第01讲 三角形的内角和与外角和（含多边形）（4知识点+11大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第01讲 三角形的内角和与外角和（含多边形） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：三角形的内角和定理 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180度； 知识点2：三角形的外角性质 （1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个） （2）外角性质：三角形的外角等于和它不相邻两内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角； 三角形外角和为360度. 知识点3：多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 知识点4：多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形 边数求各相等外角的度数． 【题型1 三角形内角和定理的证明】 例1．（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 例2．回答下列问题． (1)小明在预习说明“三角形内角和等于”一节课时，抄写了如下预习笔记，不小心漏抄了部分理由，请你将漏抄的理由填写完整：    解：过顶点A作， ，（所作） ，．（____） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（____） ．（____） (2)请你用不同的方法说明“三角形内角和等于”    【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据过程填写依据即可； （2）延长，过作，可证，，由，即可得证． 【详解】（1）解：过顶点A作， ，（所作） ，．（两直线平行，内错角相等．） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（平角的定义） ．（等量代换） （2）解：如图，延长，过作，    ，， 、、在同一条直线上， ， ． 变式1．数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程． 如图①，的三个内角分别为． 将和撕下，按图②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与AB重合，的一边与AC重合．    理由：由操作可知，所以（__________）． 同理，， 所以__________∥__________． 因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点D，A，E在同一直线上， 所以__________， 即__________+__________=__________． 【答案】见解析 【分析】利用平行线的判定证明即可． 【详解】解：由操作可知，所以（内错角相等，两直线平行）． 同理，， 所以． 因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点，，在同一直线上， 所以， 即． 故答案为：内错角相等，两直线平行；，；180；，，． 变式2．阅读材料：为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法回答下列问题：    (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是（    ） A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 【详解】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，应用的数学思想是转化思想． 故选：A． （2）选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点．    ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【题型2利用三角形内角和定理求角的度数】 例3．如图，，，． （1） ； （2）在直线上取一点，使得，则的度数是 ．    【答案】 70° 40°或80° 【分析】（1）根据平行可得，即可求出； （2）画出图形，先求出，再求出的度数即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ 当在右边时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 当在左边时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40°或80°． 例4．如图，直角中，，分别是的角平分线，则 ．    【答案】/45度 【分析】根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， 由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 变式1．如图所示，在中，，、分别平分，，则等于 ．    【答案】/115度 【分析】首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．如图，在中，的平分线交于点是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数分别 ．    【答案】， 【分析】运用平角的性质可求出，，根据角平分线的性质可得则，，，根据四边形的内角和定理，直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图所示，，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 同理，， 在四边形中，， ∵平分，平分，且， ∴， ∴在中，， 故答案为：，． 【题型3 三角形折叠中的角度问题】 例5．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角形的内角和定理求出，即为，再根据三角形的外角性质求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， 故选：D.    例6．如图，中，，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 度．    【答案】 【分析】设，由折叠知，根据三角形内角和定理，,得．于是． 【详解】解：设，由折叠知 ∵， ∴. ∵ ∴,得． ∴． 故答案为： 变式1．如图，在中，，点D、E分别是，上一点，将沿折叠，使点A落在点F处，已知，的度数 ．    【答案】 【分析】由折叠可知：，由三角形的内角和定理可求，即可求得，再利用三角形的内角和定理可求，进而可求解． 【详解】解：由折叠可知：，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，翻折问题，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 变式2．如图，在中，，，D是的中点，点E是边上一个动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，的度数为 ．        【答案】或 【分析】根据点在直线的上方与下方，分两种情况分别讨论．先计算，再根据翻折的对称性可求得，再由求得，再由翻折对称性求得为的一半．另一种情况仿此可求得． 【详解】分两种情况讨论： ①点位于直线的下方，延长，交于点H．如图．    由得， 由沿翻折为， ∴ ∴， 由得， ∴． ∴． ②点位于直线的上方，连接，交于点M．如图．      由得， ∴． 由得． ∴． 综合①②可知，或 故答案为：或． 【题型4 三角形的外角的定义与性质】 例7．（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，的补角等于，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 由已知可得，根据，即可求解． 【详解】解：的补角等于， ， ， ． 故答案为：． 例8．（25-26八年级上·重庆·期中）如图所示，，，，则 ． 【答案】/76度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长交于点，利用三角形外角的性质，逐步推导得出的度数． 【详解】解：延长交于点． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是的外角的角平分线，且交的延长线于点．若，则 ．（结果用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 根据外角性质，得，，结合角的和差运算，解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，和是的外角，，，若，则 ． 【答案】135 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，则，根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型5 三角形的内角和与外角的综合问题】 例9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别是的两个外角． (1)若，求的度数． (2)若，请用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质可得，由三角形内角和定理可得，据此可得答案； （2）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵分别是的两个外角， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵分别是的两个外角， ∴， ∴， ∵，， ∴． 例10．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)直接写出与的数量关系为____________． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 (3) 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． （1）根据三角形内角和可得，再根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形外角可得，，根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角定理即可求解； （3）设，综合运用三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用并结合前两问即可求解． 【详解】（1）解：在中， ， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ； （2）解：由图可得，，， ∵、分别平分和， ∴， ， ∴ ， ∴在中， ； （3）解：设， 在中，， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ， ∵，， 又∵、分别平分这两个外角， ∴ ， 在中， ， ∴． 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）设，根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． 答：，． （2）证明：设，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． , 可分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ; ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 变式2．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【题型6 多边形内角和问题】 例11．（24-25八年级上·云南临沧·期末）一个六边形的内角和等于 度． 【答案】720 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式； 根据n边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：六边形的内角和为， 故答案为：720． 例12．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【知识点】多边形内角和问题 【分析】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：．根据多边形内角和定理：可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设多边形边数有条，由题意得： 解得：， 故答案为：8． 变式1．（2025·重庆·一模）若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ． 【答案】/度 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和性质，根据算出六边形的内角和，再减去，即可得出其余五个内角之和，即可作答． 【详解】解：依题意，六边形的内角和：， 则其余五个内角之和， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：八边形的内角和为：， 故选：． 【题型7 多边形对角线的条数问题】 例13．（23-24八年级下·陕西西安·期末）八边形的内角和是 ，它共有条 对角线． 【答案】 /1080度 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和，对角线，熟练掌握各个运算公式是解题的关键． 根据多边形的内角和公式，对角线条数计算公式即可得到结果． 【详解】八边形的内角和是，它共有条对角线． 故答案为：，20 例14．（24-25八年级上·河南信阳·期末）小宇用计算一个多边形的内角和，则该多边形共 条对角线． 【答案】9 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查多边形内角与外角、多边形的对角线，熟记以上知识点是解题的关键．根据求多边形的对角线公式进行作答即可． 【详解】解： （条）． 故答案为：9． 变式1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，从一个边形的一个顶点出发，最多能引出条对角线，据此可求出，再根据边形的内角和是进行求解即可． 【详解】解：∵从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线， ∴， ∴， ∴这个边形的内角和是， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边形共有 条对角线，九边形的内角和为 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查九边形的对角线规律、九边形内角和等知识，根据多边形对角线定义，分析出一个顶点引出的对角线，再由九边形每个顶点均满足同样的性质即可得到答案；再有多边形内角和定理即可求出九边形内角和，熟记九边形对角线定义及对角线数量规律、多边形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：对于九边形，共有9个顶点，由对角线定义可知，从九边形的一个顶点出发，除去这个点本身及这个点左右相邻的两个顶点（共计3个顶点）不能构成对角线以外，剩余的6个顶点均可以与选中的顶点连线构成对角线，则从九边形的一个顶点出发，可以引6条对角线； 从九边形的一个顶点出发，可以引出6条对角线，当不考虑重复情况时，9个顶点可以引出条对角线，若是九边形的两个顶点，则从顶点引出的一条对角线必定与从顶点引出的一条对角线重合，从而确定九边形共有条对角线； 由多边形内角和定理可知，九边形的内角和为， 故答案为：． 【题型8 多边形截角后的边数问题】 例15．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 例16．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 变式1．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【答案】、、 【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 变式2．（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 【答案】15，16或17 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 所以多边形的边数可以为15，16或17． 故答案为：15，16或17． 【题型9 多边形截角后的内角和问题】 例17．（24-25八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 例18．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】如图所示： 多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形； 另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形； 新的多边形的内角和可能是，或，或． 故选：D． 变式1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ． 【答案】或或 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，由边形的内角和为，分别计算求解即可． 【详解】解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形， ∵边形的内角和为， ∴，，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形截去一个角的内角和．解题的关键在于确定六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形的种类． 变式2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 【答案】或或 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据剪去一个角后的多边形的边数有：增加1、减少1、不变三种情况求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵六边形截去一个角后的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， ∴新多边形的内角和为， ， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，难点在于判断出剪去一个角后多边形的边数． 【题型10 多边形外角和的实际应用】 例19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为 ． 【答案】/360度 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查多边形的外角和，根据n边形的外角和为即可求解． 【详解】解：八边形的外角和为． 故答案为： 例20．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，小明从点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米． 【答案】60 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，多边形的外角和为360度，而每次转60度，那么可以求出转的次数，再根据每次转60米即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴一共走了60米， 故答案为：60． 变式1．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 【答案】300 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，解题关键是理解小明每前进15米后向左转18°，当他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形． 根据题意判断小明每前进15米后向左转，当他回到出发地A地时，走过的路程形成正多边形，然后根据正多边形的外角和是，求出多边形的边数，从而求出答案即可． 【详解】解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和为，每个外角的度数是， ∴多边形的边数为：， ∴一共走的路程为：（米）， 故答案为：300． 变式2．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具，通常用于木工和其他精细工艺中．此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经标出的五个度数有，则未标度数的角处应填 ． 【答案】 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查的是多边形的外角和的应用，根据多边形的外角和为，直接列式计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴未标度数的角处应填：； 故答案为： 【题型11 多边形内角和与外角和综合】 例21．（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 例22．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了正多边形的内角与周角、等腰三角形的性质，熟练掌握正八边形的内角和正五边形的内角求法是解题的关键．根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【详解】解：由题意得：正八边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， 故， ， ． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． 由多边形内角和定理得，整理得，则，即可得出结论． 【详解】解：由图2可知，， 整理得：， ∴， 故答案为：． 变式2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．现有一造型独特的窗体设计如下图，已知，，则 ． 【答案】/80度 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角与外角．根据任意多边形的外角和是进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）九边形的内角和为（   ） A．1260° B．1440° C．1800° D．720° 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和；根据多边形的内角和定理，n边形的内角和为. 【详解】解：∵n边形的内角和公式为， ∴九边形的内角和为. 故选：A. 2．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是的一个外角，若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【详解】解：，， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）将一块含有的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 由对顶角相等可得， ∵此三角形是直角三角形， ∴，即． 故选：C． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．（25-26八年级上·湖北恩施·月考）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线和角平分线、三角形的内角和定理及外角的性质、同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高线、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键． ①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故①符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故②符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴．故③符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴．故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在中，点D在的延长线上，，，则 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查三角形外角和定理，熟练掌握三角形外角和定理是解题的关键． 根据是的外角，的度数等于与的度数和，据此求出的度数即可． 【详解】解：根据题意得，是的外角， 则， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知一个边形的内角和等于，则从这个多边形的一个顶点出发可以画 条对角线． 【答案】10/十 【分析】本题考查了多边形内角和以及多边形对角线，解题关键是掌握边形的内角和为，从一个顶点出发可以画条对角线．设多边形的边数为，利用多边形内角和公式求出边数，再求从一个顶点出发的对角线条数． 【详解】解：设多边形的边数为， 则内角和为， 解得， 即从一个顶点出发的对角线条数为， 故答案为：10． 8．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 【答案】/230度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为 ． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ． 【答案】 80° 10° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的平分线定义解答即可． （2）根据三角形内角和定理，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵BO平分，CO平分， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是的两外角平分线的交点， ∴，， ∴ . ∵BO平分，CD平分外角， ∴，. ∵，， ∴ ， ∴. 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，解题的关键是利用“8字型”图形中对顶角相等，结合三角形内角和推导角度关系． （1）利用三角形内角和定理，结合对顶角相等，推导、、、的等量关系； （2）设角平分线分成的角为相等的两部分，结合“8字型”角度关系，联立方程求解 【详解】（1）解：在和中， ∵ （对顶角相等），， ， ∴ ， 故答案为：． （2）解：设，， 由（1）得：， 两式相加得：，代入，，得， 解得， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江西赣州·期中）计算： (1)如图，求出图中x的值． (2)一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)这个多边形的边数是8 【分析】此题主要考查了四边形的内角和定理，多边形的内角和与外角和，理解四边形内角和等于，熟练掌握n多边形的内角和为公式，外角和为是解决问题的关键． （1）根据四边形内角和等于列方程并解出即可； （2）设这个多边形的边数为n，依题意得，解此方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，，解得． （2）解：设这个多边形是n边形， 由题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数是8． 12．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)的度数是 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解： 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 13．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 【答案】(1)5 (2)120度 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握边形的内角和公式以及边形的外角和为，是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，， 解得， 这个多边形的边数为5． （2）解：四边形的内角和为， ， ， 又分别平分，， ∴， ， ． 14．（25-26八年级上·广西南宁·月考）在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． (1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． (2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】(1)见解析 (2)从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度 【分析】本题考查平行线的性质，方位角的定义，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，方位角的定义以及三角形内角和是是正确解答的关键． （1）过点P作，，由平行线的性质及平角的定义可得出答案； （2）根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：过点P作，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵C岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∵C岛在B岛的北偏西方向， ∴， ∴， ∵B岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ； 答：从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度． 15．（25-26八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，． (2)50 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由进行变形为即可解答； （3）由角平分线的定义得、，再由三角形内角和定理得出，然后把代入求解即可． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50． （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级上·广东潮州·期中）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；②当时，则是钝角三角形；当时，则是直角三角形；当时，则是锐角三角形. 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键. （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理即可得解； （3）①延长交于点Q，由（2）可知，，则，又由即可得到；②根据α的值的情况，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵是的内角与的平分线和的交点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）； 理由：∵是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ， 在中， ； （3）①， 如图，延长交于点Q， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则，则是钝角三角形； 当时，则，则是直角三角形； 当时，则， ∵是四边形的外角与的平分线和的交点， ∴， ∴是锐角三角形． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第01讲三角形的内角和与外角和（含多边形） 内容导航 预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 析教材学知识 ☑知识点1：三角形的内角和定理 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180度： ☑知识点2：三角形的外角性质 (1)外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个） (2)外角性质：①三角形的外角等于和它不相邻两内角的和： ②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角； ③三角形外角和为360度 ☑知识点3：多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3). 特别说明：(1)内角和公式的应用：①己知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (②)正多边形的每个内角都相等，都等于-2)·180， ☑知识点4：多边形的外角和 多边形的外角和为360°· 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和，n边形的 外角和恒等于360°，它与边数的多少无关： 2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形 边数求各相等外角的度数 02 练题型强知识 1/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型1三角形内角和定理的证明】 例1.(25-26八年级上·天津南开期中)在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了 如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是 ① ② ⊙ ④ A.如图①所示，过点C作EF‖AB B.如图②所示，过点B作BGIAC C.如图③所示，过点C作CD⊥AB、垂足为点D D.如图④所示，过AB边上点P作PM CB,PN‖AC 例2.回答下列问题， (1)小明在预习说明"三角形内角和等于180°”一节课时，抄写了如下预习笔记，不小心漏抄了部分理由，请 你将漏抄的理由填写完整： E B 解：过△ABC顶点A作EF∥BC, :EF∥BC,(所作) ·LEAB=∠B,LFAC=LC.() ”点E,A,F在同一条直线上（所作）， ·∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°.() :LBAC+∠B+∠C=180°.() (2)请你用不同的方法说明“三角形内角和等于180°” 变式1.数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于180°，下面是小彬的课堂笔 记，请阅读操作方法，补全说理过程， 2/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图①，△ABC的三个内角分别为∠1，∠2，∠3 将∠2和∠3撕下，按图②的方式摆拼，使∠2和∠3的顶点均与∠1的顶点重合，∠2的一边与AB重合，∠3的 边与AC重合， 2 B12 ① ② 理由：由操作可知∠B=∠2，所以AD∥BC 同理，∠C=∠3， 所以 因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点D,A,E在同一直线上， 所以∠DAE= 即∠1+ 变式2.阅读材料：为了证明“三角形的内角和是180°”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法回答下 列问题： D 过点C作EF∥AB 延长AC到点F,过AB上一点D作如图，过点C 过点C作CE∥ABDE∥BC,DF∥AC作CD∥AB. 图1 图2 图3 图4 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是() A.转化思想B.整体思想C.方程思想D.数形结合思想 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为180°。 【题型2利用三角形内角和定理求角的度数】 例3.如图，AB∥CD,∠ABC=40°，∠ACB=30°. (1)∠ACD= (2)在直线CD上取一点E,使得∠CAE=∠ACB,则∠AEC的度数是 A B D 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例4.如图，直角△ABC中，∠C=90°，AE、BD分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，则∠DEA=一 D E 变式1.如图所示，在△ABC中，∠ABC=50°，AD、CD分别平分∠BAC,∠ACB,则∠ADC等于 B 变式2.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是 △ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D、∠E的度数分别 B E 【题型3三角形折叠中的角度问题】 例5.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C处， 若∠1=20°，则∠2的度数为() A.80° B.90° C.100 D.110° 例6.如图，△ABC中，∠C=70°，AC边上有一点D,使得∠A=∠ABD,将△ABC沿BD翻折得△A'BD, 此时A'D∥BC,则∠ABC=度. 4/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A. 变式1.如图，在△ABC中，∠A=35°，点D、E分别是AB,AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落 在点F处，已知∠1=74°，∠2的度数 A E 2 B 变式2.如图，在△ABC中，LB=90°，∠ACB=70°，D是AC的中点，点E是边AB上一个动点，将 △ADE沿DE翻折，使点A落在点处，当AE⊥AC时，∠ADE的度数为 D B 【题型4三角形的外角的定义与性质】 例7.(25-26八年级上·福建厦门月考)如图，∠BAC的补角等于120°，∠B=40°，则∠C= B A 例8.(25-26八年级上：重庆期中)如图所示，∠BDC=148°，∠B=34°，∠C=38°，则∠A= D B 变式1.(2025八年级上·全国.专题练习)如图，CE是ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延 5/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 长线于点E.若∠E=a,则LBAC-∠B=·(结果用含有0的式子表示) E 1 变式2.(25-26八年级上河北沧州·期中)如图，∠CBE和∠BCF是ABC的外角，∠CBD=。∠CBE, 3 ∠BCD=∠BCF,若LBDC=75,则LA= E 【题型5三角形的内角和与外角的综合问题】 例9.(25-26七年级下·全国·课后作业)如图，∠ECA,∠DAC分别是ABC的两个外角. D B C E (I)若∠B=50°，求∠ECA+∠DAC的度数. (2)若∠B=a，请用含o的代数式表示LECA+∠DAC的度数. 例10.(25-26八年级上安徽六安期中)如图，在ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点 P,∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q. (I)若LA=50°，求∠P的度数： (2)若∠A=50°，求∠Q的度数； (3)直接写出∠P与∠Q的数量关系为 变式1.(25-26八年级上·安徽合肥期中)如图，在ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC,交AC 于点E,DP平分∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,LACF的平分线CQ与DP相 6/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 交于点. E (1)若∠A=40°，LB=60,则LDPC=,∠0=； ②求证：0-4， (3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数. 变式2.(25-26八年级上浙江衢州期中)如图，等腰ABC中，AB=AC,点P是边BC上的一个动点（不 与B,C重合)，连接AP,在边AB上取一点Q,使得AQ=AP,连接PQ, B (I)若∠C=70°，∠CAP=20°，求∠BPQ的度数： (2)若LC=60°，∠CAP=x°，请用含x的代数式表示∠BPQ的度数； (3)由(1)(2)的结论，请猜想∠CAP与∠BPQ的数量关系，并证明你的猜想. 【题型6多边形内角和问题】 例11.(24-25八年级上·云南临沧期末)一个六边形的内角和等于度。 例12.(24-25七年级下，全国课后作业)若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是」 变式1.(2025重庆.一模)若六边形的内角中有一个内角为60°，则其余五个内角之和为」 变式2.(24-25八年级上·福建厦门期末)图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起 的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 【题型7多边形对角线的条数问题】 例13.(23-24八年级下.陕西西安期末)八边形的内角和是 它共有条 对角线. 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例14.(24-25八年级上河南信阳期末)小宇用(6-2)×180°计算一个多边形的内角和，则该多边形共条 对角线 变式1.(24-25八年级上江西上饶阶段练习)如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线， 那么这个边形的内角和是 变式2.（2425八年级上·河南信阳阶段练习)从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边 形共有 条对角线，九边形的内角和为 【题型8多边形截角后的边数问题】 例15.(24-25八年级上湖北荆州期末)一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620， 则原来多边形的边数是() A.10或11 B.10或12 C.11或12 D.10或11或12 例16.(24-25八年级上四川德阳·阶段练习)一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和 的5倍，则原来多边形的边数是() A.12 B.13 C.12或13 D.11或12或13 变式1.(2425八年级上四川绵阳·期中)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°， 那么多边形的边数为 变式2.(23-24八年级上·湖北黄冈阶段练习)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 2520°，则原多边形的边数是一 【题型9多边形截角后的内角和问题】 例17.(24-25八年级上贵州安顺期末)将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多 边形的内角和是() A.360° B.540° C.360°或540° D.360°或540°或720 例18.(23-24八年级上山东淄博阶段练习)将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角 和是() A.14 B.23 C.180°或360 D.180°或360°或540° 变式1.(23-24八年级上辽宁铁岭阶段练习)把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形 纸片的内角和为 变式2.(23-24八年级上四川南充阶段练习)从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和 为」 【题型10多边形外角和的实际应用】 例19.(24-25八年级下浙江杭州·期中)杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是 8/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一个八边形，则这个八边形的外角和为一· 例20.(24-25八年级上宁夏吴忠期中)如图，小明从点A出发，沿直线前进10m后向左转60°，再沿直线 前进10m,又向左转60°…照这样走下去，小明第一次回到出发点A,一共走了米. 60° 609 60° A 变式1.(24-25八年级上四川南充·期末)如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转18°，再沿直 线前进15米，又向左转18，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是米。 189 18-- 变式2.(24-25八年级上山西阳泉·期末)如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具， 通常用于木工和其他精细工艺中.此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经标出的 五个度数有67.5°，45°，75°，60°，54°，则未标度数的角处应填 【题型11多边形内角和与外角和综合】 例21.(23-24八年级下·上海期末)一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数 是 例22.(2425九年级下江苏南通阶段练习)如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则 ∠ACB的度数为 9/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式1.(24-25八年级上河北沧州·期中)如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗 棂中的部分图案，若∠1+∠2+∠3=227°，则4+∠5的度数为一 4 图1 图2 变式2.(2024八年级上·黑龙江·专题练习)[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂上 雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案.现有一造型独特的窗体设计如下图，已知 ∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，则∠5= 05 03 串知识识框架 10/15