精品解析：河北省承德市兴隆县2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025－2026学年第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 卷I（选择题共36分） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A B. C. D. 2. 如图，在中，，设所对的边分别为、、，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（ ） 3 6 A. B. 4 C. D. 9 4. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 5. 下列四个命题正确的是（ ） A. 两个等腰三角形相似 B. 两个直角三角形相似 C. 两个等腰直角三角形相似 D. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 6. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的直径为4，点到直线的距离为4，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 8. 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 10. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（ ）． A. 5 B. C. D. 12. 小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ） A. 12 B. 11 C. 6 D. 3 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二．填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. 若圆锥底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为_______． 14. 如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为_____． 15. 如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为________． 16. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为______ ． 三．解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 17. 解方程：； 18. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． （1）直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； （2）的半径为__________； （3）若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根． （2）若方程的两个实数根，满足，求m的值． 20. 如图，一次函数与反比例函数交于点，． （1）求k、m，n的值； （2）直接写出中x的取值； （3）直接写出方程的解． 21. 如图， 在中， 点P是的边上的一点． （1）请判断三人的说法的对错：小星 ，小红 ， 小亮 ． （填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法， 求证： ； （3）在（2）的条件下，， 若， ， 求的长． 22. 如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） （1）求圆心角的度数； （2）求的弧长（结果精确到米）． 23. 某商店准备进某一品牌的小型电饭煲，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增加（或降低）1元，销售量将减少（或增多）10台． （1）求：商店若希望获利2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？ （2）若商店希望获得最大利润，直接写出销售定价为多少元以及最大利润是多少？ 24. 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出，，三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 卷I（选择题共36分） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 则“□”含，可以是， 故选：C． 2. 如图，在中，，设所对的边分别为、、，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求角的三角函数值． 求出的正弦值、余弦值、正切值，进而判断即可． 【详解】解：∵，设所对的边分别为、、， ∴，，， 只有B正确 故选：B 3. 已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（ ） 3 6 A. B. 4 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数值，求反比例函数解析式，解题关键是求得函数的解析式． 先根据，，求得反比例函数解析式，再求出时函数值． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 把，代入， 得， 即， 将代入， 得：， 所以空格中所表示的数是， 故选：C． 4. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 5. 下列四个命题正确的是（ ） A. 两个等腰三角形相似 B. 两个直角三角形相似 C. 两个等腰直角三角形相似 D. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理及运用．是解题的关键． 根据三角形相似的判定方法对各命题逐条进行分析，即可得出结果． 【详解】A、所有的等腰三角形的形状不一定相同，不符合相似的定义，故错误； B、由于锐角没有确定，即不符合判定三角形的判定方法，故错误； C、它符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似； D、没有明确这个角是顶角还是底角，不符合判定条件，故错误． 故选：C． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握顶点式的特征是解题关键．利用二次函数解析式中的顶点式，顶点坐标为，即可得出． 【详解】解：抛物线， 则顶点坐标为． 故选：C． 7. 已知的直径为4，点到直线的距离为4，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆和直线位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆和直线位置关系的性质，从而完成求解． 根据圆与直线位置关系的性质分析，即可得到答案． 【详解】的直径为4， 的半径为2， 点到直线的距离为4， 点到直线的距离大于的半径， 直线与的位置关系是相离， 故选：A． 8. 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出得到，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 树的高度为． 故选D． 9. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，将代入方程得到，再将整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， 代入方程得：， 移项得：． ∴， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 11. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（ ）． A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 分别过点、作轴的垂线，垂足为、，由可得，，从而得到点的坐标，进一步算出点的坐标，最后使用勾股定理计算出的长． 【详解】解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，． 故选：D． 12. 小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ） A. 12 B. 11 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先由求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入抛物线方程，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=4，所以可知杯子高度． 【详解】∵， ∴D点的坐标为(1,6)，抛物线的对称轴为x=1， ∵AB=4， ∴CB=CA=2， ∴B点的横坐标为：2+1=3， 代入B点横坐标即可求出B点的纵坐标， ∴当x=3时，， ∴B点纵坐标为14， ∵D点的纵坐标为6， ∴CD=14-6=8， ∴CE=CD+DE=8+4=12， 则杯子的高度为12， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二．填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. 若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据勾股定理求出母线长，再根据侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥侧面展开图的面积为； 故答案为：． 14. 如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为_____． 【答案】35° 【解析】 【分析】本题主要考查了切线性质，圆周角定理，直角三角形性质，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 连接，利用切线的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 15. 如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是黄金分割点．若，则的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，尺规作图，根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 17. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 或 解得： 18. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． （1）直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； （2）的半径为__________； （3）若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【答案】（1） （2） （3）圆内 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标综合，勾股定理，点与圆的位置关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作出，的垂直平分线的交点即可求解； （2）利用勾股定理求解； （3）求出、两点的距离与半径比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，作出，的垂直平分线的交点为，， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，连接，即为半径， ， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵，， ， ∴点在内． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根． （2）若方程的两个实数根，满足，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根，则，，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）计算根的判别式的值，得，根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，，再把变形为，所以，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 证明：， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2详解】 根据题意得，，， ， ， ， 整理得，， 解得． 20 如图，一次函数与反比例函数交于点，． （1）求k、m，n的值； （2）直接写出中x的取值； （3）直接写出方程的解． 【答案】（1），， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）分别把A、B坐标代入一次函数解析式求出m、n的值，进而得到点B的坐标，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）结合函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）可把原方程变形为，则方程的解即为一次函数与反比例函数交点的横坐标，据此可得答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：； 把代入中得：，解得， ∴， 把代入中得：； 【小问2详解】 解：由函数图象可当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴中x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴方程的解即为一次函数与反比例函数交点的横坐标， ∴或． 21. 如图， 在中， 点P是的边上的一点． （1）请判断三人的说法的对错：小星 ，小红 ， 小亮 ． （填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法， 求证： ； （3）在（2）的条件下，， 若， ， 求的长． 【答案】（1）对，对，错 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错． 故答案为：对，对，错 【小问2详解】 证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， 解得．负值舍去 22. 如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） （1）求圆心角的度数； （2）求的弧长（结果精确到米）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由圆的切线的性质得到，再由直角三角形锐角互余即可求解； （2）先解，设，，再解得到，求出，求出半径，再由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的弧长为：， 答：的弧长为． 23. 某商店准备进某一品牌的小型电饭煲，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增加（或降低）1元，销售量将减少（或增多）10台． （1）求：商店若希望获利2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？ （2）若商店希望获得最大利润，直接写出销售定价为多少元以及最大利润是多少？ 【答案】（1）定价为每台60元，进货100台；定价为每台50元，进货200台 （2）当定价为55元时，能获得最大利润为2250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是解题关键． （1）销售定价为元，则可售出台，根据销售关系列方程，并求解即可； （2）设利润为元，由（1）可得与的关系式为，即，这是一个二次函数，由二次函数的性质计算出最大值即可． 【小问1详解】 解：销售定价为元，则可售出台， 根据题意可列方程：， 化简，得， 解得，，， 当时，销售量台；当时，销售量台． 答：定价为每台60元，进货100台或定价为每台50元，进货200台． 【小问2详解】 解：设利润为元， 由（1）可得，， 化简，得， 这是一个二次函数，其图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值． 答：当定价为55元时，能获得最大利润为2250元． 24. 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出，，三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】（1），， （2）抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为； （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【小问1详解】 解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $