精品解析：广东省广州市天河区华南师范大学附属中学2025-2026学年上学期 八年级数学期末试题

2025—2026学年第一学期期末数学检测八年级数学试卷（B卷） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，请分40分） 1. 剪纸艺术遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，春节临近，彩纸巧剪，送给人们真挚的新年祝福．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状不会改变，其中的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 直角三角形两锐角互余 3. 计算（ ） A. B. 1 C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分，，则点D到的距离为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 3 6. 如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能是 （　　） A. B. C. b D. 8. 如图，在和中，，，若添加下列一个条件后，仍然不能证明，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 当______时，分式的值为0． 12. 因式分解：_____ 13. 已知，，则______． 14. 如图，在中，，，于点，则=___________° 15. 若关于的方程的解为负数，则的取值范围是___________． 16. 如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 ___．（只填写序号） 三、解答题（本大题共9小题，共86分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）因式分解：． 18. 如图，．求证：． 19. 化简 ，然后从－1，0，1，2 中选取一个你喜欢的数作为x 的值代入求值． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，． （1）画出关于轴对称的，其中点的对应点是点，点的对应点是点； （2）请分别写出点的坐标，并求出的面积； （3）在轴上找一点，使得的值最小，点的坐标为___________． 22. 随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行路程为16千米．若采用传统车辆匀速配送，配送路程为30千米，且配送速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若要求无人机在15分钟以内（含15分钟）从物流基地匀速飞行到达该医院，则无人机的速度至少还要增加多少千米/时，才能完成此次配送任务？ 23. 如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 24. 【问题探究】 （1）如图①，在直线的异侧有A，B两点，连接，且．点为直线上的动点，连接，，则的最小值为__________； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 【问题解决】 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供大家观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中，，为原有的一条小路，于点，为方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在线段，上，且满足，为节约成本，要求新开发的两条小路的长度和尽可能的小，求出当最小时的度数． 25. 如图① ，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于两点．的长度分别为和，且满足． （1）判断的形状； （2）如图② ，在直线上取一点，连接，过两点分别作于，于，若，求的长； （3）如图③ ，为上一动点，以为斜边作等腰直角，为的中点，连接，试问：线段是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末数学检测八年级数学试卷（B卷） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，请分40分） 1. 剪纸艺术遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，春节临近，彩纸巧剪，送给人们真挚的新年祝福．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐一判断各选项，选出符合题意的即可． 【详解】解：A项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半互相重合，所以不是轴对称图形，故A错误； B项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半互相重合，所以是轴对称图形，故B正确； C项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半互相重合，所以不是轴对称图形，故C错误； D项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半互相重合，所以不是轴对称图形，故D错误， 故选：B． 2. 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状不会改变，其中的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 直角三角形两锐角互余 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状不会改变，其中的数学道理是三角形的稳定性， 故选：． 3. 计算（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数化简．熟练掌握负整数指数的意义性质，是解题的关键． 利用负指数法则，将表达式转化为正指数的倒数形式，然后计算平方. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ . 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，整式的乘除法，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别利用同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，多项式乘以多项式和多项式除以单项式计算即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意， 故选：A． 5. 如图，在中，，平分，，则点D到的距离为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，     ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是5. 故选：C． 6. 如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余．首先求出，然后求出，然后根据含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：B． 7. 若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能是 （　　） A. B. C. b D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法运算转化为乘法，并利用平方差公式化简，得到结果为，要求结果为整式，则分子必须能被分母整除，即必须包含因子，即可求解． 【详解】解： 要求结果为整式，即为整式， ∴必须能被整除. 只有选项C符合题意， 故选：C． 8. 如图，在和中，，，若添加下列一个条件后，仍然不能证明，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，将选项中的条件依次代入题干中的条件里，不能证明全等三角形的条件即为正确答案． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴， 故A不符合； ∵， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， 故B不符合； 在和中， ∵，，， ∴， 故C不符合； 添加，仍然不能证明， 故D符合； 故选：D． 9. 如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 10. 有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，平方差公式的应用，设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由丙得知：， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 当______时，分式的值为0． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件． 分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且， 故答案为：8． 12. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算法则的综合应用．先利用幂的乘方法则求出的值，再利用同底数幂的除法法则求出的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，于点，则=___________° 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等、直角三角形两锐角互余是解题的关键． 先根据等腰三角形性质求出底角的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若关于的方程的解为负数，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数，确定出k的范围即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 16. 如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 ___．（只填写序号） 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】①根据，，即可得解； ②先证明是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得结论； ③根据“边角边”即可证明； ④根据可得，再结合进而可以判断； ⑤由结合④即可得结论． 【详解】解：①∵， ， ， ，故①正确； ②是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又平分， 是的垂直平分线， ，故②正确； ③，， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ，故③正确； ④， ， ∵； ；故④正确； ⑤， ，故⑤正确． 综上所述①②③④⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等相关知识，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用单项式乘多项式法则计算，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用证明即可得出结果． 【详解】略 19. 化简 ，然后从－1，0，1，2 中选取一个你喜欢的数作为x 的值代入求值． 【答案】化简后为，当x=2时，代数式的值为2 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式=， =， =. 当x=2时，原式==2. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识点，根据题意、正确作图是解题的关键． （1）利用尺规按要求作出图形即可； （2）根据三角形内角和定理、垂直平分线的性质、等边对等角、角平分线的定义等知识点求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，． （1）画出关于轴对称的，其中点的对应点是点，点的对应点是点； （2）请分别写出点的坐标，并求出的面积； （3）在轴上找一点，使得的值最小，点的坐标为___________． 【答案】（1） 如图，为所作的图形； （2），；的面积为； （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短路线问题、三角形的面积、坐标与图形变化，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据轴对称的定义画出图形，即可求解； （2）根据图形写出点的坐标，的面积等于长方形的面积减去周围3个三角形的面积，即可求解； （3）根据题意，利用轴对称的性质，找到点B关于x轴的对称点，连接，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图，可得 ，． ． 【小问3详解】 解：连接，与x轴的交点即为点P，由图可得，点P的坐标为．理由如下： ∵点B与点关于x轴对称， ∴， ∴， 根据“两点之间，线段最短”，可得此时的值最小． 故答案为：． 22. 随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行路程为16千米．若采用传统车辆匀速配送，配送路程为30千米，且配送速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若要求无人机在15分钟以内（含15分钟）从物流基地匀速飞行到达该医院，则无人机的速度至少还要增加多少千米/时，才能完成此次配送任务？ 【答案】（1）无人机配送速度是千米/时，传统车辆配送速度是千米/时 （2）无人机的速度还要至少增加千米/时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；找出等量关系式及不等关系式是解题的关键． （1）等量关系式：传统车辆匀速配送路程为30千米的所用时间无人机飞行路程为16千米的所用时间小时，据此列方程，即可求解； （2）不等关系式：小时无人机的增速后的速度千米，据此列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设无人机的配送速度分别是千米/时，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； （千米/时）， 答：无人机配送速度是千米/时，传统车辆配送速度是千米/时； 【小问2详解】 解：设无人机的速度还要增加千米/时，由题意得 ， 解得：， 答：无人机的速度还要至少增加千米/时． 23. 如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】（1）2 （2）①；②1 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； 【小问3详解】 由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 24. 【问题探究】 （1）如图①，在直线的异侧有A，B两点，连接，且．点为直线上的动点，连接，，则的最小值为__________； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 【问题解决】 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供大家观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中，，为原有的一条小路，于点，为方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在线段，上，且满足，为节约成本，要求新开发的两条小路的长度和尽可能的小，求出当最小时的度数． 【答案】（1）4； （2）证明：， ， 在与中， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短、全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短即可得答案； （2）根据题目给出的两组对应边相等，结合平行线的性质推出夹角相等，利用边角边证得全等三角形，从而得到对应线段相等即可； （3）以为边，为顶点，向下作，使得，连接，证明，推出，当、、三点共线时，最小，进而计算的度数． 【详解】解：（1）∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线的时候，的最小值为； 故答案为：4； （2）略 （3）如图所示，以为边，为顶点，向下作，使得，连接， 在与中， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，此时，点位置如图所示， 此时，， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ． 25. 如图① ，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于两点．的长度分别为和，且满足． （1）判断的形状； （2）如图② ，在直线上取一点，连接，过两点分别作于，于，若，求的长； （3）如图③ ，为上一动点，以为斜边作等腰直角，为的中点，连接，试问：线段是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明． 【答案】（1）为等腰直角三角形 （2） （3） 解：且， 证明如下： 延长到点，使，连接、、、，如图所示： 在和中， ． ， ，，则， 又，， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ，且． 【解析】 【分析】本题考查完全平方差公式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质相关知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）已知，化简可得，然后可得为等腰直角三角形； （2）证明，求出、、，然后数形结合求出的值； （3）延长到点，使，连接、、、，如图所示，利用三角形全等的判定与性质求证即可得到答案． 【小问1详解】 解：等腰直角三角形． ， ， ， ， 为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $