．（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 3．（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 命题点三 一元一次不等式（组）的应用 ►题型01 列一元一次不等式（组） / 【典例】1．（2025·河北邯郸·一模）用算式表示“的一半与的3倍的差是非正数”为 ． 2．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为 ． 【变式】1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）某种药品每片为，说明书上写着：每日用量，包括和，分3次服用．设某人一次服用x片，那么x应满足的不等式是 ． 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 题型02 一元一次不等式（组）的应用 / 【典例】1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 2．（2025·北京密云·一模）某校组织科技节活动，计划投入4000元购进A、B两种型号展板共100块，其中A型展板至少50块．已知购进2块A型展板和3块B型展板共需210元，购进3块A型展板和1块B型展板共需140元．为了满足基本需求，请判断该校计划投入的资金是否够用，并说明理由． 【变式】1．（2025·北京海淀·模拟预测）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋． (1)购进的肉粽的个数为________个（用含，的代数式表示）； (2)为了促销，超市计划将所购200袋粽子组合包装，使得其恰好全部制成，两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个． ①用等式表示，的数量关系为________； ②若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进多少袋？ 2．（2025·湖南·模拟预测）某中学为了准备体育中考，采购了A，B两种品牌的排球，第一次采购A种排球100个，B种排球60个，采购费用为10320元；第二次采购了A种排球50个，B种排球90个，采购费用为9480元． (1)求A，B两种排球的采购单价分别为多少元． (2)商场通过一段时间的营销后发现，B种排球的销售比A品牌好，商场决定再采购一批排球，要求：①采购B种排球的数量比A种排球的2倍多30个，且A种排球的采购数量不低于50个；②采购两种排球的总费用不超过13 000元．请问：该商场有哪几种采购方案？ 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 突破一 不等式（组）和方程（组）的综合 【典例】1．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 2．（2025·四川内江·模拟预测）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有 个． 【变式】1．（24-25七年级下·重庆万州·期中）若关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解，且关于 y 的方程的解是负整数， 则符合条件的所有整数 a 的和是    ． 2．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 突破二 不等式（组）和函数的综合 【典例】1．（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 2．（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【变式】1．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于．市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示： (1)根据图象，请求出y与x的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）冰箱作为家庭中耗电量比较大的电器之一，节能使用可以显著减少电力消耗．某商场销售两款节能冰箱：A款为一级能效，B款为二级能效，两款冰箱的功能相同，仅能效等级不同，A款标价为B款标价的1.25倍．商场为进一步促销，决定消费者购买A款冰箱时，在标价基础上再给予800块钱的优惠；购买B款冰箱时，在标价基础上再给予200块钱的优惠．设B款冰箱标价x元，消费者购买A，B两款冰箱的最终支付金额分别为（元）和（元）． (1)分别求出，与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)仅从节省购买资金的角度考虑，消费者购买哪一款冰箱最终支付的金额较少？ 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 3．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 5．（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 6．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 1．（2025·湖南怀化·一模）不等式组的解集为(     ) A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若时，，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 4．（2025·江苏连云港·二模）解不等式组 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 1．（2025·四川广元·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川攀枝花·中考真题）、、、四人的体重分别为、、、，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 4．（2025·四川·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 5．（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 6．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲 一元一次不等式（组）及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 不等式的定义及性质 题型01不等式的定义及解集 题型02不等式的性质 命题点二 一元一次不等式（组） 题型01 一元一次不等式（组）的定义 题型02解一元一次不等式（组） 题型03由一元一次不等式（组）的整数解求参数 题型04由一元一次不等式（组）的解集求参数 命题点三 一元一次不等式（组）的应用 题型01 列一元一次不等式（组） 题型02一元一次不等式（组）的应用 05·重难突破·思维进阶难 30 突破一 不等式（组）和方程（组）的综合 突破二 不等式（组）和函数的综合 06·优题精选·练能提分 38 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 不等式的性质 / / 北京卷 T4 了解不等式的基本性质并能熟练的运用。 求一元一次不等式的解集 北京卷 T9 / / 熟练地运用不等式的基本性质解一元一次不等式，会求不等式的特殊解。 求不等式组的解集 北京卷 T18 北京卷 T18 北京卷 T18 掌握一元一次不等式组的解法及不等式组解集的确定。 不等式与函数综合 北京卷 T21 北京卷 T22 北京卷 T22 不等式（组）与函数的综合应用中，不等式是找不等关系（大于、小于、超过、不超过等）。结合函数图象解决问题。 命题预测 列不等式、不等式的基本性质解不等式（组）及应用是本章节的中点，也是历年中考的考点之一，掌握住解不等式（组）的解法及解集的确定。在不等式（组）的应用中抓住题干中的不等条件。主要题型有选择题、填空题和解答题。属于基础题，易得分。 考点一 不等式的定义及性质 1.不等式 定义：用不等式符号（）表示不等关系的式子叫做不等式。 基本表达形式： 常见的不等号 （1） 是正数表示为，是负数表示为； （2） 是非负数表示为，是非正数表示为； （3） 同号表示为，异号表示为. 2. 不等式的解与解集 不等式的解：一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。 不等式的解集：所有不等式的解的全体称为这个不等式的解集。 3. 不等式解集的表示方式 无理数：无限不循环小数叫做无理数（判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环）. 【补充】三种常见的形式：（1）开方开不尽的数，如：，等. （2） 含有的一类数，如：，等. （3） 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如：（每相邻两个1之间依次多一个0）. 不等式的解集 数轴表示 4. 不等式的基本性质 性质1：如果，那么. 性质2：如果 ，那么 ，. 性质3：如果 ，那么 ，. 性质4：如果，那么. 性质5：如果，那么. 1．（2023·北京·中考真题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：得，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 2．（2025·北京丰台·二模）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解决本题的关键是根据不等式的基本性质把进行判断． 【详解】解：A选项：，根据不等式的基本性质三，可知，故A选项错误； B选项：，根据不等式的基本性质三，可知，故B选项正确； C选项：，根据不等式的基本性质一，可得：，故C选项错误； D选项：，根据不等式的基本性质一，可得：，故D选项错误． 故选：B． 3．（2025·北京朝阳·一模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，不等式，理解并正确运用是解题的关键． 利用数轴的特征，及正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知， A、因为，所以，故，原说法正确，该选项不符合题意； B、因为，所以，故原说法正确，该选项不符合题意； C、因为，那么，所以故原说法正确，该选项不符合题意； D、从数轴上看，在左侧，所以，而不是，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 考点二 一元一次不等式（组） 1. 一元一次不等式 定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。 一元一次不等式的解法一般步骤：去分母→去括号→合并同类项→系数化为1 2. 一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成不等式组叫做一元一次不等式组。 一元一次不等式组的解集 不等式组（） 不等式组的解集 无解 不等式组的解集在数轴上的表示 解一元一次不等式组的一般步骤： 分别解每个不等式→确定不等式组解集→写出解集 1．（2025·北京·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 2．（2024·北京·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 3．（2023·北京·中考真题）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式的解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 考点三 一元一次不等式（组）的应用 一元一次不等式（组）的应用 基本步骤： （1） 审：认真审题，分清题目中的已知量、未知量，并明确它们之间的不等关系； （2） 设：恰当的设未知数； （3） 列：依据题目中的不等关系列出不等式组； （4） 解：解不等式组，求出解集； （5） 验：检验所求的的解集是否符合题意和实际意义； （6） 答：写出答案。 1．（2019·北京·中考真题）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4； ②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 解答下列问题： （1）填入补全上表； （2）若，，，则的所有可能取值为______； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首． 【答案】（1）如表所示，见解析；（2）4，5，6；（3）23. 【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论； （2）根据题意列不等式即可得到结论； （3）根据题意列不等式，即可得到结论． 【详解】解：（1） 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1 x1 x1 第2组 x2 x2 x2 第3组 x3 x3 x3 第4组 x4 x4 x4 （2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首， ∴x1≥4，x3≥4，x4≥4， ∴x1+x3≥8①， ∵x1+x3+x4≤14②， 把①代入②得，x4≤6， ∴4≤x4≤6， ∴x4的所有可能取值为4，5，6， 故答案为4，5，6； （3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首， ∴由第2天，第3天，第4天，第5天得， x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④， ①+②+④-③得，3x2≤28， ， ， ∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首， 故答案为23． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 2．（2025·北京朝阳·一模）小明假期外出短途旅游，搭乘飞机产生的碳排放量约为，为了抵消这些碳排放量，他决定在开学后从家长开私家车接送改为只乘坐公交或骑自行车上下学，通过查阅资料得知几种交通方式的碳排放量如下表： 交通方式 碳排放量 开私家车 乘坐公交 骑自行车 0 小明每天上下学往返共约，往返需选择同一种交通工具，若他计划在上下学的100天内抵消这些碳排放量，则在这100天中，最多有几天可以乘坐公交？ 【答案】小明在这100天中，最多有2天可以乘坐公交 【分析】该题考查了一元一次不等式的应用，设小明在这100天中，有x天乘坐公交，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设小明在这100天中，有x天乘坐公交． 由题意可知，． 解得：． 答：小明在这100天中，最多有2天可以乘坐公交． 3．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 【详解】解： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 命题点一 不等式的定义及性质 ►题型01 正不等式的定义及解集 / 【典例】1．（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义， 根据不等式的定义，用不等号（如）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件． 【详解】解：① 使用了“<”，是不等式； ② 使用了“>”，是不等式； ③ 是等式，不是不等式； ④ 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤ 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义．根据不等式的定义，用符号“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”连接的式子属于不等式．逐一判断各式子是否符合条件即可． 【详解】解：①是等式，不属于不等式； ②含“≥”，属于不等式； ③没有不等号，是代数式，不属于不等式； ④含“≤”，属于不等式； ⑤含“＞”，属于不等式； ⑥含“≠”，属于不等式． 综上，②、④、⑤、⑥共4个不等式， 故选：C． 【变式】1．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 2．（2025·山东淄博·一模）下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式，与之和可表示为：；与之和的平方可表示为；不大于可表示为：，由此可得出不等式． 【详解】解：根据题意得：与之和的平方不大于5，用不等式表示为， 故选：C． ►题型02 不等式的性质 / 【典例】1．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 故选：． 2．（2025·北京房山·二模）已知，则下列论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】 解：， A、，故该选项错误，不合题意； B、，故该选项错误，不合题意； C、，故该选项错误，不合题意； D、，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式】1．（2025·陕西西安·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，观察数轴判断a，b的大小和绝对值的大小关系，然后根据有理数的乘法法则、加法法则、不等式的基本性质和绝对值的性质对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，，， ∴， ∴，，，， ∴A，B，C选项均错误，D选项正确， 故选：D． 2．（2025·北京·模拟预测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以一个负数，不等式的符合改变；不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变逐项分析，即可求解． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意； C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当，则，故该选项不正确，不符合题意；     故选：B． 3．（2025·北京昌平·二模）已知命题“若，则”是假命题，则的值可以是 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的性质，真假命题，根据题意可得当时，，则由不等式的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴当时，， ∴， ∴c的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 命题点二 一元一次不等式（组） ►题型01 一元一次不等式（组）的定义 / 【典例】1．（24-25七年级下·青海玉树·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、中含有2个未知数，故该选项不符合题意， B、符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意， C、是方程，故该选项不符合题意， D、，不含有未知数，故该选项不符合题意， 故选：B 2．（22-23八年级下·广东佛山·月考）下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 【变式】1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义， 根据一元一次不等式的定义逐个判断，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 【详解】解：因为不是一元一次不等式，所以A不符合题意； 因为是二元不等式，所以不符合题意； 因为是二次不等式，所以C不符合题意； 因为是一元一次不等式，所以D符合题意. 故选：D. 2．（22-23八年级下·陕西西安·月考）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 题型02 解一元一次不等式（组） / 【典例】1．（2025·广西·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法；先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 解得： 2．（2025·北京海淀·模拟预测）解不等式组： 【答案】 【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小无解找，解不等式组解答即可． 本题考查了求不等式组的解集，掌握解集求解是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得，解不等式②得， 故不等式的解集为． 【变式】1．（2025·安徽合肥·二模）解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式．根据解一元一次不等式的步骤，先去分母，再去括号，移项合并，系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得：， 合并同类项，得：． 2．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 3．（2025·北京·模拟预测）解不等式组． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键． 先求得各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为x． 题型03 由一元一次不等式（组）的整数解求参数 / 【典例】1．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2）时，无论取何值，不等式恒成立； （3）当时，不等式的解集为：， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 解得． 故的取值范围是． 故答案为：． 2．（2025·四川绵阳·三模）若关于x的不等式组共有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解问题，正确求出不等式组的解集，进而得出其整数解是解题关键． 先解每个不等式确定不等式组的解集，然后再根据不等式组只有4个整数解，得到关于的不等式组，即可求得a的范围即可． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 则不等式组的解集为 ∵不等式组只有4个整数解 ∴整数解是，，，1． ，解得 故答案为：． 【变式】1．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由解为负整数，求出的范围，不等式组整理后，根据解集确定出的范围，进而求出整数的值即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程有负整数解，得到且， 即，且， 不等式组整理得：， 由解集为，得到，即， ∴，且， ∴整数， ∵由分式方程有负整数解， ∴取整数， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 题型04 由一元一次不等式（组）的解集求参数 / 【典例】1．（2025·湖北襄阳·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数取值范围，由不等式组的，，根据无解进行判断，即可求解． 【详解】解：， 解：由①得：， 由②得：， 原不等式组无解， ； 故答案为：． 2．（2025·重庆永川·模拟预测）关于 x的一元一次不等式组 的解集为，且关于 y 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解．先解不等式组得出，再根据不等式组的解集为，得出，解得．再解分式方程得，根据分式方程的解为正整数，确定出符合题意的a值，进而得出答案． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 解分式方程， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， ∵分式方程的解为正整数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为0，4，6，8， ∴满足条件的整数a的值之和为：． 故答案为：18． 【变式】1．（2025·河南周口·二模）关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，分别解不等式，再根据不等式组解，得出． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组有解， ， 故答案为：． 2．（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考核学生的计算能力，注意分式方程一定要检验．解分式方程，检验根得出的范围；根据分式方程的解为正数，列出不等式求得的范围；解不等式组，根据解集为，得出的范围；根据为整数，得出的值，最后求和即可． 【详解】解：分式方程的两边都乘以得：， 解得， ， ， ， 方程的解为正数， ， 且； ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ． 且 整数的和为； 故答案为：5． 3．（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三边关系得到，再解含参数的不等式组，根据不等式组有解情况得到所有整数，求和即可得到答案．熟练掌握由不等式组有解情况求出参数范围的方法是解决问题的关键． 【详解】解：线段能构成三角形， ， ， 由②得， 关于的不等式组有解， 不等式组的解集为， 则，即， 为整数， 可取， 则使关于的不等式组有解的所有整数的和为， 故答案为：． 命题点三 一元一次不等式（组）的应用 ►题型01 列一元一次不等式（组） / 【典例】1．（2025·河北邯郸·一模）用算式表示“的一半与的3倍的差是非正数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，根据题意直接列出式子． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为： 2．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道， 根据题意得，， 故答案为：． 【变式】1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）某种药品每片为，说明书上写着：每日用量，包括和，分3次服用．设某人一次服用x片，那么x应满足的不等式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的相关知识，根据次服用的剂量可得，由此能得到x应满足的不等式了． 【详解】解：根据题意，得， 化简，得． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据船的数量表示出学生人数，再结合“每船坐人时，空一条船且有船不空也不满”这一条件列不等式组．本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式组是解题的关键． 【详解】解：设有条船，由题意可得， 故选：C． 题型02 一元一次不等式（组）的应用 / 【典例】1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 2．（2025·北京密云·一模）某校组织科技节活动，计划投入4000元购进A、B两种型号展板共100块，其中A型展板至少50块．已知购进2块A型展板和3块B型展板共需210元，购进3块A型展板和1块B型展板共需140元．为了满足基本需求，请判断该校计划投入的资金是否够用，并说明理由． 【答案】该校计划投入的资金够用，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键．设购进1块A型展板需要元，1块B型展板需要元，根据题意列出方程组，解方程组可得，设购进A型展板块，则购进B型展板块，根据题意列出不等式，求出的范围，即可得出结论． 【详解】解：该校计划投入的资金够用，理由如下： 设购进1块A型展板需要元，1块B型展板需要元， 由题意得，， 解得：， 设购进A型展板块，则购进B型展板块， 由题意得，， 解得：， 投入的资金购进A型展板至少50块， 该校计划投入的资金够用． 【变式】1．（2025·北京海淀·模拟预测）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋． (1)购进的肉粽的个数为________个（用含，的代数式表示）； (2)为了促销，超市计划将所购200袋粽子组合包装，使得其恰好全部制成，两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个． ①用等式表示，的数量关系为________； ②若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进多少袋？ 【答案】(1) (2)①；②豆沙粽最多购进40袋 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是正确的表示各种粽子的袋数，个数，根据肉粽的进货数量的要求列出不等式求解验证． （1）用200减去小枣粽和豆沙粽的袋数得到肉粽的袋数，再乘以2即可得到答案； （2）根据题意可得购进的小枣粽的个数为个，豆沙粽的个数为个，从而得到套装为套，套装为套，再由套装每袋小枣粽4个，B套装每袋小枣粽2个，可得；②根据题意可得购进的肉粽袋数为袋，然后根据肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，购进的肉粽的个数为； （2）解：①由题意得， ∴； ②由题意可知，， 由①可知，即， ∴， 解得 答：豆沙粽最多购进40袋． 2．（2025·湖南·模拟预测）某中学为了准备体育中考，采购了A，B两种品牌的排球，第一次采购A种排球100个，B种排球60个，采购费用为10320元；第二次采购了A种排球50个，B种排球90个，采购费用为9480元． (1)求A，B两种排球的采购单价分别为多少元． (2)商场通过一段时间的营销后发现，B种排球的销售比A品牌好，商场决定再采购一批排球，要求：①采购B种排球的数量比A种排球的2倍多30个，且A种排球的采购数量不低于50个；②采购两种排球的总费用不超过13 000元．请问：该商场有哪几种采购方案？ 【答案】(1)A种排球的单价是60元，B种排球的单价是72元． (2)有四种采购方案，分别为：①采购A种排球50个，B种130个；②采购A种排球51个，B种132个；③采购A种排球52个，B种134个；④采购A种排球53个，B种136个 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）设A种排球的单价是x元，B种排球的单价是y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设该商场采购A种排球的数量为m个，则采购B种排球个，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）设A种排球的单价是x元，B种排球的单价是y元， 根据题意，得 解得 答：A种排球的单价是60元，B种排球的单价是72元． （2）设该商场采购A种排球的数量为m个，则采购B种排球个． 根据题意，得 解得50 ∵m为整数， ∴或51或52或53 ．          ∴有四种采购方案，分别为： ①采购A种排球50个，B种130个； ②采购A种排球51个，B种132个； ③采购A种排球52个，B种134个； ④采购A种排球53个，B种136个． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 突破一 不等式（组）和方程（组）的综合 【典例】1．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 2．（2025·四川内江·模拟预测）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少 2 个整数解， ， ， ， 得：， ， ， ， ， ∴满足条件的整数有、、、、， ∴满足条件的整数有5个， 故答案为：5． 【变式】1．（24-25七年级下·重庆万州·期中）若关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解，且关于 y 的方程的解是负整数， 则符合条件的所有整数 a 的和是    ． 【答案】22 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 首先解不等式组，根据不等式组有且只有2个整数解得出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再解方程，根据方程的解是负整数求出所有的a可能的值，进而得到符合条件的所有整数a，求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ， 关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解， 这两个整数解是3，4， ， ， 解方程得， 关于 y 的方程的解是负整数， 或或或或或， 或4或5或6或8或14， 符合条件的所有整数为和， ， 符合条件的所有整数 a 的和是， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组和二元方程组的解的情况求参数，先求出不等式组的解集，根据解集的情况求出的范围，再将两个方程相加，求出的范围，进而确定整数的值，相乘即可． 【详解】解：由，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∵ ∴，得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴整数， ∴； 故答案为：360． 突破二 不等式（组）和函数的综合 【典例】1．（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题关键是理解题意，弄清数量关系． （1）根据“当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只”，列出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式即可； （2）结合（1），根据“利润每只利润销售量”，即可获得答案； （3）首先根据“每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于”，列出方程组，解得的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只， ∴每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ； （2）结合（1），可知每日销售利润； （3）根据公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于， 则有，解得， 由（2）可知，每日销售利润， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，取最大值，为（万元）， 即应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元． 2．（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是， 把代入得， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 当时，设与之间的函数关系式是， 则， 解得， 当时，与之间的函数关系式是． ； （2）解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍， ， 解得， ， ， 随的增大而减小． 当时，W最小，最小值为（元）， 种非遗文创用品：（件）． 答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 【变式】1．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于．市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示： (1)根据图象，请求出y与x的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法可求出函数解析式，再根据销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于求出的取值范围，由此即可得； （2）设该公司每天获得的利润为元，根据利润（销售单价成本单价）销售量可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把和代入得：， 解得， ∵销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于， ∴， 解得， 所以与的函数关系式为． （2）解：设该公司每天获得的利润为元， 由题意得：， ∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）冰箱作为家庭中耗电量比较大的电器之一，节能使用可以显著减少电力消耗．某商场销售两款节能冰箱：A款为一级能效，B款为二级能效，两款冰箱的功能相同，仅能效等级不同，A款标价为B款标价的1.25倍．商场为进一步促销，决定消费者购买A款冰箱时，在标价基础上再给予800块钱的优惠；购买B款冰箱时，在标价基础上再给予200块钱的优惠．设B款冰箱标价x元，消费者购买A，B两款冰箱的最终支付金额分别为（元）和（元）． (1)分别求出，与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)仅从节省购买资金的角度考虑，消费者购买哪一款冰箱最终支付的金额较少？ 【答案】(1)， (2)当时，消费者购买A款冰箱最终支付的金额较少；当时，消费者购买两款冰箱最终支付的金额一样；当时，消费者购买B款冰箱最终支付的金额较少 【分析】本题主要考查了列函数关系式，函数实际应用： （1）根据两款冰箱支付方式，列出函数关系式即可； （2）分别求出当时，当时，当时，对应的x的取值范围，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，与x的函数关系式为 ，； （2）解：当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； ∵消费者购买A款冰箱时，在标价基础上再给予800块钱的优惠，购买B款冰箱时，在标价基础上再给予200块钱的优惠， ∴， 解得：， 综上所述，当时，消费者购买A款冰箱最终支付的金额较少；当时，消费者购买两款冰箱最终支付的金额一样；当时，消费者购买B款冰箱最终支付的金额较少． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 2．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 3．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 4．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解的确定，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求解不等式组中的两个不等式，得到解集，再根据该解集恰有三个整数解（即0、1、2），确定的范围，从而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式：， ， ， ， ， ， 解第二个不等式：， ， ， ， 因此，不等式组的解集为：， 由于该解集恰有三个整数解，即整数解为0、1、2， 故需满足： 解得：， 故答案为：． 5．（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的求解方法以及根据方程解的取值范围确定参数取值范围的能力，同时要考虑到分式方程中分母不能为零这一重要条件．熟练掌握分式方程的求解步骤，以及能够根据题目条件准确列出关于参数的不等式组是解题的关键． 首先解给定的分式方程，将方程的解用含的表达式表示出来；然后根据方程的解为非负数这一条件，以及分式方程中分母不能为零的限制，列出关于的不等式组；最后求解这个不等式组，得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． ∵分式方程分母不能为，即，， ∴，． 又∵方程的解为非负数， ∴，． 综上，且． 故答案为：且． 6．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 1．（2025·湖南怀化·一模）不等式组的解集为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的解集，分别解两个不等式，再求公共部分，即可求解． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 故不等式的解集为． 故选：A． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若时，，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解不等式组，由，，则，所以或，可得，故有∴，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴或， 解得：或， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 4．（2025·江苏连云港·二模）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法，能求出两个不等式解集的公共解集． 分别解出两个不等式的解集，再找公共解集即可． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：； ∴不等式组解集为：． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 1．（2025·四川广元·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，各象限内点的坐标的符号特征，根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得，解不等式组求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中的点在第二象限， ∴， 解得：． 故选：A． 2．（2024·四川攀枝花·中考真题）、、、四人的体重分别为、、、，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四元一次不等式组的应用、不等式的性质，根据示意图列出四元一次不等式组，并熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据人在跷跷板上的示意图，列出四元一次不等式组，再由不等式的性质进行计算即可． 【详解】解：由题意得： 由③得：④， 把④代入②中得：， ∴， ∴， ∴， 由③得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·湖南·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．以球出发的地方为原点建立直角坐标系，其中，表示飞行高度，表示飞行时间，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与轴的两个交点坐标，则可得一个球从出发到落地的用时，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，其中，表示飞行高度，表示飞行时间，如图所示： 由题意得，二次函数的图象经过原点且对称轴为直线， ∴设二次函数表达式为， 将原点代入得：，解得， ∴， 令，则， 解得或， ∴这个二次函数的图象与轴的两个交点的坐标为和， ∴一个球从出发到落地用时为2秒， ∵整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为， ∴， 解得． 故答案为：． 4．（2025·四川·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 5．（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键． （1）由新定义即可求解； （2）首先得，则得不等式，解不等式，即可求得负整数a的值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 满足条件的负整数为， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值； （2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出a与b的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，若，， ∴， 解得； （2）解：关于的不等式组， 整理得， 解得， 解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 整理得， ∵的解集为， ∴且， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 将代入得， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $