精品解析：河南省南阳市镇平县涅阳街道办事处第二初级中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年秋期期终八年级数学 练习作业 注意事项： 1．本作业共6页，三大题，满分120分，做题时间100分钟，请用黑色水笔或圆珠笔把答案直接做在上面． 2．做题前将密封线内的各项填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列四个实数中，最大的有理数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据有理数的大小比较方法解题即可． 【详解】解：∵正数负数， 且是无理数， ∴最大的有理数是． 故选：B． 2. 如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴． 根据勾股定理可求出点到原点的距离，进而求出点到原点的距离，再根据点的位置确定点所表示的数． 【详解】∵点表示的数为3， 点到原点距离为3， 由图可得， 点到原点的距离． ∵点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为， 点表示的数为． 故选：D． 3. 能说明命题“若x为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键．逐一计算每个选项的平方数，按照无理数定义验证即可解决问题． 【详解】解：A：，是无理数，不符合题意； B：，不是无理数，符合题意； C：，是无理数，不符合题意； D：，是无理数，不符合题意； 故选：B． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则逐项计算，即可判断． 【详解】，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算正确，符合题意； ，故D计算错误，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法．熟练掌握各运算法则是解题关键． 5. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 6. 南北朝著名的数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字“1”出现的频率为（ ） A. 0.2 B. 0.25 C. 0.3 D. 0.35 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了频率的计算方法，记住频率=频数÷总数是解答此题的关键． 根据频率的定义作答． 【详解】解：在8个数字中，1出现了2次，则数字1出现的频率是． 故选：B． 7. 如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 8. 如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形的面积减去四个三角形的面积即可得到． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式与面积的关系，解题的关键是通过数形结合的思想求解． 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握知识点推出是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质、等边对等角，结合已知，推出，，然后利用三角形内角和定理推出，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知，P是的平分线上一点，若在射线上存在点E使是等腰三角形，则的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，分类讨论是关键；根据等腰三角形的三种情况分别计算的度数，得到可能值为或不在其中． 【详解】解：∵ 平分，， ∴． 当是等腰三角形时，分三种情况： ① 当时，如图， ∵， ∴. ② 当时，如图， ∵， ∴； ③ 当时，如图， ∵， ∴． ∴ 可能为或不可能． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 13. 如图，点是的中点，点在上，分别以，为边作正方形和正方形，连接和．设，，且，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的转化，解题的关键在于正确表示出阴影部分的面积．先求出两个正方形的面积，根据图可得阴影面积两正方形面积之和 ，再将，关系代入即可． 【详解】解：，， ，，， 又点是的中点， ， ，， 故答案为：． 14. 如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上性质． 延长，使，连接，证明，得到，根据等角对等边得出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵为边的中线， ∴, 在和中， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，分和两种情况，画出对应的图形，讨论求解即可． 【详解】解：如图，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴ 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则和因式分解的常用方法． （1）分别计算算术平方根、立方根、绝对值，再进行加减计算； （2）先处理符号，再提取公因式进行因式分解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 先化简再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 为了贯彻教育部办公厅《关于举办第八届全国学生“学宪法讲宪法”活动的通知》精神，某校在全校开展“宪法知识”笔试竞赛，试卷满分分，现从各年段随机调查了部分参赛学生的成绩，根据调查结果得到如图所示的不完整统计图表． 成绩 等级 分数范围 人数（频数） 频率 合计 请根据图表信息解答下列问题： （1）_______，_______，_______； （2）请补全条形统计图；据了解该校大约有个学生，请估计该校“宪法知识”笔试竞赛成绩在等级以上（含等级）的人数． 【答案】（1），，； （2）补全条形统计图见解析，有人． 【解析】 【分析】（）由C组频数及频率得出被调查的总人数，再根据频率频数总人数可得、的值； （）根据所求的值即可补全图形，用总人数乘以样本中、组频率之和即可得； 此题考查了条形统计图，用样本估算总体，解题的关键是明确题意，熟练掌握统计知识，利用数形结合的思想解答． 【小问1详解】 解：由成绩等级人数人，频率为， 则随机调查了（人）， ∴，，， 故答案：，，； 【小问2详解】 补全条形统计图如下： “宪法知识”笔试竞赛成绩在等级以上（含等级）的人数为：（人）， 答：“宪法知识”笔试竞赛成绩在等级以上（含等级）的人数有人． 19. 如图，在中，D是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 20. 阅读下列材料： 小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： （1）计算图1中的面积为________；（直接写出答案） （2）如图2，每个小正方形的边长为1，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接． ①判断与面积之间的关系，并说明理由； ②直接写出六边形的面积为________． 【答案】（1）； （2）①与面积相等，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形面积． （1）三角形的面积=矩形的面积减去周围的三个三角形面积； （2）①分别用分割法计算△PQR与△PEF的面积，再比较即可； ②先用勾股定理求解线段和，再用分割法求解六边形的面积即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 ①与面积相等． 理由：的面积， 的面积， 的面积的面积； ②由勾股定理得： ，， 六边形的面积为． 21. 阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，则_____，_____； （2）若，．求的值； （3）若，，则_____． 【答案】（1）5，1 （2）124 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，则，据此可得第一空答案，再由可得第二空答案； （2）根据完全平方公式可得，再根据已知条件求解即可； （3）根据题意可求出，，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，即， ∴，即， ∵， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，点D在边上运动（点D不与B、C重合），连接，作，交边于点E． （1）当时，______°； （2）若，求证：； （3）在点D的运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）先求，，从而得出，再由，，，又由，即可由得出结论； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，， ； 【小问2详解】 证明：∵ ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； 【小问3详解】 解：可以，理由如下： ，， ， 分三种情况讨论： ①当时，， ，， ， ， ， ， ②当时，， ， ， 又， ， 点与点重合，不合题意． ③当时，， ， ， ， 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 23. 【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接， ∴等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期终八年级数学 练习作业 注意事项： 1．本作业共6页，三大题，满分120分，做题时间100分钟，请用黑色水笔或圆珠笔把答案直接做在上面． 2．做题前将密封线内的各项填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列四个实数中，最大的有理数是（ ） A B. C. D. 0 2. 如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（ ） A. B. C. D. 3. 能说明命题“若x为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 南北朝著名的数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字“1”出现的频率为（ ） A. 0.2 B. 0.25 C. 0.3 D. 0.35 7. 如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0 8. 如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 已知，P是的平分线上一点，若在射线上存在点E使是等腰三角形，则的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的算术平方根是______． 12. 新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______ 13. 如图，点是中点，点在上，分别以，为边作正方形和正方形，连接和．设，，且，，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为___________ 15. 如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： （2）因式分解： 17. 先化简再求值：其中． 18. 为了贯彻教育部办公厅《关于举办第八届全国学生“学宪法讲宪法”活动的通知》精神，某校在全校开展“宪法知识”笔试竞赛，试卷满分分，现从各年段随机调查了部分参赛学生的成绩，根据调查结果得到如图所示的不完整统计图表． 成绩 等级 分数范围 人数（频数） 频率 合计 请根据图表信息解答下列问题： （1）_______，_______，_______； （2）请补全条形统计图；据了解该校大约有个学生，请估计该校“宪法知识”笔试竞赛成绩在等级以上（含等级）的人数． 19. 如图，在中，D是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 阅读下列材料： 小明遇到一个问题：在中，，，三边长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： （1）计算图1中面积为________；（直接写出答案） （2）如图2，每个小正方形的边长为1，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接． ①判断与面积之间的关系，并说明理由； ②直接写出六边形的面积为________． 21. 阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，则_____，_____； （2）若，．求的值； （3）若，，则_____． 22. 如图，在中，，，点D在边上运动（点D不与B、C重合），连接，作，交边于点E． （1）当时，______°； （2）若，求证：； （3）在点D的运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 23. 【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 深化模型】（3）如图3，，，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $