第六章 计数原理（复习讲义）数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学第六章计数原理复习讲义通过知识框架图系统梳理了两个基本计数原理、排列组合、二项式定理及杨辉三角的核心内容，以表格呈现二项式定理的展开式、通项公式及系数性质，分步解析构建知识点间的内在逻辑，突出计数原理的区别联系与排列组合综合问题的解题策略。 讲义亮点在于“题型分类+方法指导”的创新设计，针对分类加法计数原理设置电路断路分析实例，结合分步乘法计数原理的报名方案问题，培养学生逻辑推理与数学运算素养。每个题型配备例题解析与变式训练，基础巩固与能力提升练习满足分层需求，教师可据此实施精准教学，助力学生系统掌握计数原理应用方法。

第六章计数原理（复习讲义） 1、两个基本计数原理 通过实例,理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2、排列与组合 通过实例,理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3、二项式定理 能用多项式法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 知识点1 两个计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 知识点2排列的概念与排列数公式 1.排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 表示． 2. 公式：A＝ ＝ 3.性质：0！＝ ；A＝ 知识点3组合的概念与组合数公式 1. 组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用 表示． 2.组合数公式：C＝＝ ＝ 知识点4排列、组合综合问题 1.排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 2.组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理． 3.解排列、组合问题要遵循的两个原则 ①按元素(位置)的性质进行分类； ②按事情发生的过程进行分步．具体地说,解排列、组合问题常以元素(位置)为主体,即先满足特殊元素(位置),再考虑其他元素(位置)． 知识点5二项式定理 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*) 二项展开式的通项公式 Tk＋1＝Can－kbk,它表示第 项 二项式系数 二项展开式中各项的系数 (k∈{0,1,2,…,n}) 2.二项式系数的性质 (1)当n是偶数时, 项的二项式系数最大；当n是奇数时, 与 项的二项式系数相等且最大． (2)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝ . 知识点6 杨辉三角 1. 杨辉,南宋著名数学家．早在1261年“杨辉三角”就出现在《详解九章算法》一书中,杨辉指出他所用方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它,这表明我国发现这个表不晚于11世纪.在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角.从上述几个时间可以看出,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 2.杨辉三角的性质 （1）对称性：每行两端都是1 ；与首末两端“ ”的两个二项式系数相等.  （2）传递性：从第二行起,每行除1以外的每一个数都等于 的和. （3）增减性及最值：每一行的数都是先增后减, 最大. ( 题型一分类加法计数原理 ) 【例1】（2025-2026安徽安庆高二上学期12月质量检测）如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若某焊接点脱落,则此处断路,则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【解析】按照焊接点脱落的个数分类讨论,若脱落1个,则有共2种情况,若脱落2个,则有共6种情况,若脱落3个,则有共4种情况, 若脱落4个,则有共1种情况,由分类加法计数原理,情况种数共有种．故选B． 【变式1-1】（2025-2026甘肃武威高二上学期期末）小张需要乘坐某班次高铁去北京,已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张,一等座8张,商务座6张,则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．17 C．90 D．144 【变式1-2】（2025-2026辽宁葫芦岛协作校高二联考）某日小张坐火车从沈阳市到葫芦岛市,已知当天从沈阳市到葫芦岛市的火车中,“K”字开头的车次有7个,“D”字开头的车次有2个,“C”字开头的车次有1个,“G”字开头的车次有20个,“T”字开头的车次有2个,“Z”字开头的车次有7个,则小张当日车次的选择共有（ ）种． ( 题型二分步乘法计数原理 ) 【例2】（2025-2026吉林东北师大附中高二期末）名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,则不同的报名方法种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报其中的一个运动队, 则每个同学都有种选择,由分步乘法计数原理可知,不同的报名方法种数为种.故选D. 【变式2-1】（2025-2026河南百师联盟高二12月联考）已知集合,集合,从集合A中取一个数作为点的横坐标,从集合B中取一个数作为点的纵坐标,则在第二象限的点有（   ） A．2个 B．4个 C．1个 D．12个 【变式2-2】（2025-2026吉林长春高二期末）10080有 个不同的正因数. ( 题型三排列基本问题 ) 【例3】（2025-2026甘肃兰州高二期末）某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表,要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节）,则不同的排法总数是（   ） A．720 B．120 C．144 D．192 【答案】D 【解析】由题意可得数学一共有种排法,体育一共有种排法,剩下的4科共有种排法, 所以一共有种排法.故选D. 【变式3-1】（2025-2026吉林东北师大附中高二期末）有甲、乙、丙、丁、戊5辆车需要停放在5个并排车位中,并且甲车不与乙车相邻停放,则停放方法共有（   ）种 A．36 B．48 C．72 D．144 【变式3-2】（2025-2026辽宁抚顺六校协作体高二期末）某羽毛球比赛结束,1名教练和3名学员站成一排拍照留念,其中教练不站在两边的排法种数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 【变式3-3】6个人排成一排,若甲必须站在排头或排尾,而乙不站在两端,那么不同站法总数为 （用数字作答）. ( 题型四组合基本问题 ) 【例4】（2025-2026北京昌平区高二期末）从4名志愿者中选派3人在星期六、星期日参加公益活动,要求每人只参加一天,且星期六需要有两人参加,星期日需要有一人参加,则不同的选派方法共有（   ） A．12种 B．20种 C．24种 D．36种 【答案】A 【解析】第一步,从4名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动,有种方法；第二步,从剩下的2人中选派1人参加星期日的公益活动,有种方法,所以不同的选派方法共有种方法.故选A. 【变式4-1】（2025-2026甘肃白银高二1月质量检测）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习,每名教师只去一所学校,每个学校至少要派遣1名教师,若去甲校的人数不得少于丙校,则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【变式4-2】（多选题）（2024-2025广东清远211联盟高二期中联考）若,则x的值可以为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-3】（2026上海普陀区高三一模）某人工智能模型在自然语言处理中,使用位置编码表示词序,每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a,b,c,d,e,f）的形式,其中,则在仅考虑前3个位置的情况下,恰好取2个不同值的编码共有 个． ( 题型五排列、组合综合问题 ) 【例5】（2025-2026黑龙江齐齐哈尔高二期末）2025年11月9日至21日,第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中,某路段的传递活动由,,,,,共六名火炬手分五棒完成,若第一棒火炬手只能从,中产生,最后一棒由两名火炬手共同完成,且,两名火炬手不能共同完成最后一棒,则不同的传递方案种数为（   ） A．54 B．60 C．102 D．114 【答案】D 【解析】当火炬手完成第一棒时,有种不同的传递方案；当火炬手完成第一棒时,有种不同的传递方案,故共有种不同的传递方案.故选D. 【变式5-1】（2025-2026辽宁大连高二期末）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动,每艺安排一次讲座,共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次或在最后一次,“数”和“书”相邻,则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．84种 【变式5-2】（多选题）（2025-2026湖北随州高三1月期末）平面中有个不同的点,且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段）,笔不能离开纸面,也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点）,最后到达某个点结束,这个图形为一个“通路”．在“通路”中,若起点和终点重合了,则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形,结论正确的有（   ） A．在图1中,可以绘制7个不同的“通路” B．在图2中,可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路” C．在图2中,可以绘制7个不同的“回路” D．在图3中,可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路” 【变式5-3】（2026广东惠州高三第二次调研）一个盒子里装有六张卡片,分别标记有数字1,2,3,4,5,6,这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为,,,则满足的情况有 种. ( 题型六求展开式指定项（或系数） ) 【例6】（2025-2026北京昌平区高二期末）在的展开式中,的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为,令,则,所以,所以的系数为,故选C. 【变式6-1】（2025-2026河南驻马店高二1月月考）若,则（   ） A．8 B． C．2 D．42 【变式6-2】（2025-2026甘肃张掖高二期末）在的展开式中,的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 【变式6-3】（2025-2026北京市汇文中学教育集团高三阶段测试）的展开式中,系数最小的项为 . ( 题型七根据展开式求参数 ) 【例7】（2026云南曲靖高三月考）的展开式中,的奇数次幂项的系数之和为32,则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【解析】设,令得：； 令得：；两式作差得：,即,解得：.故选A. 【变式7-1】（2025-2026黑龙江哈尔滨高二期中）已知的展开式系数和为729,则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式7-2】（2025-2026河北邯郸九校高三联考）若的展开式中的系数比的系数小300,则实数（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式7-3】（2025-2026内蒙古赤峰高三第一次联考）已知的展开式中的系数为,则 . ( 题型八求二项式系数或系数之和 ) 【例8】（2025-2026广西桂林市十二县中学高二12月质量检测）展开式的各项系数之和为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】令,得,即展开式的各项系数之和为.故选C. 【变式8-1】（2026云南昆明高三月考）已知二项式的展开式中,二项式系数的和为,则二项式系数最大的项是（   ） A．第3项 B．第、项 C．第4项 D．第、项 【变式8-2】（2026北京石景山区高三上期末）已知,则 ； ． 【变式8-3】（2025-2026上海南汇中学高二12月阶段练习）已知,则 ． ( 题型九杨辉三角的性质及应用 ) 【例9】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图示,则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【解析】对于A,因“杨辉三角”的第10行中第5个数是,又,故A错误；对于B,因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和,因,故,故B错误；对于C,因, ………则,故C错误； 对于D,因,而,故D正确.故选D. 【变式9-1】（2024-2025宁夏高二期末）如图所示,在杨辉三角中,斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：,,,,,,,记这个数列前项和为,则． 【变式9-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵,请通过观察图象发现递推规律,并计算从第三行到第十五行中,每行的第三位数字的总和为 . 【变式9-3】（2024-2025广东中山高二期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家,著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》,杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表,我们称这个表为杨辉三角,图2是杨辉三角的数字表示,杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质,利用这些性质,可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等,即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和,即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数,比如：,； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中,求含项的系数． ( 基础巩固通关测 ) 一、单选题 1．（2025-2026甘肃嘉峪关高二期末）小夏计划某日从武汉到兰州游玩,当天的交通工具中,火车共有12个车次,飞机共有2个航班,则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 2．（2025-2026河南九师联盟高二1月质量检测）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤,如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套,则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 3．（2026黑龙江哈尔滨高三1月期末）在的展开式中,各项系数之和为（   ） A．1 B．16 C．32 D．243 4．（2025-2026甘肃武威高二期末）甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座,每人可自由选择听其中一个讲座,则听讲座的种数为（   ） A．7 B．12 C．81 D．64 5．（2025-2026河南驻马店青桐鸣高二1月联考）可表示为（   ） A． B． C． D． 6．（2026辽宁辽南协作校高三期末）的展开式的常数项为（ ） A．2430 B．4860 C．4680 D．2340 7．（2025-2026辽宁大连高二期末）若,则（   ） A． B． C． D． 8．（2024-2025辽宁锦州高二期末）若既能被整除又能被整除,则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025-2026河北唐山高三摸底）在的展开式中,下列说法正确的是（　　） A．一共有5项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 10．（2025-2026甘肃兰州高二期末）为弘扬我国古代的“六艺”文化,某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程,每月一门,连续开设六个月,则下列说法正确的是（   ） A．若学生甲和乙各自从中任选2门,则他们共有225种不同的选法 B．若课程“乐”排在“书”前面,则课程共有240种排法 C．若课程“射”“御”排在不相邻两个月,则课程共有480种排法 D．若课程“数”不排在第一个月,课程“礼”不排在第六个月,则课程共有504种排法 11．（2026陕西西安高三诊断考试）3个人坐在一排5个座位上,则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 三、填空题 12．（2026青海西宁高三模拟）的展开式中的常数项是 . 13．（2026河南郑州高三质量预测）的展开式中项的系数是 . 14．（2025-2026辽宁铁岭高二期末）将小明,小红等5人分成A,B,C三组,要求小明与小红一组,且每组至少有一人,则不同的分法总数为 . 四、解答题 15．书架的第1层放有5本不同的计算机书,第2层放有4本不同的文艺书,第3层放有3本不同的体育书． (1)从书架中任取1本书,有多少种不同的取法？ (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法？ 16．（2024-2025河北承德高二名校联考）4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示） (1)如果男生甲不站在队伍的两头,有多少种不同的排法； (2)如果全部男生相邻,有多少种不同的排法； (3)如果女生不能相邻,有多少种不同的排法； (4)如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间,有多少种不同的排法. 17．（2024-2025广东东莞高二期中）设． (1)求的值； (2)求的值． 18．（2025-2026辽宁大连高二期末）在的展开式中,二项式系数的和为64. (1)求展开式中的含有项的系数； (2)展开式中是否存在常数项,若存在,求出常数项,若不存在,请说明理由. 19．（2025-2026甘肃兰州八校高二期末）7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间,女生甲不站左端. ( 能力提升进阶练 ) 一、单选题 1．（2026河南焦作市高三1月月考）在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025-2026辽宁大连高二期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作,书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同,那么称和对模同余,记为（mod）．若,（mod）,则值可以是（       ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3．（2026山西晋城高三1月质量检测）在的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,则的展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2025-2026甘肃张掖高二期末）某兴趣小组有6名男生和3名女生,从中选出4人代表小组参加活动,则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（   ） A．21种 B．56种 C．91种 D．35种 5．（2026云南昆明高三月考）如图所示,某学校进行“大脚板”趣味运动,需要八名同学一起团结协作,统一步调才能前进．甲同学作为队长需要喊口令,故只能站在最中间的两个位置之一,方便前后的同学都清晰地听到口令．乙、丙两位同学经验较为丰富所以站在最前或最后面,则这八位同学一共有多少种站位方式（   ） A．240 B．480 C．720 D．960 6．（2026甘肃武威高三摸底）如图所示的挂件由7个圆组成,中心圆为主挂件,从中心向三个方向延伸出分挂件,每个方向有两个分挂件,靠近主挂件的为第一层分挂件,远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色,要求相邻的挂件涂不同的颜色,且同一层的分挂件涂不同的颜色,则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026云南高三联考）将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动,每个社区至少1人,每个人只去1个社区,且甲、乙两人不在同1个社区,则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 8．（2024-2025四川乐山高二期末）以走网格为例,从格点走到格点,只能向右或向上走,且在对角线的右下方（不能越过对角线）的路径的条数,就是卡特兰数,记为.则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025-2026辽宁锦州高二期末）已知,各项系数中若只有最大,则（   ） A． B． C． D． 10．（2025-2026山东部分校学年高二联合调考）李清照,齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人,宋代女词人,婉约词派代表,有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本）,则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书,则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书,则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书,则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书,则有13020种不同的分法 11．（2025山西省部分学校高三3月联考）空间个点满足任意三点不共线,任意四点不共面,将所有的点两两相连,并用红、蓝两种颜色将所有相连得到的线段染色（一条线段只染一种颜色）．对于由上述线段构成的所有三角形和三棱锥,下列说法中正确的有（    ） A．若,则可能存在任意2条没有公共点的棱不是同一种颜色的三棱锥 B．若,则一定存在3条边是同一种颜色的三角形 C．若,则可能存在任意三角形的3条边不是同一种颜色的情况 D．若,则一定存在至少有4条棱是同一种颜色的三棱锥 三、填空题 12．（2026重庆高三一诊）设是正整数,表达式化简的结果是 . 13．（2025-2026辽宁锦州高二期末）大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架,要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列,则共有 种不同的摆放方法.（用数字作答） A B C D E F 14．（2026河北名校联盟高三一模）如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转),若将1,2,…,9九个数字分别填入这九个圆中,且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字,则填法一共有 种. 四、解答题 15．（2025-2026河南驻马店高二12月月考）已知的展开式中第项为,,且第三项和第九项的二项式系数相等． (1)求第四项的二项式系数与系数； (2)求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 16．（2025-2026甘肃嘉峪关市期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动,每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人,则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区,则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区,则不同的安排方法有多少种？ 17．（2025-2026北京市第十四中高二12月月考）从男女共名志愿者中,选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生,求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女,且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作,求共有多少种不同的选派方法? 18．（2026山东省实验中学高三诊断性考试）将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个,同时染红或蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同,称边形“点亮”. (1)在中,已知赋值0且染红色,求所有“点亮”的方法个数； (2)现对四边形的每个顶点随机赋值0或1,同时随机染红色或蓝色,求四边形“点亮”的概率； (3)求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）. 19．（2025-2026上海奉贤中学高二10月月考）规定,其中,是正整数,且,这是组合数（,是正整数,且）的一种推广. (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①,②是否都能推广到（,是正整数）的情形？若能推广,则写出推广的形式并给出证明,若不能,则说明理由； (3)①已知为正整数,,求证：； ②已知组合数是正整数,证明：当,是正整数时,. ( 16 / 17 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章计数原理（复习讲义） 1、两个基本计数原理 通过实例,理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2、排列与组合 通过实例,理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3、二项式定理 能用多项式法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 知识点1 两个计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 知识点2排列的概念与排列数公式 1.排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用表示． 2. 公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ 3.性质：0！＝1；A＝n！ 知识点3组合的概念与组合数公式 1. 组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示． 2.组合数公式：C＝＝＝ 知识点4排列、组合综合问题 1.排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 2.组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理． 3.解排列、组合问题要遵循的两个原则 ①按元素(位置)的性质进行分类； ②按事情发生的过程进行分步．具体地说,解排列、组合问题常以元素(位置)为主体,即先满足特殊元素(位置),再考虑其他元素(位置)． 知识点5二项式定理 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项公式 Tk＋1＝Can－kbk,它表示第k＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2,…,n}) 2.二项式系数的性质 (1)当n是偶数时,项的二项式系数最大；当n是奇数时,与项的二项式系数相等且最大． (2)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n. 知识点6 杨辉三角 1. 杨辉,南宋著名数学家．早在1261年“杨辉三角”就出现在《详解九章算法》一书中,杨辉指出他所用方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它,这表明我国发现这个表不晚于11世纪.在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角.从上述几个时间可以看出,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 2.杨辉三角的性质 （1）对称性：每行两端都是1 ；与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.  （2）传递性：从第二行起,每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和. （3）增减性及最值：每一行的数都是先增后减,中间的数最大. ( 题型一分类加法计数原理 ) 【例1】（2025-2026安徽安庆高二上学期12月质量检测）如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若某焊接点脱落,则此处断路,则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【解析】按照焊接点脱落的个数分类讨论,若脱落1个,则有共2种情况,若脱落2个,则有共6种情况,若脱落3个,则有共4种情况, 若脱落4个,则有共1种情况,由分类加法计数原理,情况种数共有种．故选B． 【变式1-1】（2025-2026甘肃武威高二上学期期末）小张需要乘坐某班次高铁去北京,已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张,一等座8张,商务座6张,则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．17 C．90 D．144 【答案】B 【解析】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为.故选B. 【变式1-2】（2025-2026辽宁葫芦岛协作校高二联考）某日小张坐火车从沈阳市到葫芦岛市,已知当天从沈阳市到葫芦岛市的火车中,“K”字开头的车次有7个,“D”字开头的车次有2个,“C”字开头的车次有1个,“G”字开头的车次有20个,“T”字开头的车次有2个,“Z”字开头的车次有7个,则小张当日车次的选择共有（ ）种． 【答案】39 【解析】由分类加法计数原理可得小张当日车次的选择共有种． ( 题型二分步乘法计数原理 ) 【例2】（2025-2026吉林东北师大附中高二期末）名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,则不同的报名方法种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报其中的一个运动队, 则每个同学都有种选择,由分步乘法计数原理可知,不同的报名方法种数为种.故选D. 【变式2-1】（2025-2026河南百师联盟高二12月联考）已知集合,集合,从集合A中取一个数作为点的横坐标,从集合B中取一个数作为点的纵坐标,则在第二象限的点有（   ） A．2个 B．4个 C．1个 D．12个 【答案】B 【解析】在第二象限的点的横坐标为负数,纵坐标为正数,由题意得点的横坐标有,两种选择,点的纵坐标有3,5两种选择．由分步乘法计数原理,得在第二象限的点有个．故选B． 【变式2-2】（2025-2026吉林长春高二期末）10080有 个不同的正因数. 【答案】72 【解析】,10080的每一个正因数都可以表示为,其中,且为整数,对于有6种可能的选法,即, 对于有3种可能的选法,即,对于有2种可能的选法,即,对于有2种可能的选法,即, 由分步乘法计数原理可得,10080的正因数有个. ( 题型三排列基本问题 ) 【例3】（2025-2026甘肃兰州高二期末）某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表,要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节）,则不同的排法总数是（   ） A．720 B．120 C．144 D．192 【答案】D 【解析】由题意可得数学一共有种排法,体育一共有种排法,剩下的4科共有种排法, 所以一共有种排法.故选D. 【变式3-1】（2025-2026吉林东北师大附中高二期末）有甲、乙、丙、丁、戊5辆车需要停放在5个并排车位中,并且甲车不与乙车相邻停放,则停放方法共有（   ）种 A．36 B．48 C．72 D．144 【答案】C 【解析】先将5辆车任意排放,停放方法共有种,若甲车与乙车相邻停放,则停放方法共有种,所以甲车不与乙车相邻停放,则停放方法共有种.故选C. 【变式3-2】（2025-2026辽宁抚顺六校协作体高二期末）某羽毛球比赛结束,1名教练和3名学员站成一排拍照留念,其中教练不站在两边的排法种数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【解析】1名教练和3名学员站成一排,有种站法,故选B. 【变式3-3】6个人排成一排,若甲必须站在排头或排尾,而乙不站在两端,那么不同站法总数为 （用数字作答）. 【答案】192 【解析】甲必须站在排头或排尾有种,乙不站在两端,乙在中间4个位置选一个,有种站法, 其余4人没有限制,有种站法,所以不同站法总数为. ( 题型四组合基本问题 ) 【例4】（2025-2026北京昌平区高二期末）从4名志愿者中选派3人在星期六、星期日参加公益活动,要求每人只参加一天,且星期六需要有两人参加,星期日需要有一人参加,则不同的选派方法共有（   ） A．12种 B．20种 C．24种 D．36种 【答案】A 【解析】第一步,从4名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动,有种方法；第二步,从剩下的2人中选派1人参加星期日的公益活动,有种方法,所以不同的选派方法共有种方法.故选A. 【变式4-1】（2025-2026甘肃白银高二1月质量检测）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习,每名教师只去一所学校,每个学校至少要派遣1名教师,若去甲校的人数不得少于丙校,则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【解析】若丙校派遣1人,则甲校可以派遣1或2或3人,派遣方案有种；若丙校派遣2人,则甲校必须派遣2人,派遣方案有种；所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选B． 【变式4-2】（多选题）（2024-2025广东清远211联盟高二期中联考）若,则x的值可以为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AD 【解析】因为,所以或,解得或.经检验,都满足条件.故选AD. 【变式4-3】（2026上海普陀区高三一模）某人工智能模型在自然语言处理中,使用位置编码表示词序,每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a,b,c,d,e,f）的形式,其中,则在仅考虑前3个位置的情况下,恰好取2个不同值的编码共有 个． 【答案】18 【解析】先从这3个数中选2个,有种选法；再分配2个数到3个位置,必有2个位置的数是相同的,选择出现1次的数：从选中的2个数中选1个,有种选法,选择出现1次的数的位置：有种选择；共有种编码. ( 题型五排列、组合综合问题 ) 【例5】（2025-2026黑龙江齐齐哈尔高二期末）2025年11月9日至21日,第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中,某路段的传递活动由,,,,,共六名火炬手分五棒完成,若第一棒火炬手只能从,中产生,最后一棒由两名火炬手共同完成,且,两名火炬手不能共同完成最后一棒,则不同的传递方案种数为（   ） A．54 B．60 C．102 D．114 【答案】D 【解析】当火炬手完成第一棒时,有种不同的传递方案；当火炬手完成第一棒时,有种不同的传递方案,故共有种不同的传递方案.故选D. 【变式5-1】（2025-2026辽宁大连高二期末）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动,每艺安排一次讲座,共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次或在最后一次,“数”和“书”相邻,则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．84种 【答案】D 【解析】将“数、书”捆绑,内部排列共有种,则可看作五个元素,五个次序,若“礼”在第二次,则首先需从“乐、射、御”三艺中选择一艺放在第一次有种不同的次序,再将剩余三个元素（数、书捆绑看作一个元素）在后面排列,有种不同的次序,根据分步乘法计数原理,讲座不同的次序共有种；若“礼”在最后一次,则将剩余四个元素（数、书捆绑看作一个元素）安排在剩余四个次序,有种不同的次序,根据分步乘法计数原理,讲座不同的次序共有种；综上,讲座不同的次序共有种,故选D. 【变式5-2】（多选题）（2025-2026湖北随州高三1月期末）平面中有个不同的点,且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段）,笔不能离开纸面,也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点）,最后到达某个点结束,这个图形为一个“通路”．在“通路”中,若起点和终点重合了,则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形,结论正确的有（   ） A．在图1中,可以绘制7个不同的“通路” B．在图2中,可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路” C．在图2中,可以绘制7个不同的“回路” D．在图3中,可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路” 【答案】ACD 【解析】在图1中,一共可以组成条线段,仅由1条线段组成的“通路”有个,仅由2条线段组成的“通路”有个,由3条线段组成的“通路”有1个,所以可以绘制个不同的“通路”,A正确．在图2中,4个点两两连接,最多有条线段,仅由3条线段组成的图形有个,但三条线段共一个端点的图形不能组成“通路”,所以仅由3条线段组成的不同的“通路”有个,B错误． 在图2中,任意三点首尾相连可以组成个“回路”；由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有如下3种,其他情况不能组成“回路”,所以可以绘制个不同的“回路”,C正确． 在图3中,任意三点首尾相连（3条线段）可以组成个“回路”；由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有种（由C选项可知）；如图4,任选一个点,该点最多在四条线段上,在这4条线段中任选两条线段,有种不同的选法,如图5,在每一种选法上,将在线段上的点A,B与不在线段上的点C,D,2个为一组分别连接起来,有种不同的选法,最后连接,如图6、图7所示,由5个端点5条线段组成的“回路”有个．故可以绘制个至多由5条线段组成的不同的“回路”,D正确．故选ACD. 【变式5-3】（2026广东惠州高三第二次调研）一个盒子里装有六张卡片,分别标记有数字1,2,3,4,5,6,这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为,,,则满足的情况有 种. 【答案】 【解析】由,可得,所以. 不妨设,则,还有一个数为,显然,,对于任意取值,都有如下情况,当时,三个数为,,,对应,,,有种方法；当时,三个数为,,,对应,,,有种方法；当时,三个数为,,,对应,,,有种方法；当时,三个数为,,,对应,,,有种方法.因为,所以一共有种. ( 题型六求展开式指定项（或系数） ) 【例6】（2025-2026北京昌平区高二期末）在的展开式中,的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为,令,则,所以,所以的系数为,故选C. 【变式6-1】（2025-2026河南驻马店高二1月月考）若,则（   ） A．8 B． C．2 D．42 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为, 因此展开式含的项为,所以.故选B. 【变式6-2】（2025-2026甘肃张掖高二期末）在的展开式中,的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 【答案】A 【解析】的展开式的通项为,,所以在的展开式中,含的项为：,所以的系数为.故选A． 【变式6-3】（2025-2026北京市汇文中学教育集团高三阶段测试）的展开式中,系数最小的项为 . 【答案】 【解析】二项式的展开式的通项是,展开式中各项的系数为,由二项式系数的性质知的值最大,则展开式中各项的系数中最小,则系数最小的项为. ( 题型七根据展开式求参数 ) 【例7】（2026云南曲靖高三月考）的展开式中,的奇数次幂项的系数之和为32,则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【解析】设,令得：； 令得：；两式作差得：,即,解得：.故选A. 【变式7-1】（2025-2026黑龙江哈尔滨高二期中）已知的展开式系数和为729,则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为的展开式系数和为729,所以令,则,则,所以或,因为,所以.故选C. 【变式7-2】（2025-2026河北邯郸九校高三联考）若的展开式中的系数比的系数小300,则实数（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由二项式展开式的通项为,令,可得,所以展开式的的系数为,令,可得,所以展开式的的系数为,因为展开式中的系数比的系数小300,可得,即,解得或,又因为,所以.故选A. 【变式7-3】（2025-2026内蒙古赤峰高三第一次联考）已知的展开式中的系数为,则 . 【答案】 【解析】的展开式的通项为： 则的系数为,解得,所以. ( 题型八求二项式系数或系数之和 ) 【例8】（2025-2026广西桂林市十二县中学高二12月质量检测）展开式的各项系数之和为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】令,得,即展开式的各项系数之和为.故选C. 【变式8-1】（2026云南昆明高三月考）已知二项式的展开式中,二项式系数的和为,则二项式系数最大的项是（   ） A．第3项 B．第、项 C．第4项 D．第、项 【答案】C 【解析】因为的展开式中,二项式系数的和为64,所以,解得；所以该二项式的展开式共7项,所以二项式系数最大的项为第4项.故选C． 【变式8-2】（2026北京石景山区高三上期末）已知,则 ； ． 【答案】 1 81 【解析】由,令,得,即； 由,两边同乘16,可得, 令,则, 所以,即 . 【变式8-3】（2025-2026上海南汇中学高二12月阶段练习）已知,则 ． 【答案】 【解析】令,则,即. ( 题型九杨辉三角的性质及应用 ) 【例9】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图示,则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【解析】对于A,因“杨辉三角”的第10行中第5个数是,又,故A错误；对于B,因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和,因,故,故B错误；对于C,因, ………则,故C错误； 对于D,因,而,故D正确.故选D. 【变式9-1】（2024-2025宁夏高二期末）如图所示,在杨辉三角中,斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：,,,,,,,记这个数列前项和为,则． 【答案】 【解析】由“杨辉三角”性质,得： ． 【变式9-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵,请通过观察图象发现递推规律,并计算从第三行到第十五行中,每行的第三位数字的总和为 . 【答案】559 【解析】第三行的第三位数字是,第四行的第三位数字是,第五行的第三位数字,…, 第十五行的第三位数字是,则所求为 . 【变式9-3】（2024-2025广东中山高二期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家,著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》,杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表,我们称这个表为杨辉三角,图2是杨辉三角的数字表示,杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质,利用这些性质,可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等,即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和,即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数,比如：,； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中,求含项的系数． 【解析】（1）由杨辉三角的性质1可知,第8行就是的展开式的二项式系数, 由二项式系数之和公式可知,杨辉三角中第8行的各数之和为； （2）的二项展开式的通项为, 其中的系数为,是杨辉三角第行中从左到右的第三个数, 因此中含项的系数, 分别为杨辉三角中第行中从左到右的第三个数, 首项为,且每一项均在平行于腰的一条线上,满足杨辉三角的性质, 其系数之和为最后一个数斜右下方的那个数, 因此,在的展开式中, 则含项的系数为. ( 基础巩固通关测 ) 一、单选题 1．（2025-2026甘肃嘉峪关高二期末）小夏计划某日从武汉到兰州游玩,当天的交通工具中,火车共有12个车次,飞机共有2个航班,则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】B 【解析】根据分类加法计数原理,从武汉到兰州可以乘火车（12种）或飞机（2种）,总计种方式．故选B. 2．（2025-2026河南九师联盟高二1月质量检测）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤,如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套,则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解析】先选羽绒服有3种情况,再选棉裤有2种情况,根据分步乘法计数原理,共有搭配种数． 故选B． 3．（2026黑龙江哈尔滨高三1月期末）在的展开式中,各项系数之和为（   ） A．1 B．16 C．32 D．243 【答案】C 【解析】令,即得的展开式中的各项系数之和为.故选C. 4．（2025-2026甘肃武威高二期末）甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座,每人可自由选择听其中一个讲座,则听讲座的种数为（   ） A．7 B．12 C．81 D．64 【答案】D 【解析】甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座,每人可自由选择听其中一个讲座,即每人去听一个讲座共有种选择,则三人各选一个讲座种数为．故选D． 5．（2025-2026河南驻马店青桐鸣高二1月联考）可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选C. 6．（2026辽宁辽南协作校高三期末）的展开式的常数项为（ ） A．2430 B．4860 C．4680 D．2340 【答案】B 【解析】二项式的展开式的通项为, 由,得,所以二项式的展开式中常数项为.故选B. 7．（2025-2026辽宁大连高二期末）若,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,或舍去,因此.故选C. 8．（2024-2025辽宁锦州高二期末）若既能被整除又能被整除,则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为既能被整除又能被整除,故能被整除, 因为 ,且能被整除,故能被整除,设,可得,故的最小值为.故选D. 二、多选题 9．（2025-2026河北唐山高三摸底）在的展开式中,下列说法正确的是（　　） A．一共有5项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 【答案】CD 【解析】因为的展开式共有6项,所以A不正确；通项公式为,令可得第三项为,B不正确；令可得所有项的系数和为0,C正确；所有项的二项式系数和为,D正确.故选CD. 10．（2025-2026甘肃兰州高二期末）为弘扬我国古代的“六艺”文化,某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程,每月一门,连续开设六个月,则下列说法正确的是（   ） A．若学生甲和乙各自从中任选2门,则他们共有225种不同的选法 B．若课程“乐”排在“书”前面,则课程共有240种排法 C．若课程“射”“御”排在不相邻两个月,则课程共有480种排法 D．若课程“数”不排在第一个月,课程“礼”不排在第六个月,则课程共有504种排法 【答案】ACD 【解析】学生甲和乙各自从中任选2门,则他们共有种不同的选法,A正确；课程“乐”排在“书”前面,可得课程共有种排法,B错误；课程“射”“御”排在不相邻两个月,通过插空法,先排好其他的4门课程,有5个空位可选,在其中任选2个,安排课程“射”“御”共有种排法,C正确；课程“数”不排在第一个月,课程“礼”不排在第六个月,利用分类加法计数原理,当“数”在第六个月时共有种；当“数”既不在第一个月也不在第六个月时,共有种,故课程“数”不排在第一个月,课程“礼”不排在第六个月,课程共有种排法,D正确．故选ACD. 11．（2026陕西西安高三诊断考试）3个人坐在一排5个座位上,则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 【答案】AC 【解析】对于A,共有种不同的坐法,故A正确；对于B,空位不相邻的坐法有种,故B错误；对于C,空位相邻的坐法有种,故C正确； 对于D,两端不是空位的坐法有种,故D错误,故选AC. 三、填空题 12．（2026青海西宁高三模拟）的展开式中的常数项是 . 【答案】 【解析】展开式的通项为,令,, 所以常数项为 13．（2026河南郑州高三质量预测）的展开式中项的系数是 . 【答案】60 【解析】由的展开式的通项公式可得,令,；因为,所以项的系数是. 14．（2025-2026辽宁铁岭高二期末）将小明,小红等5人分成A,B,C三组,要求小明与小红一组,且每组至少有一人,则不同的分法总数为 . 【答案】36 【解析】从另外人中选人与小明、小红同组,再将形成的个小组分配到、、三个不同位置, 方法数为种,当小明,小红一组,剩余三人分另外2组,一组人,另一组人,则共种排法,故最终总数为种． 四、解答题 15．书架的第1层放有5本不同的计算机书,第2层放有4本不同的文艺书,第3层放有3本不同的体育书． (1)从书架中任取1本书,有多少种不同的取法？ (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法？ 【解析】（1）从书架上任取1本书,有三类办法：第1类方法是从第1层取1本计算机书,有5种方法； 第2类方法是从第2层取1本文艺书,有4种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书,有3种方法． 根据分类加法计数原理,不同的取法有种. （2）从书架的第1,2,3层各取1本书,可以分成三个步骤完成：第1步,从第1层取1本计算机书,有5种方法； 第2步,从第2层取1本文艺书,有4种方法；第3步,从第3层取1本体育书,有3种方法． 根据分步乘法计数原理,不同的取法有种. 16．（2024-2025河北承德高二名校联考）4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示） (1)如果男生甲不站在队伍的两头,有多少种不同的排法； (2)如果全部男生相邻,有多少种不同的排法； (3)如果女生不能相邻,有多少种不同的排法； (4)如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间,有多少种不同的排法. 【解析】（1）男生甲不站在队伍的两头,有种排法； （2）全部男生相邻,有种排法； （3）女生不能相邻,有种排法； （4）队伍的两头均是女生且男生甲不站中间,有种排法. 17．（2024-2025广东东莞高二期中）设． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）在中令,则. （2）在中令, 则,故. 18．（2025-2026辽宁大连高二期末）在的展开式中,二项式系数的和为64. (1)求展开式中的含有项的系数； (2)展开式中是否存在常数项,若存在,求出常数项,若不存在,请说明理由. 【解析】（1）因二项式系数和为,则. 则展开式通项为, 令,则含项的系数为； （2）由（1）令,但由题设可得, 则不满足题设,即展开式中不存在常数项. 19．（2025-2026甘肃兰州八校高二期末）7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间,女生甲不站左端. 【解析】（1）两个女生必须相邻而站,∴把两个女生看作一个元素,则共有6个元素 进行全排列,还有女生内部的一个排列,所以共有（种）站法． （2）∵4名男生互不相邻,∴应用插空法, 对老师和女生先排列,形成四个空再排男生,共有（种）站法． （3）当老师站左端时,其余六个位置可以进行全排列,所以共有（种）站法： 当老师不站左端时,老师有5种站法,女生甲有5种站法, 余下的5个人在五个位置进行排列,共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法． ( 能力提升进阶练 ) 一、单选题 1．（2026河南焦作市高三1月月考）在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由, 又由二项式的展开式的通项为,其中, 所以展开式中含的项为：, 所以展开式中含的系数为.故选A. 2．（2025-2026辽宁大连高二期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作,书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同,那么称和对模同余,记为（mod）．若,（mod）,则值可以是（       ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【解析】 因能被整除, 故除以余数为, 所以除以余数为, 因为,所以,,, 又（mod）,所以值可以是.故选C. 3．（2026山西晋城高三1月质量检测）在的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,则的展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】因为在的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,所以仅有最大,则, 的通项公式,其中,当时,是有理项,所以,即的展开式中有理项的项数是5． 故选A． 4．（2025-2026甘肃张掖高二期末）某兴趣小组有6名男生和3名女生,从中选出4人代表小组参加活动,则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（   ） A．21种 B．56种 C．91种 D．35种 【答案】C 【解析】选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中,包括甲、乙2人只有1人被选中和甲、乙2人都被选中两类情况,根据分类加法计数原理,选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数为. 5．（2026云南昆明高三月考）如图所示,某学校进行“大脚板”趣味运动,需要八名同学一起团结协作,统一步调才能前进．甲同学作为队长需要喊口令,故只能站在最中间的两个位置之一,方便前后的同学都清晰地听到口令．乙、丙两位同学经验较为丰富所以站在最前或最后面,则这八位同学一共有多少种站位方式（   ） A．240 B．480 C．720 D．960 【答案】B 【解析】让甲站位有种方法,再让乙丙站位有种方法,最后排余下5人,有种方法,由分步乘法计数原理得,所以这八位同学一共有480种站位方式.故选B. 6．（2026甘肃武威高三摸底）如图所示的挂件由7个圆组成,中心圆为主挂件,从中心向三个方向延伸出分挂件,每个方向有两个分挂件,靠近主挂件的为第一层分挂件,远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色,要求相邻的挂件涂不同的颜色,且同一层的分挂件涂不同的颜色,则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】给挂件进行如图所示的编号, 中心圆为主挂件,从中心向三个方向延伸出分挂件,靠近主挂件的为第一层分挂件,远离主挂件的为第二层分挂件,用四种不同的颜色给所有的挂件涂色,要求相邻的挂件涂不同的颜色,且同一层的分挂件涂不同的颜色,1号有4种涂色方法,2,3,4号有种涂色方法,分情况讨论5,6,7号的涂色方法：①若5号与1号同色,6号与2号同色,则7号只有1种涂色方法, 5,6,7号有种涂色方法；②若5号与1号同色,6号与2号异色,此时6号只有1种涂色方法,则7号有2种涂色方法,5,6,7号有种涂色方法；③若5号与1号异色,与3号同色,5号只有1种涂色方法,当6号与4号同色时,7号有2种涂色方法；当6号与4号异色时,6号有2种涂色方法,7号有1种涂色方法,5,6,7号有种涂色方法；④若5号与1号、3号均异色,则5号只有1种涂色方法,6号、7号均有2种涂色方法,5,6,7号有种涂色方法；综上,所有的涂色方法种数为,故C正确．故选C． 7．（2026云南高三联考）将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动,每个社区至少1人,每个人只去1个社区,且甲、乙两人不在同1个社区,则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 【答案】D 【解析】总的分配方法有种.若按照分堆,甲、乙在一起的情况有种；若按照分堆,甲、乙在一起的情况有种；若按照分堆,甲、乙在一起的情况有种,故不同的分配方法数为.故选D. 8．（2024-2025四川乐山高二期末）以走网格为例,从格点走到格点,只能向右或向上走,且在对角线的右下方（不能越过对角线）的路径的条数,就是卡特兰数,记为.则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图,由题,只能向右或向上走,且在对角线的右下方（不能越过对角线）,即向右的步数始终不少于向上的步数,所以走法总数为“所有走法”减去“过线的走法”,由图易发现“过线的走法”,必先碰到直线,将碰直线后的路径关于对称,可得均过点,所以每一种“过线的走法”即对应着从到的走法,共有种,所以走法总数为.故选C. 二、多选题 9．（2025-2026辽宁锦州高二期末）已知,各项系数中若只有最大,则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题中只有最大可知,是唯一的最大的二项式系数,因此展开式的中间项为第六项,可得,故A正确；令,代入等式中可得,故B正确；由,故C正确； 令,代入可得,移项可得, 两边同乘,故,故D错误.故选ABC. 10．（2025-2026山东部分校学年高二联合调考）李清照,齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人,宋代女词人,婉约词派代表,有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本）,则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书,则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书,则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书,则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书,则有13020种不同的分法 【答案】AB 【解析】若刚好每人分到3本书,则有种不同的分法,故A正确；若每人至少分到2本书,则3人分书的本数可能是,,,所以有种不同的分法,故B正确； 若刚好有1人只分到1本书,则3人分书的本数可能是,,, 所以有种不同的分法,故C不正确； 若每人至多分到4本书,则3人分书的本数可能是,,,所以有种不同的分法,故D不正确．故选AB. 11．（2025山西省部分学校高三3月联考）空间个点满足任意三点不共线,任意四点不共面,将所有的点两两相连,并用红、蓝两种颜色将所有相连得到的线段染色（一条线段只染一种颜色）．对于由上述线段构成的所有三角形和三棱锥,下列说法中正确的有（    ） A．若,则可能存在任意2条没有公共点的棱不是同一种颜色的三棱锥 B．若,则一定存在3条边是同一种颜色的三角形 C．若,则可能存在任意三角形的3条边不是同一种颜色的情况 D．若,则一定存在至少有4条棱是同一种颜色的三棱锥 【答案】AD 【解析】若,4点仅能构成一个三棱锥,记为,不妨把,,染成红色,把,,染成蓝色,则满足要求,故A正确；若,设这5个点分别为,如图,实线表示红色线段,虚线表示蓝色线段,则存在三角形的3条边不是同一种颜色的情况,故B错误； 若,设这6个点分别为,考虑由一点引出5条线段,,,,, 则至少有3条线段是同色,不妨设,,为红色,,为蓝色．对于的三条边,若有一条边为红色（不妨设为红色）,则的3条边都是红色,若任意一条边都为蓝色, 则的三条边都是蓝色,故一定存在一个三角形的3条边都是同一种颜色的情况,故C错误； 若,设这8个点分别为,从中任取6个点,则由上可知,这6个点所构成的三角形中一定存在3条边是同一种颜色的三角形,不妨设的3条边都是红色,则以中一点为顶点, 以为底面的三棱锥中,仅当棱都是蓝色时,在三棱锥的所有棱中恰有3条是红色,3条是蓝色,否则存在某个三棱锥至少有4条棱是红色的情况,但如果棱都是蓝色,则在三棱锥中,棱,,,是蓝色,故无论棱是何种颜色,三棱锥至少有4条棱是蓝色,所以不存在一个三棱锥的6条棱恰有3条棱是红色,3条棱是蓝色的情况,故D正确．故选AD. 三、填空题 12．（2026重庆高三一诊）设是正整数,表达式化简的结果是 . 【答案】 【解析】 . 13．（2025-2026辽宁锦州高二期末）大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架,要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列,则共有 种不同的摆放方法.（用数字作答） A B C D E F 【答案】72 【解析】因为要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列,所以第一行只能放一袋蔬菜和一袋水果,共有种放法,再在第二行分类讨论放剩下的蔬菜和水果,第二袋蔬菜如果放在第一袋水果下方,则第二袋水果有2种放法,如果第二袋蔬菜不放在第一袋水果下方,则第二袋水果有1种放法,共有3种情况,因此共有种摆放方法. 14．（2026河北名校联盟高三一模）如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转),若将1,2,…,9九个数字分别填入这九个圆中,且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字,则填法一共有 种. 【答案】 【解析】将三个有阴影的圆中填入的数字用 表示,当 为9,8,7时,有 种填法；当 为9,8,6时,则7不能与6相邻, 故7有种填法,剩余的五个数字可以任意填在空白圆中,有 种情况,有2160 种填法； 当 为9,8,5时,则与5相邻的只能是4,3,2,1中的三个数字,有 种填法； 当 为9,8,4时,则与4相邻的只能是3,2,1,有 种填法；当 为9,7,6时,则8与9相邻且8只有1种位置,有 种填法；当 为9,7,5时,则8与9相邻且8只有1种位置,6不与5相邻有2种位置选择,有 种填法；当 为9,7,4时,则8与9相邻且8只有1种位置,与4相邻的只能是3,2,1,故有 种填法.所以填法共有： (种). 四、解答题 15．（2025-2026河南驻马店高二12月月考）已知的展开式中第项为,,且第三项和第九项的二项式系数相等． (1)求第四项的二项式系数与系数； (2)求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 【解析】（1）已知的展开式中第项,,且第三项和第九项的二项式系数相等． 即,故； 又展开式的通项为,故, 所以第四项的二项式系数为,系数为； （2）因为是偶数,故二项式系数的最大值为, 因为,故, 因为, 令,得：,因为是正整数,故时,； 时,, 所以第8项的系数最大,最大值为． 16．（2025-2026甘肃嘉峪关市期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动,每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人,则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区,则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区,则不同的安排方法有多少种？ 【解析】（1）将6名学生平均分成3组, 分法数为（种）, 再将分好的3组全排列,安排到3个社区,有（种）, 根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有（种）； （2）①甲、乙、丙看作一组,有1种分法． 将剩下的3人分成2组,分法数为（种）, 再将分好的3组全排列,安排到3个社区,有（种）, 根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组,其余2人各一组,有3种分法． 再将分好的3组全排列,安排到3个社区,有（种）, 根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； （3）甲、乙、丙分别安排到3个社区,有（种）, 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个,有（种）, 根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有（种）. 17．（2025-2026北京市第十四中高二12月月考）从男女共名志愿者中,选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生,求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女,且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作,求共有多少种不同的选派方法? 【解析】（1）从男女共名志愿者中,选出人参加社会实践活动, 其方法数为种； （2）若选的三人都是男生,有种选法, 若选的三人都是女生,有种选法, 所以既有男生又有女生的选法有种； （3）根据题意,分步进行分析： ①从名男志愿者和名女志愿者中选出男女,选择方法数共有种, ②安排选出的人分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作,有种情况, 故不同选派方法数为种． 18．（2026山东省实验中学高三诊断性考试）将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个,同时染红或蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同,称边形“点亮”. (1)在中,已知赋值0且染红色,求所有“点亮”的方法个数； (2)现对四边形的每个顶点随机赋值0或1,同时随机染红色或蓝色,求四边形“点亮”的概率； (3)求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）. 【解析】（1）表示染红色,列举满足条件的“点亮”：,,,,,,,共7种； （2）对四边形的每个顶点随机赋值0或1,同时随机染红色或染蓝色,每个顶点有4种方法, 四边形共有种方法, 其中能“点亮”的有84种,故； （3）对于边形,若相邻两个顶点上所赋值的数字不同,则在它们所在的边上标上； 若颜色不同,则标上；若数字和颜色都相同,则标上. 于是,对于给定的点上的设置（共有4种）, 按照边上的字母可以依次确定点,,…,上的设置. 为了使得最终回到时的设置与初始时相同,标有和的边都是偶数条. 所以,“点亮”的方法数等于在边上标记、、使得标有和的边都是偶数条的方法数的4倍. 设标有的边有（）条,标有的边有（）条. 选取条边标记的有种方法,在余下的边中取出条边标记的有第种方法,其余的边标记. 由乘法原理知共有种标记方法. 对、求和,“点亮”的方法数为.① 这里,约定. 当为奇数时,,此时,.② 代入式①中得. 当为偶数时,若,则式②仍然成立；若,则边形的所有边都标记, 此时,只有一种标记方法. 于是,能“点亮”的方法数为. 综上,“点亮”的方法数是：当为奇数时,有种；当为偶数时,有种. 19．（2025-2026上海奉贤中学高二10月月考）规定,其中,是正整数,且,这是组合数（,是正整数,且）的一种推广. (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①,②是否都能推广到（,是正整数）的情形？若能推广,则写出推广的形式并给出证明,若不能,则说明理由； (3)①已知为正整数,,求证：； ②已知组合数是正整数,证明：当,是正整数时,. 【解析】（1）由题意可得：． （2）性质①不能推广,例如当时有意义,但无意义； 性质②能推广,它的推广形式是：,,m是正整数． 证明：当时,有, 当时, ． （3）①因, 而, 所以； ②当时,组合数； 当时,； 当时,由可知, 则, 因为时,,所以,即时,． 综上,当,m是正整数时,． ( 31 / 32 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $