重难点专题02 等腰三角形（11大考点，专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

重难点专题02 等腰三角形 重难点一、等边对等角的应用 这是等腰三角形最基础的性质。应用时直接由两条边相等推导出它们所对的角相等。在复杂图形中，首先需要识别或证明一个三角形是等腰三角形（已知或已证两边相等），然后立即应用该性质建立角度关系，从而简化后续的角度计算或证明。这是将边关系转化为角关系的关键桥梁。 1．如图，在中，，现将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用折叠的性质得出，，再根据等边对等角得出，然后根据三角形外角的性质求出，从而可利用三角形的内角和定理求得． 【详解】解：∵将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处， ∴，， 又， ∴， ∴， 又是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 2．如图，在中，，，为线段上一动点，当为等腰三角形时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，熟练掌握分类讨论等腰三角形的腰（或底）的情况是解题的关键．先求出的度数，再分三种情况讨论为等腰三角形时的可能值． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 情况1：当时， ∵， ∴， ∴， 情况2：当时， ∵， ∴，此时，点P不在线段上，不符合题意，应舍去； 情况3：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 3．如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求各角的度数． 【答案】(1)见解析； (2)，． 【分析】本题考查作图—基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的有关计算． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）设，根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理得到，求出，即可求出各角的度数． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵的平分线交于点， ∴， ∴， 解得：， 则， ∴，． 4．如图，在中，是边上的一个定点，是边上的一个动点．若为等腰三角形，，求的度数． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】①当时，如图①． ， ； ②当时，如图②． ， ； ③当时，如图③． ， ． 综上所述，的度数为或或． 重难点二、等腰三角形三线合一的应用 “三线合一”指底边上的中线、高线、顶角平分线重合。应用此性质的关键在于：已知其中“一线”，可同时得出另外“两线”的结论。例如，若已知或证明某线段是等腰三角形底边上的中线，则它必然也是底边上的高和顶角的平分线。这能迅速为证明垂直、角相等或线段相等提供强大依据。 5．如图，在中，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形、直角三角形的性质．利用平行线找出等角等边，灵活运用直角三角形性质是解题关键． 根据是等腰三角形，且为中线，平分，可得，再由，则，，根据和直角三角形性质可求解． 【详解】解：是等腰三角形，且为底边中点， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：A． 6．（1）如图，在中，，垂足为，，证明根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （2）如图，在中，平分，，证明． （3）在中，是的一点，下列说法正确的______．（填写所有正确的选项） A．若且，则； B．若平分且，则； C．若且、，则； D．若平分且、，则． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）A、B、C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （）如图②，分别延长至，使得，，连接，可得，进而证明，得到，即可得，得到，即可求证； （）分别在上取点，使得，，同理证明，得到，即得，进而可得，即可得，即可求证； （）仿照（）、（）的方法，分别画出图形分别证明即可求解． 【详解】（）证明：如图，分别延长至，使得，，连接， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （）如图，分别在上取点，使得，， ∵， ∴， 即 ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （）、如图，在上取，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，延长，使，，连接， ∵， ∴， 即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵、， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，取的中点，连接， ∵平分， ∴， 因条件无法证明， 故无法得到， ∴无法得到，故选项错误； ∴正确的说法是， 故答案为：． 7．如图，在中，，为的中点，于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理： （1）根据等腰三角形的性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质可得，，从而得到，再由，即可求证； （3）过点E作于点F，根据等腰三角形以及直角三角形的性质可得的长，从而得到的长，证明，可得，，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，D为的中点， ∴； （2）证明：∵，D为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作于点F， ∵，， ∴，， ∵，D为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 8．【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题： （）如图①，点在的角平分线上，过点作的垂线分别交于点．求证：．请你帮助完成此证明． 【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题： （）将图①沿着过点的直线折叠，得到图②，使点正好与边上的点重合，此时测得．求的度数． 【拓展提升】 （）如图③，是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米．该绿化带中修建了健身步道，其中入口分别在上，步道分别平分和，，．现要用围栏完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计） 【答案】（）证明见解析；（）；（）米， 【分析】（）证明即可求证； （）由折叠的性质可得，即得，即得到，又由得，进而得到，即得到，即可求解； （）延长交相交于点，延长交相交于点，由“情境建模”的结论可得，，即得到，，进而由得，设，，则，，，即得到的周长米，即可求解． 【详解】（）证明：∵点在的角平分线上， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （）由折叠可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （）解：延长交相交于点，延长交相交于点，如图所示： ∵分别平分和，，， ∴由“情境建模”的结论可得，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，，则，，， ∴的周长米， ∴至少需要围栏米． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 重难点三、等腰三角形的证明 核心思路是运用等腰三角形的判定定理。主要途径有三：1. 直接证明两边相等（常用全等三角形证明）。2. 证明两角相等（等角对等边），通过角度计算或利用平行线、角平分线等条件推导角等。解题时需先明确目标三角形，再选择“证边等”或“证角等”的路径，后者常更便捷。 9．如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的判定． （1）考查三角形全等的判定，关键是识别全等的三边条件； （2）等腰三角形的判定(等角对等边)，关键是利用全等三角形的性质得到 【详解】（1）证明：在和中， ∵，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 10．如图，的角平分线交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行线得，根据角平分线的定义可得，即，由等角对等边可得即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 是的角平分线 ， ， ∴， 是等腰三角形． （2）解：是等腰三角形，， ， 在中， ． 11．针对等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：在中，平分，交边于点，且，求证：为等腰三角形． 以下是甲、乙两位同学的作法． 甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角相等和一组边相等，再加一组公共边，可证，所以这个三角形为等腰三角形； 乙：延长到，使，连接，可证，依据已知条件可推出，所以这个三角形为等腰三角形． (1)对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是___________； A．两人都正确 B．甲正确，乙错误  C．甲错误，乙正确 (2)选择一种你认为正确的作法，并证明． 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，关键是构造辅助线得到全等三角形． （1）甲同学证明的两个三角形全等，没有边边角的判定，故错误，而乙的证明则正确，因此可作出判断； （2）按照乙的分析方法进行即可． 【详解】（1）解：甲同学证明的两个三角形全等，边边角不能判定两个三角形全等，故错误，而乙的证明则正确， 故选C； （2）解：乙的作法正确． 证明：依题意，延长至E，使，连接，如图． ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 12．如图①，已知是的角平分线，、分别在的延长线上，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)如图②，点是线段上的动点，垂足为，设．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此利用三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质可证明，由角平分线的定义可得，据此可证明，则，即是等腰三角形； （3）可求出；则由三角形外角的性质得到，进而由角平分线的等腰得到，据此根据三角形内角和定理求出的度数，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴ ； （2）证明：∵， 且， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 重难点四、利用等角对等边证明边相等 此方法是“等腰三角形判定定理”的直接应用，但目标不限于整个等腰三角形。核心操作是：先在同一三角形中找到两个角相等，再直接得出结论——这两个角所对的边相等。它跳过了证明全等三角形的步骤，是证明线段相等的快捷方法，尤其在图形中角关系明确时。 13．如图，在中，，点是外一点，连接，若，则 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，度角的性质． 构造，延长交于E， 连接，延长交于F，再证明，然后证明，根据度角的性质得到，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，构造，延长交于E， 连接，延长交于F， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ． 故答案为：． 14．如图，在中，，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 在上取点，使得，证明，可得，即可解答． 【详解】证明：如图，在上取点，使得， 在和中， ， ， ， ，且， ， ， ． 15．如图所示，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点F，过F作，交于D交于E，延长至M，试说明之间的数量关系． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，同理可得，根据，可得． 【详解】解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴． 16．在中，，．D是一个动点，且，过点A在的外侧作直线，使，点D关于直线的对称点为F． (1)如图1，当点D在的边上时，连接，直接写出的度数； (2)如图2，当点D在的外部，且在的内部时，连接，射线交于点M． ①依据题意，补全图2； ②用等式表示与的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定： （1）证明，可得，即可解答； （2）①根据题意，补全图形即可；②过点C作交的延长线于点G，证明，可得，，从而得到，再结合，可得，，从而得到，可证明，即可解答． 【详解】（1）解：如图， ∵点D关于直线的对称点为F． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①依据题意，补全图2，如下： ②如图，过点C作交的延长线于点G， ∵点D关于直线的对称点为F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 重难点五、利用等角对等边求边长 将上述判定定理用于计算。关键步骤：1. 通过已知条件或计算（常用三角形内角和、外角、平行线性质）证明某个三角形中有两个角相等。2. 得出该三角形为等腰三角形，从而得到两条边相等的结论。3. 将边等关系设为未知数（如AB=AC=x），结合其他边长条件建立方程求解。 17．如图是某温室大棚需搭建的三角形侧边支架，已知水平底边的长为10米，与的度数均为．为了增强支架稳定性，在处立了一根与水平方向垂直的立柱，则的长为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．10米 【答案】A 【分析】本题考查了等角对等边，三角形外角的性质，以及角所对的直角边等于斜边的一半． 由与的度数均为，的长为10米可得，米，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵与的度数均为，的长为10米， ∴，米， ∵在处立了一根与水平方向垂直的立柱， ∴米． 故选A． 18．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 19．如图，已知，点…，在射线上，点…，在射线上，若，，…，依此规律作图至点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角所对的直角边是斜边的一半等知识，探究规律，然后利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴， 在中， ∴， ∴， 同理，，，， 在中，， ∴， ， …… 以此类推，. 故答案为：． 20．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 重难点六、等腰三角形的构造问题 此类问题常需“无中生有”地添加辅助线。核心方法是：遇到角平分线+平行线的组合，或试图利用“等角对等边”时，主动构造等腰三角形。例如，由角平分线和平行线可推导内错角相等，从而构成等腰。辅助线作法通常是将角平分线、平行线或线段延长以产生新的交点，形成目标三角形。 21．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ②当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ∴这样的点有（个）， 故答案为：． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，内任意一点H的坐标为． (1)请在图中作出关于x轴对称的图形，并写出内与点H对应的点的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得是以点A为顶角顶点的等腰三角形，则点P的坐标是______． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查坐标与轴对称，网格中画等腰三角形，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的定义是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出点的坐标即可； （2）根据等腰三角形的定义和网格特点确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵点H的坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：如（1）图，点． 23．如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)5，， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． （2）解：∵， ∴，是等腰三角形． 24．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求，两点坐标； (2)求的坐标； (3)在轴上找一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理与折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， 令，则；，则； ，； （2）解：，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综上所述，点P的坐标为或或或． 重难点七、等腰三角形性质与判定的综合 此类题通常需交替或循环使用性质与判定。常见逻辑链条：先用“等边对等角”证明角相等→结合其他条件（如公共边）用“SAS/ASA等”证明新三角形全等→由全等得到新的一组边等或角等→再用“等角对等边”判定另一个三角形等腰。需清晰梳理每一步推导的依据。 25．如图，在中，，，以为边在的外部作等边三角形，点为的中点，分别连接和，交于点，连接．某同学在研究这个图形时有两个猜想：①；②，关于这两个猜想，你的判断是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都错误 D．①、②都正确 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，二次根式的除法运算等知识点． 先证明为等腰直角三角形，然后由勾股定理得到，即可判断①；设，则由等边三角形可知，则，则，然后由得到，再由三角形面积公式求解，即可判断②． 【详解】解：∵等边三角形，点为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，故①正确； 设， 则由等边三角形可知， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：D． 26．如图，在中，，，点D在线段上运动，以 为边在左侧作等腰，使，取的中点F，连接，当的值最小时，的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是证明以确定E点运动的轨迹；根据等腰三角形的性质证明，求出，可得，则点E在过点A且垂直于的直线上运动，再根据垂线段最短可知当时，最短，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴点在过点且垂直于的直线上运动 当时，最短，则， ，点F为中点 故选：D. 27．如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，连接． (1)求的度数； (2)若的面积为，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，，则有，然后根据三角形的面积可进行求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形，是中线， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 28．如图，等腰中，，，顶点，分别在轴和轴上，顶点在第一象限内，坐标为． (1)如图1，，，求和的值； (2)如图2，设，分别与坐标轴相交于点，，是的中点，求证： ①； ②． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键： （1）过点作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明，得到，，求出的长，即可得出结果； （2）①证明，得到，等角对等边，推出，线段的和差关系结合等量代换，即可得出结论； ②过点作轴的垂线，交的延长线于点，垂足为，证明，三线合一，得到，证明，得到即可． 【详解】（1）解：过点作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则， ， ， 在和中， ， ，， ， ； （2）解：①由图可知：， 又∵是的中点， ，， 又∵， ． ． ∴， ， ， ， ， ； ②过点作轴的垂线，交的延长线于点，垂足为，则， ， 由①知：， ， ， ∴， 又 ， ， 又 ， ． 重难点八、等边三角形的性质 应用其三重特殊性质：1. 三边相等，提供边等条件。2. 三个内角均为60°，提供标准的角计算基础。3. 具备所有等腰三角形性质（包括三线合一）。解题时，一旦确认等边三角形，这些丰富条件均可直接使用。特别是60°角，常与勾股定理、三角函数结合。 29．如图，已知等边三角形的周长为，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查等边三角形的性质及含 30 度角的直角三角形的性质，熟练掌握运用这两个性质是解题关键． 根据等边三角形的性质得出，再由含 30 度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的周长为， ， ， ， 故选：C． 30．如图，等边三角形纸片的边长为，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，解题的关键是通过折叠的性质得出对应的线段等量关系． 根据折叠的性质，得，，即可求得阴影部分的周长之和． 【详解】解：由折叠的性质，得，， ∵为等边三角形， 得， 三个阴影部分的周长的和为： ， 故选D． 31．已知和都是等边三角形，连接、． (1)求证：； (2)延长与交于点，若，求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等知识； （1）根据已知条件得出，根据即可证明，可得． （2）如图，过点作交的延长线于点．证明，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ； （2）证明：如图，过点作交的延长线于点． ， ，， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即为的中点． 32．已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据题意可证， 得到，由此即可求解； （2）①在上截取，连接，可证，得到，，则为等边三角形，由此即可求解； ②在上取点，使，连接，可证，由①知，为等边三角形，则，，，，所以，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②在上取点，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 由①知，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 重难点九、三十度锐角所对的直角边 这是在含30°角的直角三角形中的特定性质：30°角所对的直角边长度等于斜边的一半。应用时，首先必须证明或确认该三角形是直角三角形且含30°锐角。其逆定理也常用：若直角边是斜边一半，则该边所对角为30°。这是计算边长和角度的重要工具。 33．如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画两条弧（两条弧半径不等），使得两弧分别与相交于点M，P，N，Q，连接相交于点O，连接并延长，与边相交于点D． 有下列结论： ①；      ②；      ③； ④的面积是面积的2倍； ⑤点D既在线段的垂直平分线上，也在的平分线上． 其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，作线段，三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，由作图可得，易证，推出，结合，易证，推出，结合已知求出，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：由作图可得， ，即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ， ， ， ∴平分， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵中，， ∴是等腰三角形， ∴点在线段的垂直平分线上，也在的平分线上，故⑤正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于即不一定垂直，故①错误； 综上，正确的有②③④⑤，共4个． 故选：B． 34．如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．利用勾股定理求出的长，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 35．如图,在中,,点D是上的一点,过点D作,交于点E,延长交的延长线于点F. (1)写出图中一对相等的角： ；写出图中一对互余的角： ； (2)求证：； (3)若,,求的值. 【答案】(1)（答案不唯一），与互余（答案不唯一） (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含直角三角形的性质； （1）由，可得，，答案不唯一； （2）利用等角的余角相等可得，从而证明； （2）由可得，，可得是等边三角形，由，设，则，，利用所对直角边是斜边一半可得，，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故写出图中一对相等的角可以写（答案不唯一），写出图中一对互余的角可以写与互余（答案不唯一）． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 36．学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字形全等的方法来解决问题． 【课例回顾】 （1）如图，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，．请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并加以证明； 【猜想探究】 （2）如图，在中，，，为中线，且，过点作交于点，线段_____．(用含的式子表示) 【答案】（1）过点作，延长交于点；测量线段的长度即可得到的长 （2） 【分析】（1）本题考查全等三角形的判定与性质的实际应用，关键是利用“构造全等三角形”的方法，将不可直接测量的线段转化为可测量的线段，通过作垂线构造直角，结合对顶角和已知边相等，用证明三角形全等； （2）本题考查直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，关键是通过“倍长中线”构造全等三角形，将转化为，再结合线段垂直平分线的性质和角度推导，得到含角的直角三角形，从而利用性质求出的长度． 【详解】（1）解：如图，过点作，延长交于点． 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 因此，测量线段的长度即可得到的长； （2）解：如图，延长到使，连接． ∵为中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题整体围绕“倍长中线构造全等三角形”的核心方法展开，考查了全等三角形的判定(、)与性质、直角三角形斜边中线的性质、含角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质．解题的关键是熟练掌握“倍长中线”的构造技巧，通过全等三角形实现线段和角度的转化，再结合特殊三角形的性质完成计算或证明． 重难点十、等边三角形的判定 三条主要路径：1. 三边都相等（定义法）。2. 三角都相等（通过内角和，若两个角为60°即可）。3. 一个角为60°的等腰三角形（最常用）。解题关键是先尝试证明三角形是等腰的，再证明其有一个角为60°；或直接通过计算证明三个角均为60°。 37．如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． ， ． ． ； （2）证明：， ， ， ． 是等边三角形． 38．如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)8 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，30度角直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）求出，得，求出，； （2）由角平分线定义得，得出，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵的平分线分别交，于点， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形． 39．如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边对等角，得出，再根据等边三角形的性质，得出，，从而可得，再证明，从而可得，进而可求得． （2）先证明，从而可得，再求得，从而可得是等边三角形． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． （2）∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等边三角形． 40．已知：在中，D、E分别在边上，交于点F． (1)如图1，，分别是和的平分线，求的度数． (2)如图2，，，，且． ①求证：为等边三角形； ②如图3，点H在上，.交于点G，求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，根据三角形外角的性质和角平分线定义即可得到答案； （2）①在上截取，连接，证明，和，则，即可得结论；②延长至K，使，连接，，证明和，即可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴ （2）①证明：如图1，在上截取， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②证明：延长至K，使，连接，，如图3所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 重难点十一、等边三角形性质与判定的综合 综合题中，性质和判定常交织使用。例如，可能先利用等边三角形性质得到60°角，再以此角去判定另一个三角形是等边三角形。解题核心是串联条件：识别图形中的等边三角形（已知或隐含），充分利用其提供的等边和60°角，作为证明新结论的“跳板”。 41．如图，为等边三角形，点D，E分别在边和上，，与交于点P，于点F，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明，由全等三角形的性质得出，可得①②正确，无法证明，故可判断③，再根据证明，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确， ∵，故②正确， ∵点D的位置不确定， ∴无法证明，故③错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确，符合题意； 所以，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 42．如图1，是等边三角形，延长至点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是等边三角形． (2)如图2，延长至点，使得，连接，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的证明及性质，全等三角形的证明及性质，能够证得三角形全等是解题关键； （1）通过等边三角形性质和平行线的基本性质可得，进而得证； （2）通过等边三角形性质和线段的和差关系得到，，再利用证得，进而可得证． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）证明和是等边三角形， ，， ， 即， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ． 43．小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究之间的数量关系． (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质求得，再利用三角形内角和定理即可得到； （3）在上取点F．使得，连接，证明是等边三角形，再推出，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即． 在和中， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴； （3）解：．理由如下： 在上取点F．使得，连接． 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 44．在中，，为的中点，分别为上的点，连接． 【探究发现】 （1）如图①，若，为的中点，，求证：； 【类比猜想】 （2）如图②，若，，试说明之间的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若，，，求的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）24． 【分析】（1）根据题意证明，可得，即可求解； （2）根据题意证明,可得，即可求解； （3）取的中点,证明，即可根据对应线段关系求解． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，适当添加辅助线是解题关键． 【详解】（1）证明：，， ， 为等边三角形， ． ， ， ， ， 为BC的中点， ， 为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， 为的中点， ，， ， ． ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：取的中点，连接， ， ，为的中点， ，平分，， ， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ． 答：的长度为24． 重难点十二、反证法的应用 适用时机：当命题正面不易直接证明时。标准三步：1. 提出反设：假设原结论不成立（即假设其反面成立）。2. 推理矛盾：从这个反设出发，结合已知条件与公理定理，进行严谨推理。3. 得出结论：推出与已知事实、定义、定理或临时假设相矛盾的结果，从而证明反设错误，原命题正确。关键步骤是推理必须严密无漏洞。 45．用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反证法：反证法的第一步是假设结论的否定． 【详解】解：∵结论是， ∴反证法第一步应假设． 故选：C． 46．用反证法证明“已知，，则”时，应假设： ． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 47．已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行公理的应用，同位角相等两直线平行，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 假设 ．过点 G作直线 ，使 ，推得，得出与平行公理矛盾，从而假设 不成立，得出结论成立． 【详解】证明：假设 ． 过点 G作直线 ， 使 ． 因为， 由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行）， 可知 ． 又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于， 这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾． 因此假设 不成立， 所以 ． 48．在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 【答案】(1)是一个有理数 (2)见解析 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握反证法是解此题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）仿照（1）中所给例子证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得：先假设是一个有理数； （2）证明：假设是一个有理数， 则存在互素的整数、，使得， ∴ 两边平方得： ∴， 即， ∴， ∴， ∵、是整数， ∴是有理数，但已知是无理数，矛盾， 故假设错误， 故是无理数． 试卷第2页，共66页 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 等腰三角形 重难点一、等边对等角的应用 这是等腰三角形最基础的性质。应用时直接由两条边相等推导出它们所对的角相等。在复杂图形中，首先需要识别或证明一个三角形是等腰三角形（已知或已证两边相等），然后立即应用该性质建立角度关系，从而简化后续的角度计算或证明。这是将边关系转化为角关系的关键桥梁。 1．如图，在中，，现将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，为线段上一动点，当为等腰三角形时， ． 3．如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求各角的度数． 4．如图，在中，是边上的一个定点，是边上的一个动点．若为等腰三角形，，求的度数． 重难点二、等腰三角形三线合一的应用 “三线合一”指底边上的中线、高线、顶角平分线重合。应用此性质的关键在于：已知其中“一线”，可同时得出另外“两线”的结论。例如，若已知或证明某线段是等腰三角形底边上的中线，则它必然也是底边上的高和顶角的平分线。这能迅速为证明垂直、角相等或线段相等提供强大依据。 5．如图，在中，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长（   ） A．5 B．6 C． D． 6．（1）如图，在中，，垂足为，，证明根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （2）如图，在中，平分，，证明． （3）在中，是的一点，下列说法正确的______．（填写所有正确的选项） A．若且，则； B．若平分且，则； C．若且、，则； D．若平分且、，则． 7．如图，在中，，为的中点，于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求的周长． 8．【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题： （）如图①，点在的角平分线上，过点作的垂线分别交于点．求证：．请你帮助完成此证明． 【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题： （）将图①沿着过点的直线折叠，得到图②，使点正好与边上的点重合，此时测得．求的度数． 【拓展提升】 （）如图③，是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米．该绿化带中修建了健身步道，其中入口分别在上，步道分别平分和，，．现要用围栏完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计） 重难点三、等腰三角形的证明 核心思路是运用等腰三角形的判定定理。主要途径有三：1. 直接证明两边相等（常用全等三角形证明）。2. 证明两角相等（等角对等边），通过角度计算或利用平行线、角平分线等条件推导角等。解题时需先明确目标三角形，再选择“证边等”或“证角等”的路径，后者常更便捷。 9．如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 10．如图，的角平分线交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为，若，求的长． 11．针对等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：在中，平分，交边于点，且，求证：为等腰三角形． 以下是甲、乙两位同学的作法． 甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角相等和一组边相等，再加一组公共边，可证，所以这个三角形为等腰三角形； 乙：延长到，使，连接，可证，依据已知条件可推出，所以这个三角形为等腰三角形． (1)对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是___________； A．两人都正确 B．甲正确，乙错误  C．甲错误，乙正确 (2)选择一种你认为正确的作法，并证明． 12．如图①，已知是的角平分线，、分别在的延长线上，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)如图②，点是线段上的动点，垂足为，设．求证：． 重难点四、利用等角对等边证明边相等 此方法是“等腰三角形判定定理”的直接应用，但目标不限于整个等腰三角形。核心操作是：先在同一三角形中找到两个角相等，再直接得出结论——这两个角所对的边相等。它跳过了证明全等三角形的步骤，是证明线段相等的快捷方法，尤其在图形中角关系明确时。 13．如图，在中，，点是外一点，连接，若，则 14．如图，在中，，平分，求证：． 15．如图所示，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点F，过F作，交于D交于E，延长至M，试说明之间的数量关系． 16．在中，，．D是一个动点，且，过点A在的外侧作直线，使，点D关于直线的对称点为F． (1)如图1，当点D在的边上时，连接，直接写出的度数； (2)如图2，当点D在的外部，且在的内部时，连接，射线交于点M． ①依据题意，补全图2； ②用等式表示与的数量关系并证明． 重难点五、利用等角对等边求边长 将上述判定定理用于计算。关键步骤：1. 通过已知条件或计算（常用三角形内角和、外角、平行线性质）证明某个三角形中有两个角相等。2. 得出该三角形为等腰三角形，从而得到两条边相等的结论。3. 将边等关系设为未知数（如AB=AC=x），结合其他边长条件建立方程求解。 17．如图是某温室大棚需搭建的三角形侧边支架，已知水平底边的长为10米，与的度数均为．为了增强支架稳定性，在处立了一根与水平方向垂直的立柱，则的长为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．10米 18．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 19．如图，已知，点…，在射线上，点…，在射线上，若，，…，依此规律作图至点，则的长为 ． 20．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 重难点六、等腰三角形的构造问题 此类问题常需“无中生有”地添加辅助线。核心方法是：遇到角平分线+平行线的组合，或试图利用“等角对等边”时，主动构造等腰三角形。例如，由角平分线和平行线可推导内错角相等，从而构成等腰。辅助线作法通常是将角平分线、平行线或线段延长以产生新的交点，形成目标三角形。 21．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，内任意一点H的坐标为． (1)请在图中作出关于x轴对称的图形，并写出内与点H对应的点的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得是以点A为顶角顶点的等腰三角形，则点P的坐标是______． 23．如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 24．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求，两点坐标； (2)求的坐标； (3)在轴上找一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 重难点七、等腰三角形性质与判定的综合 此类题通常需交替或循环使用性质与判定。常见逻辑链条：先用“等边对等角”证明角相等→结合其他条件（如公共边）用“SAS/ASA等”证明新三角形全等→由全等得到新的一组边等或角等→再用“等角对等边”判定另一个三角形等腰。需清晰梳理每一步推导的依据。 25．如图，在中，，，以为边在的外部作等边三角形，点为的中点，分别连接和，交于点，连接．某同学在研究这个图形时有两个猜想：①；②，关于这两个猜想，你的判断是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都错误 D．①、②都正确 26．如图，在中，，，点D在线段上运动，以 为边在左侧作等腰，使，取的中点F，连接，当的值最小时，的长为（   ） A． B．2 C． D． 27．如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，连接． (1)求的度数； (2)若的面积为，，求的长度． 28．如图，等腰中，，，顶点，分别在轴和轴上，顶点在第一象限内，坐标为． (1)如图1，，，求和的值； (2)如图2，设，分别与坐标轴相交于点，，是的中点，求证： ①； ②． 重难点八、等边三角形的性质 应用其三重特殊性质：1. 三边相等，提供边等条件。2. 三个内角均为60°，提供标准的角计算基础。3. 具备所有等腰三角形性质（包括三线合一）。解题时，一旦确认等边三角形，这些丰富条件均可直接使用。特别是60°角，常与勾股定理、三角函数结合。 29．如图，已知等边三角形的周长为，，则等于（   ） A． B． C． D． 30．如图，等边三角形纸片的边长为，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（   ） A． B． C． D． 31．已知和都是等边三角形，连接、． (1)求证：； (2)延长与交于点，若，求证：是的中点． 32．已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 重难点九、三十度锐角所对的直角边 这是在含30°角的直角三角形中的特定性质：30°角所对的直角边长度等于斜边的一半。应用时，首先必须证明或确认该三角形是直角三角形且含30°锐角。其逆定理也常用：若直角边是斜边一半，则该边所对角为30°。这是计算边长和角度的重要工具。 33．如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画两条弧（两条弧半径不等），使得两弧分别与相交于点M，P，N，Q，连接相交于点O，连接并延长，与边相交于点D． 有下列结论： ①；      ②；      ③； ④的面积是面积的2倍； ⑤点D既在线段的垂直平分线上，也在的平分线上． 其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 34．如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 35．如图,在中,,点D是上的一点,过点D作,交于点E,延长交的延长线于点F. (1)写出图中一对相等的角： ；写出图中一对互余的角： ； (2)求证：； (3)若,,求的值. 36．学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字形全等的方法来解决问题． 【课例回顾】 （1）如图，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，．请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并加以证明； 【猜想探究】 （2）如图，在中，，，为中线，且，过点作交于点，线段_____．(用含的式子表示) 重难点十、等边三角形的判定 三条主要路径：1. 三边都相等（定义法）。2. 三角都相等（通过内角和，若两个角为60°即可）。3. 一个角为60°的等腰三角形（最常用）。解题关键是先尝试证明三角形是等腰的，再证明其有一个角为60°；或直接通过计算证明三个角均为60°。 37．如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 38．如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 39．如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 40．已知：在中，D、E分别在边上，交于点F． (1)如图1，，分别是和的平分线，求的度数． (2)如图2，，，，且． ①求证：为等边三角形； ②如图3，点H在上，.交于点G，求证：． 重难点十一、等边三角形性质与判定的综合 综合题中，性质和判定常交织使用。例如，可能先利用等边三角形性质得到60°角，再以此角去判定另一个三角形是等边三角形。解题核心是串联条件：识别图形中的等边三角形（已知或隐含），充分利用其提供的等边和60°角，作为证明新结论的“跳板”。 41．如图，为等边三角形，点D，E分别在边和上，，与交于点P，于点F，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 42．如图1，是等边三角形，延长至点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是等边三角形． (2)如图2，延长至点，使得，连接，．求证：． 43．小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究之间的数量关系． (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 44．在中，，为的中点，分别为上的点，连接． 【探究发现】 （1）如图①，若，为的中点，，求证：； 【类比猜想】 （2）如图②，若，，试说明之间的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若，，，求的长度． 重难点十二、反证法的应用 适用时机：当命题正面不易直接证明时。标准三步：1. 提出反设：假设原结论不成立（即假设其反面成立）。2. 推理矛盾：从这个反设出发，结合已知条件与公理定理，进行严谨推理。3. 得出结论：推出与已知事实、定义、定理或临时假设相矛盾的结果，从而证明反设错误，原命题正确。关键步骤是推理必须严密无漏洞。 45．用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 46．用反证法证明“已知，，则”时，应假设： ． 47．已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 48．在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 试卷第2页，共66页 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $