河南省A20联盟2025-2026学年九年级上学期数学试题 期末质量检测（二）

河 南 省 A20 联 盟 期 末 质 量 检 测 （二） 数 学 试 题 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。 答在试卷上的答案无效。 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射．下列航天图案可以看作是中心对称图形的是（     ）              A B C D 2．若将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为 （    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的根的情况是 （     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为 （ 　 ） （第4题） （第6题） A． B． C． D． 5．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，（）分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，则b，c的值为 （     ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 7．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是 （     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则的值为 （    ） A． B． C． D． 9．有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，10分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离d（海里），发现与船行路程x（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点B，以下说法正确的是 （    ） A． B．点在函数图象上 C．船行速度为25海里/小时 D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．一元二次方程有实数根 D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 12．已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为： ．（填“”“”或“”） 13．如图，P是外一点，、分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于D、E，若的周长为16，则长为 ． （第13题） （第14题） 14．抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是 ． 15．两块相同的直角三角尺和（，）按如图摆放，顶点，，在直线上．现将三角尺绕顶点顺时针旋转得到三角尺，当三角尺的边与重合时停止旋转，则在旋转过程中与满足数量关系是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（10分）解下列方程： (1)； (2)． 17．（9分）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由． 18．（9分）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)与关于原点O中心对称，画出，并直接写出点的坐标； (2)绕原点O顺时针旋转得到，画出． 19．（9分）如图，的弦，D为的中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 20．（9分）春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广，某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元．随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子．已知矩形硬纸板的长宽分别为，． (1)求从正月初一到初三该影院票房收入的日平均增长率． (2)求纸盒的高 21．（9分）我国古诗词源远流长，我校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为，，，四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： (1)本次共抽取了___________名学生的竞赛成绩，请补全条形统计图； (2)若我校共有1600人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为等级的学生人数； (3)我校在竞赛成绩为等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 23．（10分）在学习完“圆”后，赵老师带领学生开展了一次数学探究活动． (1)如图1，内接于，连接．求证：．小王发现，延长，交于点，连接，进而得证．请完成小王的证明过程； (2)如图2，内接于，过点作，分别交、于、，过点作，交于，连接．求证：； (3)小张突发奇想，如图3，当是钝角三角形时，过点作，分别交延长线、于、，连接．若，，则的直径是多少？请你帮助小张解决这个问题． 数学试题 * 第 页（共4页）1 数学试题 * 第 页（共4页）1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C D C D B B B 1．B 【详解】解：A．选项图形不能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； B．选项图形能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； C．选项图形不能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形不能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．A 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为， 故选：A． 3．A 【详解】解：∵方程的判别式， 又∵， 即， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 4．C 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．D 【详解】解：直线可化为， 则， 解得， 即， 由于直线恒过定点， 则不论为何值，衍生点M始终在该直线上， 即衍生点M的坐标为， 则方程的两个根为、， 由根与系数的关系，得： ， 则， 即， 故选：D． 6．C 【详解】解：连接，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．D 【详解】解：用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，画树状图为， 共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种， ∴抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是， 故选：． 8．B 【详解】解：过点作于点，连接、，如图， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 为弧的中点， ，， ， 在中，， ∴ 在中，， ， 设，，则， 在和中， ， 解得， ，，， ， ． 故答案为：B 9．B 【详解】解：∵在该函数图象上， ∴当时，，即或（舍去）； ∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里， ∵二次函数的最低点B的坐标为， ∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里， ∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里， 如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示， 过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里， ∴由勾股定理得，即，故A说法错误； 当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里， ∴海里， ∴， ∴点在函数图象上，故B说法正确； 设10分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， ∴船行速度为海里/小时，故C说法错误； 由点B的坐标可知，对称轴为直线， ∴由对称性可知点在函数图象上， ∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔， ∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故D说法错误； 故选：B． 10．B 【详解】解：抛物线顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 抛物线与轴的一个交点在点和之间， 当时，，即，故A选项错误，不符合题意； 抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ， ，故B选项正确，符合题意； 抛物线的开口向下， 抛物线的最大值为， 直线与抛物线没有交点， 一元二次方程没有实数根，故C选项错误，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线，即， ， 时，， ，即，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 11． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴， 即 ． 则 ． 故答案为 ． 12． 【详解】解：当 时，， 当 时，， 则， ． 13．8 【详解】解：由切线长定理得：， ∴的周长为： ， 已知周长为，且，故， 解得． 故答案为：8． 14． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵点是抛物线上的任意一点，轴交于点， ∴， ∴，， ∵位于线段的上方， ∴，， ∵，的长度随增大而减小， ∴， ∴的取值范围是． 故答案为： 15． 【详解】解：设旋转角为，根据题意，得， 又，， 故， 故， 故， 故， 故， 故答案为：． 16．（1）解：， ∴， ∴， ∴， 或， ． （2）解：， ∴， ∴， 或， ． 17．（1）解：将点和点代入表达式，得， ， 解得，， ∴二次函数的表达式为； （2）解：将点代入，得， ， 同理，， ． 当时，，此时，即； 当时，，此时，即； 当时，，此时，即； ∴当时，；当时，；当时，． 18．（1）解：如下图所示， 分别作出点、、关于原点的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求； 点的坐标是， 点的坐标是； （2）解：如下图所示， 分别画出点、绕原点顺时针旋转得到的对应点、、， 连接点、、，得到， 即为所求． 19．（1）证明：∵D为的中点， ∴． ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． 如图，连接， 设的半径为r，则， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴的半径为． 20．（1）解：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为a， 则， 解得：，（舍去）， 即从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）解：设纸盒的高为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：纸盒的高为． 21．（1）解：本次共抽取的学生人数为：（人）， 成绩为等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：（人） ∴估计竞赛成绩为等级的学生人数为人； （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的有种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率为． 22．（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 23．（1）证明：如图， 为直径， ∴． ， ． （2）证明：如图，连接并延长交圆于点，连接， 由（1）知，， 又， ． ． ，， ，． ． ． ． （3）解：如图，连接并延长交圆于点，连接，，， ，， 又， ． ，， ． ． ，, ． ． ． ． 作，则，， 则． 故圆的直径为． 答 案 * 第 页（共12页）1 答 案 * 第 页（共12页）1 学科网（北京）股份有限公司 $