精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. 下列图形是用5个全等的正方形组成的，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全市居民的防诈意识 B. 调查全市中学生的睡眠时间 C. 调查某批节能灯管的使用寿命 D. 调查某班学生周末电子产品的使用情况 4. 近年来，中国芯片技术取得重要进展．某项自主研发的芯片技术实现了1220000000个晶体管/平方毫米的密度．1220000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某数学兴趣小组用黑子摆放有一定规律的图形：第①个图有5颗黑子，第②个图有9颗黑子，第③个图有13颗黑子……按照此规律，第⑧个图形黑子的颗数是（ ） A. 34 B. 33 C. 32 D. 31 7. 反比例函数的图象经过点，下列各点也在此反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 8. 在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的红色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设红色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 已知多项式，其中为正整数，为自然数，且，下列说法：①当，时，多项式为； ②当，满足条件的多项式最高项次数不大于； ③当（其中），满足条件整式共有个． 其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上． 11. 如图，，直角顶点在直线上，若，则的度数是_____． 12. 现有三张完全相同的卡片，上面分别标有数字，，，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则两次都抽到的负数的概率是________． 13. 若为正整数，且满足，则__________． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 15. 如图，是四边形的外接圆，为直径，，过点作的垂线交于点，连接．为上一点，且满足，连接并延长交于点．若，则_____，_____． 16. 若一个四位自然数M千位数字和百位数字的差的二倍等于十位数字和个位数字的和，则称这个数M为“吉利数”．例如：四位数是“吉利数”．按照这个规定，最小的“吉利数”是_____；一个“吉利数”的千位数字和十位数字组成的两位数为，百位数字和个位数字组成的两位数为，若M满足为整数，且，则所有满足条件的M的和为_____． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 在学习了垂线的相关知识后，某数学小组进行了探究活动．请你完成以下作图和填空： 第一步：如图，在的边上有一点D，过点D作的垂线，垂足为点E．请你用尺规在射线上截取，过点M作直线，垂足为点F，交于点N（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：请利用三角形的全等证明． 证明：∵， ∴，______①_______ ∴， ∴_______②______ 在和中 ∴ ∴ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某校举办了面向全体学生的演讲比赛，比赛分为初赛和决赛．初赛结束后，研究小组为了解学生的演讲比赛的成绩，从七、八年级各随机抽取了20名学生的初赛成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩用x表示，共分成四个等级：；；；），下面给出了部分信息：七年级20名学生的初赛成绩是： 100，98，97，95，94，93，89，88，87，86，86，85，84，82，79，79，79，68，66，65 八年级20名学生的初赛成绩在B等级的数据是：89，89，88，87，86，83． 七、八年级所抽学生的初赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 b 众数 a 79 八年级所抽学生的初赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级学生的演讲水平更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有150名学生，八年级有200名学生参加此次演讲比赛初赛，初赛成绩为A等级的学生能进入决赛，请估计该校七、八年级能进入演讲比赛决赛的学生共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 某小型运动用品生产商，每天生产乒乓球的数量比每天生产的羽毛球数量多500个；2天时间生产的乒乓球数量比5天时间生产的羽毛球数量多100个． （1）求该运动用品生产商每天生产的乒乓球、羽毛球的数量分别是多少个． （2）由于乒乓球与羽毛球的市场需求量激增，该生产商决定优化生产线．优化后，每天生产羽毛球增加的数量比每天生产乒乓球增加的数量的多100个．若生产6000个乒乓球的天数比生产4200个羽毛球的天数少2天，求每天生产乒乓球增加的数量． 22. 如图，在菱形中，对角线，，与交于点O，点P为上的点（不与点B，点D重合），过点P作，交对角线于点Q，连接．用x表示线段的长度，点P与点Q之间的距离为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 元旦节期间，重庆动物园以“庆元旦迎新年”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知馆在馆的正北方向，游客中心在馆的北偏东方向，馆在馆的北偏西方向相距200米处，馆在馆的东北方向，且馆在游客中心的南偏西方向．（参考数据： （1）求馆和馆之间的距离；（结果保留根号） （2）小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从馆出发沿路线行走，小红从馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的2倍，当小明到馆的距离恰好是小红到馆的距离的3倍时，求小红与游客中心之间的距离．（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是直线上方抛物线上一动点，过点E作x轴垂线，交与x轴分别为点F与点G，点P，Q为抛物线对称轴上的动点（点P在点Q的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点E的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位得到，点H为点E的对应点，点M为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 25. 中，，，平面内有一动点D，连接，，将线段绕点B顺时针旋转至线段，连接，此时A，D，E三点共线． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若动点D在的内部，连接，，点F为的中点，连接，证明：； （3）如图3，，在线段上取中点M，连接，在的延长线上取一点P，使得，在下方作，使得，，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. 下列图形是用5个全等的正方形组成的，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：由图可得，是轴对称图形， 故选：B． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全市居民的防诈意识 B. 调查全市中学生的睡眠时间 C. 调查某批节能灯管的使用寿命 D. 调查某班学生周末电子产品的使用情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． A、B选项总体规模大，C选项测试具有破坏性，均不适合普查；D选项总体为班级学生，规模小，适合普查． 详解】解：A、全市居民数量大，普查成本高，不适合； B、全市中学生数量大，普查困难，不适合； C、节能灯管使用寿命测试具有破坏性，无法普查； D、某班学生数量少，易实施普查，且需精确数据． 故选：D． 4. 近年来，中国芯片技术取得重要进展．某项自主研发的芯片技术实现了1220000000个晶体管/平方毫米的密度．1220000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 科学记数法表示形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 5. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，依此解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：C． 6. 某数学兴趣小组用黑子摆放的有一定规律的图形：第①个图有5颗黑子，第②个图有9颗黑子，第③个图有13颗黑子……按照此规律，第⑧个图形黑子的颗数是（ ） A. 34 B. 33 C. 32 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探索，先分析已知图形的黑子数量，再推导出其规律即可得出结果． 【详解】解：由题意知，第①个图有5颗黑子；第②个图有9颗黑子；第③个图有13颗黑子， 观察相邻两个图形的差值，后一个图比前一个图多4颗黑子， 设图形序号为n， ∴当时，（颗），符合第①个图形； 当时，（颗），符合第②个图形； 当时，（颗），符合第③个图形， 将代入得：（颗）， ∴第⑧个图形黑子的颗数是33颗， 故选：B． 7. 反比例函数的图象经过点，下列各点也在此反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求反比例解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握待定系数法求得函数解析式是解题的关键． 由点利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再验证各选项是否满足该解析式即可解答． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数为 A、当时，，即不在该反比例函数图象上，不符合题意； B、当时，，即不在该反比例函数图象上，不符合题意； C、当时，，即不在该反比例函数图象上，不符合题意； D、当时，，即在该反比例函数图象上，符合题意． 故选：D． 8. 在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的红色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设红色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可．解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积矩形的长矩形的宽． 【详解】解：挂图长为，宽为， 所以根据矩形的面积公式可得：． 故选：A． 9. 如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，得到三点共线，设，则，，利用勾股定理建立方程，求得，从而求得，然后易证，可得为等腰直角三角形，进而求得，接着过点M作于点，利用，结合勾股定理，求得，进而求得． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵沿着折叠，点、恰好重合于点， ∴，，， ，，， ∴， ∴三点共线， 设，则，， ∵，即， 解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点M作于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 10. 已知多项式，其中为正整数，为自然数，且，下列说法：①当，时，多项式为； ②当，满足条件的多项式最高项次数不大于； ③当（其中），满足条件的整式共有个． 其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】说法①直接计算系数和验证；说法②通过系数和与系数的不等关系说明最高次数不大于；说法③在前提下，找出所有满足且系数和为的系数即可． 【详解】解：∵多项式系数满足，且 ，其中为正整数，为自然数， ①当时，得：，，且， 当时，得： ∴，且， ∴此时多项式为，说法正确； ②时， 假设，则系数和，与已知矛盾； 当时，系数和，且， ∴， ∴， 得：，， ∴，， 此时，符合题意； 当时，，且， 得：，， ∴， 此时，符合题意； 当时，此时无，不符合题意， 综上所述，当，满足条件的多项式最高项次数不大于，说法正确； ③当时， ∵为正整数， ∴， 当时，得：且， ∴，， ∴符合条件、的值有： ，，，，，，， 此时满足条件的整式有个； 当时，得：，且，， ∴，， ∴，， ∴符合条件的、、的值有： ，，，，，，， 此时满足条件的整式有个； 当时，得：，且，，， ∴，，， ∴， ∴，不符合题意； 用同样的方法，当时，得，不符合题意； 综上所述，满足条件的整式共有个，说法正确； ∴正确结论的个数是． 故选：D． 【点睛】本题考查整式的定义，整式的加减运算，新定义，不等式组的应用，理解题意，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上． 11. 如图，，的直角顶点在直线上，若，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．如图，根据平角的性质可得即可求得，再由平行线的性质可得即可求解． 【详解】解：如图， 由题意，得， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 现有三张完全相同的卡片，上面分别标有数字，，，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则两次都抽到的负数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都抽到的负数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次都抽到的负数的只有1种情况， ∴两次都抽到的负数的概率是：． 故答案为． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，通过平方法估算的范围即可． 【详解】解：计算 ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为6． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，解二元一次方程组，根据绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 根据绝对值的性质，分情况讨论x和y的正负情况，代入方程求解，得到x和y的值，再计算x的y次方即可． 【详解】解：由和，分情况讨论： 当且时，方程化为和，矛盾，无解； 当且时，方程化为和，解得，，但，不成立，无解； 当且时，方程化为和，解得，，符合条件； 当且时，方程化为和，相加得，矛盾，无解． ∴当，时，． 故答案为：16． 15. 如图，是四边形的外接圆，为直径，，过点作的垂线交于点，连接．为上一点，且满足，连接并延长交于点．若，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，可知、和为直角三角形，然后在和，根据正切的定义和，即可解得和，结合已知，据此求得；进而可知点E为的中点，连接、，过点C作于点H，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和同弧或等弧所对的圆周角相等，证得，得到，从而求得，结合，利用勾股定理建立方程得到和，进而得到，最后根据，可知，利用相似三角形对应边成比例求得，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵是四边形的外接圆，为直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴点E为的中点， 如图，连接、，过点C作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角等，灵活运用同弧或等弧所对的圆周角相等，通过证明三角形相似求边长是解题的关键． 16. 若一个四位自然数M的千位数字和百位数字的差的二倍等于十位数字和个位数字的和，则称这个数M为“吉利数”．例如：四位数是“吉利数”．按照这个规定，最小的“吉利数”是_____；一个“吉利数”的千位数字和十位数字组成的两位数为，百位数字和个位数字组成的两位数为，若M满足为整数，且，则所有满足条件的M的和为_____． 【答案】 ①. 1002 ②. 8328 【解析】 【分析】本题考查新定义，根据吉利数的定义，最小吉利数需满足千位数字最小，且满足条件，经计算为1002；对于第二部分，根据条件推导出的取值范围，并结合其他条件解得满足条件的M为8328． 【详解】解：对于第一部分：要找到最小的吉利数，要使M最小，需千位数字a尽可能小， 故取， 由，若，则，； 若，则，为最小的“吉利数”M，取，，． ∵，故最小吉利数为1002． 对于第二部分：设，可知为整数， 由吉利数定义有，则 ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 把代入得， 只有当时，是整数， ∴， ∵，百位数字和个位数字组成的两位数为， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意，； 当时，，不符合题意； 综上所述，故满足条件的M的和为. 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而可得出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为 ∴原不等式组的所有整数解是． 18. 在学习了垂线的相关知识后，某数学小组进行了探究活动．请你完成以下作图和填空： 第一步：如图，在的边上有一点D，过点D作的垂线，垂足为点E．请你用尺规在射线上截取，过点M作直线，垂足为点F，交于点N（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：请利用三角形的全等证明． 证明：∵， ∴，______①_______ ∴， ∴_______②______ 在和中 ∴ ∴ 【答案】作图见详解，①，②，③ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作垂线，全等三角形的判定与性质．理解题意，用尺规在射线上截取，过点M作直线，垂足为点F，交于点N，即可作答；再根据已有的过程，且结合全等三角形的判定与性质进行分析再补充完整，即可作答． 【详解】解：如图所示为所求： 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ∴． 故答案为：①，②，③． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某校举办了面向全体学生的演讲比赛，比赛分为初赛和决赛．初赛结束后，研究小组为了解学生的演讲比赛的成绩，从七、八年级各随机抽取了20名学生的初赛成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩用x表示，共分成四个等级：；；；），下面给出了部分信息：七年级20名学生的初赛成绩是： 100，98，97，95，94，93，89，88，87，86，86，85，84，82，79，79，79，68，66，65 八年级20名学生的初赛成绩在B等级的数据是：89，89，88，87，86，83． 七、八年级所抽学生的初赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 b 众数 a 79 八年级所抽学生的初赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级学生的演讲水平更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有150名学生，八年级有200名学生参加此次演讲比赛初赛，初赛成绩为A等级的学生能进入决赛，请估计该校七、八年级能进入演讲比赛决赛的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2）我认为该校八年级的学生演讲水平更高，理由见解析 （3）125人 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、百分比的计算，用中位数判断决策及用样本估计总体． （1）观察七年级的学生初赛成绩，出现次数最多的分数即为众数，再计算八年级B等级成绩占比，用减去B、C、D三个等级的百分比即可得到A等级的占比，最后用八年级20名学生乘以A等级占比即可得到A等级的学生人数，再找出第10、11位学生的成绩，二者的平均数即为八年级的中位数； （2）根据中位数即可判断出结果，成绩中位数越高，演讲水平越高； （3）利用样本估计总体，得出A等级七八年级的频率，先计算七年级学生成绩为A等级的人数，再计算八年级学生成绩为A等级的人数，最后二者相加即可估计校七、八年级能进入演讲比赛决赛的学生人数． 【小问1详解】 解：在七年级20名学生的初赛成绩中，出现次数最多的是79分， ∴， 在八年级20名学生的初赛成绩中，B等级的人数为6，所占百分比为：， ∴A等级占比为：，即， ∴A等级的人数为：（人）， 在八年级20名学生的初赛成绩中，第10位、第11位学生的成绩分别是89、88， ∴中位数为：（分），即， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：我认为该校八年级的学生演讲水平更高， 理由如下：八年级学生的演讲比赛的成绩的中位数88.5大于七年级学生的演讲比赛的中位数86． 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该校七八年级进入演讲比赛决赛的学生共有125人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及零指数幂、绝对值、完全平方公式等，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 利用分式的运算法则先化简原式，再根据绝对值的性质和零指数幂计算得到x，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 21. 列方程解下列问题： 某小型运动用品生产商，每天生产乒乓球的数量比每天生产的羽毛球数量多500个；2天时间生产的乒乓球数量比5天时间生产的羽毛球数量多100个． （1）求该运动用品生产商每天生产的乒乓球、羽毛球的数量分别是多少个． （2）由于乒乓球与羽毛球的市场需求量激增，该生产商决定优化生产线．优化后，每天生产羽毛球增加的数量比每天生产乒乓球增加的数量的多100个．若生产6000个乒乓球的天数比生产4200个羽毛球的天数少2天，求每天生产乒乓球增加的数量． 【答案】（1）乒乓球、羽毛球的数量分别是800个、300个 （2）400个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意得到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该运动用品生产商每天能分别生产乒乓球个，羽毛球个，根据“2天时间生产的乒乓球数量比5天时间生产的羽毛球数量多100个”列出方程求解即可； （2）设乒乓球1天生产增加个，羽毛球1天生产增加个，根据“生产6000个乒乓球的天数比生产4200个羽毛球的天数少2天”，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该运动用品生产商每天能分别生产乒乓球个，羽毛球个 由题意得： 解得 则 答：每天能分别生产乒乓球、羽毛球的数量分别是800个、300个 【小问2详解】 解：设乒乓球1天生产增加个，羽毛球1天生产增加个 由题意得： 解得 经检验：是原方程的解且符合题意． 答：乒乓球1天生产增加的数量为400个． 22. 如图，在菱形中，对角线，，与交于点O，点P为上的点（不与点B，点D重合），过点P作，交对角线于点Q，连接．用x表示线段的长度，点P与点Q之间的距离为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）作图和性质见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质及一次函数与反比例函数的应用． （1）利用菱形的性质和勾股定理得出，，及的值，此时分情况讨论点P的位置：当点P在上时（点P不与B重合），即，；当点P在上时（点P不与O、D重合），即，根据已知条件利用相似三角形的性质得出的表达式，即的表达式，再分别表示出和的面积，即可得出的表达式； （2）由（1）中的表达式分别在图象上表示出即可，由图象即可得出相关的性质； （3）根据图象及题意可得出x的取值范围． 【小问1详解】 解：在菱形中，，，， ∴中，由勾股定理得，， ①当点P在上时（点P不与B重合），即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得：， ②当点P在上时（点P不与O、D重合），即， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 即，解得：， ∴， ∵，， ∴， 综上所述，，． 小问2详解】 解：如图所述即为所求： 性质：当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小； 当时，随x增大而减小． 【小问3详解】 解：由（2）函数图象可知， 当时，x的取值范围是． 23. 元旦节期间，重庆动物园以“庆元旦迎新年”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知馆在馆的正北方向，游客中心在馆的北偏东方向，馆在馆的北偏西方向相距200米处，馆在馆的东北方向，且馆在游客中心的南偏西方向．（参考数据： （1）求馆和馆之间的距离；（结果保留根号） （2）小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从馆出发沿路线行走，小红从馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的2倍，当小明到馆的距离恰好是小红到馆的距离的3倍时，求小红与游客中心之间的距离．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，利用合适的辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点B作于点M，则，结合方向角的定义，可知，，然后在中可求得、，进而在中可求得，即可解答； （2）设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米，此时小明，小红分别在，处，连接，则，，，得到，然后在中，利用勾股定理建立方程，解得，过点作，垂足为，结合，在中可求得，在中可求得，最后由，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点B作于点M， 则， 由题意得，， ∴，， ∴， 在中，，米， （米），（米）， 在中，， 米， 米， 答：馆和馆之间的距离是米． 【小问2详解】 解：设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米， 如图，此时小明，小红分别在，处，连接， 则米，米， ∵小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的2倍， ∴米， 由（1）可知，米， ∴米， 在中，， ， 即， 解得（负值舍去）， 米， 过点作，垂足为， 由（1）可知，（米）， 在中，， （米），（米）， 在中，， 米， （米）． 答：此时小红与游客中心之间的距离是米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是直线上方抛物线上一动点，过点E作x轴垂线，交与x轴分别为点F与点G，点P，Q为抛物线对称轴上的动点（点P在点Q的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点E的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位得到，点H为点E的对应点，点M为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）点M的坐标为或，过程见详解 【解析】 【分析】（1）先利用对称轴与点B的坐标求得点A的坐标，再利用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）先求出直线的解析式，再设，则，，表示出的表达式，此时表达式为开口向下的二次函数，化为顶点式后即可得出点E的横坐标，代入二次函数解析式即可求得点E的坐标，将点E往下平移3个单位得到，则，且，连接，得平行四边形，则，作关于对称轴直线的对称点，即为坐标原点，则，当E，Q，共线时取等，即可求得周长的最小值； （3）先根据平移情况求出新抛物线解析式和点E平移后的点H坐标，作轴，延长于点N，根据题意可得出点在上，求出的解析式后联立新抛物线解析式即可求得的坐标；作关于对称的直线，交于点，设，得出，利用导角得出，再过作交于点K，延长交x轴于点F，求得，设，，从而求得，进而得出，求得点F的坐标，设直线的解析式为，求出解析式联立新抛物线解析式即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为，A，为抛物线与x轴的交点， ∴， ∴， ∴， 将、代入， 得：， 解得，， ∴． 【小问2详解】 解：∵点C是抛物线与y轴交点， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， 将，代入得：，解得， ∴直线， 设，则，， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下有最大值， ∴在中，当时，有最大值，此时， 如图，将点E往下平移3个单位得到，则，且， 连接， 则平行四边形， ∴， 作关于对称轴直线的对称点，即为坐标原点，则， ∴ ，当E，Q，共线时取等， 即，周长最小值为． 【小问3详解】 解：由二次函数的平移可得新抛物线解析式为：， ∵点H对应点E平移的坐标， ∴， 如图，作轴，延长至点N，交抛物线于点， ∴， 过点H作交于点G， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， 设直线的解析式为， 得：，解得， ∴直线的解析式为：， 联立得：， 解得（舍去），， ∴； 作关于对称的直线，交于点，延长交x轴于点F， 设， ∴， ∵轴，，， ∴，， ∴， 过作交于点K， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵轴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点C，F代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得（舍去），， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数线段周长综合题，二次函数的平移，解直角三角形等知识点． 25. 在中，，，平面内有一动点D，连接，，将线段绕点B顺时针旋转至线段，连接，此时A，D，E三点共线． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若动点D在的内部，连接，，点F为的中点，连接，证明：； （3）如图3，，在线段上取中点M，连接，在的延长线上取一点P，使得，在下方作，使得，，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用等腰直角三角形的性质得出，设，分别表示出含α的式子并列出方程求解α的值即可； （2）延长至点G使，连接，取中点H，连接，，利用倍长中线证明，再证明，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质得出相关线段之间的关系即可得证； （3）先确定出点D的轨迹为，半径为，作出对应的辅助线，利用旋转的性质和全等三角形的判定证得，从而得出点Q的轨迹是以为圆心，半径为的上，进而求得的最小值，再利用勾股定理和三角形外角定义求得相关线段的值，并最终求得的面积． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即． 【小问2详解】 证明：如图，延长至点G，使，连接，取中点H，连接，， ∵F是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是等腰直角三角形，H为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， 由，， 根据定弦定角可得：点D的轨迹为，半径为， ∴为等腰直角三角形，， 如图，连接， ∵，，， ∴在中，，则， 连接，将绕点M顺时针旋转得，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点Q的轨迹是以为圆心，半径为的上， ∴， 易知：，， ∴，， ∴， 中，， ∴， 在中，， ∴， 过点作， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解含的直角三角形及勾股定理等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $