精品解析：山东省聊城市东昌教育集团2025-2026学年上学期九年级期末数学模拟检测试题

2025－2026学年第一学期期末模拟练习 九年级数学练习题 时间：90分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 有下列四个命题，其中正确的是（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②圆中最长的弦是直径；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④在同圆或等圆中，等弧对等弦． A. ①②④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③ 4. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（ ） A. 和2.55 B. 1.45和2.55 C. 1.25和2.75 D. 和2.75 7. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ） A. 3 B. -3 C. D. 10. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在锐角三角形中，，则______． 12. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 13. 如图，将半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是_____________． 14. 阅读材料：一元二次方程的两个根是-2，3，画出二次函数的图象如图，位于轴上方的图象上点的纵坐标满足，所以不等式点的横坐标的取值范围是，则不等式解是．仿照例子，运用上面的方法解不等式的解是___________． 15. 如图，阴影部分是一个半圆形铁片剪掉一个小半圆后的余料．已知与图中小半圆相切于点E，且，测得的长为4，则余料的面积为_______． 16. 如图，一组等腰三角形的底边均在轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…，的面积分别为，，，…，，则的值______． 三、解答题 17. 为了解全校名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）______，这次共抽取了______名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有多少名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的人（三女一男）中随机选取人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 18. 经过市场调查发现：某种文具进货价为20元/件，按24元/件销售，每天可售出320件，且单价每涨价1元，每天销售量就减少20件．设售价为x元/件(x≥24)，每天销售量为y件，每天销售利润为w元． （1）分别求出y与x，w与x的函数表达式； （2）当该文具每天的销售利润为1500元时，求这种文具的售价； （3）当该文具的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 19. 光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量光岳楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 E，D，B三点在同一条直线上 B，C，D三点在同一条直线上 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 【问题解决】 （1）求“方案一”两次测量塔影长的平均值； （2）根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼的高度； （3）根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度．（参考数据：，，，．结果保留1位小数） 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数y的图象交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标： （3）对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围． 21. 如图，是的直径，是的弦，延长至D，，过C作交于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，的半径为2时，求长． 22. 如图，二次函数的图像经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； （3）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末模拟练习 九年级数学练习题 时间：90分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线． 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 根据分母不等于0，二次根式的被开方数大于等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 自变量x的取值范围是且． 故选：C． 3. 有下列四个命题，其中正确的是（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②圆中最长的弦是直径；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④在同圆或等圆中，等弧对等弦． A. ①②④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括圆心角、弦、弧之间的关系，需根据初中教材内容判断各命题的正确性． 【详解】解：命题①“相等的圆心角所对的弧相等”需在同一个圆或等圆中才成立，缺少条件， 故①错误； 命题②“圆中最长的弦是直径”正确； 命题③“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中，若弦为直径，则平分弦的直径不一定垂直于该弦， 故③错误； 命题④“在同圆或等圆中，等弧对等弦”正确； ∴ 正确命题为②和④， 故选：C 4. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，取格点，连接，，则共线，根据勾股定理及其逆定理得到，所以，再利用正弦定义求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 根据网格特点，共线， 因为每个小正方形的边长均为， 所以由勾股定理得：，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：． 5. 如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，理解题意是关键；由题意得米，，由正弦函数关系式即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：B． 6. 已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（ ） A. 和2.55 B. 1.45和2.55 C. 1.25和2.75 D. 和2.75 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 7. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 8. 如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系．连接，由圆周角定理得到，由圆心角，弧，弦之间的关系得到，据此求解即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， 故选：C． 9. 如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ） A. 3 B. -3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上， ∴， ∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上， ∴S矩形OABC=k2， ∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3， ∴k2-k1=3， ∴k1-k2=-3， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 10. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在锐角三角形中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，三角形内角和性质，绝对值的非负性．利用非负数的性质，由已知得平方项和绝对值项分别为零，解出和的度数，再根据三角形内角和定理求，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 12. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 【答案】185 【解析】 【分析】根据m，n是一元二次方程的两个实数根，以及根与系数的关系可得，将代数式变形代入求解即可． 【详解】 m，n是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 故答案为：185． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，即若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握知识点是解题的关键． 13. 如图，将半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆半径为，先利用圆的周长公式计算出剩下的扇形的弧长，然后把它作为圆锥的底面圆的周长进行计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为， ∵半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的弧长， ∴， ∴， ∴圆锥的高为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长．也考查了圆的周长公式． 14. 阅读材料：一元二次方程的两个根是-2，3，画出二次函数的图象如图，位于轴上方的图象上点的纵坐标满足，所以不等式点的横坐标的取值范围是，则不等式解是．仿照例子，运用上面的方法解不等式的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可先求出一元二次方程的两个根是1，3，画出二次函数的图象，位于轴上方的图象上点的纵坐标满足，即可得解． 【详解】解：根据题意可得出一元二次方程的两个根是1，3，画出二次函数的图象如下图， 因此，不等式的解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数与不等式的解，理解题意，找出求解的步骤是解此题的关键． 15. 如图，阴影部分是一个半圆形铁片剪掉一个小半圆后的余料．已知与图中小半圆相切于点E，且，测得的长为4，则余料的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．设小半圆的圆心为P点，连接，过O点作于H点，连接，如图，根据切线的性质得到，根据垂径定理得到，再证明四边形为矩形得到，所以余料的面积，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设小半圆的圆心为P点，连接，过O点作于H点，连接，如图， ∵与图中小半圆相切于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴余料的面积=大半圆的面积-小半圆的面积 ． 故答案为：． 16. 如图，一组等腰三角形的底边均在轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…，的面积分别为，，，…，，则的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰三角形的性质等知识，通过计算得到规律是解题的关键．分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17. 为了解全校名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）______，这次共抽取了______名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有多少名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的人（三女一男）中随机选取人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【答案】（1），，补全条形图如图； （2）名； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图综合，用样本估计总体，掌握知识点的应用是解题的关键． （）首先由条形图与扇形图可求得；由跳绳的人数有人，占的百分比为，可得总人数； （）由，即可求得该校约有名学生喜爱打篮球； （）根据题意画出树状图，然后由树状图可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：， ∵跳绳的人数有人，占的百分比为， ∴总人数（名）， ∴喜爱乒乓球的人数为：（名）； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计该校约有名学生喜爱打篮球； 【小问3详解】 解：画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有种， ∴抽到一男一女学生的概率为． 18. 经过市场调查发现：某种文具进货价为20元/件，按24元/件销售，每天可售出320件，且单价每涨价1元，每天销售量就减少20件．设售价为x元/件(x≥24)，每天销售量为y件，每天销售利润为w元． （1）分别求出y与x，w与x的函数表达式； （2）当该文具每天的销售利润为1500元时，求这种文具的售价； （3）当该文具的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y与x的函数解析式是，w与x的函数解析式； （2）该文具的售价25元/千克或35元/千克； （3）当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）根据题意销售量（售价-24）可以写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式，进而得出w与x的函数解析式； （2）根据代入，解一元二次方程，即可解答本题； （3）根据（1）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ， ∴y与x的函数解析式是，w与x的函数解析式； 【小问2详解】 解：∵每天销售利润为1500元， ∴， 解得，， 答：该文具的售价25元/千克或35元/千克； 【小问3详解】 解：∵， ， ∴当时，w取得最大值，此时， 答：当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 19. 光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量光岳楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 E，D，B三点在同一条直线上 B，C，D三点在同一条直线上 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 【问题解决】 （1）求“方案一”两次测量塔影长的平均值； （2）根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼的高度； （3）根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度．（参考数据：，，，．结果保留1位小数） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，仰角俯角解直角三角形，理解题意，掌握相似三角形的性质，解直角三角形的计算是关键． （1）根据平均值的计算即可求解； （2）根据题意得，则，代入求值即可； （3）设，则，解得，所以，由此即可求解． 【小问1详解】 解：“方案一”两次测量塔影长的平均值是； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， ， ． 【小问3详解】 解：设， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 答：光岳楼的高度约为． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数y的图象交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标： （3）对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2） （3）或x>0． 【解析】 【分析】（1）把点代入反比例函数解析式求解k，然后再求出点A的坐标，进而可求一次函数解析式； （2）由（1）可得点C、D的坐标，然后可得△BOD的面积，设点，进而根据面积公式可进行求解； （3）根据图象可直接进行求解． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：，解得：， ∴点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示： ∵一次函数解析式为， ∴， ∴， ∵△BOD的高为点B横坐标的绝对值， ∴， 设点， ∴△COP的高为， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴点； 【小问3详解】 解：∵k=-3， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大， 由图象可得： 当时，x的取值范围为或x>0． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 21. 如图，是的直径，是的弦，延长至D，，过C作交于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，的半径为2时，求长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ，， 是的中位线 ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的证明及性质，切线的证明及性质，勾股定理以及含30度的直角三角形，能够正确作出辅助线是解题关键； （1）连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设交于，连接，根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，，得到，进而求出，再根据勾股定理得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于，连接， ∵的半径为2， ∴， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ，，， ， ，， ， ， ． 22. 如图，二次函数的图像经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； （3）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点Q使，此时点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值是，有最大值，可求出的最大值为；求出，设点P到直线的距离为h，根据三角形面积计算公式可得，则当有最大值时，h有最大值，据此可求出答案； （3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∴当有最大值是，有最大值， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∵， ∴； 设点P到直线的距离为h， ∴， ∴， ∵当有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为， ∴点P到直线的最大距离为； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $