精品解析：云南省昆明市东川区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年上学期期末检测 九年级数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 4. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（ ） A. 旋转中心是点 B. 旋转角等于 C. D. 7. 如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 按一定规律排列的代数式：，则第个代数式是（ ） A. B. C. D. 9. 目前，我国电动自行车保有量逾3亿辆，公安交警部门提醒市民，骑行电动自行车必须严格遵守“一盔一带”的法规，佩戴安全头盔可以有效降低头部损伤和致死风险．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售600个，3月份销售864个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 11. 已知正六边形外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 13. 如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 14. “云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草帽锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则此草帽锅盖的侧面积约是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_____． 17. 抛物线的顶点坐标是_____． 18. 在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为___. 19. 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图（1），大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图（2）是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点于点．已知此拱桥的跨径长约为，拱高约为．则此拱桥所在圆的半径为_____． 三、解答题（本大题共8题，共62分） 20. 解方程： （1） （2） 21. 对于实数，定义一种运算“”为：，例如：．若，求出的值． 22. 某商场“五一”期间举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋中装有4个质地均匀，大小完全相同的小球，小球上分别标有，，0，1 四个数字，敏敏先从中随机摸出一球，球上的数字记为x，不放回，再从剩下的3个球中随机摸出一球，球上的数字记为y，若两次摸出的球上数字之积为正（即：），则 获得奖品，否则没有奖品． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果； （2）求敏敏获得奖品的概率． 23. 如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位上升1米时，求此时的水面宽度． 24. 如图，P是等边内的一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到， （1）求点P与之间的距离； （2）求的度数. 25. 喜迎元旦，某中学开展“摊”玩计划，万事大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学・科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件，根据以下素材，完成探索任务： 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求每个智能摆件应降价多少元？ 任务2 在保证盈利的前提下，求每天获得的最大利润． 26. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）设是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 27. 如图，四边形内接于是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）以下与线段，线段，线段有关的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期期末检测 九年级数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，符合题意； C、图案不是中心对称图形，不符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 若是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数．将代入方程，直接计算的值，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴， ∴； 故选：C 3. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小进行判断． 【详解】解：∵的半径，圆心O到直线l的距离， ∴， ∴直线l与相离． 故选：A． 4. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次数为的整式方程进行判断． 【详解】解：A选项：方程中的未知数出现在分母的位置，是分式方程，不是整式方程，方程不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：方程是只含有一个未知数且未知数的最高次数为的整式方程，方程是关于的一元二次方程，故B选项符合题意； C选项：方程中只含有一个未知数，但是未知数的最高次数是，方程不是关于的一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：当时，方程不是关于的一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 5. 将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由抛物线平移规律：“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝x2向下平移3个单位可得到函数， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键． 6. 如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（ ） A. 旋转中心是点 B. 旋转角等于 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案． 【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意； B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意； C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意； D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，先求出，再根据圆的内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 故选：B． 8. 按一定规律排列的代数式：，则第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式规律的探索，解题的关键是找出整式的规律． 观察单项式的系数，发现是2的倍数，从开始，因此第n个代数式的系数为，单项式的字母部分都是，进而求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， … ∴第个代数式是． 故选：B． 9. 目前，我国电动自行车保有量逾3亿辆，公安交警部门提醒市民，骑行电动自行车必须严格遵守“一盔一带”的法规，佩戴安全头盔可以有效降低头部损伤和致死风险．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售600个，3月份销售864个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程，即可作答． 【详解】解：依题意，月增长率为x， ∵从1月到3月经过2个月， ∴3月份销售量为， 根据题意，， 故选：D． 10. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：D ． 11. 已知正六边形外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，等边三角形的判定与性质． 正六边形外接圆的半径等于其边长，故正六边形可划分为六个等边三角形，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵正六边形外接圆的半径为2， ∴正六边形的中心角为， ∵外接圆半径相等， ∴每个分成的三角形均为等边三角形， ∴边长等于外接圆半径， ∵外接圆半径为2， ∴边长为2， 故选：C． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零且判别式大于零． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，列不等式即可求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， 其中， ∴， 解得， ∴且． 故选：． 13. 如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 14. “云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草帽锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则此草帽锅盖的侧面积约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：此草帽锅盖的侧面积为：． 故选：C． 15. 如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与轴交点的个数、对称轴判断各项是否正确． 【详解】解：A选项：当时，，由函数图像可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故A选项错误； B选项：由函数图像可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有个不相等的实数解， ，故B选项错误； C选项：二次函数的图象经过点， 当时，，故C选项错误； D选项：二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴是，故D选项正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两点，横、纵坐标分别互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴与互为相反数， ∴； 故答案为：． 17. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】r'rrr本题考查了抛物线的顶点坐标．结合得出顶点坐标是，即可作答． 【详解】解：依题意的顶点坐标为， 故答案为：． 18. 在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为___. 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解 【详解】这句活中任选一个汉字,这个字是“绿”的概率= 故答案为 【点睛】本题考查了概率公式:随机事件A的概本P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数 19. 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图（1），大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图（2）是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点于点．已知此拱桥的跨径长约为，拱高约为．则此拱桥所在圆的半径为_____． 【答案】8.9 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 连接，设此拱桥所在圆的半径为，根据垂径定理推出，再利用勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：连接，设此拱桥所在圆的半径为， 即， 长约为，， ， 拱高约为， ， ， ， 解得， 故答案为：8.9． 三、解答题（本大题共8题，共62分） 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）移项后，运用因式分解法求解即可； （2）运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 【小问2详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得 解得，． 21. 对于实数，定义一种运算“”为：，例如：．若，求出的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，得，整理得，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 则， ∴或， 故． 22. 某商场“五一”期间举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋中装有4个质地均匀，大小完全相同的小球，小球上分别标有，，0，1 四个数字，敏敏先从中随机摸出一球，球上的数字记为x，不放回，再从剩下的3个球中随机摸出一球，球上的数字记为y，若两次摸出的球上数字之积为正（即：），则 获得奖品，否则没有奖品． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果； （2）求敏敏获得奖品的概率． 【答案】（1）共有12种等可能结果； （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有等可能结果； （2）从表中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意列表如下， 0 1 0 1 由上表可知，共有12种等可能结果； 【小问2详解】 解：在这12种等可能结果中，其中的结果有和共2种， 所以敏敏获得奖品的概率为． 23. 如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位上升1米时，求此时的水面宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立平面直角坐标系是解题的关键． 建立平面直角坐标系，求出函数表达式，利用函数表达式运算求解即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示： ∵抛物线形拱桥的顶点为，与轴的交点坐标为 ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，则有：， 解得：， ∴， 答：此时水面宽度为． 24. 如图，P是等边内的一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到， （1）求点P与之间的距离； （2）求的度数. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，旋转角，所以为等边三角形，即可求得答案； （2）由为等边三角形，得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出，可求的度数． 【小问1详解】 解：∵将绕点A逆时针旋转后，得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴． ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴为直角三角形，， ∵为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理逆定理，注意：旋转前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 25. 喜迎元旦，某中学开展“摊”玩计划，万事大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学・科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件，根据以下素材，完成探索任务： 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求每个智能摆件应降价多少元？ 任务2 在保证盈利的前提下，求每天获得的最大利润． 【答案】任务1：25元；任务2：1250元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程、二次函数的图象和性质： 任务1：设每个智能摆件降价元，则售价为元，销售量为件，每件利润为元，根据题意可得． 任务2：设每个智能摆件降价元，每天的利润为元，则． 【详解】任务1：设每个智能摆件降价元，则售价为元，销售量为件，每件利润为元． 根据题意可得 解得：， 而优惠力度最大即降价最多，则． 答：每个智能摆件应降价元． 任务2：设每个智能摆件降价元，每天的利润为元，可得 变形，得 可知二次函数图象开口向下，对称轴为直线，所以当时，取得最大值，最大值为． 所以，每天获得的最大利润为元． 26. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）设是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 【答案】（1） （2）当时，，当时， 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，解一元二次方程，整式的化简，比较实数的大小，掌握相关知识是解题的关键． （1）把点代入抛物线，即可求解； （2）根据m是抛物线与轴交点的横坐标，得到，从而可求出，并求得，再根据实数的大小比较方法即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线为， ∵m是抛物线与轴交点的横坐标， ，即 ∴， ， ． 当时，； 当时，． 27. 如图，四边形内接于是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）以下与线段，线段，线段有关的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （3） 解：②正确，理由如下： 过点B作交延长线于点G，如图2， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴． 【解析】 【分析】（1）结合圆周角定理以及三角形内角和性质，得，又因为，得，即可作答． （2）先由圆的性质得，即，，再由推出，进而得，即，即可得出结论； （3）证明，得到，，则，进而求解． 【小问1详解】 解：是的直径， ． ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $