重难点专题01 三角形的内角和（6大题型，专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

重难点专题01 三角形的内角和 重难点一、三角形内角和定理的证明 核心思路是利用平行线实现角的等量代换与转移。最经典的证明方法是：过三角形一个顶点作对边的平行线，利用“两直线平行，内错角相等”和“同位角相等”，将三角形的三个内角“搬运”到平行线所截得的同一组邻补角上，从而证明其和为180°。此方法体现了将分散条件集中、转化的基本几何思想。 1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 2．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 3．小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【答案】；两直线平行，内错角相等 ；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 【详解】解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 4．为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 重难点二、三角形内角和定理的应用 直接应用公式 ∠A+∠B+∠C=180°。解题时，若已知两角，可求第三角；若已知三角关系（如比例、等式），则常设未知数列方程求解。关键步骤：1. 明确已知角和未知角；2. 根据内角和定理建立方程或直接计算；3. 检验结果合理性（各角为正且和180°）。这是所有复杂角度计算的基础。 5．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应角相等可得，然后利用三角形内角和定理计算出的度数即可． 本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握“三角形全等，对应角相等”是解题的关键． 【详解】解：，，， ， 在中， ． 故选：C． 6．如图，在与中，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则 ．（用表示） 【答案】 【详解】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，得出，进而得出，再根据平角的定义即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质可得，，再由即可得解； （2）先由外角性质求出，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出、即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 8．【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，三角形内角和定理，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）延长，使得，连接，延长交于，由（1）可得：，得出，，证明，得出，再求出，即可得证； （3）延长至F，使得，连接，延长交于点N ，由（1）可得，得出，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图：延长，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：线段与的关系是：， ， 延长至F，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 9．【问题初探】 如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）解：如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得 ∵ ∴． 重难点三、与角平分线有关的内角和计算 抓住角平分线将角一分为二的特性。若三角形中出现一条或两条角平分线，会产生多个相等的半角。解题通常分三步：1. 设未知数（如设∠A=2x）表示各半角；2. 在目标三角形（可能是原三角形或由角平分线分割出的新三角形）中，利用内角和定理列出关于x的方程；3. 解方程并回代求所需角度。方程思想是核心。 10．如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质和判定，证明平分是解题的关键． 首先在中根据三角形的内角和定理求出的度数，再构造角平分线向角两边的垂线进而得到即可证明平分，因此可以求出的度数，最后在中根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 如图，作于点H，作于点I，作于点J， ∵平分，交的平分线于点， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 11．已知分别是的中线和高，是的角平分线． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若，，延长中线到点，使得，连接．填空： ①由已知可证得，其理由是 （从中选一个填空），的长为 ； ②中线长的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)①；；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，构成三角形的条件，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质求出的度数，则由角平分线的定义可得的度数，再求出的度数即可得到答案； （2）①根据三角形中线的定义可得，则可利用证明得到；②根据三角形三边的关系可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）解：①∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②在中，， ∴， ∴； 12．如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 14．综合与实践： 某数学兴趣小组将一副三角板的两个锐角顶点重合，研究其中一个三角板在旋转过程中所得到的一些角之间的数量关系． (1)如图1，当三角板中三个顶点，，在同一条直线上时（，）． ①请直接写出的度数为________； ②分别作和的角平分线和，求的度数． (2)如图2，数学兴趣小组将等腰直角三角板绕点逆时针旋转度（），，分别平分和，当边与三角板的边所在的直线重合时，求出的度数． 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】本题考查了三角形的旋转，角平分线的性质及角度的计算，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）①由直接计算即可；②由角平分线得性质得，再根据计算即可； （2）分与重合，与重合，与延长线重合三种情况结合图形计算角度即可． 【详解】（1）①； 故答案为：； ②、分别为和的角平分线， ， ; （2）当与重合时，如图： ，分别平分和， ， ； 当与重合时， ； 当与延长线重合时，则， ； 综上，或或． 15．如图，在中，点为边延长线上一点，射线平分，点为射线上一点． (1)若， 当平分时，___________； 当平分时，___________； (2)当平分时，，，则___________； 当平分时，，则___________； (3)若，，当直线垂直于的边时，的度数为___________． 【答案】(1)，， (2)， (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和的性质可得结论； （2）根据据角平分线的定义和三角形内角和、平行线性质转化角的关系，可得结论； （3）直线与的一条边垂直，分三种情况：分别和三边垂直，根据三角内角和列式可得结论． 【详解】（1）解：当平分时，如解图1； 又∵平分， ∴，， ， ∴， ∴； 当平分时，如解图2； 又∵平分， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， （2）当平分时，，，如解图3， ∴，， ，， ∴，， ∴，即 ∴， 当平分时，， 设，则， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵，， ∴， ①当时，如解图5，则， ∵， ∴； ②当时，如解图6，点P在射线的反向延长线上，不合题意舍去， 中，； ③当时，延长交直线于H，如图7，则， ∵， ∴ 中，； 综上，的度数为或． 重难点四、与平行线有关的三角形内角和计算 关键在于将平行线的性质（同位角、内错角相等）与三角形内角和结合。当三角形被平行线所截或置于平行线之间时，首先识别并标记出由平行关系转化得到的等角，将它们替换为三角形中的某个内角。这样，三角形中的未知角数量减少，再利用内角和定理求解。这类题目锻炼等量代换和图形识别能力。 16．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 17．如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． (1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)；，理由见解析 (2)或． 【分析】（1）根据“两直线平行，同位角相等”，即可得答案；过O点作平行于格线，同理可得； （2）分两种情况讨论：射线在的内部射线在的外部． 【详解】（1）解：如图： 如图1：格线都互相平行，， ， ， ， ， 故答案为：； ， 证明：如图2：过O点作平行于格线， 格线都互相平行, ， ， ; （2）或， 理由： 当射线在的内部，如图： ， ， 格线都互相平行， , ， ， ； 当射线在的外部，如图： ， ， 格线都互相平行， , ， ． 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，对顶角相等等知识点，灵活运用这些知识是解决本题的关键． 18．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 19．如图1，已知一次函数分别与x轴、y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且． (1)求线段的长； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，在中，的平分线与的平分线相交于点求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）令得，令得，用勾股定理得； （2）由得，然后利用待定系数法，即可求得答案； （3）由角平分线得，，计算，再由三角形内角和得． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得， ∴， 将代入，得， ∴， ∴，， ． （2）解：， ． 设直线的函数表达式为， 依题意，得， 解得， 直线的函数表达式为． （3）证明：平分， ， 平分， , ， ， ． 【点睛】考查知识点一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，求一次函数解析式，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，且a，b满足点B是x轴上的一个动点． (1)点A的坐标是______，点C的坐标是______； (2)如图①，轴，点P是y轴上的一点，连接，当时，请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图②，当点B运动到时，连接，将沿x轴正方向平移至，点D是第一象限内位于右侧的一点，点G在第三象限，连接，若，，且，求α与β的值． 【答案】(1)， (2)相等或互补，理由见解析 (3)， 【分析】本题考查非负数的性质，坐标与图形，平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质． （1）根据非负数的性质求出的值即可； （2）分点P在y轴正半轴，点P在y轴负半轴，两种情况根据平行线的性质即可得出结论； （3）延长交延长线于点，延长交延长线于点 F， 利用三角形内角和定理和三角形外角的性质分别求出，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当点P在y轴正半轴时， ∵轴， ∴，即与互补； 如图，当点P在y轴负半轴时， ∵轴， ∴，即与相等； 综上，与相等或互补； （3）解：延长交延长线于点，延长交延长线于点 F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则_____，_____． (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线MN旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的边或边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)110，80 (2) (3)或或或 【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）延长交于点G，设、交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （3）分四种情况，分别画出图形，表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：110，80； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点G，设、交于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴； （3）∵， ∴， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，则 ∴，， 由题意可知，， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时， ， ∴， 如图，当时，，     ， ∴； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查平行线的判定与判定、三角形内角和定理及其推论、一元一次方程的几何应用，解题的关键是正确分类，找出相等关系列方程． 重难点五、折叠背景下三角形内角和的应用 解题核心是理解折叠即轴对称，折叠前后对应角相等。首先，在图形中标出所有由折叠产生的等角。接着，观察这些等角与三角形原始内角的关系，它们通常会共同构成一个平角（180°）或存在于某个三角形中。最后，综合利用“折叠等角”、“三角形内角和”以及“平角”这三个条件，建立方程求解。空间想象与条件整合是关键。 22．如图，数学课上甲同学将三角形纸片沿折叠，使点落在边上处，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的折叠性质（轴对称性质）以及角的和差计算，解题的关键是理解折叠前后对应的角相等，即，从而发现平分的关系．根据题目描述，得出和关于直线对称．根据轴对称的性质，对应角相等，所以，即可求解． 【详解】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上处， 根据折叠的性质得：， ， ， ， 故选：C． 23．如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．根据折叠得出，，，，根据三角形外角性质得出，设，则，，根据三角形内角和定理得出，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可知：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 24．如图，将一张三角形纸片的三角折叠，使点落在的处折痕为，若，，，那么下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，运用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于． 由折叠得：， ， ， ， 故选：． 25．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，角平分线定义，将所求的角转化为已知角进行计算是解题的关键． 先求出，在中可求得，由翻折的性质可得，接下来根据两个平角和为及的度数即可求出． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 由翻折可得，， 即， ， ， ， ， 故答案为：． 26．如图，在中，点是边的中点，点是边上任意一点，平分．现将沿折叠，得到，折痕与相交于点，连接．当线段的值最小时，若，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质以及两点之间线段最短，熟练掌握三角形外角性质和折叠前后角的对应关系是解题的关键．先根据两点之间线段最短确定、、共线时最小，再利用三角形内角和、外角性质以及折叠的性质，建立与的关系进行求解． 【详解】解：由两点之间线段最短得，当、、共线时最小，此时， ， ， ，， ， 由折叠可得，， ， ， ， 故答案为：． 27．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，再根据即可得到结论； （3）设沿直线剪开，则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且，再分三种情况：，和，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设沿直线剪开， 则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且， 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 28．综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，则可得出结论； （3）①延长交的延长线于L，由（2）中结论可知，求出．则可得出答案． 【详解】解：（1），理由如下： 如图①，连接， 将三角形纸片沿折叠，点A落在四边形内点的位置， ． ， ， 即； 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，设与交于点F， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于L，由（2）中结论可知， ， ． ， ． 故答案为：． 29．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；；②是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 重难点六、三角形外角性质的应用 核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。应用此性质解题通常有两种思路：1. 简化计算：当需要求一个外角或验证与外角有关的结论时，直接转化为两个内角和，避免绕路。2. 建立等量关系：在复杂图形中，外角性质常能提供关键的角度等量关系，用于证明角相等或推导角度关系。它是内角和定理的重要推论和延伸。 30．如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角定理，熟练掌握“三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和”是解题的关键． 由，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到，结合已知，，然后等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 31．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 32．云南省教育厅发布《云南省中小学生壮苗行动方案（年）》，明确要求全省中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，旨在提升学生体质健康水平．学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压腿动作，该动作中人体一侧腿部与地面垂直，并对另一侧腿部进行压伸，其姿态可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和计算即可得出结果，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：由三角形外角的定义及性质可得：， ∵， ∴， 故选：A． 33．如图，在中，点D，E分别在边，上，点F，G都在边上，且，．若，，探究，，之间的数量关系．两位同学有两种不同的思路，图示如下： 则图中的①与②分别表示（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据平行线的性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角的性质，进行作答，判断即可． 【详解】解：对于①：∵， ∴； 对于②：∵是的外角， ∴； 故选：A． 34．如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． 作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接，由轴对称的性质可知，，，因此，当，，，四点共线时，取到最小值．设，用和表示出和，作差得出结果． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，，， ∴， 当，，，四点共线时，取到最小值， 设此时点、的位置为，，设， 由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 35．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线的定义、三角形的内角和定理及其外角性质等知识．利用三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质可判断①；推导出可证明，进而可判断②；延长交于，分别证明和，利用全等三角形的对应边相等可判断③，进而可得答案． 【详解】解：的角平分线、相交于点， ，， 在中，，， ． ， ，故正确； ，， ． ， ， ， ， 在和中， ，故正确； 如图所示，延长交于， ， 又，， ， ，， ， ， 又，， ， ，， ，即，故正确； 综上所述，其中正确的结论是． 故选：D． 36．如图，点，分别是线段，上的点，且，连接，交于点． (1)从“，”中选择一个作为条件，使得结论“”成立，并证明； (2)若，当，时，求的度数． 【答案】(1)选择，见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （）根据题意可得添加不能证明，添加选择，通过“”即可求证； （）根据全等三角形的性质可得，然后通过三角形的外角性质即可求解． 【详解】（1）解：添加，不能证明； 选择， 证明：在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 37．点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,,. (1)在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“”证明的是 . ①；②；③. (2)根据（1）中添加的条件,若,,求的度数. 【答案】(1)②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质定理； （1）根据全等三角形的判定定理进行判断即可； （2）由得出，再由即可求解． 【详解】（1）解：①作为条件，再结合已知条件：,， 能利用“”证明，故①不符合题意； ②作为条件，可得出，即，再结合已知条件：,，就能利用“”证明，故②符合题意； ③作为条件，无法证明，故③不符合题意； 故答案为：②． （2）解：根据（1）中添加的条件, ∵， ∴，即， 又∵,， ∴， ∴， ∵． 试卷第2页，共54页 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 三角形的内角和 重难点一、三角形内角和定理的证明 核心思路是利用平行线实现角的等量代换与转移。最经典的证明方法是：过三角形一个顶点作对边的平行线，利用“两直线平行，内错角相等”和“同位角相等”，将三角形的三个内角“搬运”到平行线所截得的同一组邻补角上，从而证明其和为180°。此方法体现了将分散条件集中、转化的基本几何思想。 1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 2．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．    3．小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 4．为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 重难点二、三角形内角和定理的应用 直接应用公式 ∠A+∠B+∠C=180°。解题时，若已知两角，可求第三角；若已知三角关系（如比例、等式），则常设未知数列方程求解。关键步骤：1. 明确已知角和未知角；2. 根据内角和定理建立方程或直接计算；3. 检验结果合理性（各角为正且和180°）。这是所有复杂角度计算的基础。 5．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在与中，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则 ．（用表示） 7．如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 8．【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 9．【问题初探】 如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，求的面积． 重难点三、与角平分线有关的内角和计算 抓住角平分线将角一分为二的特性。若三角形中出现一条或两条角平分线，会产生多个相等的半角。解题通常分三步：1. 设未知数（如设∠A=2x）表示各半角；2. 在目标三角形（可能是原三角形或由角平分线分割出的新三角形）中，利用内角和定理列出关于x的方程；3. 解方程并回代求所需角度。方程思想是核心。 10．如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则 ． 11．已知分别是的中线和高，是的角平分线． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若，，延长中线到点，使得，连接．填空： ①由已知可证得，其理由是 （从中选一个填空），的长为 ； ②中线长的取值范围是 ． 12．如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则 ． 13．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 14．综合与实践： 某数学兴趣小组将一副三角板的两个锐角顶点重合，研究其中一个三角板在旋转过程中所得到的一些角之间的数量关系． (1)如图1，当三角板中三个顶点，，在同一条直线上时（，）． ①请直接写出的度数为________； ②分别作和的角平分线和，求的度数． (2)如图2，数学兴趣小组将等腰直角三角板绕点逆时针旋转度（），，分别平分和，当边与三角板的边所在的直线重合时，求出的度数． 15．如图，在中，点为边延长线上一点，射线平分，点为射线上一点． (1)若， 当平分时，___________； 当平分时，___________； (2)当平分时，，，则___________； 当平分时，，则___________； (3)若，，当直线垂直于的边时，的度数为___________． 重难点四、与平行线有关的三角形内角和计算 关键在于将平行线的性质（同位角、内错角相等）与三角形内角和结合。当三角形被平行线所截或置于平行线之间时，首先识别并标记出由平行关系转化得到的等角，将它们替换为三角形中的某个内角。这样，三角形中的未知角数量减少，再利用内角和定理求解。这类题目锻炼等量代换和图形识别能力。 16．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 17．如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． (1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 18．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 19．如图1，已知一次函数分别与x轴、y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且． (1)求线段的长； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，在中，的平分线与的平分线相交于点求证：． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，且a，b满足点B是x轴上的一个动点． (1)点A的坐标是______，点C的坐标是______； (2)如图①，轴，点P是y轴上的一点，连接，当时，请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图②，当点B运动到时，连接，将沿x轴正方向平移至，点D是第一象限内位于右侧的一点，点G在第三象限，连接，若，，且，求α与β的值． 21．如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则_____，_____． (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线MN旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的边或边，请直接写出所有满足条件的t的值． 重难点五、折叠背景下三角形内角和的应用 解题核心是理解折叠即轴对称，折叠前后对应角相等。首先，在图形中标出所有由折叠产生的等角。接着，观察这些等角与三角形原始内角的关系，它们通常会共同构成一个平角（180°）或存在于某个三角形中。最后，综合利用“折叠等角”、“三角形内角和”以及“平角”这三个条件，建立方程求解。空间想象与条件整合是关键。 22．如图，数学课上甲同学将三角形纸片沿折叠，使点落在边上处，若，则（   ） A． B． C． D． 23．如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 24．如图，将一张三角形纸片的三角折叠，使点落在的处折痕为，若，，，那么下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 25．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为 ． 26．如图，在中，点是边的中点，点是边上任意一点，平分．现将沿折叠，得到，折痕与相交于点，连接．当线段的值最小时，若，则 ． 27．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 28．综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 29．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 重难点六、三角形外角性质的应用 核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。应用此性质解题通常有两种思路：1. 简化计算：当需要求一个外角或验证与外角有关的结论时，直接转化为两个内角和，避免绕路。2. 建立等量关系：在复杂图形中，外角性质常能提供关键的角度等量关系，用于证明角相等或推导角度关系。它是内角和定理的重要推论和延伸。 30．如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 31．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（    ） A．B．C． D． 32．云南省教育厅发布《云南省中小学生壮苗行动方案（年）》，明确要求全省中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，旨在提升学生体质健康水平．学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压腿动作，该动作中人体一侧腿部与地面垂直，并对另一侧腿部进行压伸，其姿态可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 33．如图，在中，点D，E分别在边，上，点F，G都在边上，且，．若，，探究，，之间的数量关系．两位同学有两种不同的思路，图示如下： 则图中的①与②分别表示（   ） A．， B．， C．， D．， 34．如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（   ）． A． B． C． D． 35．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 36．如图，点，分别是线段，上的点，且，连接，交于点． (1)从“，”中选择一个作为条件，使得结论“”成立，并证明； (2)若，当，时，求的度数． 37．点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,,. (1)在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“”证明的是 . ①；②；③. (2)根据（1）中添加的条件,若,,求的度数. 试卷第2页，共54页 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $