第四章 问题解决策略：特殊化-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦“问题解决策略：特殊化”，通过两个正方形旋转重叠面积问题导入，学生动手操作发现特殊位置（如边垂直）可求面积，搭建从特殊到一般的学习支架，梳理特殊化策略的应用脉络。 特色在于以动手实践（正方形纸张操作）培养几何直观（数学眼光），通过特殊情况归纳推理（如重叠面积从特殊到一般）发展推理能力（数学思维），例题与训练题强化用数学语言表达转化过程。助力学生提升问题解决能力，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

☆ 问题解决策略：特殊化 课题 ☆ 问题解决策略：特殊化 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P113-115 教学目标 1. 经历借助“特殊化”策略解决问题的过程，了解“特殊化”策略的意义、适用情境和一般步骤，体会“特殊化”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力。 2.积累利用“特殊化”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力。 教学重难点 重点：从特殊情况中求出结果到归纳出一般性结论的全过程。 难点：找出合适的特殊点或位置并验证说理 教学准备 多媒体课件、正方形纸张 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 如图，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少? 教师活动：两个正方形重叠部分的面积我们没有学习过，但是转动过程中会不会出现我们可以计算的情况呢？ 学生自己动手转一转，并小组讨论，教师请两名同学上台演示。 教师活动：这节课我们就来学习利用这种特殊情况解决问题。（教师板书：问题解决策略：特殊化） 通过学生动手操作，体会特殊化对于问题解决的作用，激发学生的学习兴趣 2.实践探究，学习新知 【探究】 理解问题 （1）在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形? （2）对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积?你遇到的困难是什么? 师生活动：教师引导学生动手操作，并进行讨论。 （1）正方形EFHG的边经过正方形ABCD的顶点，正方形EFHG的边垂直正方形ABCD的边等。 （2）当两个正方形重叠部分为不规则四边形时，不容易计算其面积 拟订计划 （1）哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出? （2）其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗? 师生活动：教师引导学生动手操作，并进行讨论。教师请偷学进行口答，然后利用投影仪引导学生找出特殊情况，并归纳一般情况如何计算。 （1）正方形EFHG的边经过正方形ABCD的顶点，正方形EFHG的边垂直正方形ABCD的边。 （2）可以转化。 实施计划 写出你的解决方案，并说明道理。 小明的思考过程如下。（1）先考虑特殊情形。如图1、图2，这两种情形下，重叠部分的面积容易求出，都是。 （2）将一般情形转化为特殊情形。 如图，连接EB，EC，两个正方形重叠部分的面积 记作S重叠，则S重叠=S△BEC+S△CEN-S△BEM。 可以发现，△BEM≌△CEN，这时，该问题的情形就转化为（1）中的情形，S重叠=S△BEC=4。 因此，一般情形下，重叠部分的面积也是。 师生活动：指定学生代表上台写出步骤，教师引导学生通过不同的特殊情况进行计算。 回顾反思 （1）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟? （2）具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手?如何寻找特殊情形?与同伴进行交流。 具有特殊点或特殊位置的情况，例如：垂直、中点等。 师生活动：学生自由讨论，教师请两名同学口答，老师再进行总结。 【归纳总结】 因为某些因素（如形状、位置或数值等）不确定，使得问题有多种情形时，可以限制这个引起变化的因素，考虑最为特殊的情形，采用从特殊情形入手的策略解决问题。 要先让学生自己动手画，正确地认识问题，明确目标，并体会解决问题遇到的困难。 展示解决问题的全过程，培养学生系统性解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点 利用特殊化策略解决问题 例 如图，一个足够大的五边形，它的一个内角是120°，将120°角的顶点绕一个小正三角形的重心О旋转，则重叠部分的面积为正三角形面积的（ ） A. B. C. D. 不断变化 答案：C 通过例题讲解，进一步加深学生对特殊化策略的理解与掌握，促进学生将知识转化成技能。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是CD的中点，点F在BE上，且BF=2EF。若△ABC的面积是8，则△ABF的面积为________。 答案： 2. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A'B'CO的一个顶点，而且这两个正方形的边长都等于4，将正方形A'B'CO绕点O旋转，在这个过程中，正方形ABCD的边落在∠A'OC内的线段长的和（即EB+BF的长）是多少? 解：（1）EB+BF的长不会发生变化，理由如下： 因为四边形ABCD是正方形，四边形A'B'CO是正方形， 所以AO=BO，∠BAC=∠DBC，∠AOB=∠A'OC'， 所以∠AOE=∠BOF， 在△AOE和△BOF中， 因为∠BAC=∠DBC，AO=BO，∠AOE=∠BOF， 所以△AOE≌△BOF，所以AE=BF， 所以BE+BF=AE+BE=AB=4。 3. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一动点，过点D作DE的垂线，过点C作AC的垂线，两垂线相交于点F，作射线FE，分别交边AB，CD于点G，H。试探究线段EG与FH的数量关系。 解：如图，过点E作EM⊥AB于点M，过点F作FP⊥CD于点P。 当点E为AC中点时，易证线段EG与FH的 G E数量关系为EG=FH。 一般情况下，由题意，得∠ADE+∠EDC=90°， ∠EDC+∠CDF=90°，所以∠ADE=∠CDF。 因为AC⊥CF，所以∠ACF=90°， 所以∠DCF=∠ACF-∠ACD=45°， 所以∠DCF=∠ACD=∠DAC。 又因为AD=CD，所以△ADE≌△CDF，所以AE=CF。 由作图，得∠AME=∠CPF=90°， 因为∠MAE=∠PCF，∠AME=∠CPF，AE=CF， 所以△AME≌△CPF，所以ME=PF。 因为AB∥CD，所以∠MGE=∠PHF。 因为∠GME=∠HPF， 所以△MEG≌△PFH，所以EG=FH。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1. 课堂小结 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。 2.布置作业 课本P115 T1、T2、T3、T4。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。 板书设计 ☆ 问题解决策略：特殊化 1. 找出特殊情况 2. 验证一般情况是否可以转化为特殊情况 3. 说明或求出一般性结果 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $