精品解析：山东省德州市某校2025-2026学年高一上学期期末模拟测试一数学试题

2025级高一上学期期末模拟测试一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若函数（且）在R上为减函数，则函数的图像可以是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 质点在以坐标原点为圆心的单位圆上沿顺时针方向作匀速圆周运动，其角速度大小为，起点为射线与单位圆的交点，后点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递增 8. 已知是定义在上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则，，的大小关系为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 是第三象限角，则是第二象限或第四象限角 D. 若，且，则 10. 对于函数，下列描述正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 在定义域内单调递减 C. 值域是 D. 图像是中心对称图形 11. 设函数，已知在有且仅有5个零点，下列结论正确的有（ ） A. 在有且仅有2个零点 B. 在有且仅有3个零点 C. 在单调递增 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 已知幂函数且，函数满足，则实数m的取值范围是________． 14. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，且，求的值. 16. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值. 17. 某企业为了解每月广告投入费用单位：万元与月利润单位：万元的关系，统计了前三个月每月广告投入费用x与月利润y的数据，如下表所示： 月份 第一个月 第二个月 第三个月 每月广告投入费用单位：万元 2 4 8 月利润单位：万元 4 8 31 （1）当每月广告投入费用不超过12万元时，x与y之间的关系有两个函数模型与可供选择，利用表中前两个月的数据分别求出两个函数模型的解析式，并根据第三个月的数据，选出更符合实际的函数模型 （2）已知每月广告投入费用超过12万元时，x与y满足关系结合第（1）问的结果，求该企业每月广告投入费用x在什么范围时月利润不少于64万元? 18. 已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为 （1）求的单调递增区间; （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围. 19. 已知函数的定义域为. （1）求a的取值范围; （2）讨论函数的单调性; （3）给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”;若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“次不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一上学期期末模拟测试一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】，， 则， 故选：B． 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项. 【详解】，， 且函数的定义域是，定义域内是增函数，也是增函数，所以是增函数，且， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：B 【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断. 3. 已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义和诱导公式即可判断. 【详解】由题意，得，， 则与终边相同的是. 故选：B 4. 若函数（且）在R上为减函数，则函数的图像可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得且函数的定义域为，结合对数复合函数的单调性，应用排除法确定函数图象. 【详解】由题设，且，即函数的定义域为，排除A、B； 当时，单调递减，当时，单调递增，而在定义域上递减， 所以时递增；时递减；排除C. 故选：D 5. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质求出半径，再利用扇形和三角形的面积公式计算. 【详解】如图，过点作，垂足为， 由题意可知，，，则，， 则，， 则该弧田的面积为. 故选：D 6. 质点在以坐标原点为圆心的单位圆上沿顺时针方向作匀速圆周运动，其角速度大小为，起点为射线与单位圆的交点，后点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角速度的定义，结合诱导公式和特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】后点顺时针方向转了， 因为起点为射线与单位圆的交点， 所以质点在起点的纵坐标为， 所以后点的纵坐标为， 故选：A 7. 设函数，则（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义判断BD；再由导数判断AC. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 故为定义域上的偶函数，可排除BD； 当时，， 即在上单调递增，故A正确；又函数为偶函数，所以函数在单调递，故C错误. 故选：A 8. 已知是定义在上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则，，的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，分析可得在上为减函数，据此分析可得答案． 【详解】由于当时，都有成立， 故在上为减函数， ，，而， 所以，即. 故答案为D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数单调性，属于中档题． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 是第三象限角，则是第二象限或第四象限角 D. 若，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的零点、扇形的弧长公式和面积公式、任意角的范围以及同角三角函数的关系逐一判断选项即可. 【详解】对于A： 令，则或， 而根据图象可知，时，指数函数与抛物线有一个交点， 所以有三个零点，A正确； 对于B： 因为圆心角为的扇形的弧长为，则半径， 所以扇形的面积为，B正确； 对于C： 由于是第三象限角，则. 所以， 当时，，所以为第二象限角； 当时，，所以为第四象限角； 所以为第二象限角或第四象限角，C正确； 对于D： 因为，两边平方得， 解得，而， 所以异号，又，所以. 因为，所以化简得. 解得，即或. 又，所以，D错误. 故选：ABC. 10. 对于函数，下列描述正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 在定义域内单调递减 C. 值域是 D. 图像是中心对称图形 【答案】ACD 【解析】 【分析】分离常数得，再根据指数函数的单调性、值域即可判断ABC，计算即可判断D. 【详解】， 对于A，B：因为，所以，所以函数的定义域为， 又因为单调递增，所以单调递增，所以单调递减， 所以单调递增，所以单调递增，故A正确，B错误； 对于C：又，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以的值域是，故C正确； 对于D： ， 所以函数图像关于点中心对称，故D正确； 故选：ACD 11. 设函数，已知在有且仅有5个零点，下列结论正确的有（ ） A. 在有且仅有2个零点 B. 在有且仅有3个零点 C. 在单调递增 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得，求得的取值范围可判断D；利用的取值范围逐项计算可判断ABC. 【详解】因为，所以， 因为在有且仅有5个零点，所以， 所以，解得，所以的取值范围是，故D正确； 令，可得， 所以，所以， 又，所以，所以， 当时，即， 所以可得或，所以在有且仅有2个零点， 当时，即， 可得或或，所以在有且仅有3个零点，故A错误； 令，得，所以， 所以，又，所以， 所以， 又因为，所以或或， 所以在有且仅有3个零点，故B正确； 因为，所以， 又因为，所以， 所以在单调递增，故C正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式进行求解即可. 【详解】由题意，因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知幂函数且，函数满足，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，求出参数值，再判断构造函数的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】已知为幂函数，则，解得或， 当时，，此时，不符合题意， 当时，，此时，符合题意， 则，定义域为， 可得， 所以是上的奇函数， 根据基本初等函数性质可知均为上的增函数， 所以是上的单调增函数， 则，即，即， 可得，即，解得. 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 14. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 【答案】40 【解析】 【分析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把吊箱B离地面的高度h表示为时间t的三角函数，令即可求出答案. 【详解】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设吊箱B离地面的高度为h，则 ， 令，得， 或，， 或，， 因为第4次达到158m， 所以时，吊箱B第4次距离地面158m， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算公式计算得到结果； （2）利用诱导公式先化简，结合题中等式得到，最后计算式子的值. 【小问1详解】 【小问2详解】 ， 由得， 所以 16. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，将函数转化为关于的二次函数，从而得解； （2）利用换元法，将不等式转化为关于的二次不等式，解后再利用对数函数的单调性即可得解； （3）利用换元法与参数分离法得到的恒成立问题，再利用函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 因为， 令，由，可知， 函数转化为． 因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，为． 由，可知当时，取到最大值， 故当时，函数的值域为． 【小问2详解】 由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或. 【小问3详解】 由于对于恒成立， 令，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以当时，函数取得最大值，为， 故当时，对于恒成立． 所以的最小值为. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 17. 某企业为了解每月广告投入费用单位：万元与月利润单位：万元的关系，统计了前三个月每月广告投入费用x与月利润y的数据，如下表所示： 月份 第一个月 第二个月 第三个月 每月广告投入费用单位：万元 2 4 8 月利润单位：万元 4 8 31 （1）当每月广告投入费用不超过12万元时，x与y之间的关系有两个函数模型与可供选择，利用表中前两个月的数据分别求出两个函数模型的解析式，并根据第三个月的数据，选出更符合实际的函数模型 （2）已知每月广告投入费用超过12万元时，x与y满足关系结合第（1）问的结果，求该企业每月广告投入费用x在什么范围时月利润不少于64万元? 【答案】（1）更符合实际的函数模型为 （2） 【解析】 【分析】分别求解若选用函数若选用函数，判定即可； 分类讨论，解不等式求解即可. 【小问1详解】 若选用函数 将点，代入可得 解得，，所以 当时，得 若选用函数，将点，代入可得，解得，，所以 当时，得， 因为，即模型与实际数据差距更小，所以更符合实际的函数模型为 【小问2详解】 当时，令，即， 所以 当时，由，解得，所以 所以该企业每月广告投入费用 x在时月利润不少于64万元. 18. 已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为 （1）求的单调递增区间; （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得到，结合正弦型函数性质求解； 由题意，结合单调性求解即可 【小问1详解】 由题意，周期， 所以， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为 【小问2详解】 由题意， 因为对任意，存在，使得成立，所以 当时，，所以 当时，，，即 令，则，， 若，在上单调递增， 因为，所以，解得， 若，在上单减，在上单增， 因为，所以，解得， 若，在上单减， 因为，所以，解得 综上，a的取值范围为或 19. 已知函数的定义域为. （1）求a的取值范围; （2）讨论函数的单调性; （3）给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”;若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“次不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当，函数在上单调递增; 当时，函数在单调递减，在单调递增. （3）或 【解析】 【分析】（1）先将问题转化为在上恒成立，分离参数后得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可； （2）根据复合函数的单调性，设，，分类讨论求解即可； （3）设函数在上的“不动点”为m，则，令，，则，将函数在上仅有一个“不动点”转化为与的图象在上仅有一个交点；设函数在上的“次不动点”为n，则，令，，则，将函数在上仅有一个“次不动点”转化为与的图象在上仅有一个交点，结合单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立. 所以a的取值范围为 【小问2详解】 令，则为上的增函数，且 设 当时，函数在上单调递增， 又为增函数，由复合函数单调性，在上单增; 当时，在上单减，在上单增， 又为增函数， 由复合函数单调性，在单减，在单调递增. 综上，当，函数在上单调递增; 当时，函数在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 设函数在上的“不动点”为m，则， 即，整理得，， 令，，则， 则在上单减，上单增， 因当时，，，， 所以若与的图象在上仅有一个交点，则或， 又由（1）知，，所以或 设函数在上的“次不动点”为n，则， 即，，所以， 即， 令，，则，则，， 任取，且， 则 因为，且，所以，，， 所以，即，所以在上单增， 因为与的图象在上仅有一个交点，且 所以，又因为，故 综上，若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，a的取值范围为或 【点睛】思路点睛:本题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，然后进行转化、抽象为相应的数学问题进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $