第01讲 一次方程（组）及其应用（复习讲义，3考点+3题型）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦一次方程（组）及其应用中考核心考点，涵盖解法、实际应用及与一次函数综合，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析、命题预测及分层练习系统架构，以考点梳理、方法指导和真题训练突破应用建模与函数转化难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融合古代数学典籍与生活场景命题，培养学生抽象能力与模型意识，如用“审建解析答”五步解决《算学启蒙》追及问题。设基础到新趋势分层练习，配合真题模拟题训练，助力学生高效提升运算与应用能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 19 命题点一 一元方程（组）及其解法 题型01已知一元一次方程的解求代数式的值 题型02解一元方程组 命题点二 一元方程（组）的实际应用 题型01 列一元一次方程 05·重难突破·思维进阶 26 突破一 一元方程（组）的实际应用与函数综合 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 由实际问题抽象出一次方程（组） 天津卷 （第8题） 天津卷 （第9题） / 能从实际问题中提炼数量关系，列出一次方程（组），将实际问题转化为数学模型，同时能检验方程的解是否符合实际场景的合理性。 一次方程（组）与一次函数结合 天津卷 （第23题） 天津卷 （第23题） 天津卷 （第23题） 要求学生能实现一次方程组与一次函数的双向代数转化。一方面，知晓任意一个二元一次方程都可通过移项等变形转化为一次函数y=kx+b（k、b为常数，k=0）的形式，理解每个二元一次方程都对应一个一次函数；另一方面，能利用待定系数法，结合一次函数图象上两个点的坐标等条件，列出二元一次方程组，进而确定一次函数的表达式，明确方程组与函数表达式的求解对应关系。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为基础题，未来仍会以低难度题目为主，分值大概率维持在3 - 8分。选择题大概率会保留3分的单题分值，同时可能继续通过一元一次不等式组解答题（8 分）间接考查方程运算，确保基础分的考查占比。 应用场景双轨并行：一方面会延续2024、2025年风格，继续选取《九章算术》《算学启蒙》等古代数学典籍中的问题作为背景，考查二元一次方程组或一元一次方程的应用；另一方面可能像天津中考函数题的风格，融入快递配送、共享单车等生活场景，让题目更贴近现实，聚焦行程、分配等基础实际问题的建模。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强一次方程（组）与其他知识点的融合。比如和一次函数图像结合，通过求函数交点坐标转化为解二元一次方程组；或与几何图形的边长、周长计算结合，用方程思想解决几何中的定量问题，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以选择题为主要独立考查形式，偶尔在填空题中结合函数知识点考查。单独考查解二元一次方程组的题目大概率会回归，符合天津中考“方程与不等式”部分解二元一次方程组每年1道的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 实际应用之列一次方程（组） 1. 列方程解应用题的一般步骤 审：审题，找出已知量、未知量及等量关系； 设：设未知数（直接设：问什么设什么；间接设：设与所求量相关的量）； 列：根据等量关系列出一元一次方程； 解：解所列方程，求出未知数的值； 验：检验解是否符合实际意义； 答：写出答案（带单位）。 2.常见的应用题型和等量关系 题型 核心等量关系 和差倍问题 较大数 = 较小数 + 差；总量 = 倍数 × 倍量 行程问题 ①相遇：路程和=总路程；②追及：路程差=初始距离；③匀速：路程=速度×时间 工程问题 ①工作总量=工作效率×工作时间；②总工作量=各部分工作量之和（常把总工作量设为1） 利润问题 ①利润=售价-成本；②利润率=；③售价=标价×折扣 配套问题 配套的两种物品数量比等于配套比（例：1个螺栓配2个螺母，则螺栓数×2 =螺母数） 1．（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·二模）某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设参加“深海探幽”活动的人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津河西·二模）在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜一场得分，负一场得分．某队在场比赛中得到了分．那这个队的胜负场数分别是多少呢？设这个队胜的场数是，负的场数是，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 考点二 一次方程（组）与一次函数综合 所有综合应用题都可按“审→建→解→析→答”五步完成，步骤可灵活调整，但核心环节不能少，尤其适合方案选择、费用比较、行程问题、工程问题等高频题型： 步骤1：审——审题找关键，分两类梳理信息 这是最关键的一步，避免因信息遗漏列错式子，重点梳理**“已知量”“未知量”“不变量”“变化量“**,并区分两类信息： ①代数信息：实际问题中的数量关系(如“总价=单价×数量”路程=速度×时间”“总费用=固定费用+可变 费用”)； ②函数信息：是否有“图像”“折线”“交点”“增减趋势”等描述，或隐含的“两个变化量的线性关系”。 技巧：用横线标出关键词(如“共需””每增加”“相遇”“费用相同”“更省钱”)，用字母表示未知量(通常设题目要求的量或变化的自变量为x，因变量为y)。 步骤2：建——建立模型，分两种情况建模 根据题目条件，建立一次函数解析式或一次方程（组），核心是“谁是自变量，谁是因变量”，且解析式必须标注自变量的取值范围（实际问题中x通常为非负整数、正数等，这是易错点）。 情况1：已知数量关系，先建函数解析式 若题目给出“两个量的线性变化关系”（如“租车有固定费+每公里费”“购物有起步价+超量加价”），直接设自变量为x（变化的量，如公里数、购买数量），因变量为y（所求的量，如总费用、总路程），根据数量关系列y=kx+b，再利用已知点的坐标（实际问题中的一组x、y值）代入，通过解一元一次方程/二元一次方程组求k、b，确定解析式。 情况2：已知函数图像/交点，先建方程(组) 若题目给出一次函数的图像(如折线图、两条直线),先从图像中提取关键点坐标(与坐标轴交点、两直线交点、折线的折点),再通过坐标建方程(组)求解析式，或直接利用交点解方程组得未知量。 技巧：图像上的“点”就是“一组x、y的对应值”,看到点先标坐标，再代入解析式。 步骤3：解——求解模型，代数运算保准确 根据建立的函数解析式或方程(组),进行代数求解，注意两点： 1.解一次方程(组):遵循基本解法(消元法解方程组),计算时注意符号、系数化为1的步骤，避免计算错误； 2.求函数解析式后，务必验证：将已知点代入解析式，检查左右两边是否相等，确保解析式正确(解析式错则后续全错)。 步骤4：析——结合题意分析，数形结合解问题 这是综合题的难点，需把代数结果还原到实际问题中，结合函数图像和增减性分析，解决题目具体问题（如求最值、方案选择、取值范围），核心是三类常见问题的分析方法： 步骤5：答——规范作答，贴合实际 根据分析结果作答，注意两点规范： 1.答案必须结合实际问题，不能只写代数结果（如x=5，要说明“行驶5公里时”“购买5件时”）； 2.涉及方案选择的，要明确“当x满足××时，选方案×；当x=××时，两种方案均可”，不遗漏情况； 3.自变量为整数的（如“购买件数"“车辆数"），答案必须取整数，不能写小数/分数。 1．（2025·天津和平·三模）已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 2．（2025·天津河北·二模）已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家，文化中心离家，李明从家出发，先匀速步行了到健身园，在健身园停留了，之后匀速步行了到文化中心，在文化中心停留了后，再匀速骑行返回家，下面图中表示时间，表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 时间 3 7 12 21 距离 ②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为_____； ③当时，请直接写出李明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当李明离开家时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行回到家中，那么李明从文化中心回家途中（）两人相遇时离家的距离是多少（直接写出结果即可）？ 3．（2025·天津南开·二模）已知学生宿舍、文具店、图书馆依次在同一条直线上，文具店距离宿舍，图书馆距离宿舍．张强从宿舍出发，匀速骑行到图书馆，在图书馆中查阅资料停留了一段时间；接着他匀速骑行到达了文具店，在文具店停留了购买文具；最后，他又匀速骑行回到宿舍．下图中（单位：）．表示张强离开宿舍的时间，（单位：）表示张强离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与张强离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 张强离开宿舍的时间（单位：） 0.5 1.8 2.3 2.4 2.6 张强离宿舍的距离（单位：） 4 1 0 (2)填空：①文具店到图书馆的距离为 ； ②张强在图书馆查阅资料停留的时间为 ； ③当时，请直接写出关于的函数解析式． (3)当张强离开宿舍时，同宿舍的李明从图书馆出发匀速步行直接回宿舍，最后，他与张强同时到达宿舍，那么，张强从图书馆回宿舍的途中（），两人相距时，张强离开宿舍的时间为 ． 4．（2025·天津红桥·二模）已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 2 ②填空：李明从超市返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 5．（2025·天津和平·二模）已知张华的家、体育场、图书馆依次在同一条直线上，体育场离家．张华从家出发，先匀速跑步到达体育场，在体育场锻炼了，之后以的速度匀速步行到图书馆，在图书馆停留了后，再匀速骑行返家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间/ 2 15 40 92 张华离家的距离 ②填空：张华从家跑步去体育馆途中，跑步的平均速度为_______； ③填空：的值为_______； ④当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开体育馆时，同学李津也从体育馆出发匀速骑行直接到达图书馆，那么从体育馆到图书馆的途中两人相遇时离张华家的距离是多少？（直接写出结果即可） 命题点一 一元方程（组）及其解法 ►题型01 已知一元一次方程的解求代数式的值 题型1：直接代入型（基础题，无变形，一步到位） 特征：方程无参数，或代解后能直接求出参数，代数式是未知数的简单线性形式（如2x+3、5x-1）。 解法：分解求参数（有则求）→直接把解/参数值代入代数式计算。 题型2：整体代换型（中考高频，中档题核心） 特征：代数式无法直接代入，但其部分形式与方程变形后的式子完全一致（如方程得3x-2=4，代数式是6x-4+5）。 解法：分解建等式→变形构造整体→整体代入求值（核心：不单独求未知数，直接代换整体）。 【典例】（2025·天津·模拟预测）若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B．5 C． D．3 【变式1】（2025·天津·模拟预测）关于的方程的解是，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（2025·天津·模拟预测）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·天津·模拟预测）若方程与方程的解相同，则 ． 【变式4】（2025·天津·模拟预测）关于的方程的解是，则当时，整式的值是 ． ►题型02 解一元方程组 一、加减消元时符号/计算出错（最高频） 核心错因：系数相等时减法消元未给被减方程加括号，导致括号内项不变号；或系数互为相反数时误做减法，直接消元失败。 二、凑系数/代入时漏乘/未加括号（次高频） 核心错因：1.加减消元凑系数时，仅乘含消元未知数的项，漏乘方程的常数项；2.代入消元时，将多项式形式的代数式代入，未加括号导致乘法分配律用错。 三、消元/回代操作不规范（必考易错） 核心错因：1.代入消元时，将变形后的代数式代回原变形方程，导致循环求解（得0=0）；2.求出一个未知数后，回代时选系数复杂、含分母的方程，增加计算失误。 【典例】（2025·天津·模拟预测）将方程去分母，结果正确的是（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 【变式1】（2025·天津红桥·一模）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津·模拟预测）解方程组： 【变式3】（2025·天津·模拟预测）解二元一次方程组： ． 命题点二 一元方程（组）的实际应用 ►题型01 列一元一次方程 【典例】（2025·天津·模拟预测）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津·模拟预测）用一根绳子测量桌子的长度，绳子比桌子长2米；把绳子对折后测量，桌子比绳子的一半长米．设绳子长米，桌子长米，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津河北·二模）《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·天津滨海新·二模）《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·天津和平·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【变式5】（2025·天津西青·一模）我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这件物品价格是多少？设共有人，物品价格是钱，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·天津·一模）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 突破一 一元一次方程的实际应用与函数综合 【典例】（2025·天津·一模）《龟兔赛跑》是一则广为人知的寓言故事，某兴趣小组对“龟兔赛跑”进行故事新编，塑造了一只知错能改的兔子和一只坚持不懈的乌龟．新故事中兔子和乌龟在一条直线形的跑道上进行折返跑，兔子和乌龟同时从始点出发，兔子从始点匀速跑了，在距始点处发现乌龟已落后，就开始骄傲的睡了，醒来后发现乌龟已超过它，于是加快追赶，匀速跑了到达处的折返点时，还是比乌龟到达折返点晚了，小兔子认识到错误，立即返程，匀速跑了返回始点，下图中表示时间，表示离始点的距离，图象反映了这个过程中兔子离始点的距离和时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 兔子离开始点的时间 1 3 35 45 兔子离始点的距离 450 ②填空：兔子从折返点返回始点的速度为_____________； ③当时，请直接写出兔子离始点的距离关于时间的函数解析式； (2)乌龟从始点匀速跑了到达折返点后，立即返程，又匀速跑了返回始点，以自己不懈的努力跑完全程．从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是多少？（直接写出结果即可） 【变式1】（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【变式3】（2025·天津河北·一模）已知小华一家结束了假期家庭旅游，准备沿馆直的公路驾驶两辆私家车承载参与旅行的所有家庭成员由景区旅店返回家中，小华和小华的妈妈分别驾驶两车，同时出发、其中，小华驾车出发后，匀速行驶了一段时间，发现遗忘了某件物品在旅店中，随即调头匀速驶向旅店，途中在路旁的加油站加油，再匀速行驶，到达旅店，在工作人员的帮助下进行寻找，并找到了遗失的物品，之后驱车匀速回到家中．下面图中x表示时间，y表示小华所驾驶的私家车离家的距离．图象反映了这个过程中小华所驾驶的私家车离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 时间 1.2 1.6 2 2.6 距离 70 ②填空：小华加油用了______h； ③当时，请直接写出小华驾驶的私家车离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妈妈匀速驾驶另一辆私家车返回家中，比小华早到家1.2h，小华的妈妈驾车回家过程中，与调头驶往旅店的小华所驾驶的车辆相遇时，妈妈已经驾车行驶了多少小时（直接写出结果即可）？ 【变式4】（2025·天津河西·一模）已知甲、乙、丙三个码头依次在一条直线上，甲、乙码头之间的距离为，乙、丙码头之间的距离为．一艘游轮从甲码头出发前往丙码头，途中经过乙码头停靠了两个小时，又继续航行到达丙码头，且游轮停靠前后的行驶速度不变．下面的图象反映了这个过程中游轮离甲码头的距离与时间之间的对应关系． (1)①根据题中所给信息，图中的值为 ，的值为 ； ②填表： 游轮离开甲码头的时间 1 10 15 20 游轮离开甲码头的距离 280 (2)请直接写出在整个过程中，游轮离甲码头的距离关于时间的函数解析式； (3)在游轮到达乙码头1小时的时候，有一货轮也从甲码头出发前往丙码头，已知货轮的速度是游轮的3倍，那么货轮在行驶途中能否遇到游轮？若能相遇，相遇地距离甲码头的路程是多少？（直接写出结果即可） 【变式5】（2024·天津武清·三模）已知小明的家、书店、快递站依次在同一条直线上，书店距小明的家，小明从家出发用先到达了书店，在书店停留了一会购买学习资料，再匀速前往距家的快递站，到达快递站用取到快递后匀速回家．下面图中x表示时间(单位：)，y表示小明离家的距离(单位：)．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间/ 2 4 8 10 小明离家的距离/ 200 ②填空：小明从书店到快递站的速度为_______； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小明取到快递准备回家时，爸爸从家出发沿同一路线匀速去找他，已知爸爸的速度为，那么小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间是多少？(直接写出结果即可) 1．（2025·天津·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·模拟预测）如图是一个正方体的表面展开图，所有相对面的数字之和相等，则的值是（   ） A．5 B．1 C．3 D． 3．（2025·天津·模拟预测）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 4．（2025·天津·模拟预测）已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是 ． 5．（2025·天津·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组，则的值为 ． 6．（2024·天津·二模）某学校计划组织1200名师生参加社会实践活动，其中包括25名教师与某公交公司洽谈后得知该公司有A、B型两种客车．每辆A型客车载客54人，租金480元；每辆B型客车载客36人，租金280元．由于每辆车上要求有一名教师，决定租用25辆客车． 设租用A型客车x辆（x为非负整数）． （Ⅰ）根据题意填写下表： 客车类型 车辆数（辆） 载客数（人） 租金（元） A型客车 x B型客车 （Ⅱ）若租车总费用为10800元，怎样安排车辆？ （Ⅲ）采取怎样的租车方案可以使租车总费用最低，最低是多少元？ 7．（2023·天津河东·一模）某蔬菜公司要从A市调运两车蔬菜运往B市．已知A市离B市，甲、乙两辆货车同时沿同一路线从A市出发前往B市，且行驶过程中甲车速度保持不变．乙车行驶时发生故障，此时甲车刚好到达B市．乙车在发生故障地原地维修，甲车在B市停留了，卸载蔬菜后原路行驶了到达乙车发生故障地，用了把乙车的蔬菜装上甲车，然后甲车立即沿原路行驶了到达B市，在此过程中乙车一直在发生故障地维修．甲车离A市的距离与行驶所用时间之间的对应关系如图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开A市的时间/ 1 5 离A市的距离/ (2)填空： ①A市到乙车发生故障地的距离为_______； ②当两车之间的距离是时，甲车离开A市的时间为________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 1．（2025·天津·模拟预测）已知二次函数在时有最小值，则（　　） A．或 B．4或 C．或 D．4或 2．（2025·天津·模拟预测）已知为常数，关于的一元一次方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ． 3．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 1．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 2．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 3．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为 ． 4．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 6．（2025·湖北·中考真题）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 19 命题点一 一元方程（组）及其解法 题型01已知一元一次方程的解求代数式的值 题型02解一元方程组 命题点二 一元方程（组）的实际应用 题型01 列一元一次方程 05·重难突破·思维进阶 26 突破一 一元方程（组）的实际应用与函数综合 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 由实际问题抽象出一次方程（组） 天津卷 （第8题） 天津卷 （第9题） / 能从实际问题中提炼数量关系，列出一次方程（组），将实际问题转化为数学模型，同时能检验方程的解是否符合实际场景的合理性。 一次方程（组）与一次函数结合 天津卷 （第23题） 天津卷 （第23题） 天津卷 （第23题） 要求学生能实现一次方程组与一次函数的双向代数转化。一方面，知晓任意一个二元一次方程都可通过移项等变形转化为一次函数y=kx+b（k、b为常数，k=0）的形式，理解每个二元一次方程都对应一个一次函数；另一方面，能利用待定系数法，结合一次函数图象上两个点的坐标等条件，列出二元一次方程组，进而确定一次函数的表达式，明确方程组与函数表达式的求解对应关系。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为基础题，未来仍会以低难度题目为主，分值大概率维持在3 - 8分。选择题大概率会保留3分的单题分值，同时可能继续通过一元一次不等式组解答题（8 分）间接考查方程运算，确保基础分的考查占比。 应用场景双轨并行：一方面会延续2024、2025年风格，继续选取《九章算术》《算学启蒙》等古代数学典籍中的问题作为背景，考查二元一次方程组或一元一次方程的应用；另一方面可能像天津中考函数题的风格，融入快递配送、共享单车等生活场景，让题目更贴近现实，聚焦行程、分配等基础实际问题的建模。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强一次方程（组）与其他知识点的融合。比如和一次函数图像结合，通过求函数交点坐标转化为解二元一次方程组；或与几何图形的边长、周长计算结合，用方程思想解决几何中的定量问题，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以选择题为主要独立考查形式，偶尔在填空题中结合函数知识点考查。单独考查解二元一次方程组的题目大概率会回归，符合天津中考“方程与不等式”部分解二元一次方程组每年1道的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 实际应用之列一次方程（组） 1. 列方程解应用题的一般步骤 审：审题，找出已知量、未知量及等量关系； 设：设未知数（直接设：问什么设什么；间接设：设与所求量相关的量）； 列：根据等量关系列出一元一次方程； 解：解所列方程，求出未知数的值； 验：检验解是否符合实际意义； 答：写出答案（带单位）。 2.常见的应用题型和等量关系 题型 核心等量关系 和差倍问题 较大数 = 较小数 + 差；总量 = 倍数 × 倍量 行程问题 ①相遇：路程和=总路程；②追及：路程差=初始距离；③匀速：路程=速度×时间 工程问题 ①工作总量=工作效率×工作时间；②总工作量=各部分工作量之和（常把总工作量设为1） 利润问题 ①利润=售价-成本；②利润率=；③售价=标价×折扣 配套问题 配套的两种物品数量比等于配套比（例：1个螺栓配2个螺母，则螺栓数×2 =螺母数） 1．（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 2．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 3．（2025·天津·二模）某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设参加“深海探幽”活动的人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程． 设参加“深海探幽”活动的人数为，则参加“九天揽月”活动的人数为，再根据七年级学生共200人列方程即可． 【详解】解：设参加“深海探幽”活动的人数为， ∵参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1， ∴参加“九天揽月”活动的人数为， ∴可列方程为， 故选：B． 4．（2025·天津河西·二模）在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜一场得分，负一场得分．某队在场比赛中得到了分．那这个队的胜负场数分别是多少呢？设这个队胜的场数是，负的场数是，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个队胜的场数是，负的场数是，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这个队胜的场数是，负的场数是， 由题意得，， 故选：． 考点二 一次方程（组）与一次函数综合 所有综合应用题都可按“审→建→解→析→答”五步完成，步骤可灵活调整，但核心环节不能少，尤其适合方案选择、费用比较、行程问题、工程问题等高频题型： 步骤1：审——审题找关键，分两类梳理信息 这是最关键的一步，避免因信息遗漏列错式子，重点梳理**“已知量”“未知量”“不变量”“变化量“**,并区分两类信息： ①代数信息：实际问题中的数量关系(如“总价=单价×数量”路程=速度×时间”“总费用=固定费用+可变 费用”)； ②函数信息：是否有“图像”“折线”“交点”“增减趋势”等描述，或隐含的“两个变化量的线性关系”。 技巧：用横线标出关键词(如“共需””每增加”“相遇”“费用相同”“更省钱”)，用字母表示未知量(通常设题目要求的量或变化的自变量为x，因变量为y)。 步骤2：建——建立模型，分两种情况建模 根据题目条件，建立一次函数解析式或一次方程（组），核心是“谁是自变量，谁是因变量”，且解析式必须标注自变量的取值范围（实际问题中x通常为非负整数、正数等，这是易错点）。 情况1：已知数量关系，先建函数解析式 若题目给出“两个量的线性变化关系”（如“租车有固定费+每公里费”“购物有起步价+超量加价”），直接设自变量为x（变化的量，如公里数、购买数量），因变量为y（所求的量，如总费用、总路程），根据数量关系列y=kx+b，再利用已知点的坐标（实际问题中的一组x、y值）代入，通过解一元一次方程/二元一次方程组求k、b，确定解析式。 情况2：已知函数图像/交点，先建方程(组) 若题目给出一次函数的图像(如折线图、两条直线),先从图像中提取关键点坐标(与坐标轴交点、两直线交点、折线的折点),再通过坐标建方程(组)求解析式，或直接利用交点解方程组得未知量。 技巧：图像上的“点”就是“一组x、y的对应值”,看到点先标坐标，再代入解析式。 步骤3：解——求解模型，代数运算保准确 根据建立的函数解析式或方程(组),进行代数求解，注意两点： 1.解一次方程(组):遵循基本解法(消元法解方程组),计算时注意符号、系数化为1的步骤，避免计算错误； 2.求函数解析式后，务必验证：将已知点代入解析式，检查左右两边是否相等，确保解析式正确(解析式错则后续全错)。 步骤4：析——结合题意分析，数形结合解问题 这是综合题的难点，需把代数结果还原到实际问题中，结合函数图像和增减性分析，解决题目具体问题（如求最值、方案选择、取值范围），核心是三类常见问题的分析方法： 步骤5：答——规范作答，贴合实际 根据分析结果作答，注意两点规范： 1.答案必须结合实际问题，不能只写代数结果（如x=5，要说明“行驶5公里时”“购买5件时”）； 2.涉及方案选择的，要明确“当x满足××时，选方案×；当x=××时，两种方案均可”，不遗漏情况； 3.自变量为整数的（如“购买件数"“车辆数"），答案必须取整数，不能写小数/分数。 1．（2025·天津和平·三模）已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①，，；②120；③；④当时，；当时， (2) 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据函数图象得出每个小明离开家的时间所对应的离家的距离，进行作答即可； ②运用时间相减即可作答； ③根据路程除以时间等于速度，即可作答． ④根据函数图象得当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为，运用待定系数法进行作答即可． （2）先由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为，得到当小明离开科技馆时，小明已经走了，再设小华和小明相遇时，小华走了分钟，列式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据函数图像， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为； 故答案为：，，； ② ∴小明在科技馆参观学习花费的时间为； 故答案为：120； ③ ∴小明从科技馆返回家的速度为； 故答案为：； ④依题意，当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； 设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为， 依题意，把，代入得， ， 解得， ∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； （2）解：由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为， 当小明离开科技馆时，小明已经走了， 设小华和小明相遇时，小华走了分钟，小华的速度为， ∴， 解得， 则， ∴当小华和小明相遇时，小明离家的距离是． 2．（2025·天津河北·二模）已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家，文化中心离家，李明从家出发，先匀速步行了到健身园，在健身园停留了，之后匀速步行了到文化中心，在文化中心停留了后，再匀速骑行返回家，下面图中表示时间，表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 时间 3 7 12 21 距离 ②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为_____； ③当时，请直接写出李明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当李明离开家时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行回到家中，那么李明从文化中心回家途中（）两人相遇时离家的距离是多少（直接写出结果即可）？ 【答案】(1)①，，2；②；③当时，；当时，； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数与行程问题，一元一次方程与行程问题，理解函数图象，正确列式，求解函数解析式是关键． （1）①根据图示可得李明的速度，由行程的数量关系即可求解；②结合图示，运用行程的数量关系计算即可；③结合图示，运用待定系数法即可求解； （2）分别算出李明回家的速度，李明的爸爸回家的速度，设李明走了追到，即两人相遇，由此列式得到相遇时间，根据行程的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：①健身园离家，匀速步行了到健身园， ∴李明的速度为， ∴当时间为的距离为， ∵在健身园停留了， ∴当时间为的距离为， ∵之后匀速步行了到文化中心，即时间为时，李明到了文化中心，并在文化中心停留了， ∴当时间为的距离为， ∴填表如下， 时间 距离 ②李明从健身园步行到文化中心的速度为， 故答案为：； ③当时，设距离关于时间的函数解析式为，把点代入解析式得 ， ， 解得，， ∴， 当时，距离的值不变， ∴； （2）解：当李明离开家时，李明距家的距离为，此时李明的爸爸从文化中心回家，用时， ∴李明的爸爸的速度为， ∵李明用时回到家， ∴李明的速度为， 设李明走了追到，即两人相遇， ∴， 解得，， ∴当时，两人相遇， ∴李明走了， ∴两人相遇时离家的距离是． 3．（2025·天津南开·二模）已知学生宿舍、文具店、图书馆依次在同一条直线上，文具店距离宿舍，图书馆距离宿舍．张强从宿舍出发，匀速骑行到图书馆，在图书馆中查阅资料停留了一段时间；接着他匀速骑行到达了文具店，在文具店停留了购买文具；最后，他又匀速骑行回到宿舍．下图中（单位：）．表示张强离开宿舍的时间，（单位：）表示张强离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与张强离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 张强离开宿舍的时间（单位：） 0.5 1.8 2.3 2.4 2.6 张强离宿舍的距离（单位：） 4 1 0 (2)填空：①文具店到图书馆的距离为 ； ②张强在图书馆查阅资料停留的时间为 ； ③当时，请直接写出关于的函数解析式． (3)当张强离开宿舍时，同宿舍的李明从图书馆出发匀速步行直接回宿舍，最后，他与张强同时到达宿舍，那么，张强从图书馆回宿舍的途中（），两人相距时，张强离开宿舍的时间为 ． 【答案】(1)见详解 (2)①3②③ (3)或或 【分析】本题考查了函数图象，求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，认真分析函数，即可填表； （2）①根据图书馆与宿舍的距离减去文具店与宿舍的距离得出文具店到图书馆的距离为； ②理解题意，得张强在图书馆查阅资料停留的时间为； ③结合函数图象，设时，关于的函数解析式为，代入数值得，当时，；设时，关于的函数解析式为，把分别代入，得，即可作答． （3）先求出李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数解析式为，再进行分类讨论，根据两人相距列出一元一次方程，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，结合图象， ∵ ∴此时张强在图书馆，距离宿舍的距离， ∵ ∴此时张强在文具店，距离宿舍的距离， 张强离开宿舍的时间（单位：） 0.5 1.8 2.3 2.4 2.6 张强离宿舍的距离（单位：） 4 4 1 1 0 （2）解：依题意，① 即文具店到图书馆的距离为， 故答案为：； ②结合图象，得， ∴张强在图书馆查阅资料停留的时间为； ③依题意，设时，关于的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 当时，； 设时，关于的函数解析式为， 把分别代入， 得， 解得 ∴， 故． （3）解：由图象得张强离开宿舍再回到宿舍，一共花了， 设当设时，李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数解析式为， ∵当张强离开宿舍时，同宿舍的李明从图书馆出发匀速步行直接回宿舍，最后，他与张强同时到达宿舍， ∴李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数图像经过点，， 代入解析式子得：， 解得：， 即李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数解析式为， ①当时，由（2）得：此时， 则， 解得：， ②当时， 由图可知：此， 则， 解得：（舍去）， ③当时， ∵当时，两人相距， ∴当时，两人相距小于， 综上：张强从图书馆回宿舍的途中（），两人相距时，张强离开宿舍的时间为或或． 故答案为：或或． 4．（2025·天津红桥·二模）已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 2 ②填空：李明从超市返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①1，2，；②；③ (2)． 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、求函数的解析式、列一元一次方程解决实际问题、一次函数的应用等知识点，准确理解题意并正确列出函数解析式是解题的关键． （1）①根据图象作答即可；②根据图象，由李明从超市到宿舍的距离除以时间即可解答；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店可得张杰的速度为 ，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：①， 由图填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 1 2 2 故答案为：1，2，． ②张强从体育场到文具店的速度为 ， 故答案为：； ③当时，由函数图象可得：； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得，解得， ∴； 综上，李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式． （2）解：当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店得速度为 ． 当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，设相遇时间为t， 当时，，他们没有相遇， 当时，，解得：（符合题意）， 当时，． 所以，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是． 5．（2025·天津和平·二模）已知张华的家、体育场、图书馆依次在同一条直线上，体育场离家．张华从家出发，先匀速跑步到达体育场，在体育场锻炼了，之后以的速度匀速步行到图书馆，在图书馆停留了后，再匀速骑行返家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间/ 2 15 40 92 张华离家的距离 ②填空：张华从家跑步去体育馆途中，跑步的平均速度为_______； ③填空：的值为_______； ④当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开体育馆时，同学李津也从体育馆出发匀速骑行直接到达图书馆，那么从体育馆到图书馆的途中两人相遇时离张华家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①见解析；②；③4；④ (2) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）①先求出a的值，再分别求出和这两个时间段张华的速度，进而求出和时y的值即可得到答案；②由①可得答案；③由②可得答案；④根据路程等于速度乘以时间，结合函数图象求解即可； （2）相遇时张华离家的距离为，李津离张华家的距离为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵张华以的速度匀速步行到图书馆， ∴， 由函数图象可知，当，张华的速度为， 当时，张华的速度为， ∴当时，，当时，， 填表如下： 张华离开家的时间/min 2 15 40 92 张华离家的距离 3 ②由①可知张华从家跑步去体育馆途中，跑步的平均速度为； ③由①可得； ④当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解：由题意得，， 解得， ∴， 答：从体育馆到图书馆的途中两人相遇时离张华家的距离是． 命题点一 一元方程（组）及其解法 ►题型01 已知一元一次方程的解求代数式的值 题型1：直接代入型（基础题，无变形，一步到位） 特征：方程无参数，或代解后能直接求出参数，代数式是未知数的简单线性形式（如2x+3、5x-1）。 解法：分解求参数（有则求）→直接把解/参数值代入代数式计算。 题型2：整体代换型（中考高频，中档题核心） 特征：代数式无法直接代入，但其部分形式与方程变形后的式子完全一致（如方程得3x-2=4，代数式是6x-4+5）。 解法：分解建等式→变形构造整体→整体代入求值（核心：不单独求未知数，直接代换整体）。 【典例】（2025·天津·模拟预测）若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B．5 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键． 将代入方程得到的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：将代入方程得 ，即， 则， 因此， 故选：A． 【变式1】（2025·天津·模拟预测）关于的方程的解是，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 根据方程解的定义，把解代入方程后求出，然后代入求解即可． 【详解】∵关于的方程的解是， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 【变式2】（2025·天津·模拟预测）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握移项变号的法则与系数化为 1 的方法是解题的关键． 通过移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤求解一元一次方程． 【详解】解： 故选：B． 【变式3】（2025·天津·模拟预测）若方程与方程的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先解方程得到，再代入方程求解． 【详解】解： ， 将代入方程，得 ， 即， 解得， 故答案为：． 【变式4】（2025·天津·模拟预测）关于的方程的解是，则当时，整式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解、代数式的整体代入求值，根据方程的解求出的值，再利用整体代入法计算整式的值是解题的关键． 将方程的解代入求出的值，再代入求整式值即可． 【详解】∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴当时，整式 故答案为：． ►题型02 解一元方程组 一、加减消元时符号/计算出错（最高频） 核心错因：系数相等时减法消元未给被减方程加括号，导致括号内项不变号；或系数互为相反数时误做减法，直接消元失败。 二、凑系数/代入时漏乘/未加括号（次高频） 核心错因：1.加减消元凑系数时，仅乘含消元未知数的项，漏乘方程的常数项；2.代入消元时，将多项式形式的代数式代入，未加括号导致乘法分配律用错。 三、消元/回代操作不规范（必考易错） 核心错因：1.代入消元时，将变形后的代数式代回原变形方程，导致循环求解（得0=0）；2.求出一个未知数后，回代时选系数复杂、含分母的方程，增加计算失误。 【典例】（2025·天津·模拟预测）将方程去分母，结果正确的是（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，方程两边同时乘以6，去掉分母，进行判断即可． 【详解】解：， 两边同乘6：， 即； 故选A． 【变式1】（2025·天津红桥·一模）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．由可得出，把代入①即可得出x的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 故选：C． 【变式2】（2025·天津·模拟预测）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；因此此题可根据加减消元法求解方程组． 【详解】解： 得：，解得：， 把代入②得：，解得：， ∴原方程组的解为． 【变式3】（2025·天津·模拟预测）解二元一次方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握好代入消元法和加减消元法是解题关键． 使用代入消元法，将①式变形后代入②式，即可求得x的值，进一步求出y的值． 【详解】解：由①得，， 把③代入②，得， 解得，， 把代入③，得， ∴方程组的解是． 命题点二 一元方程（组）的实际应用 ►题型01 列一元一次方程 【典例】（2025·天津·模拟预测）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，理解题意，找准等量关系是解题的关键．　 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株椽后，剩下的椽数量为株且运费为文，根据“剩下的椽的运费等于一株椽的价钱”可列出方程； 【详解】解：设这批椽的数量为株， 由题意得， 两边同时乘以得； 故选：A． 【变式1】（2025·天津·模拟预测）用一根绳子测量桌子的长度，绳子比桌子长2米；把绳子对折后测量，桌子比绳子的一半长米．设绳子长米，桌子长米，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际，根据“绳子比桌子长2米”和“桌子比绳子的一半长0.5米”这两个条件，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：由“绳子比桌子长2米”可得；由“桌子比绳子的一半长0.5米”可得， ∴可列方程组为， 故选A． 【变式2】（2025·天津河北·二模）《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设甲、乙原本各持钱x、y，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设甲、乙原本各持钱x、y， 则根据题意可列方程组为， 故选：A． 【变式3】（2025·天津滨海新·二模）《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．设李三公家的店有个房间，来了位客人，由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设李三公家的店有个房间，来了位客人， 若每间住人，则余下人无房可住，则， 若每间住人，则余下一间无人住，则， ， 故选：C． 【变式4】（2025·天津和平·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键；根据第一行与第三列的和相等，斜对角线与第一行的和相等，列出方程组即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：A． 【变式5】（2025·天津西青·一模）我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这件物品价格是多少？设共有人，物品价格是钱，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了二元一次方程组的应用．设共有人，物品价格是钱，根据“如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设共有人，物品价格是钱，根据题意得： ， 故选：A． 【变式6】（2025·天津·一模）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺， 根据题意得，， 故选：． 突破一 一元一次方程的实际应用与函数综合 【典例】（2025·天津·一模）《龟兔赛跑》是一则广为人知的寓言故事，某兴趣小组对“龟兔赛跑”进行故事新编，塑造了一只知错能改的兔子和一只坚持不懈的乌龟．新故事中兔子和乌龟在一条直线形的跑道上进行折返跑，兔子和乌龟同时从始点出发，兔子从始点匀速跑了，在距始点处发现乌龟已落后，就开始骄傲的睡了，醒来后发现乌龟已超过它，于是加快追赶，匀速跑了到达处的折返点时，还是比乌龟到达折返点晚了，小兔子认识到错误，立即返程，匀速跑了返回始点，下图中表示时间，表示离始点的距离，图象反映了这个过程中兔子离始点的距离和时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 兔子离开始点的时间 1 3 35 45 兔子离始点的距离 450 ②填空：兔子从折返点返回始点的速度为_____________； ③当时，请直接写出兔子离始点的距离关于时间的函数解析式； (2)乌龟从始点匀速跑了到达折返点后，立即返程，又匀速跑了返回始点，以自己不懈的努力跑完全程．从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①见解析；②225；③ (2) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的意义，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）①分别求出前3分钟和第43分钟到第46分钟兔子的速度，进而根据函数图象求出第1分钟和第45分钟兔子与始点的距离即可得到答案；②根据速度等于路程除以时间结合函数图象求解即可；分，，，三种情况讨论求解； （2）设从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是，根据兔子追上乌龟时二者从折返点开始所走的路程相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解；①∵前3分钟，兔子匀速跑了， ∴前3分钟，兔子的速度为， ∴第1分钟时，兔子的路程为； 由函数图象可知，第35分钟时，兔子在睡觉，此时与始点距离； ∵第43分钟到第46分钟，兔子匀速跑了到达处的折返点，即兔子3分钟的路程为， ∴此过程兔子的速度为， ∴第45分钟兔子与始点距离； 填表如下： 兔子离开始点的时间 1 3 35 45 兔子离始点的距离 150 450 450 1050 ②， ∴兔子从折返点返回始点的速度为； ③当时，， 当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解：设从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是， 由题意得，， 解得， 答：从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是． 【变式1】（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①表格见详解；②60；③2；④ (2)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键； （1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式； （2）由题意易得学校离基地的距离为，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为， ∴行驶的距离为， 由图象可补充表格如下： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 80 ②由图象得：军车行驶的速度为； 故答案为：60； ③由②得：； 故答案为：2； ④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为， 当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 综上所述：y与x的关系式为； （2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为． 由题意得：学校离基地的距离为， ∴学校师生乘坐大巴车的速度为， 当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则， 解得； ∵， ∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车， ∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇， ∴， 解得； 综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或． 【变式3】（2025·天津河北·一模）已知小华一家结束了假期家庭旅游，准备沿馆直的公路驾驶两辆私家车承载参与旅行的所有家庭成员由景区旅店返回家中，小华和小华的妈妈分别驾驶两车，同时出发、其中，小华驾车出发后，匀速行驶了一段时间，发现遗忘了某件物品在旅店中，随即调头匀速驶向旅店，途中在路旁的加油站加油，再匀速行驶，到达旅店，在工作人员的帮助下进行寻找，并找到了遗失的物品，之后驱车匀速回到家中．下面图中x表示时间，y表示小华所驾驶的私家车离家的距离．图象反映了这个过程中小华所驾驶的私家车离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 时间 1.2 1.6 2 2.6 距离 70 ②填空：小华加油用了______h； ③当时，请直接写出小华驾驶的私家车离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妈妈匀速驾驶另一辆私家车返回家中，比小华早到家1.2h，小华的妈妈驾车回家过程中，与调头驶往旅店的小华所驾驶的车辆相遇时，妈妈已经驾车行驶了多少小时（直接写出结果即可）？ 【答案】(1)①30，85，100；②0.2；③ (2)妈妈已经驾车行驶了1.4小时 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂图象是解题的关键． （1）①由函数图象填表即可；②根据时，离家距离不变，可求加油时间；③在当时是分段函数，当时，，当时，运用待定系数法求解； （2）先求出妈妈的速度为，设妈妈已经驾车行驶了小时，建立一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：①由图象可得，行驶，离家； 行驶离家：； 行驶，离家； 故答案为：30，85，100； ②由图象可得，时，离家距离不变，故加油时间为， 故答案为：0.2； ③当时，； 当时，设函数关系式为， 代入得： 解得：， ∴解析式为：， ∴ （2）解：设妈妈已经驾车行驶了小时， 由题意得，， 解得：， 答：妈妈已经驾车行驶了1.4小时． 【变式4】（2025·天津河西·一模）已知甲、乙、丙三个码头依次在一条直线上，甲、乙码头之间的距离为，乙、丙码头之间的距离为．一艘游轮从甲码头出发前往丙码头，途中经过乙码头停靠了两个小时，又继续航行到达丙码头，且游轮停靠前后的行驶速度不变．下面的图象反映了这个过程中游轮离甲码头的距离与时间之间的对应关系． (1)①根据题中所给信息，图中的值为 ，的值为 ； ②填表： 游轮离开甲码头的时间 1 10 15 20 游轮离开甲码头的距离 280 (2)请直接写出在整个过程中，游轮离甲码头的距离关于时间的函数解析式； (3)在游轮到达乙码头1小时的时候，有一货轮也从甲码头出发前往丙码头，已知货轮的速度是游轮的3倍，那么货轮在行驶途中能否遇到游轮？若能相遇，相遇地距离甲码头的路程是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；；②填表见解析 (2) (3)货轮在行驶途中能遇到游轮，相遇地距离甲码头的路程． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用； （1）①先求解甲，丙码头的距离之和可得的值，再求解游轮的速度，从乙码头到丙码头的时间，进一步可得的值；②结合①中速度再填表即可； （2）分，，求解函数解析式即可； （3）设货轮经过小时追上游轮，可得，再进一步解方程即可． 【详解】（1）解：①由图象可得：， ∴从乙码头到丙码头的时间为：， ∴，； ②填表如下： 游轮离开甲码头的时间 1 10 15 20 游轮离开甲码头的距离 280 （2）解：当， 结合（1）得：， 当时， ∴， 当时， 设函数解析式为， ∴， 解得：， ∴； 综上：； （3）解：∵游轮的速度为， ∴货轮的速度为， 设货轮经过小时追上游轮， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴货轮在行驶途中能遇到游轮，相遇地距离甲码头的路程． 【变式5】（2024·天津武清·三模）已知小明的家、书店、快递站依次在同一条直线上，书店距小明的家，小明从家出发用先到达了书店，在书店停留了一会购买学习资料，再匀速前往距家的快递站，到达快递站用取到快递后匀速回家．下面图中x表示时间(单位：)，y表示小明离家的距离(单位：)．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间/ 2 4 8 10 小明离家的距离/ 200 ②填空：小明从书店到快递站的速度为_______； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小明取到快递准备回家时，爸爸从家出发沿同一路线匀速去找他，已知爸爸的速度为，那么小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间是多少？(直接写出结果即可) 【答案】(1)①，，；②；③； (2)小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间为． 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，掌握速度、时间、 路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）①由“速度路程时间”和“路程速度时间”计算出时小明离家的距离；根据图象，直接写出当和时对应的值即可； ②根据“速度路程时间”计算即可； ③ 利用待定系数法求解即可； （2）小明准备回家时到与爸爸相遇经历了，依题意得：，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：小明从家到书店的速度为： ， 时小明离家的距离为： ， ∴时小明离家的距离为， 由图象可知，当时，， ∴时小明离家的距离为， 当时，， ∴时小明离家的距离为， 故答案为：，，； 小明从书店到快递站的速度为： ， 故答案为：； 当时，， 当时，设y关于时间x的函数解析式为（为常数，且）， 将坐标代入得： ， 解得：， ∴， ∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为： （2）解：小明回家的速度为： ， 设小明准备回家时到与爸爸相遇经历了，依题意得： ， 解得：， ∴小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间为： ． 1．（2025·天津·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1进行求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选∶C． 2．（2025·天津·模拟预测）如图是一个正方体的表面展开图，所有相对面的数字之和相等，则的值是（   ） A．5 B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键； 先判断出相对面的数字，再根据相对面的数字之和相等，即可求解． 【详解】解：∵所有相对面的数字之和相等，2与1相对，与相对， ∴， 解得，， 故选：A． 3．（2025·天津·模拟预测）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解方程的解的意义是解题的关键；将代入方程中，解关于a的方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故答案为：． 4．（2025·天津·模拟预测）已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程，根据题意，关于的方程的解是正整数，等式两边同时乘以，然后移项，合并同类项，化简得，解出，根据该方程的解为正整数，求出的值，即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以，得， 去小括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵该方程有解， ∴， ∴， ∵该方程的解为正整数， ∴或， ∴，， 解得：，， 符合条件的所有整数的积为：． 故答案为：． 5．（2025·天津·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用加法消元法，整体计算即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，两个方程相加，得． 故答案为：2． 6．（2024·天津·二模）某学校计划组织1200名师生参加社会实践活动，其中包括25名教师与某公交公司洽谈后得知该公司有A、B型两种客车．每辆A型客车载客54人，租金480元；每辆B型客车载客36人，租金280元．由于每辆车上要求有一名教师，决定租用25辆客车． 设租用A型客车x辆（x为非负整数）． （Ⅰ）根据题意填写下表： 客车类型 车辆数（辆） 载客数（人） 租金（元） A型客车 x B型客车 （Ⅱ）若租车总费用为10800元，怎样安排车辆？ （Ⅲ）采取怎样的租车方案可以使租车总费用最低，最低是多少元？ 【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）安排A型客车19辆，B型客6辆；（Ⅲ）安排A型客车17辆，B型客车8辆，可使租车总费用最低，最低为10400元 【分析】（Ⅰ）根据载客数=每辆车的载客数乘以车的辆数，租金=每辆车的租金乘以车的辆数即可得到答案 （Ⅱ）将A型客车与B型客车的租金相加即可得到总费用列出方程，解方程即可 （Ⅲ）设租用A型客车x辆，租车总费用为y元，得到函数关系式，根据总人数1200人可列得不等式求出，再根据一次函数的增减性即可得到y的最小值. 【详解】解：（Ⅰ），，， （Ⅱ）由租车总费用为10800元，租车总费用可表示为，可列方程得． 整理得， 解得． ∴B型客车为25-19=6（辆）． 所以安排A型客车19辆，B型客6辆． （Ⅲ）设租用A型客车x辆，租车总费用为y元， 则，其中， 解得， ∵． ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，（元） 答：安排A型客车17辆，B型客车8辆，可使租车总费用最低，最低为10400元． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，是一道综合题，正确理解题意是解题的关键. 7．（2023·天津河东·一模）某蔬菜公司要从A市调运两车蔬菜运往B市．已知A市离B市，甲、乙两辆货车同时沿同一路线从A市出发前往B市，且行驶过程中甲车速度保持不变．乙车行驶时发生故障，此时甲车刚好到达B市．乙车在发生故障地原地维修，甲车在B市停留了，卸载蔬菜后原路行驶了到达乙车发生故障地，用了把乙车的蔬菜装上甲车，然后甲车立即沿原路行驶了到达B市，在此过程中乙车一直在发生故障地维修．甲车离A市的距离与行驶所用时间之间的对应关系如图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开A市的时间/ 1 5 离A市的距离/ (2)填空： ①A市到乙车发生故障地的距离为_______； ②当两车之间的距离是时，甲车离开A市的时间为________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)，， (2)①；②3，或 (3) 【分析】（1）先求出甲车的行驶速度，再按照题意分别求解即可； （2）①根据卸载蔬菜后原路行驶了到达乙车发生故障地，用全程减去甲车两小时行驶的路程即可得到答案；②先求出乙车行驶速度，设甲车离开离开A市的时间为t，分三种情况分别求解即可； （3）分，，三段分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，甲车的行驶速度为， 则离开A市1小时离A市的距离为 离开A市小时离A市的距离为 离开A市小时离A市的距离为， 故表格填写如下： 离开A市的时间/ 1 5 10 离A市的距离/ 100 500 500 400 500 （2）①A市到乙车发生故障地的距离为， 故答案为： ②乙车行驶速度为：， 设甲车离开离开A市的时间为t， 在乙车出故障前：， 解得, 甲车返回乙车发生故障地过程中：， 解得， 甲车从乙车发生故障地离开过程中：， 解得， 即当两车之间的距离是时，甲车离开A市的时间为3小时或小时或小时； 故答案为：3，或 （3）解：当时，设y关于x的函数解析式为，把点代入得， ， 解得， ∴， 当时，， 当时，设y关于x的函数解析式为，把点代入得， ， 解得， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用、一元一次方程的应用、从函数图象获取信息等知识，读懂题意并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 1．（2025·天津·模拟预测）已知二次函数在时有最小值，则（　　） A．或 B．4或 C．或 D．4或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用二次函数的性质求出对称轴，然后分和两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线， 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， ； 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， 解得：； 综上所述：或， 故选：B． 2．（2025·天津·模拟预测）已知为常数，关于的一元一次方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解答本题的关键是明确一元一次方程的解的含义．将代入方程，整理可得，令k的系数和常数项分别为零，解出a和b的值，再求． 【详解】解：将代入方程，得． 整理得． 由于无论为何值，它的解总是， 故且， 解得，． 所以． 故答案为：． 3．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时， (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可. （2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社， ∴张华的骑行速度为， ∴张华离家时，张华离家， 张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是， 张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是． 故答案为：. ②, 故答案为：． ③当时，张华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：当时，，当时，，当时，． （2）张华爸爸的速度为：， 设张华爸爸距家，则， 当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有， 解得：， ∴， 故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是． 1．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设原本持金为斤，逐关计算税金并求和，根据已知列方程，然后解方程求得即可． 【详解】解：由题意，第1关收税：，剩余， 第2关收税：，剩余， 第3关收税：，剩余， 第4关收税：，剩余， 第5关收税：， 则五关税金之和为， 根据题意，总税金为1斤，得， 解得 故原本持金为斤， 故选：A． 2．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 3．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据总人数列出方程求解即可． 【详解】解：设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据题意得， ， 解得， ∴参加“深海探秘”的人数为60人， 故答案为：60． 4．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2) (3)7分或11分或13分 【分析】本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a； （2）求出，由图象可得，设直线的解析式为，进而问题可求解； （3）由题意可分三种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为（米）， 由题意可知，表示甲到达B区的时间，则， 故答案为： （2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区， ∴点E的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； （3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米， 当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 6．（2025·湖北·中考真题）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 【答案】(1)购买A种水果2千克，B种水果1千克 (2)①；② 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． （2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得：； ②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $