精品解析：吉林省长春市第五中学2024-2025学年高三上学期12月考试数学试题

春市第五中学长春市田家炳实验中学 高三年级12月考试数学试题 命题人：徐徽 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 若单位向量满足．则的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 给出下述三个结论：①函数的最小正周期为；②函数在区间单调递增；③函数的图象关于直线对称.其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ② 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．） 8. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则下列判断正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积是 D. 三棱锥的外接球的体积是 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且，则 10. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 在上单调递增 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15） 11. 设函数，若方程至少有3个不同的实数根，则实数的取值范围为___________. 12. 已知函数，下列说法正确的是_________（填序号） ①为奇函数； ②为偶函数； ③在上单调递减； ④在上单调递增． 13. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 14. 已知向量，设函数． （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）设锐角△三个内角的对边分别为，若且，求． 15. 已知数列满足，，为数列的前 项和． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前 项和． 16. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若存在，使得，求实数的取值范围. 17. 如图，已知三棱锥，底面是等腰三角形，，是等边三角形，为线段上一点，，二面角的大小为. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 春市第五中学长春市田家炳实验中学 高三年级12月考试数学试题 命题人：徐徽 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故选：D. 2. 设（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接把所给复数化简，然后求其共轭复数即可. 【详解】，所以， 故选：B. 3. 若单位向量满足．则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量定义将等式平方可得，再由夹角公式计算可得结果. 【详解】由题意，， 由得， 即，所以， 设与的夹角为， 所以， 又，所以. 故选：C 4. 已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设数列公比为，由等比数列通项公式及题意可得答案. 【详解】设数列公比为，则， ，因， 则（负舍）. 故选：A 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可. 【详解】因为， ， 又，，所以， ， 且，所以， 所以. 故选：A. 6. 在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算． 【详解】连接， 在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角， 由已知，，， 由余弦定理得，， ， ∴． 故选：C． 7. 给出下述三个结论：①函数的最小正周期为；②函数在区间单调递增；③函数的图象关于直线对称.其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ② 【答案】B 【解析】 【分析】①化简函数，代入周期公式，判断周期；②由，判断出，去绝对值即可判断单调性；③化简函数利用余弦函数判断对称轴. 【详解】对于①，由，最小正周期为，结论①不正确； 对于②，由，有，所以， 此时在区间单调递增，结论②正确； 对于③，， 对称轴由确定，当时，，结论③正确. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．） 8. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则下列判断正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积是 D. 三棱锥的外接球的体积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】易得折叠后三条直线两两垂直，证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可判断B；根据椎体的体积公式即可判断C；求出外接球的半径，再根据外接球的体积公式即可判断D. 【详解】正方形中，，， 折起后，有， 平面，∴平面， 又平面，所以，故A正确； 因为平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面，故B正确； 折叠后可知三条直线两两垂直， ，， ，故C错误； 由三条直线两两垂直， 如图，补全长方体， 则长方体的体对角线即为三棱锥的外接球的直径， 设三棱锥的外接球的半径为， 则，所以， 所以三棱锥的外接球的体积是，故D正确. 故选：ABD. 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A和B，利用与间的关系，求得，再根据等差数列，等比数列的定义，即可求解；选项C，利用等差数列的性质，即可求解；选项D，通过取特例，即可判断. 【详解】对选项A，因为，当时，，两式作差可得，当时，； 又，不满足上式，故，故数列不为等差数列，所以选项A错误； 对选项B，因为，当时，，两式作差可得，当时，； 又满足，故，得到为常数，故数列为等比数列，所以选项B正确； 对选项C，因为是等差数列，故，所以选项C正确； 对选项D，因为是等比数列，且，，不妨取，所以，故选项D错误. 故选：BC. 10. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于A，取可得；对于C，取，再由条件当时，推理可得；对于B，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导即可. 【详解】对于A，由， 取，得，故A正确； 对于C，由， 取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故C正确； 对于B，由， 取，可得，，整理得，， 因为，，当且仅当时取等号， 由选项C可知的符号可正可负，故不一定有， 即不一定成立，故B错误； 对于D，任取，则， 依题意，，而， 则，即， 即在上是增函数， 于是对于， 任取，因为，则，即， 即函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键在于，熟练掌握单调函数的定义，利用构造函数法分析抽象函数的单调性，从而得解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15） 11. 设函数，若方程至少有3个不同的实数根，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】当时求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，即可求出函数在上的最小值，再画出函数图象，将问题转化为与的图象至少有3个交点，再数形结合即可得解. 【详解】当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，所以当时，的最小值为， 且时，， 当时，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 又，所以当时，的最小值为， 作出函数与的图象，如图所示， 由图可知，要使方程至少有3个不同的实数根， 即与的图象至少有3个交点，只需. 故答案为：. 12. 已知函数，下列说法正确的是_________（填序号） ①为奇函数； ②为偶函数； ③在上单调递减； ④在上单调递增． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义及判定方法，可判定①正确，②不正确；结合基本初等函数的性质，以及复合函数单调性的判定方法，可判定③正确，④不正确． 【详解】由，解得或，即定义域为， ， 所以由对数的运算性质可得，即为奇函数，故①正确，②错误； 又由， 令，其中且，可得， 因为在上单调递减，且， 所以在上单调递减，所以③正确； 又因为函数为定义域上的奇函数，所以在上单调递减， 所以④不正确． 故答案为：①③. 13. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】到平面的距离，即三棱锥的高，由，利用等体积法求解. 【详解】取靠近点的三等分点，连接，取靠近点的三等分点，连接， 底面是矩形，，， ，， 则，且， 又底面，底面，，， 而，平面， 所以平面，平面， 即为三棱锥的高，， 在中，，， 在中，， 中，，， 在中，，则， ， 在中，， 在中， ， 在中，，，， 由余弦定理，则 ， 设到平面的距离为， ，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 点到平面的距离，转化为对应棱锥的高，利用等体积法求解，由图形中的垂直关系，利用勾股定理和余弦定理计算需要的边长和面积. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 14. 已知向量，设函数． （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）设锐角△三个内角的对边分别为，若且，求． 【答案】（1）最小正周期为，最大值为2； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据向量数量积的坐标表示求函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解； （2）根据（1）的结果，以及正弦定理，即可求解. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期为，最大值为2； 【小问2详解】 ，即， 因为，则，所以，则， 因为，所以， 根据正弦定理，即，解得：. 15. 已知数列满足，，为数列的前 项和． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前 项和． 【答案】（1）证明：对整理有：， 等式两边同时除以可得， 等式两边再同时减 得，即， 又由，可得，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对题设中的递推关系变形后可得，故可得是等比数列； （2）由（1）结合等比数列的通项公式可求； （3）利用分组求和法可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得的通项公式为， 得，所以． 【小问3详解】 由（2）知， 所以 ． 16. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由可知，当，时，，时，，即可得出单调性，求出最值； (2)对分类讨论：若，则，容易判断出结论；若，可得；若，由(1)可知，函数的最小值为，只要，解得范围即可得出. 【小问1详解】 ，由，可得时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 时，函数取得极小值即最小值； 【小问2详解】 对分类讨论： 若，则，不存在，使得成立； 若，则，满足题意； 若，由(1)可知，函数的最小值为，所以，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 17. 如图，已知三棱锥，底面是等腰三角形，，是等边三角形，为线段上一点，，二面角的大小为. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质、余弦定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据二面角的定义、线面角的定义，结合余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接，. 因为为等边三角形，所以. 设，因为为等腰三角形，且，所以 ，， 在中，，由余弦定理得： ， 所以，故.因为，平面，所以平面，从而. 【小问2详解】 在上取点，使，连接，则， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 由（1）平面，得平面平面，过作于，则平面，连接，则为直线与平面所成的角. 又由（1）知二面角的平面角为，所以， 设，则，，，， 所以在中，余弦定理得: ， 在中求得，， 在中，余弦定理得： ，又. 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上的点与圆上的点距离的最值，结合椭圆离心率即可得椭圆的标准方程； （2）根据直线与椭圆相交得交点坐标关系，从而可得面积，由基本不等式求得其最大值. 【小问1详解】 因为为椭圆上一点，为圆上一点， 由的最大值为，得，所以． 又，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 在中令，得，所以， 显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为， 由，消去得， 所以，则， 设，，则，， 所以， 所以． 令，则， 则，当且仅当，即时取得等号， 所以面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中最值问题的常见方法： （1）函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围，求函数的最值时，一般会用到配方法、基本不等式或者函数的单调性； （2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出关于目标量的不等关系，再求出目标量的最值； （3）几何法：观察图形的几何特点，判断某个特殊位置满足最值条件，然后证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $