精品解析：甘肃省陇南市2026届高三上学期1月检测数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A. B. C. D. 3 2. 设全集是小于7的自然数，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中常数项是（ ） A. 20 B. 15 C. 6 D. 1 5. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 7. 设，且，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，是边长为3的正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示双曲线 D. 当时，曲线表示两条平行直线 11. 已知函数的定义域，对任意的，恒有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，向量，，若，则a的值为______． 13. 在中，，，其面积为，则______. 14. 设函数，若，则实数的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 16. 在如图所示的直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面AEF夹角的大小． 17. 已知函数，其中，. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围. 18. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆与的准线相切． （1）求的标准方程； （2）已知是上的一点，是轴上的一点，若的最小值为4，求点的坐标； （3）过点作直线与交于两点，且在两点处的切线交于点，证明：． 19. 某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ （2）在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的概念可得. 【详解】由题意得，的虚部是3． 故选：D． 2. 设全集是小于7的自然数，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】依题意，，而，所以. 【点睛】故选：C 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把不等式化为，求出解集即可． 【详解】解：不等式可化为， 解得， 所以不等式的解集为（4，3）． 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题． 4. 的展开式中常数项是（ ） A. 20 B. 15 C. 6 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】写出的展开式的通项公式，再令，求得值，代入通项公式，即可得解. 【详解】的展开式的通项公式为，令， 得，即， 即的展开式中常数项是． 故选：A. 5. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质，，其中，计算即可. 【详解】由题意可知等差数列满足：， 所以得：， 所以． 故选：C． 6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点在x轴双曲线的渐近线方程求得，进而利用离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，离心率． 故选：D． 7. 设，且，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式可得或，再由求解. 【详解】由诱导公式有， 故或， 解得或， 由于，当时，无整数满足条件； 当时，令，可得满足条件. 故选：B. 8. 已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，是边长为3的正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出球的半径及三角形外接圆半径，进而求出球心到平面的距离，从而求出D到平面ABC的距离的最大值，最后利用四面体体积公式计算求解． 【详解】设球心为O，球的表面积为，解得， 是边长为3的正三角形， 的外接圆半径， 到平面的距离， D到平面ABC的距离的最大值为， 四面体的体积的最大值为 ． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用零指数幂的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B，根据指数函数性质结合特殊值验证判断选项C，利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D. 【详解】若，时，则，故A错误； 若，时，，故B正确； 若，当时，，但，命题不成立，故C错误； 当时，，又，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示双曲线 D. 当时，曲线表示两条平行直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据方程分析对称性即可；对于B：举反例说明即可；对于CD：分类讨论的符号，进而判断曲线表示的图形. 【详解】因为曲线，其中是实数，且至少有1个大于0， 对于选项A：将换成可得， 所以曲线关于轴对称，故A正确； 对于选项B：例如满足，此时曲线表示圆，故B错误； 对于选项C：若，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线； 综上所述：当时，曲线表示双曲线，故C正确； 对于选项D：若，且至少有1个大于0， 当时，曲线是与轴平行的两条直线； 当时，曲线是与轴平行的两条直线； 综上所述：当时，曲线表示两条平行直线，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域，对任意的，恒有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抽象函数的性质，利用赋值法代入计算可判断ABD选项，构造函数，取，进而判断C；化简可得，根据等差数列的概念即可求出，从而得解判断D. 【详解】中取得， 取，得，故A正确； 取得，故B正确； 由题意构造函数，满足， 取，满足，此时， 所以，故C错误； 取，得， 所以，又， 则数列为等差数列，首项为1，公差为1， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：在判断选项CD过程中，构造函数以及利用等差数列的概念应用是解题关键，利用特值代入法是判断并快速排查各选项的技巧. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，向量，，若，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得出两个向量的数量积为0，再使用向量数量积的坐标运算解决即可. 【详解】由，得，即，解得． 故答案为： 13. 在中，，，其面积为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式可得，利用平方公式求解的值，从而得，结合余弦定理求解即可. 【详解】因为，则， 又，则，即， 因为，所以，所以， 由余弦定理得到， 所以. 故答案为：. 14. 设函数，若，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数判断函数单调性，结合函数单调性确定函数值域情况，进而可得参数范围. 【详解】由，可知， 则当时，恒成立，在上单调递减，且的值域为，不满足，不成立； 当时，由得， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，由得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间：，单调递减区间为：. 【解析】 【分析】（1）由题可知，根据可求得； （2）由（1）可知的解析式，化成的形式，根据复合函数单调区间的求法，可求得的单调区间. 【小问1详解】 因为函数，且，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，所以， 所以. 令，显然是增函数. 因为当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 所以当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为：， 单调递减减区间为：. 16. 在如图所示的直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面AEF夹角的大小． 【答案】（1）证明：设，连接，在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以G为的中点，又F为BC的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）90°． 【解析】 【分析】（1）设，连接，证明，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，注意到两个法向量互相垂直，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为三棱柱是直三棱柱， 所以底面ABC，，，又，所以， 以A为原点，直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，则，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量． 设平面的法向量，则，取 ，得，， 所以平面AEF的一个法向量． 因为，所以， 即平面与平面AEF的夹角是90°． 【点睛】 17. 已知函数，其中，. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求导代入得到斜率，再写出点斜式方程即可； （2）等价转化为在上必存在变号零点，再设新函数求导研究即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 所以的图象在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 当时，，定义域为， 所以， 因为在区间上存在极值， 所以在上必存在变号零点， 令，则在上必存在变号零点， 因为，所以，解得， 当时，，且在上单调递增， 又，故存在，使得， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为. 18. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆与的准线相切． （1）求的标准方程； （2）已知是上的一点，是轴上的一点，若的最小值为4，求点的坐标； （3）过点作直线与交于两点，且在两点处的切线交于点，证明：． 【答案】（1） （2）或 （3）证明：证明：根据题意，直线的斜率存在，， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 所以， 对求导，得， 由，解得，所以． 因为， 所以 ， 又，所以. 【解析】 【分析】（1）由题意设出抛物线方程，根据圆的方程明确圆心与半径，结合切线的性质，可得答案； （2）设出动点坐标，根据两点距离公式写出函数解析式，结合二次函数性质，可得答案； （3）由题意设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用导数求得切线方程，联立求交点，结合距离公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意，设的方程为，准线为， 因为圆与的准线相切，且圆心为，半径为 所以，解得，所以的标准方程为． 【小问2详解】 设， 当，即时，，解得或（舍去）； 当，即时，，解得， 所以点的坐标为或． 【小问3详解】 略 19. 某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ （2）在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可以认为是否喜欢排球与性别有关联. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）计算卡方结合表中数据判断即可； （2）（i）由题意构造可得，进而可得数列的通项公式，从而求得； （ii）由题意可得，再根据等比数列求和即可. 【小问1详解】 零假设为：是否喜欢排球与性别无关联. 根据表中的数据，经计算得到 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联. 【小问2详解】 （i）由题意知， 设，所以，所以，解得， 所以， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，即第次传球后球在乙手中的概率为. （ii）因为， 所以当时，的数学期望 ，即的数学期望为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $