精品解析：四川省巴中市南江中学2025-2026学年高一上学期1月检测试数学试题

南江中学高2025级1月阶段性测试数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：王磊 审题人：王成林 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是第几象限角（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】 【分析】由终边相同，即可判断. 【详解】， 故终边相同， 又，第一象限的角， 所以是第一象限的角， 故选：A 2. 已知，，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以两边平方得，所以“”是“”的充分条件； 当时，去掉平方得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件； 故选：D. 3. 已知，，，那么的大小为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】函数在上单调递减，，故； 函数在上单调递增，，故； 函数在上单调递减，，故， 综上，. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用“齐次式”，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的零点个数可排除A；求出的定义域可排除C；根据时函数值的正负可排除D. 【详解】令，得，所以只有1个零点， 即函数的图象与轴只有1个交点，故A错误； 由，得， 所以的定义域为，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：B. 6. 圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，，则圆弧，代入扇形的弧长及面积公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设，，则圆弧， 由题意得，解得， 所以. 故选：D 7. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间. 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A 8. 已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象进行数形结合分析可得. 【详解】由，得， 所以或. 再由，图象如下： 显然与有三个交点，所以有三个不同的实数根. 所以必须有四个不同的实数根，即与有四个交点， 因，再结合图象分析判断可得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】已知及的范围，结合同角三角函数的基本关系可以求出，进而可得，再结合诱导公式对选项进行验证即可. 【详解】因为，所以，则． 则，， ，． 故选：AC 10. 下列命题中正确的是（    ） A. 命题“”的否定为“” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 幂函数在上为减函数，则的值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题，指数函数过定点、偶函数的性质、幂函数的定义进行逐项计算判断即可. 【详解】对于A：存在量词命题的否定是全称命题，将改为，然后否定结论， 所以命题“”的否定为“”，A错误； 对于B：令，则，所以恒过定点，B正确； 对于C：因为是定义在上的偶函数，所以， 而在是减函数，所以，即，C正确； 对于D：因为为幂函数，所以， 解得或. 当时，，在上为增函数，不符合题意； 当时，，在上为减函数，符合题意；D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 时，为奇函数 B. ，使得有两个零点 C. 时，若，且与有三个交点，则 D. 时，的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇函数的定义判断A；根据函数的单调性判断零点个数判断B；先求得函数关于点中心对称，然后得函数与函数的交点也关于点中心对称，即可求解判断C；先求得，然后不等式化为，进而由函数在R上单调递增得，解不等式即可判断D. 【详解】A，时，，定义域为R， 且，所以为奇函数，正确； B，因为都是R上的增函数，所以函数在R上单调递增， 所以函数在R上至多一个零点，故不存在，使得有两个零点，错误； C，时，，因为， 所以，所以函数关于点中心对称， 又，所以函数关于点中心对称， 所以函数与函数的交点也关于点中心对称， 由与有三个交点， 不妨，则，即，正确； D，时，， 因为，所以， 所以化为， 因为都是R上的增函数，所以函数在R上单调递增， 所以，即，解得或， 即的解集为，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由换元法，借助二次函数性质及指数函数单调性计算即可求解. 【详解】令， 则，所以， 设，， 因为在区间上单调递增， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 13. 已知，用和表示__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式化为对数式及换底公式，对数的运算性质可得. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 14. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数性质，结合二次函数性质列式求解. 【详解】由的值域为，得函数的值域包含， 则，解得或； 令，由函数在上单调递增，函数是减函数， 得函数在上单调递减且， 因此，解得， 又或，于是有， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式对函数进行化简，然后根据及同角三角函数关系即可求解； （2）利用诱导公式并且对角进行构造即可求解，． 【小问1详解】 ， ∵，， ∴ ． 【小问2详解】 ∵， ∴， 则． 16. 已知函数，且. （1）求函数的解析式，判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义证明在区间上单调递减； （3）求函数在区间上的值域.（直接写出结果） 【答案】（1） 由题设，，解得，故， 函数为奇函数，证明如下： 定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数； （2） 由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，， 则，故， 则在区间上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）运用代入法，结合奇函数的定义进行判断证明即可； （2）根据函数单调性的定义进行运算证明即可； （3）根据奇函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，在上单调递减，且函数为奇函数， 所以在上递减，则函数在上递减， 而，， 故在区间上的值域为. 17. 2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2025年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】（1）； （2）千辆时，取得最大值30万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息直接求出的解析式. （2）利用二次函数、基本不等式分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 由函数，得. 【小问2详解】 当时，，在处取最大值，（万元）； 当时， （万元），当且仅当（千辆）时取等号， 而，所以在千辆时取得最大值30万元. 18. 设函数 （1）当时，解不等式； （2）已知对任意的实数，恒成立，求证：； （3）当时，是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），又恒成立， 即恒成立， 函数在上单调递增，. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）结合函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； （2）由结合已知条件，即可得到的单调性，从而得证； （3）结合函数的单调性可得在恒成立，再参变分离结合函数的性质计算可得. 【小问1详解】 当时，函数在上单调递增， 则不等式即为，解得， 故解不等式的解集为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，函数在上单调递增， 可知， 则在恒成立， 可得在恒成立， 令，则， 令，则在上单调递增，， 由于时，恒成立，即，， 综上，的范围为. 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】（1）函数不是“函数”，理由：对于，取， 则，． 因为，不满足， 故不是“函数”； （2） （3）证明：由函数为“函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数与正数， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故， 即. 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是“函数”， 所以对于任意的， 有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故， 则， 则，即，即实数的取值范围为 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南江中学高2025级1月阶段性测试数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：王磊 审题人：王成林 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是第几象限角（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 已知，，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 3. 已知，，，那么的大小为（    ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（    ） A. 命题“”的否定为“” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 幂函数在上为减函数，则的值为1 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 时，为奇函数 B. ，使得有两个零点 C. 时，若，且与有三个交点，则 D. 时，的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为_________． 13. 已知，用和表示__________. 14. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知． （1）若，求； （2）若，求． 16. 已知函数，且. （1）求函数的解析式，判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义证明在区间上单调递减； （3）求函数在区间上的值域.（直接写出结果） 17. 2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2025年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 18. 设函数 （1）当时，解不等式； （2）已知对任意的实数，恒成立，求证：； （3）当时，是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由． 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $