第03讲 分式（复习讲义，3命题点+12题型+2重难突破）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式”专题，覆盖分式的概念、性质、运算三大核心考点，依据近三年浙江中考考情（分值2-4分，题型为选择、填空及解答小题）构建知识网络。通过“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞察-分层练习”五环节设计，梳理分式有意义条件、化简求值等高频考点，结合真题讲解突破因式分解辅助运算等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“重难突破”模块的创新设计，如“分式规律性运算探究”通过观察等式规律培养学生数学眼光，“定义新运算问题”强化数学思维中的推理意识。配套“基础巩固-能力提升-全国新趋势”分层练习，配合5分钟限时真题训练，助力学生在有限时间内提升运算能力与模型意识，教师可据此精准把控复习节奏，有效提升学生中考应考能力。

第一章 数与式 第03讲 分式 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞察·题型预测 7 命题点一 分式的概念 题型01分式的判断 题型02分式有无意义、等于0的条件 题型03分式的值 命题点二 分式的性质 题型01分式的基本性质 题型02最简分式与最简公分母的判断 题型03约分与通分 命题点三 分式的运算 题型01分式的乘除法 题型02分式的乘方运算 题型03分式的加减法 题型04分式的混合运算 题型05零次幂与负次数幂 题型06分式的化简求值 05·重难突破·思维进阶 11 突破一 分式规律性运算探究 突破二 分是定义新运算问题 06·优题精选·练能提分 14 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式的概念与性质 / / 湖州卷T5 宁波卷T12 了解分式、最简分式的概念，明确 “分式是分母含未知数的代数式”，区分分式与整式（分母含字母的式子不是整式）； 掌握分式有意义、无意义、值为0的条件：分式有意义需分母不为0，无意义需分母为0，值为0需 “分子为0 且分母不为 0”； 掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变； 能利用分式基本性质进行约分（先找分子、分母公因式，多项式需先因式分解）和通分（确定最简公分母：分母系数最小公倍数+不同因式的最高次幂）。值 分式的计算 / / 衢州卷T17 掌握分式的加减运算：同分母分式相加减，分母不变、分子相加减；异分母分式相加减，先通分化为同分母分式，再按同分母法则计算； 掌握分式的乘除运算：分式乘分式，用分子的积作积的分子、分母的积作积的分母；分式除以分式，将除式分子分母颠倒后与被除式相乘； 掌握分式混合运算顺序：先算乘方，再将除法化为乘法（约分），最后算加减，有括号先算括号内； 运算结果需化为最简分式或整式，运算过程需依据分式基本性质、运算法则，做到 “步步有据”。 命题预测 近三年浙江中考分式相关考点（概念与性质、计算）考察聚焦基础，覆盖率约60%，题型集中于选择、填空及解答小题，合计分值2-4分。核心趋势为：侧重分式有意义/值为0的条件判断、简单约分通分及分式乘除化简，常结合因式分解辅助运算，不涉及复杂分式加减或高次分式运算；多为直接考查或作为工具融入其他题型，无单独难题，强调运算准确性。2026年中考将延续这一趋势：分值仍稳定在2-4分，题型保持 “选择 / 填空（概念判断）+解答小题（化简）”组合；核心考点不变，重点考查分式有意义条件、因式分解辅助分式化简；可能结合浙江本土情境（如工程效率、行程问题）设计分式表达与计算；难度无大幅提升，不涉及复杂混合运算或分式方程纯计算，备考需夯实基础，规避分母为0、约分不彻底等易错点。 考点一 分式的概念与基本性质 1.分式的定义 一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 2.分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 ；（C≠0）。 3.分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 1.（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 2.（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 3.（2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 4.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 5.（2024·安徽·中考真题）若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 6.（2023·浙江宁波·中考真题）要使分式有意义，的取值应满足 ． 考点二 分式的运算 1.分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分别乘方。 ④整数负指数幂：。 2.分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 1.（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 2.（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 3.（2022·浙江丽水·中考真题）计算：． 4.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 5.（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 6.（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 命题点一 分式的概念 ►题型01 分式的判断 【典例1】（2024·广西桂林·一模）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·湖北黄石·三模）下列代数式中，整式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23八年级下·河南洛阳·月考）下列各式中，分式的个数为（    ） ，，，，，，， A．3 B．4 C．5 D．6 ►题型02 分式有无意义、等于0的条件 【典例2】（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·贵州贵阳·二模）当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（   ） A． B． C．x D．3x 【变式2-2】（2026·四川成都·一模）若分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．0或 【变式2-3】（2016·四川南充·一模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． ►题型03 分式的值 【典例3】（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·上海金山·一模）如果，那么 【变式3-2】（21-22九年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则 ． 【变式3-3】（2025·湖北·模拟预测）已知，则的值为 ． 命题点二 分式的性质 ►题型01 分式的基本性质 【典例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2021·河北邢台·一模）若把的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·河北石家庄·二模）下列分式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·四川泸州·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【变式1-4】（2025·四川绵阳·一模）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 ►题型02 最简分式与最简公分母的判断 【典例2】（2021·上海·一模）以下分式是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·山西太原·月考）下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ． 【变式2-4】（2025·吉林长春·一模）分式和的最简公分母为 ． 【变式2-5】（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． ►题型03 通分与约分 【典例3】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·山西朔州·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（21-22八年级上·河北沧州·月考）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2021·上海·一模）计算： ． 【变式3-4】（2024·广东深圳·模拟预测）如果，则＝ ． 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的乘除法 【典例1】（2025·云南·模拟预测）下列运算正确的是 （   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024九年级下·广东·学业考试）计算：（   ） A．3 B． C． D．0 【变式1-2】（2025·江西宜春·三模）下列代数式中计算的结果等于a的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2021·山西晋中·二模）计算： ． 【变式1-4】（2024·广东广州·模拟预测）已知：． (1)化简； (2)若函数为反比例函数，求的值． 【变式1-5】（2025·湖南长沙·模拟预测）化简： ►题型02 分式的乘方计算 【典例2】（2025·江西·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·江西·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． ►题型03 分式的加减法 【典例3】（2025·天津·二模）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【变式3-1】（2026·全国·模拟预测）化简的结果是 ． 【变式3-2】（2025·广东广州·模拟预测）计算 ． 【变式3-3】（2026·湖北·模拟预测）化简的结果是 ►题型04 分式的混合运算 【典例4】（25-26七年级上·上海普陀·期末）化简： ． 【变式4-1】（2025九年级上·重庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式4-2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）化简：． 【变式4-3】（25-26八年级上·天津·月考）分式计算 (1) (2) 【变式4-4】（24-25八年级上·北京·期末）计算：． ►题型05 零次幂与负次数幂 【典例5】（2025·浙江丽水·二模）计算：． 【变式5-1】（2025·浙江·三模）计算：． 【变式5-2】（2025·浙江丽水·二模）计算： 【变式5-3】（2025·浙江台州·三模）计算：． ►题型06 分式的化简求值 【典例6】（2026·浙江·模拟预测）化简求值：，其中． 【变式6-1】（2025·浙江丽水·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式6-2】（2025·浙江杭州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式6-3】（2025·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中． 突破一 分式规律性运算探究 【典例1】（25-26九年级上·重庆·月考）已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即：，） 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）…（以此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①当时，； ②若，则； ③已知为正整数，则； 以上结论正确的个数有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1-1】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）对任意非负数x，若记，给出下列说法．其中正确的个数为（   ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 【变式1-4】（25-26八年级上·山东滨州·期中）【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 (1)容器中的水 （填“能”或“不能”）倒完； (2)若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； (3)当，时，求的值． 突破二 分式定义新运算问题 【典例2】（22-23七年级下·浙江湖州·期末）新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 【变式2-1】（25-26八年级上·河南郑州·月考）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算： ； 【探究运算律】经过运算发现：运算“”满足交换律和结合律 【应用新运算】 （2）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，求的值． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【变式2-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 1.（25-26九年级上·浙江杭州·月考）若，则的值（   ） A． B． C． D． 2.（2019·浙江温州·二模）若分式的值为0，则的取值是（   ） A．2 B． C．1 D． 3.（2025·浙江·模拟预测）化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 4.（2025·浙江温州·模拟预测）要使分式有意义，则的取值应满足（   ） A． B． C． D． 5.（2021·浙江衢州·二模）x满足 条件时，分式有意义． 6.（2025·浙江杭州·模拟预测）使得函数有意义的的取值范围是 ． 7.（2023·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：对于任意的非零实数．若，则的值为 ． 8.（2025·浙江·模拟预测）若，则 ． 9.（2025·浙江·一模）计算：． 10.（2025·浙江杭州·模拟预测）先化简，再求值：，其中是的小数部分． 1.（2021·浙江台州·一模）若把分式中的同时扩大2倍，则分式的值（    ） A．是原来的2倍 B．是原来的 C．是原来的 D．不变 2.（2025·浙江·模拟预测）已知分式（a，b为常数）满足如下表格，根据表格信息，下列结论中错误的是（   ） x的取值 2 3 d 分式的值 无意义 0 c A． B． C． D． 3.（2023·浙江宁波·模拟预测）分式可取的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．不存在 4.（2020·浙江杭州·模拟预测）关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 5.（2022·浙江宁波·模拟预测）已知，，，则 ． 6.（24-25八年级下·江苏扬州·月考）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 7.（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 8.（2024·浙江金华·模拟预测）已知 ， ，显然，观察下列等式： ， ， ， (1)猜想：①_______．                                     ②__________________________＝_______． (2)请证明猜想②成立． 1.（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 2.（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 4.（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 5.（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 6.（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 7.（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 8.（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是 ． 9.（2025·四川·中考真题）化简：． 10.（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第03讲 分式 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞察·题型预测 10 命题点一 分式的概念 题型01分式的判断 题型02分式有无意义、等于0的条件 题型03分式的值 命题点二 分式的性质 题型01分式的基本性质 题型02最简分式与最简公分母的判断 题型03约分与通分 命题点三 分式的运算 题型01分式的乘除法 题型02分式的乘方运算 题型03分式的加减法 题型04分式的混合运算 题型05零次幂与负次数幂 题型06分式的化简求值 05·重难突破·思维进阶 30 突破一 分式规律性运算探究 突破二 分是定义新运算问题 06·优题精选·练能提分 39 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式的概念与性质 / / 湖州卷T5 宁波卷T12 了解分式、最简分式的概念，明确 “分式是分母含未知数的代数式”，区分分式与整式（分母含字母的式子不是整式）； 掌握分式有意义、无意义、值为0的条件：分式有意义需分母不为0，无意义需分母为0，值为0需 “分子为0 且分母不为 0”； 掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变； 能利用分式基本性质进行约分（先找分子、分母公因式，多项式需先因式分解）和通分（确定最简公分母：分母系数最小公倍数+不同因式的最高次幂）。值 分式的计算 / / 衢州卷T17 掌握分式的加减运算：同分母分式相加减，分母不变、分子相加减；异分母分式相加减，先通分化为同分母分式，再按同分母法则计算； 掌握分式的乘除运算：分式乘分式，用分子的积作积的分子、分母的积作积的分母；分式除以分式，将除式分子分母颠倒后与被除式相乘； 掌握分式混合运算顺序：先算乘方，再将除法化为乘法（约分），最后算加减，有括号先算括号内； 运算结果需化为最简分式或整式，运算过程需依据分式基本性质、运算法则，做到 “步步有据”。 命题预测 近三年浙江中考分式相关考点（概念与性质、计算）考察聚焦基础，覆盖率约60%，题型集中于选择、填空及解答小题，合计分值2-4分。核心趋势为：侧重分式有意义/值为0的条件判断、简单约分通分及分式乘除化简，常结合因式分解辅助运算，不涉及复杂分式加减或高次分式运算；多为直接考查或作为工具融入其他题型，无单独难题，强调运算准确性。2026年中考将延续这一趋势：分值仍稳定在2-4分，题型保持 “选择 / 填空（概念判断）+解答小题（化简）”组合；核心考点不变，重点考查分式有意义条件、因式分解辅助分式化简；可能结合浙江本土情境（如工程效率、行程问题）设计分式表达与计算；难度无大幅提升，不涉及复杂混合运算或分式方程纯计算，备考需夯实基础，规避分母为0、约分不彻底等易错点。 考点一 分式的概念与基本性质 1.分式的定义 一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 2.分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 ；（C≠0）。 3.分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 1.（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 2.（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 3.（2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 5.（2024·安徽·中考真题）若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不等于零，直接求取值范围即可． 【详解】解：要使分式 有意义， 则分母． 即． 故答案为：． 6.（2023·浙江宁波·中考真题）要使分式有意义，的取值应满足 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，从而得到，求解即可得到答案． 【详解】解：要使分式有意义，的取值应满足，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件：分母不为零是解决问题的关键． 考点二 分式的运算 1.分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分别乘方。 ④整数负指数幂：。 2.分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 1.（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 2.（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 3.（2022·浙江丽水·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】根据求一个数的算术平方根、零指数和负整数指数幂的运算法则进行运算，即可求得． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根、零指数和负整数指数幂的运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 4.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 5.（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为． （2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明． 【详解】（1）解：∵第一个式子， 第二个式子， 第三个式子， …… ∴第（n+1）个式子； （2）解：∵右边==左边， ∴． 【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律． 6.（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 命题点一 分式的概念 ►题型01 分式的判断 【典例1】（2024·广西桂林·一模）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且，那么式子叫做分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．据此判定各式子即可． 【详解】解：A、是单项式，不是分式，不符合题意； B、是多项式，不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是多项式，不是分式，不符合题意， 故选：C． 【变式1-1】（2024·湖北黄石·三模）下列代数式中，整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．单项式和多项式统称为整式，据此进行判断即可． 【详解】解：是多项式，它是整式，则A符合题意； 是二次根式，它不是整式，则B不符合题意； 是分式，它不是整式，则C不符合题意； 是分式，它不是整式，则D不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（22-23八年级下·河南洛阳·月考）下列各式中，分式的个数为（    ） ，，，，，，， A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据分式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：分式有，，，共4个． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的定义，如果A、B都是整式，式子中分母B中含有字母，那么叫分式． ►题型02 分式有无意义、等于0的条件 【典例2】（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据有意义得分母不为0，且二次根式的被开方数为非负数，可求得，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴， ∴， 故选：D 【变式2-1】（2025·贵州贵阳·二模）当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（   ） A． B． C．x D．3x 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值无意义的条件，根据分母为零无意义计算即可． 【详解】解：当时，，，， 根据分式无意义则分母为零，可知所表示的代数式可以是， 故选：A． 【变式2-2】（2026·四川成都·一模）若分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．0或 【答案】A 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式的值为零，需分子为零且分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解方程，得或； 又∵， ∴， 故． 故选：A． 【变式2-3】（2016·四川南充·一模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义，则分母不为零，据此得到，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为 ►题型03 分式的值 【典例3】（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，根据，可得：，把代入代数式，计算即可求出结果． 【详解】解： ， ， ． 故选：A． 【变式3-1】（2026·上海金山·一模）如果，那么 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，分式化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将拆分为，然后代入已知条件进行计算． 【详解】解： ， 因为， 所以 ， 故答案为：． 【变式3-2】（21-22九年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则 ． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查了分式的拆分与代数式的求值，熟练掌握分式的拆分变形并结合已知比例代入计算是解题的关键．将所求分式拆分为含的形式，再代入已知的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 【变式3-3】（2025·湖北·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，正确通过已知的式子得到是关键．首先对已知的式子进行化简，得到，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∴原式． 故答案为：． 命题点二 分式的性质 ►题型01 分式的基本性质 【典例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、是分式化简，故本选项符合题意； B、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； D、，不是分式化简，故本选项不符合题意； 故选：A 【变式1-1】（2021·河北邢台·一模）若把的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以同一个数（或除以同一个不等于0的数），分式的值不变． 根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出选项即可． 【详解】解：A． ， 故本选项不符合题意； B． ，即分式的值扩大2倍， 故本选项不符合题意； C． ，即分式的值不变， 故本选项符合题意； D． ， 故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（2023·河北石家庄·二模）下列分式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，分子分母同时乘以或除以同一个非零数或整式，分式的值不变．对各选项逐一分析即可． 【详解】选项A：，若，则交叉相乘得，化简得，与题设矛盾，故不成立； 选项B：，同理可得，与题设矛盾，故不成立； 选项C：，分子分母同时乘以，根据分式的基本性质，，与原分式相等，故成立； 选项D：，为原分式的平方，显然不等于原分式（例如，时，），故不成立； 故选：C． 【变式1-3】（2025·四川泸州·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即扩大为原来的2倍， 故选：A． 【变式1-4】（2025·四川绵阳·一模）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将m和n替换为和，重新计算分式的值，比较即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式的值变为原来的2倍， 故选：A． ►题型02 最简分式与最简公分母的判断 【典例2】（2021·上海·一模）以下分式是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了最简分式，直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义：分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式，进而判断即可． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意，选项错误； B、，原分式不是最简分式，不符合题意，选项错误； C、是最简分式，符合题意，选项正确； D、，原分式不是最简分式，不符合题意，选项错误； 故选：C 【变式2-1】（24-25八年级下·山西太原·月考）下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除1以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意； B. ，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； C. 分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； D. 是最简分式，故符合题意； 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较容易忽视的问题．在解题中一定要引起注意，根据最简分式的定义解答即可． 【详解】解：A． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； B． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； C． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； D． ，是最分式，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2-3】（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键． 根据最简公分母的定义即可得出答案． 【详解】解：分式方程，各分母的最简公分母是， 故答案为：． 【变式2-4】（2025·吉林长春·一模）分式和的最简公分母为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1， ∴分式与的最简公分母为． 故答案为：． 【变式2-5】（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 【详解】解： ，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． ►题型03 通分与约分 【典例3】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，要注意运算顺序．利用约分对A进行判断；根据负整数指数幂的意义对B进行判断；根据同分母的减法运算和约分对C进行判断；利用通分对D进行判断． 【详解】解：A、，原式计算错误，故本选项不符合题意； B、，原式计算正确，故本选项符合题意； C、，原式计算错误，故本选项不符合题意； D、，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（2025·山西朔州·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的约分化简，将分子分解因式，约去相同因式即可化简，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【变式3-2】（21-22八年级上·河北沧州·月考）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式与的公分母是，据此作出选择． 【详解】解：分式与的公分母是，则分式的分子应变为． 故选：A． 【点睛】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 【变式3-3】（2021·上海·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母加减法，约分，掌握相关运算法则是解题关键．先计算同分母减法，再进行约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-4】（2024·广东深圳·模拟预测）如果，则＝ ． 【答案】 【分析】根据的关系，可以求出．解答本题不仅要会通分，还要将当做一个整体看待．本题考查了分式的通分． 【详解】解： ， ， ． 故答案为． 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的乘除法 【典例1】（2025·云南·模拟预测）下列运算正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，分式的除法，完全平方公式，积的乘方，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法可判断A，根据分式的除法法则可判断B，根据完全平方公式可判断C，根据积的乘方法则可判断D． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确；     D．，正确； 故选D． 【变式1-1】（2024九年级下·广东·学业考试）计算：（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则是解题的关键．根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1-2】（2025·江西宜春·三模）下列代数式中计算的结果等于a的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化除为乘，按照运算顺序计算解答即可． 本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键． 【详解】解：A. ，符合题意； B. ，不符合题意；     C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（2021·山西晋中·二模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的除法运算． 先将除法转化为乘法，再将分式分子分母因式分解，最后计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 【变式1-4】（2024·广东广州·模拟预测）已知：． (1)化简； (2)若函数为反比例函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的定义和分式的化简求值，正确计算是解答本题的关键． （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）由反比例函数的定义求出，再代入（1）化简的结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵函数为反比例函数， ∴， ∴． 【变式1-5】（2025·湖南长沙·模拟预测）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、因式分解以及分式的乘除法法则．先算括号里的加减，再算乘除进行化简即可． 【详解】解：原式 ． ►题型02 分式的乘方计算 【典例2】（2025·江西·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2-1】（2024·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果． 【详解】 ； 故选：D． 【变式2-2】（2023·江西·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算乘方，再计算除法即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式乘方与除法运算法则是解题的关键． 【变式2-3】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含乘方的分式的乘除混合运算，先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】解： ． ►题型03 分式的加减法 【典例3】（2025·天津·二模）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．利用分母与 互为相反数的关系，将分式变形后合并计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴原式 = ， 故选：D． 【变式3-1】（2026·全国·模拟预测）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式减法运算法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3-2】（2025·广东广州·模拟预测）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的加减，正确计算是解题的关键． 根据分式加减的计算法则先通分再计算即可． 【详解】解：原式= ． 故答案为 ：． 【变式3-3】（2026·湖北·模拟预测）化简的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，通过观察分母和的关系，将两个分式的分母变为同分母，再把分子合并同类项后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． ►题型04 分式的混合运算 【典例4】（25-26七年级上·上海普陀·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，利用负指数的意义将表达式转化为分式形式，再通过通分和乘法分配律进行化简． 【详解】解：原式 ； 故答案为 ． 【变式4-1】（2025九年级上·重庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式和分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先利用平方差公式和完全平方公式计算括号里的，再计算括号外的，最后计算多项式的除法； （2）利用因式分解和分式加减法进行计算，再进行分式的除法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式4-3】（25-26八年级上·天津·月考）分式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解； （2）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-4】（24-25八年级上·北京·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把对应分式的分子和分母分解因式，再计算分式乘法，接着通分并化简即可得到答案． 【详解】解： ． ►题型05 零次幂与负次数幂 【典例5】（2025·浙江丽水·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根，零指数幂，绝对值等知识点，正确化简是解题的关键． 根据立方根的定义、零指数幂的性质以及绝对值的性质，分别对各项进行化简，再进行加减计算． 【详解】解： 【变式5-1】（2025·浙江·三模）计算：． 【答案】3 【详解】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用绝对值的性质，有理数的乘方法则，零指数幂，算术平方根的定义计算后再算加减即可． 【解答】解：原式． 【变式5-2】（2025·浙江丽水·二模）计算： 【答案】 【分析】此题考查实数的混合运算，负整数指数幂计算，先根据算术平方根、立方及负整数指数幂计算法则化简，再计算加减法，熟练掌握计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式5-3】（2025·浙江台州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，绝对值，特殊角的三角函数和负整数指数幂的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据二次根式，绝对值，特殊角的三角函数和负整数指数幂的知识进行化简，然后按照加减运算即可求解． 【详解】解： ． ►题型06 分式的化简求值 【典例6】（2026·浙江·模拟预测）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， 原式． 【变式6-1】（2025·浙江丽水·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先利用完全平方公式和因式分解法化简分式，再代入求值． 【详解】解：原式 当 时，原式． 【变式6-2】（2025·浙江杭州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式混合运算，特殊角的三角函数值，代入求值，明确算理是解决问题的关键．先算括号里的减法，再进行分式的除法运算，计算出a，b的值之后，代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ； 当，时， 原式． 【变式6-3】（2025·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先计算括号内的分式，通分相加，然后把除法转化为乘法，约分，即可化简式子，最后把代入计算即可，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 突破一 分式规律性运算探究 【典例1】（25-26九年级上·重庆·月考）已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即：，） 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）…（以此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①当时，； ②若，则； ③已知为正整数，则； 以上结论正确的个数有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题是规律探索问题，考查了分式的运算，解分式方程等知识，关键是由特殊出发得到一般规律． 通过观察操作规律，发现偶数次操作的结果有明确表达式，奇数次操作与第一次操作相关，利用这些表达式逐一验证三个结论即可． 【详解】解：设，，则，；，； ，； ，； ，； ，； ，； ∴由操作规则可得： ，（ 为正整数） 对于奇数次操作： 结论①：当 时，， ， ， ， ∴ ，故①正确； 结论②：，则 ∵ ， ∴ 即 ，故②正确； 结论③： ∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ，故③正确； 综上，三个结论均正确， 故选 A． 【变式1-1】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）对任意非负数x，若记，给出下列说法．其中正确的个数为（   ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①直接计算错误；②解方程正确；③利用正确；④乘积计算后与给定表达式不符错误． 本题考查了函数值的计算、解分式方程、函数性质及乘积规律，掌握基础知识是解题关键． 【详解】∵ ， ①当时，，故①错误； ②由，得，解得，经检验是方程的解，故②正确； ③对于任意，，，∴ ， 因此对任意成立，故，③正确； ④，故④错误. 综上，正确的有②和③，共2个， 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②25 【分析】本题考查了分式规律探究，异分母减法，分式方程，理解题意，观察得到规律，并熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ． （2）解：① ． ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为25． 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探究，并根据规律进行求解；能够根据已知找出规律进行计算是解题的关键． （1）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； （2）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1-4】（25-26八年级上·山东滨州·期中）【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 (1)容器中的水 （填“能”或“不能”）倒完； (2)若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； (3)当，时，求的值． 【答案】(1)不能 (2)此时倒出的总水量为 (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，列代数式以及求代数式的值，分式的加减运算． （1）对分析中的结果进行分析即可； （2）把代入分析中的结果进行计算即可； （3）把代入后进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 这水不可以倒完． 故答案为：不能； （2）解：当时，， ∴此时倒出水的总量为． （3）解：由题可知：． ． 突破二 分式定义新运算问题 【典例2】（22-23七年级下·浙江湖州·期末）新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，正确运用新定义的运算法则是解题的关键．根据新定义运算法则，逐个选项分析判断． 【详解】 解：A. ，根据题意，称是的“3分式”，故本选项说法正确，不符合题意； B.当的值为时，，根据题意，称是的“2分式”，故本选项说法正确，不符合题意； C. 若是的“1分式”，则，，，故本选项说法错误，符合题意； D.若与互为倒数，则，根据题意，称是的“5分式”，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】（25-26八年级上·河南郑州·月考）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算： ； 【探究运算律】经过运算发现：运算“”满足交换律和结合律 【应用新运算】 （2）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了新定义运算、完全平方公式变形求值、勾股定理、分式的混合运算等知识点，理解新运算法则是解题的关键． （1）先按照新定义化简，然后将代入求值即可； （2）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， ∴当时，； （2）由题意得，， ∴， ∵，且，正方形的面积为26， ∴，     ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【答案】(1) (2)①；② (3)1，2，3 【分析】本题主要考查了分式的约分，解题时要能根据所给新定义问题结合所学分式的知识进行化简是关键． （1）依据题意，由 ，分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子，进而可以判断得解； （2）①依据题意，分母分解：，结合题意分子需与分母中的或有公因式，从而，则 ，进而可以判断得解； ②依据题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即，从而分母为，对应，即可判断得解； （3）依据题意，由分式分母分解：设，则 ，故需等于，即，从而此时分式化简为正整数解：①，则；②，则；③，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，符合“好看分式”定义． 又 ∵分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子， ∴分式不符合“好看分式”定义． 故答案为：． （2）解：①由题意，分母分解：． 又 ∵分式为“好看分式”， ∴分子需与分母中的或有公因式． ∵，则， ∴此时分式化简为，符合定义． ∴． ②由题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即， ∴分母为，对应． （3）解：由题意，∵分式分母分解： 设， 则． ∴需等于，即． ∴此时分式化简为， 正整数解： ①，则； ②，则 ； ③，则． ∴的可能值为． 【变式2-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 【答案】(1)5 (2) (3)不是 【分析】本题考查了新定义，分式的加减以及分式的乘法运算． （1）把所给两个分式相加即可判断； （2）用6减去即可求解； （3）分别计算所给两个分式的和与差几颗判断． 【详解】（1）∵ ∴式与互为“5阶分式”． 故答案为：5； （2）由题意，得 故答案为：； （3）∵， ， ∴分式与分式不是“互为友好分式”． 1.（25-26九年级上·浙江杭州·月考）若，则的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知得，再把分式转化为，进而代入计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 2.（2019·浙江温州·二模）若分式的值为0，则的取值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的值，掌握分式的值为零的条件是关键． 根据分式的值为零，分式的分子为0，分母不为0解答． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 此时，， 故选：D． 3.（2025·浙江·模拟预测）化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查同分母的分式的减法运算，分母不变，分子相减，再约分化简进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选D． 4.（2025·浙江温州·模拟预测）要使分式有意义，则的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义，即分母不为 0 ，根据分式有意义，得出，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ， ， 故选：D． 5.（2021·浙江衢州·二模）x满足 条件时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不等于零，直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解：分式有意义， ， 解得， 故答案为：． 6.（2025·浙江杭州·模拟预测）使得函数有意义的的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数求解即可得． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 所以自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 7.（2023·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：对于任意的非零实数．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式，根据题设得出，再对进行计算即可． 【详解】由题可知， ∴， 故答案为：1． 8.（2025·浙江·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式求值，先把整理得，再把通分整理得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 9.（2025·浙江·一模）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，利用二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 10.（2025·浙江杭州·模拟预测）先化简，再求值：，其中是的小数部分． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 先通分，然后进行四则运算，最后将代入即可求得答案． 【详解】解：原式 ， ∵是的小数部分， ∴． ∴原式． 1.（2021·浙江台州·一模）若把分式中的同时扩大2倍，则分式的值（    ） A．是原来的2倍 B．是原来的 C．是原来的 D．不变 【答案】B 【分析】根据分式的加法进行计算，再把同时扩大2倍，观察分式值变化即可． 本题考查了分式的加法和分式的基本性质，解题关键是熟练进行分式加法和约分． 【详解】解：，同时扩大2倍得， 分式的值是原来的， 故选：B． 2.（2025·浙江·模拟预测）已知分式（a，b为常数）满足如下表格，根据表格信息，下列结论中错误的是（   ） x的取值 2 3 d 分式的值 无意义 0 c A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，当时，求得的值，最后根据时，原分式值为，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时分式无意义，即 ∴，故A正确， 当时，原分式值为0， ∴ 解得：，故B正确 ∴原分式为， ∵时，原分式值为， ∴，故C选项正确， ∵当时，分式的值为 ∴ 解得：，经检验，是原方程的解，故D选项不正确， 故选：D． 3.（2023·浙江宁波·模拟预测）分式可取的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的性质及配方法的应用，熟练掌握分式的性质及配方法的应用是解题的关键；由题意可变形为，然后根据分式的性质及配方法可进行求解． 【详解】解：由题意得： ， 若要求得的最小值，则需得出的最小值即可， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最小值为4； 故选A． 4.（2020·浙江杭州·模拟预测）关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】解：①当时， ． 故①正确； ②若值为2， 则， ∴a2+2a+1=2a+4， ∴a2=3， ∴． 故②错误； ③若a＞-2，则a+2＞0， ∴= = =≥0． ∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0． 故③正确． 综上，正确的有①③． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键． 5.（2022·浙江宁波·模拟预测）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，把整理后得到，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 6.（24-25八年级下·江苏扬州·月考）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②，则；，则； (3) 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 7.（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 【答案】(1) (2)①，；②，；③， 【分析】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． （1）先移项再通分得，再取倒数即可； （2）先将代入，再化简得，再根据，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，均为正整数， ∴①当时，则，； ②当时，则，； ③当时，则，． 8.（2024·浙江金华·模拟预测）已知 ， ，显然，观察下列等式： ， ， ， (1)猜想：①_______．                                     ②__________________________＝_______． (2)请证明猜想②成立． 【答案】(1)①1；②， (2)见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算、规律型问题等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键． （1）①根据分式的加法法则计算即可；②利用（1）得出的规律猜想出结论即可； （2）根据分式的加法法则计算即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ． 故答案为1． ②猜想： 故答案为：，． （2）证明：． 1.（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的求值，利用平方根解方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 2.（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 3.（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 4.（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案． 【详解】解： 故选：D 5.（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 6.（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7.（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 8.（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 9.（2025·四川·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 10.（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $