第02讲 等腰三角形的性质与判定（2知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第02讲 等腰三角形的性质与判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点2：等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【题型1 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 例1．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，设，由等边对等角可得，然后由三角形外角性质可得，同理可求得，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 例2．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在中，，点在外，连接交于点，，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，利用和三角形外角性质，推导的度数是解题关键． 设，则，然后由，求出，再由对顶角相等，推出，据此建立方程求出，再根据三角形外角的性质求出． 【详解】解：根据题意，设，则． ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，通过等量代换得出是解题的关键． 由，，得出，再由三角形的外角的意义得出，，从而得出，进一步求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·天津·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型2根据等腰三角形腰相等求第三边或周长】 例3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 【答案】1或2.5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系等知识，分两种情况讨论：当为腰时，或当为底边时，分别计算的长，并验证是否满足三角形三边关系定理． 【详解】解：∵三角形中，，周长为9， ∴， 情况一：当为腰时，则， ∴． 此时三边长为4、4、1，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）． 情况二：当为底边时，则， 设， 则， 解得， 故． 此时三边长为4、2.5、2.5，满足三角形三边关系定理． 故的长为1或2.5． 故答案为：1或2.5． 例4．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系． 分腰长为与腰长为两种情况，结合三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：当腰长为时， 三边为、、，，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰长为时， 三边为、、，，，满足三角形三边关系，周长为； 故答案为：20． 变式1．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】 16或17 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的三边关系，解题的关键是根据非负数性质求出边长，再结合三角形三边关系确定等腰三角形的边长组合． 由非负数的性质得、；分腰为6和腰为5两种情况，结合三角形三边关系验证，计算周长． 【详解】解：， ，， ，． 情况1：腰长为6，底边长为5， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 情况2：腰长为5，底边长为6， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故答案为：或． 变式2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】或 【分析】设腰长为x，底边长为y，根据中线分周长的两种可能情况列方程组求解，并验证三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y． 一腰上的中线将周长分为两部分：一部分为腰长加半腰长， 即； 另一部分为底边长加半腰长， 即． 由题意，这两部分分别为和，因此分两种情况： 情况一：且， 解得：，， 情况二：且， 解得：，， 经检验，两种情况均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）． 故答案为：或． 【题型3 根据等角对等边求边的长度】 例5．（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 例6．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，再利用等角对等边得到，，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 变式1．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，含角的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．根据题意，可以求得的度数，再利用平行线的性质，角平分线的定义求解，再利用含的直角三角形的性质求解，证明，求解，从而可以求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查勾股定理、角平分线的性质和平行线的性质，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质得到等腰三角形，进而将的周长转化为的长度． 利用勾股定理求出，根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，从而可得，进而可得的周长，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵中，， ， ∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 的周长 ． 故答案为：17． 【题型4 根据等腰三角形三线合一进行求解与证明】 例7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则 ． 【答案】或 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；根据三线合一的性质得出，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：如图所示，当点在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点在线段上时， ∵， ∴． 故答案为：或． 例8．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，中，． (1)求的面积； (2)点E，D分别为上的点，且满是．判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，解题的关键作出恰当的辅助线，构造全等三角形． （1）结合已知条件并利用勾股定理求得的值，再利用三角形面积公式即可得到结果． （2）连接，利用“三线合一”定理并结合已知条件设法证明即可得到结果． 【详解】（1），， ，即 ，即 （2）结论：， 连接， ， 在和中 ∵ 变式1．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，根据等腰直角三角形的性质，易证，得到，得到，然后利用勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据题意可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证明，即可求证； （2）在中，利用勾股定理解答，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【题型5与等腰三角形的定义有关的多解题】 例9．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等，由折叠的性质得，再分四种情况，分别画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形的外角性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质知， 当时，如图，， 由三角形的外角性质得，， 即，此情况不存在； 当且点在射线下方时，如图， ∵， ∴， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当时，如图，， ， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当且点在射线上方时，如图，， ， ； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 例10．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，中，，，点D在线段上运动点D和B、C均不重合，DE交于点E，，当是等腰三角形时，的长度为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查等腰三角形的定义和直角三角形的性质，结合题目给出的条件，分情况讨论为等腰三角形时的长度是解题关键． 当时，，因此，即．由于是等腰直角三角形，，所以，从而．因此，． 当时，，则．又因为，所以，从而．结合和，可以证明，因此，．由于，所以，因此． 【详解】分以下三种情况讨论： ①当时，，如图 可知，即． ，，， ， ，； ②当时，如图 ， ． ，， ， ， ． 又，， ， ，． ， ， ； ③当时，点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或． 故答案为1或． 变式1．（25-26八年级上·江西宜春·月考）如图，在中，，．若为射线上的动点，连接，将沿翻折后得到，连接．若为等边三角形或等腰直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形折叠中角度的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．分为等腰直角三角形和为等边三角形，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行讨论即可． 【详解】当为等腰直角三角形时， ①当点在线段上时：如图，则， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图， 则：， ∵翻折， ∴， ∴； 当为等边三角形时，此时点在线段的延长线上，如图， 则， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 变式2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理；能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，由三角形的内角和定理即可求解． （2）分类讨论：当时， 当时，当时，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， 故答案为：． （2）分类讨论： 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ，题干要求，故该情况不存在； 故答案为：或． 【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】 例11．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 例12．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查等腰三角形判定，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明是等腰三角形， （2）同理可得，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）得：，同理可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 变式1．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，点D为上一点，点E为的中点，连接并延长到点F使得，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：为等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而可得； （2）根据可得，根据平分得出，即可得，根据等角对等边即可证明． 【详解】（1）证明：∵为中点， ， 在和中， ， ， ∴； （2）证明：∵， ， ∵平分， ， ， ， ∴为等腰三角形． 变式2．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，长方形纸片，，，现将该纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求线段的长； (3)求折痕的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解 (2) (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明等腰三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由折叠的性质可知，然后可得，进而问题可求解； （2）设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解； （3）过点E作于点H，由题意易得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 由折叠的性质可知，， 在长方形中，， ∴， ∴，即为等腰三角形； （2）解：在长方形中，， 由（1）可设，则有， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； （3）解：过点E作于点H，如图所示： 在长方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型7 与等腰三角形性质和判定的多结论题】 例13．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是（   ） ①；②；③若，则；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握其判定方法是解题的关键． 如图所示，延长至点，使得，设交于点，可得，证明，可判定②④；根据，得到，平分，当时，则有，当时，无法说明，可判定①；设，则，若，可得，可判定③；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使得，设交于点， ∵， ∴，且， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴平分， 当时，，则有， 当时，，则无法说明有，故①错误； 设，则， ∴， 若， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B ． 例14．（24-25八年级上·全国·期末）已知，如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 先证，可得，，可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得，，可得④正确． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， 故结论①正确； ②∵为的角平分线，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵，，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线，，而不垂直于， ∴， 故结论③错误； ④由③知， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：B． 变式1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，，是边上的中点，点，分别是，边上的动点，与相交于点，且．以下个结论：①图中共有对全等三角形；②；③；④．其中不正确的结论有（　　）个 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据题意，则，，平分，根据全等三角形的判定和性质，则，根据，则，根据等量代换，全等三角形判定和性质，则，同理证明得到，可判断①；根据三角形的外角，则，，根据等量代换，即可判断②；根据，则，即可判断；根据全等三角形的性质，则，，再根据，，即可判断． 【详解】解：∵在中，，，是边上的中点， ∴是等腰直角三角形，，，平分， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 共对全等三角形，①正确； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴③正确； ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴④正确； ∴不正确的结论为个； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 变式2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，等腰中，，D、E分别在线段、上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ． 【答案】①③⑤ 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质与添加适当的辅助线是解答此题的关键． 如图1，根据同角的余角相等，即可判断①∶通过证明得，进而得出，从而可以判断②；由，再证、、，进而可以判断③；利用线段的等量代换可以判断④；通过证明，即可判断⑤． 【详解】解：设于Q，于K，如图1所示， ∵， ∴， ∴， 故①正确； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 若，则为等边三角形， ∴， 但题目中没有条件得到， 故②不一定成立； 如图2所示，连接， 由可得， ∴， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， ∵， ∴ ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， 在与中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴的周长为：， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 故④错误； 如图3所示，过点N作于I，过点F作于P， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴； 故⑤正确： 故答案为：①③⑤． 【题型8等腰三角形的性质和判定综合应用】 例15．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，点在边上，且．    (1)如图1，____，____． (2)如图2，若为线段上的点，过点作直线于点，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形． ②试猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)36；72； (2)①证明见解析；②，证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据等边对等角的性质，得到，，再根据三角形外角的性质，得到，进而得出，再结合三角形内角和定理求解即可； （2）①结合（1）的结论，证明，得到，即可得出答案； ②由①可知，，再结合已知条件，得出，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36；72； （2）解：①由（1）可知，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． ②，证明如下： 由①可知，， ，， ，， ， 即． 例16．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知等腰中，，D为外一点，且，．    (1)如图1，当，求； (2)如图2，作于E交于F，当，，，求； (3)若，且是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)8 (3)或或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由，得出，，利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角的和差关系即可求得； （2）作于，由（1）得出，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，由直角三角形的性质得出，，在中，由勾股定理得出即可求出； （3）分三种情况，①时，②时，③时；由全等三角形的性质，等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解∶ ， ， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：作于，如图2所示：   ， 由（1）得：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解∶分情况讨论∶ ①时，如图3所示∶   ， ， 在和中， ， ， ， 即； ②时，如4图所示∶      同①得， ， ， ，即； ③时， 如5图所示∶    点在的垂直平分线上， 或， 即或； 综上所述，若，且是等腰三角形，则为或或或． 变式1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）在中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点． (1)如图①，判断的形状并证明； (2)如图②，， ①补全图形； ②用等式表示，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2)①补全图形见解析，②，理由见解析． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，做出正确的辅助线是解题的关键． (1)利用等腰三角形三线合一的性质和三角形外角的性质可推导出，即可得到是等腰三角形． (2) ①根据题意补全图形即可； ②过点E作于点H，利用已知条件和等腰三角形的性质可得到，，．继而可证得，即可推导出，所以． 【详解】（1）解：的形状等腰三角形．证明如下： ∵，是边的中线， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． （2）①补全图形，如图． ②之间的数量关系是． 证明：过点E作于点H． ∵，是边的中线，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴， ∴． ∵由（1）知：， ∴． 变式2．（24-25八年级上·云南昭通·期中）在中，，，的平分线交边于点D． (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点E，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）先由三角形内角和定理得，再由角平分线的定义可得，再证明，最后由等角对等边可得结论； （2）由平分，可得，再证明，可得，，从而得出，最后由等腰三角形的判定可得结论； （3）在上截取，连接．先求得，再由平分，可得，从而得出，证得．得出，再证得．即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴为等腰三角形； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：由（1）得：为等腰三角形， ∴， ∴． 如图，在上截取，连接． ， ∴， ∵， ∴ ∵， 又∵． ∵平分， ∴， ∴，，则， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如果等腰三角形的一个角为，那么等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 等腰三角形的一个角可能是顶角或底角，需分情况讨论底角的度数． 【详解】解：根据三角形内角和为， ①若为顶角，则底角为； ②若为底角，则底角为． ∴底角为或， 故选：C． 2．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为，则底边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质，熟练运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据“在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：如图，，，， ∴， 即底边上的高是， 故选：A． 3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，，P是平分线上的一点，，，，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等角对等边，含角的直角三角形的性质．过点P作于点E，根据角平分线的性质求出，根据平行线的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出的长，再求出即可． 【详解】解：如图，过点P作于点E，则， 是平分线上的一点，，， ， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，．是边上的中线，点E在边上，且．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 5．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积为4．其中正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的性质与判定、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及证明是解题的关键． ①由题意得是等腰直角三角形，由三线合一可得，平分，从而可证，，结合，利用同角的余角相等可证，通过可证；②根据全等三角形的性质得，结合可证是等腰直角三角形；③根据全等三角形的性质得，结合可证，则，利用三角形三边关系即可判断；④根据全等三角形的性质得，则四边形的面积可转化为的面积，进而求得的面积． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是的中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积是4，故④正确． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质 根据等腰三角形的两个底角相等，再结合三角形内角和定理，即可得到顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴它的顶角的度数是． 故答案为： 7．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，为内一点，平分，若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度． 【详解】延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：9． 8．（25-26八年级上·全国·月考）如图，C，E和B，D，F分别在的两边上，且，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，由，根据等腰三角形的性质，即可得，，，，然后设，用表示相关等腰三角形的底角，并结合三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：， ∴设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴的度数为 故答案为：． 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 10．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，，，，点在四边形的边上，若是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是关键，注意分类讨论；分三种情况考虑，利用等腰三角形的性质、三角形内角和、平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，当时，此时点E在边上时， ∴； 当时，此时 点E与点C重合时， ∴， 当重合时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知，如图：C是上一点，点D，E分别在两侧，，且，． (1)求证：； (2)猜想是等腰三角形吗？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）由平行线的性质得出，即可利用证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）由等边对等角得出，由全等三角形的性质得出，再由角的和差关系即可得出，再根据等角对等边即可得出，即可得出是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴ ∴． （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰三角形． 12．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，在中，点在边上，，与相交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据得，依据“”判定和全等即可； （2）依题意得，根据得，再根据三角形内角和定理得，再根据全等的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴， ∴， 即的度数为． 13．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，为的中点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“等边对等角”以及三角形内角和定理可得，再根据垂直的定义以及直角三角形两锐角互余即可解答； （2）如图：连接，根据等腰三角形的“三线合一”可得，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 于， ， ． （2）解：如图：连接， ，为的中点， ， 由（1）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 14．（25-26八年级上·吉林白山·期中）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1)的度数为 (2)的长为6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质.熟练掌握等腰三角形的性质，三角形中线的性质是解题的关键． （1）已知，是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为，即可计算出的度数； （2）由中线的性质可得，通过周长差转化为与的长度差来计算即可． 【详解】（1）解：，， 是等腰三角形， ； （2）解：为的中线， ， 的周长，的周长， 周长差， ． 15．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在中，，，是 的中线，是的平分线，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，进而可知，根据等角对等边证明即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2），是 的中线， ，， ， ∴． 16．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，平分，过点A作交于点D，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则根据平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 为等腰三角形． （2）解：，， ， ∵， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 17．（25-26八年级上·山西大同·月考）综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 已知，在中，，，D是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． (1)图①是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系是____________，与的位置关系是____________； (2)图②是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题：在点D运动的过程中，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，见解析 (3)线段的长为5或11 【分析】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：，， ，， 在与中， ， 故答案为：，； （2）成立．理由如下： ∵， ． ． 在和中， ． ∴，． ∵在中，， ∴． ∴，即． ∴． （3）①当点在上时，如图， 由（1）可知 ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知， 综上所述，或11． 18．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）【发现结论】（1）如图①，在中，，，过点作于点．求证：． 【结论应用】如图②，在和中，，，且，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接． （2）的度数为 ； （3）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （4）在中，，，在同一平面内有一点，满足，．且，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）（4）或 【分析】（1）证明，即可证明． （2）先证明，得到 ，即可． （3）证明，结合，即可得证． （4）过点A作于点M，连接，过点A作交于点H，设的交点为点N，证明，，，过点A作于点F，连接，过点A作交于点E，，，，解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：的度数为；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：． （3）解：，，之间的数量关系为． 理由如下：在中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：过点A作于点M，连接，过点A作交于点H， ∵， ∴， 设的交点为点N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点A作于点F，连接，过点A作交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的面积为或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第02讲等腰三角形的性质与判定 风内容导航 1 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）. 等腰三角形的其他性质： (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等， (2)等腰三角形两底角的平分线相等. (3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. (4)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都 是45°. 心知识点2：等腰三角形的判定 (1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形： (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”) 数学语言：在△ABC中，，∠B=∠C,AB=AC(等角对等边). 【注意】 (1)“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等.因为在没有判 定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰” (2)“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质： 由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定， 02 练题型强知识 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型1根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 例1.(25-26八年级上河南信阳·月考)如图，CP=0C=0A,若LA0B=72°，则∠P的度数是一 D A -B 例2.(25-26八年级上重庆合川·期中)如图，在ABC中，AB=AC,点D在ABC外，连接BD交AC于 点E,∠D=2∠CBD,若∠BAC=32°，∠CAD=40°，则∠AEB的度数为 B 变式1.(25-26八年级上·吉林长春期中)如图，在ABC中，AB=AC,点D、E在BC的延长线上，点 G是AC上一点，且CG=CD,点F是GD上一点，且DF=DE.若∠A=100°，则∠E= G C D E 变式2.(25-26八年级上·天津期末)如图，己知ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E在边AC 上，且AE=AD,则∠EDC的大小为度. 【题型2根据等腰三角形腰相等求第三边或周长】 例3.(25-26八年级上江苏宿迁·期中)在等腰三角形ABC的周长为9，AB=4,则BC的长为」 例4.(25-26八年级上·安微毫州月考)己知等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则此三角形的周长为 cm 变式1.(25-26八年级上·湖北荆州期中)若a-6+(b-5)=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长 为■ 变式2.(25-26八年级上·浙江绍兴·期中)等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成15,18两部分， 则等腰三角形的腰长为 2/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型3根据等角对等边求边的长度】 例5.(25-26八年级上山东济宁·月考)如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作 MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM=4,CN=3,则线段MN的长为 例6.(25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中)如图，∠ABC的平分线BF与ABC中∠ACB的相邻外角 ∠ACG的平分线CF相交于点F,过F作DF∥BC,交AB于D,交AC于E,若BD=9cm,DE=4cm, 求CE的长为】 cm. B G 变式1，(25-26八年级上·湖北恩施期中)如图，在RIABC中，LA=90°，LB=30°，CM平分∠ACB交 AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,若CN=2,则BC的长为 变式2.(24-25八年级上浙江温州期中)如图，在Rt△ABC中，AB=5,BC=13,LABC和∠ACB的平分线 交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则aAMN的周长为 【题型4根据等腰三角形三线合一进行求解与证明】 例7.(2425八年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)己知在ABC中，AD是BC边上的高，垂足为点D,点E 在射线BC上，连接AE,若AB=AE=CE,AB=I0,BD=8,则CD= 例8.(23-24八年级上湖北荆门期末)如图，ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,0B=0C=4. 3/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E O (I)求ABC的面积： (②)点E,D分别为AB,AC上的点，且满是OE⊥OD.判断OE和OD的大小关系，并证明你的结论 变式1.(24-25八年级上四川绵阳·期中)如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D为斜边BC的中点， E,F分别为AB,AC边上的点，且DE⊥DF,若BE=5,CF=I2,求EF的长. B 变式2.(24-25八年级上江苏泰州期中)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点， 点E在BA的延长线上，点F在AC的延长线上，ED⊥DF, (I)求证：AE=CF; (2)连接EF,若AB=4,CF=2,求EF2的值. 【题型5与等腰三角形的定义有关的多解题】 例9.(25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中)如图，ABC中，AB=AC,∠A=30°，D是射线AB上的动点， 连接CD,令LACD=a(0°<a<75),将△ACD沿CD所在射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相 交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则∠a的度数为· 4/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B P 例10.（25-26九年级上河南洛阳·期中)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,点D在线段 BC上运动（点D和B、C均不重合），DE交AC于点E,∠ADE=45°，当ADE是等腰三角形时，AE的 长度为一 变式1.(25-26八年级上江西宜春·月考)如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，若D为射线AB上 的动点，连接CD,将△ACD沿CD翻折后得到△ECD,连接AE,若ADE为等边三角形或等腰直角三角形， 则∠ACD的度数为 B 变式2.(25-26八年级上全国期末)如图，在ABC中，∠ACB=120,AC=BC,己知∠MPN的顶点P 是线段AB上一点，PM经过顶点C,PN与AC交于点D,∠MPN=30°，设PM与BC的夹角为∠I (∠1≠0°. M (1)若AP=AC,则∠BPC的度数为】 (2)当△CDP是等腰三角形时，∠1的度数为」 【题型6根据等角对等边证明等腰三角形】 例11.(2425八年级上·全国期末)如图，在ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG∥AD ,交AC于点F,交BA的延长线于点G. 5/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G A B D E C (1)求证：△AFG是等腰三角形 (2)若CE=EF,∠BAC=80°，求∠B的度数。 例12.(24-25八年级上辽宁辽阳期中)如图1，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点0，过 点O作EF∥BC,分别交AB和AC于点E和F. B 图1 (1)求证：△BE0是等腰三角形 (2)若AB=5,AC=4,求△AEF的周长， 变式1.(24-25八年级上江西南昌·期中)如图，在ABC中，点D为AB上一点，点E为AC的中点，连 接DE并延长到点F使得EF=DE,连接CF. A D (1)求证：AD=CF; (2)若CE平分LBCF,求证：ABC为等腰三角形. 变式2.(24-25八年级上江西吉安期中)如图，长方形纸片ABCD,AB=6cm,BC=8cm,现将该纸片 折叠，使点C与点A重合，折痕为EF, D 6/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)试判断△AEF的形状，并说明理由： (2)求线段AE的长； (3)求折痕EF的长. 【题型7与等腰三角形性质和判定的多结论题】 例13.(24-25八年级上·安徽安庆阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD, 满足40=4C,点E为BC上一点，连接4E,∠BAE=CAD,连接DB、下列结论中正确的是(） ①AC⊥DE;②∠ADE=∠ACB;③若CD∥AB,则AE⊥AD;④DE=CE+2BE. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 例14.(24-25八年级上·全国期末)己知，如图，BD为ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线 上的一点，BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC;②LBCE+∠BCD=180 ;③AD=EF=EC;④AE=EC,其中正确的是() D A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 变式1.(24-25八年级上·全国阶段练习)如图，在ABC中，AC=BC,LACB=90°，M是AB边上的中 点，点D,E分别是AC,BC边上的动点，DE与CM相交于点F,且LDME=90°.以下4个结论：①图 中共有3对全等三角形；②LCDM=LCFE;③AD+BE=AC;④S△ABc=2Ss边影CDME·其中不正确的结论 有()个 D M A.3 B.2 C.1 D.0 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2.(24-25八年级上福建泉州期末)如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别在线段AB、 AC上，AD=AE,BE和CD交于点N,AF⊥BE交BC于点F,FG⊥CD交AC于点M,交BE的延长线于 点G.下列说法：①LABE=LFAC;②GE=ME;③BG=AF+FG;④CA4Fw=BE+CM;⑤ S△BN:S△Fc=CE:AC.其中正确的是一 【题型8等腰三角形的性质和判定综合应用】 例15.(24-25八年级上云南昭通·期中)如图，在ABC中，BA=BC,点D在边CB上，且DB=DA=AC 图1 图2 (1)如图1，∠B=,∠C=C (2)如图2，若M为线段BC上的点，过点M作直线MH⊥AD于点H,分别交直线AB、AC于点N、E. ①求证：△ANE是等腰三角形， ②试猜想线段BN、CB、CD之间的数量关系，并加以证明。 例16.(24-25八年级上全国期中)如图，已知等腰ABC中，AB=AC,D为ABC外一点，且AD=AC, ∠CAD=a. 图1 图2 (1)如图1，当a=70°，求∠DBC: (2)如图2，作AE⊥BC于E交BD于F,当a=60°，EF=1,AF=4,求BD; (3)若∠BAC=40°，且△BCD是等腰三角形，求a的值 8/14 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1.(24-25八年级上北京阶段练习)在ABC中，AC=BC,0°<∠ACB<120°，CD是AB边的中线， E是BC边上-点，∠EAB∠BCD,AE交CD于点F. D 图① 图② (1)如图①，判断△CFE的形状并证明： (2)如图②，∠ACB=90°， ①补全图形： ②用等式表示CA,CD,CF之间的数量关系并证明. 变式2.(24-25八年级上·云南昭通期中)在ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交 边AC于点D. 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△BCD为等腰三角形： (2)如图2，若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,在AC上截取AH=AB,连接EH,求证：EH=HC; (B)如图3，若ABC外角的平分线AE交CB延长线于点E,求证：BD+AD=BE-AB. 03 串知识识框架 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成等 边对等角") 等腰 知识点1：等腰三角形的性质 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 三角 线、底边上的高相互重合（简写成”三线合一"） 形的 性质 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 与判 知识点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 定 对的边也相等（简写成等角对等边"） 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上·贵州遵义·月考)如果等腰三角形的一个角为30°，那么等腰三角形底角的度数为() A.75 B.30° C.75°或30° D.65°或30° 2.(24-25八年级上·甘肃临夏·期末)中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等 腰三角形.如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为30°，腰为10，则底边 上的高是() 10m A.5m B.10m C.15m D.20m 3.(25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔期中)如图，∠BAC=30°，P是∠BAC平分线上的一点，PM‖AC, PD⊥AC,PD=4,则AM=() D C A.4 B.8 C.10 D.12 4.(25-26八年级上辽宁葫芦岛期末)如图，在ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，点E在边 AB上，且BD=BE,若LBAC=I00°，则∠ADE的大小为() E A.40° B.30° C.20° D.10 5.(25-26八年级上湖北孝感·期中)如图，在ABC中，AB=AC=4,∠BAC=90°，点D是BC的中点， 点E是AB边上的动点，连接DE,过点D作DF⊥DE交AC于点F,连接EF.下列结论：① ADE≌CDF;②△DEF是等腰直角三角形；③BE+CF=EF;④四边形AEDF的面积为4.其中正确的 个数有() 10/14