精品解析：北京市广渠门中学2025-2026学年下学期期中试题八年级数学

北京市广渠门中学2025-2026学年下学期期中试题八年级数学 时间：100分钟 2026.4 本试卷共4页，100分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 计算的结果是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可化简． 【详解】解：． 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，运算正确，不符合要求； 选项B：，符合二次根式除法法则，运算正确，不符合要求； 选项C：，符合二次根式乘法法则，运算正确，不符合要求； 选项D：与不是同类二次根式，不能直接合并，，运算错误，符合要求． 3. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和为进行判定即可． 【详解】A．，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； B．，，最大角，故不是直角三角形，符合题意； C． ，，则有，故是直角三角形，不合题意； D．，则，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； 故选B． 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，利用平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：∵ 两组对边分别平行的四边形才是平行四边形，仅一组对边平行的四边形可能是梯形， ∴ 选项A错误； ∵ 对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定四边形是菱形， ∴ 选项B错误； ∵ 对角线相等的平行四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形， ∴ 选项C错误； ∵ 根据正方形的判定定理，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形， ∴ 选项D正确． 5. 已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．根据已知条件“点为第二象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点为第二象限内的点， ，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，观察选项，A选项符合题意， 故选：A． 6. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质，由菱形的性质得出，，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，最后由菱形的面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：B． 7. 如图，四边形是平行四边形，为上的一点（不与，重合），连接．求作点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别按照甲，乙，丙三名同学的方法作图，然后根据平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】解：甲：如图，由题可知，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， 即甲同学符合要求； 乙：如图，由题可知，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， 即乙同学符合要求； 丙：如图，存在两个交点，此时四边形不是平行四边形，故丙同学不符合要求． 8. “藻井”是中国古代建筑中位于室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的星空”．某校数学小组的同学在研究时发现智化寺藻（图1）、故宫太和殿藻井中都有类似图2的几何结构，他们通过测量得知分别是正方形的四条边的中点，将四边形绕正方形的中心顺时针旋转，可以得到四边形分别经过点，且平行于．给出下面四个结论： ①E，F是线段的三等分点； ②是线段的中点； ③是正八边形； ④的面积是的面积的2倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，连接交于O，连接，设，可证明经过点，在正方形中，，，，则，再求出， 由旋转的性质可得，则三点共线，证明是等腰直角三角形，进而可证明是等腰直角三角形，根据，可得，是线段的中点，则，据此可判断①②；可证明，，据此可判断③；证明，可得，据此可判断④． 【详解】解：如图所示，连接交于O，连接，设， ∵四边形是正方形，分别是四边形的四条边的中点， ∴经过点， 在正方形中，，，，则， ∵为的中点， ∴， 由旋转的性质可得， ∴三点共线， ∵是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴，是线段的中点，故②正确； ∴， ∴， ∴E，F是线段的三等分点，故①错误； 同理可得， ∴， 同理可得，， ∴， ∴是正八边形，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质可得出，由一次函数的图象经过点，用待定系数即可求出一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴k值不变，， ∴一次函数为：， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴一次函数的表达式为：， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为， 关于x的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对应相同的自变量，图像上方函数值大于下方的函数值． 12. 如图，在正方形中．点E，F，G分别在边，，上，．若，，则的度数为_____（用含的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过点G作于点H，证明，得出，求出，根据，即可求出结果． 【详解】解：过点G作于点H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10，BC=16，则DF的长为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，计算即可． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC=8， ∵∠AFC=90°，E是AC的中点， ∴EF=AC=5， ∴DF=DE-EF=3， 故答案为:3. 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题关键． 14. 如图，已知菱形的边长为4，，点P是图中线段上一点，且，连接，则的长为______． 【答案】3或或 【解析】 【分析】由题意易得，，则有是等边三角形，然后可得，根据可分，，三种情况，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长为4， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴如图，分，，三种情况求解： 当时，； 当时，过点作于点E，如图所示， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当时，过点作于点F，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 综上所述：的长为3或或． 15. 在边长为4的正方形的边上有一个动点P．从点A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始，设点P移动的路程为x，如图，三角形的面积为y，请结合图象分析： （1）当时，y与x的函数关系式为________； （2）当时，y的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求解析式即可； （）对点所在的位置进行分类：当点在线段上移动；当点在线段上移动；当点在线段上移动；当点在线段上移动，得出规律即可． 【详解】解：（）∵当时，与是正比例函数， 设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴，解得：， ∴与的函数关系式为； （）当点在线段上移动时，即，； 当点在线段上移动时，即，； 当点在线段上移动时，，； 当点在线段上移动时，，； ∴点的运动轨迹是以为单位循环， ∵， ∴当时，， ∴当时，的值为． 16. 我们将宽和长之比为（约为）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过折纸获得．如图1所示，将长方形纸片第一次沿折叠，使点和点重合，展开后再将纸片沿对折叠，使点和点重合；如图2所示，展开后连接，再将纸片第三次沿折叠，使得落在长方形纸片的边上且点落在点处，再次展开，过点作的垂线，垂足为点．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：_________． 【答案】矩形，矩形 【解析】 【分析】由折叠可得四边形为正方形，，设，则，由勾股定理可得，第三次折叠可得，从而，进而可得，故可得答案． 【详解】解：由第一次沿折叠可知四边形为正方形， 则， 再将纸片沿对折，则可知， 设，则， 连接，则， 再将纸片第三次沿折叠，落在长方形纸片的边上且点落在点处， ， ， ，， 即图中的“黄金矩形”为矩形，矩形． 故答案为：矩形，矩形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，黄金分割，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题关键． 三、解答题（本题共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 18. 2026年4月19日，由北京市人民政府、中央广播电视总台等联合主办的2026人形机器人半程马拉松鸣枪开跑．最终，来自荣耀的齐天大圣队、雷霆闪电队、星火燎原队分别夺得冠军、亚军、季军，净用时分别为50分26秒、50分56秒、53分01秒，超越了乌干达名将基普利莫在今年3月里斯本半程马拉松赛中创造的57分20秒的人类男子半马世界纪录．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： （1）本次比赛全程是_____________m，机器人_____________先到达终点； （2）机器人甲的平均速度是_____________，其路程和时间的关系式是_____________； （3）机器人乙由于故障在途中停留了_____________，恢复运行后，机器人乙的速度_____________机器人甲的速度．（填“>”“＝”或“<”） 【答案】（1）800，甲 （2）100， （3）3， 【解析】 【分析】（1）观察图象即可； （2）根据路程时间速度即可求； （3）观察图象即可得到故障时间，根据速度路程时间，求出恢复运行后，机器人乙的速度，再与机器人甲的速度比较即可． 【小问1详解】 解：根据图象可知，比赛全程是， 机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为， 所以机器人甲先到终点； 故答案为：800，甲； 【小问2详解】 解：根据图象可知，机器人甲的平均速度为：， 其路程s和时间t的关系式是：； 故答案为：100，； 【小问3详解】 解：根据图象可知，乙由于故障在途中停留了， 恢复运行后，机器人乙的速度为：， 由（2）知机器人甲的平均速度为， ∵， ∴恢复运行后机器人乙的速度机器人甲的速度． 故答案为：3，． 19. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，则，再证明，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 【答案】（1）风筝的高度为米； （2）他应该往回收线8米． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 21. 已知函数，解决下列问题： （1）画出此函数的图象； （2）当取何值时，？ （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了画一次函数的图象，已知自变量的值求函数值，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先取点，即令时，求出，以及令，则，得一次函数经过，再连线，根据两点确定一条直线，即可作答． （2）根据图象得出当时，，即可作答． （3）把代入，得，把代入，得，结合随的增大而增大，得当时，的取值范围为． 【小问1详解】 解：∵， ∴令时，则， 令，则， 再在平面直角坐标系中标出， 则经过这两个点的直线即为函数的图象，如图所示： 【小问2详解】 解：结合（1）的图象得当时，； 【小问3详解】 解：把代入，得， 把代入，得， ∵中的， ∴随的增大而增大， ∴当时，的取值范围为． 22. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出； (2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则，，利用矩形性质得，证明，则有，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形即可； （2）设，则，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可． 【小问1详解】 证明：∵分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 春节期间，西安大唐芙蓉园内精心设计的花灯让古今的种种景象都汇聚在风韵如画的盛世园林之中．已知非节假日园区门票价格为元／人，节假日期间考虑接待压力，票价较平日价格有一定的提升，但规定若组团旅游，则人数10人以下（包括10人）不打折，10人以上时，超过10人部分打折．设游客为人，门票费用为元，非节假日门票费用（元）及节假日门票费用（元）与游客（人）之间的函数关系如图所示． （1）求出与之间的函数关系式． （2）如果有一个50人的旅游团来大唐芙蓉园旅游，非节假日门票费用比节假日门票费节约多少钱？ 【答案】（1） （2）非节假日门票费用比节假日门票费节约1300元钱 【解析】 【分析】（1）根据图象中的数据，利用待定系数法，即可求出与x之间的函数关系式； （2）利用待定系数法，可求出与x之间的函数关系式，代入x=50，求出，的值，作差后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设当时，与x之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴当时，与x之间的函数关系式为； 设当时，与x之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴当时，与x之间的函数关系式为， 综上所述，与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设与x之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴， 当时，； ， ∴． 答：非节假日门票费用比节假日门票费节约1300元钱． 25. 阅读与思考 下面是兴趣小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“探究勾股定理”的一个片段兴趣小组 勾股定理是人类智慧的象征，它的证法多种多样，但大多数采用的思路是“用两种不同方式表示同一图形面积，由于同一个图形的面积相等；进而得到含的恒等式，通过化简即可完成证明”．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图1的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点重合，，，，，也利用“面积法”验证了勾股定理． 证明：连接，则． 则 小颖还进行如下操作：平移直角三角板，使得顶点重合，如图2，即常见的“K型图”，此时三角形是一个等腰直角三角形． … 任务： （1）请借助图1补全勾股定理的验证过程． （2）上面利用“面积法”验证了著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是_____（填一个正确选项代码） A．统计思想 B．数形结合思想 C．函数思想 D．方程思想 （3）请你利用“K型图”解决以下问题： 已知：如图3，直线及点，作正方形，使得点分别在直线、上．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）B （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，尺规作图--作垂线和线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据和进行证明即可； （2）根据数学思想进行判断即可； （3）过点作，延长交于点，分别以为圆心，的长为半径画弧，交于，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接即可． 【小问1详解】 解：证明：连接，则， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选B； 【小问3详解】 解：如图，正方形即为所求； 由作图可知，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为正方形． 26. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： （1）列表： 0 2 4 6 8 5 2 5 直接写出的值，______，______． （2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象． （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为______． 【答案】（1）4，2 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查函数图象及性质，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题． （1）把，代入中可求，将，代入即可求出； （2）描点补全图象即可； （3）不等式，即的图象在的上方时，对应自变量的取值范围，数形结合可得答案． 【小问1详解】 把，代入中得：， ， 当时，， ． 【小问2详解】 描点连线，如下图所示， 【小问3详解】 由图象可得， 不等式，即的图象在的上方， 解集为或． 27. 如图1，在四边形中，，点在边上，连接，过点作于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系：_____； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（1）见解析 （2）①；②，见解析 【解析】 【分析】（1）设，则．根据平行线的性质、垂直的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，即，由等角对等边可得，进而得到，再结合即可证明结论； （2）①先证四边形为矩形，再证明，根据全等三角形的性质即可解答；②先四边形为菱形，易得；如图：过点作于点，利用等腰三角形三线合一可得，再证明可得，进而证明结论． 【小问1详解】 证明：设，则． ∵， ． ， ． ． 在中，， ． ． 又， ． ∵， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：①∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ ， ， 由（1）可得：， ∴， ∴． ②．理由如下： ，四边形为平行四边形， 四边形为菱形． ． ， ． 如图：过点作于点， ∵， ． ∵， ． ， ． ． ． 28. 根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形的“距离”定义：如果点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形的“距离”，记为特别地，当图形有公共点时，图形的“距离”． （1）如图1，在平面直角坐标系中，菱形的，点在第一象限，若，，，则，菱形______， 菱形______； （2）如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图象记为． ①若，求的取值范围； ②若，且，则的值为______； （3）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为平面内一点，令，，，比较的大小关系______（直接写出结果）． 【答案】（1）， （2）①或 ② （3） 【解析】 【分析】（1）过作于, 由, 可得菱形, 而, 有故菱形； （2）①当图象经过点时, 知, , 当图象经过点时, , 得, 由一次函数的图象和性质可知, , 则的取值范围为或； ②如图, 设图象与轴交于, 与轴交于, 作于点,中, 令, 得, 根据知故, 从而, 即得 ，用待定系数法可得； （3）令,, 可得在直线上，设直线与轴交于点，与轴交于点, 然后根据勾股定理计算即可 【小问1详解】 过作于, 如图: ， ， 由题意知,，菱形 ， ， ， ∴ 菱形， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①图象经过点或点时，图象与只有一个交点,符合 当图象经过点时， 将代入, 得, 解得, 当图象经过点时， 将代入, 得, 解得, 由一次函数的图象和性质可知，当或时，图象与有两个交点, 满足, ∴的取值范围为或； ②如图, 设图象与轴交于, 与轴交于, 作于点. 中, 令 得 ∴, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将 代入 得 解得 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵点为平面内一点， 令，，则， ∴点在直线上， 设直线与轴交于点，与轴交于点, 当时，；当y=0时，，解得， ∴， 又∵， ∴ ∴当时 ，距离最小，这时， ∴， 同理得到， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义的意义，将新定义问题转化为学过的数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2025-2026学年下学期期中试题八年级数学 时间：100分钟 2026.4 本试卷共4页，100分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 计算的结果是（） A. B. C. D. 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 5. 已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 7. 如图，四边形是平行四边形，为上的一点（不与，重合），连接．求作点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 8. “藻井”是中国古代建筑中位于室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的星空”．某校数学小组的同学在研究时发现智化寺藻（图1）、故宫太和殿藻井中都有类似图2的几何结构，他们通过测量得知分别是正方形的四条边的中点，将四边形绕正方形的中心顺时针旋转，可以得到四边形分别经过点，且平行于．给出下面四个结论： ①E，F是线段的三等分点； ②是线段的中点； ③是正八边形； ④的面积是的面积的2倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为____________． 11. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 12. 如图，在正方形中．点E，F，G分别在边，，上，．若，，则的度数为_____（用含的式子表示）． 13. 如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10，BC=16，则DF的长为___________. 14. 如图，已知菱形的边长为4，，点P是图中线段上一点，且，连接，则的长为______． 15. 在边长为4的正方形的边上有一个动点P．从点A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始，设点P移动的路程为x，如图，三角形的面积为y，请结合图象分析： （1）当时，y与x的函数关系式为________； （2）当时，y的值为________． 16. 我们将宽和长之比为（约为）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过折纸获得．如图1所示，将长方形纸片第一次沿折叠，使点和点重合，展开后再将纸片沿对折叠，使点和点重合；如图2所示，展开后连接，再将纸片第三次沿折叠，使得落在长方形纸片的边上且点落在点处，再次展开，过点作的垂线，垂足为点．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：_________． 三、解答题（本题共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 2026年4月19日，由北京市人民政府、中央广播电视总台等联合主办的2026人形机器人半程马拉松鸣枪开跑．最终，来自荣耀的齐天大圣队、雷霆闪电队、星火燎原队分别夺得冠军、亚军、季军，净用时分别为50分26秒、50分56秒、53分01秒，超越了乌干达名将基普利莫在今年3月里斯本半程马拉松赛中创造的57分20秒的人类男子半马世界纪录．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： （1）本次比赛全程是_____________m，机器人_____________先到达终点； （2）机器人甲的平均速度是_____________，其路程和时间的关系式是_____________； （3）机器人乙由于故障在途中停留了_____________，恢复运行后，机器人乙的速度_____________机器人甲的速度．（填“>”“＝”或“<”） 19. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 21. 已知函数，解决下列问题： （1）画出此函数的图象； （2）当取何值时，？ （3）当时，求的取值范围． 22. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 23. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 24. 春节期间，西安大唐芙蓉园内精心设计的花灯让古今的种种景象都汇聚在风韵如画的盛世园林之中．已知非节假日园区门票价格为元／人，节假日期间考虑接待压力，票价较平日价格有一定的提升，但规定若组团旅游，则人数10人以下（包括10人）不打折，10人以上时，超过10人部分打折．设游客为人，门票费用为元，非节假日门票费用（元）及节假日门票费用（元）与游客（人）之间的函数关系如图所示． （1）求出与之间的函数关系式． （2）如果有一个50人的旅游团来大唐芙蓉园旅游，非节假日门票费用比节假日门票费节约多少钱？ 25. 阅读与思考 下面是兴趣小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“探究勾股定理”的一个片段兴趣小组 勾股定理是人类智慧的象征，它的证法多种多样，但大多数采用的思路是“用两种不同方式表示同一图形面积，由于同一个图形的面积相等；进而得到含的恒等式，通过化简即可完成证明”．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图1的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点重合，，，，，也利用“面积法”验证了勾股定理． 证明：连接，则． 则 小颖还进行如下操作：平移直角三角板，使得顶点重合，如图2，即常见的“K型图”，此时三角形是一个等腰直角三角形． … 任务： （1）请借助图1补全勾股定理的验证过程． （2）上面利用“面积法”验证了著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是_____（填一个正确选项代码） A．统计思想 B．数形结合思想 C．函数思想 D．方程思想 （3）请你利用“K型图”解决以下问题： 已知：如图3，直线及点，作正方形，使得点分别在直线、上．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 26. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： （1）列表： 0 2 4 6 8 5 2 5 直接写出的值，______，______． （2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象． （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为______． 27. 如图1，在四边形中，，点在边上，连接，过点作于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系：_____； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 28. 根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形的“距离”定义：如果点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形的“距离”，记为特别地，当图形有公共点时，图形的“距离”． （1）如图1，在平面直角坐标系中，菱形的，点在第一象限，若，，，则，菱形______， 菱形______； （2）如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图象记为． ①若，求的取值范围； ②若，且，则的值为______； （3）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为平面内一点，令，，，比较的大小关系______（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $