第2章 圆（知识清单）数学湘教版九年级下册

该初中数学“圆”单元知识清单全面覆盖圆的核心内容，包含基本概念、位置关系、重要定理、图形性质及相关计算，搭建了从“概念定义”到“定理应用”再到“综合问题解决”的递进式学习架构。 清单通过分类呈现典型错误（如弦与直径混淆、垂径定理条件遗漏），分级标注重难点（如弧长计算、切线证明），关联知识模块（圆心角与圆周角关系），培养学生推理能力与模型意识。设计“错误对比例题”“重难点典例解析”及备考建议，如“垂径定理应用需构造直角三角形”，助力学生自主突破难点，教师可精准设计教学活动提升效率。

第二章 圆 1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线叫做圆；固定的端点O叫做圆心；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径 (通常用字母 r 表示)；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径 (通常用字母 d 表示)。d = 2r；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径是最长的弦；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 2.点和圆的位置关系：设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r。则： 当d < r时：点在圆内。 当d = r时：点在圆上。 当d > r时：点在圆外。 3.圆是轴对称图形：任何一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 4.圆是中心对称图形：圆心是它的对称中心。圆绕其圆心旋转任意角度都能与自身重合。能够重合的两个圆叫等圆，能够互相重合的弧叫等弧。 5.垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言描述： 如图，在⊙O中，直径CD ⊥ 弦AB于M，则： 弦AE =弦BE ，优弧AC = 优弧BC，劣弧AD = 劣弧BD. 注意： i.“直径”是条件：必须有一条直径。ii.“垂直”是条件：这条直径必须垂直于某条弦。iii.“平分弦”、“平分弧”是结论：同时平分该弦及其所对的两条弧（优弧和劣弧）。 6.垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 7.垂径定理应用归纳：求弦长、求半径/直径、计算圆弧形拱桥的跨度、高度等。 8.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，弦也相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 9.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 10.圆周角定理及推论： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。推论1； 同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 11.圆内接四边形：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。性质定理： 圆内接四边形的对角互补（即对角之和为180°）。 12.直线和圆的位置关系：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r。 若d < r：直线与圆相交 (有两个公共点)。 若d = r：直线与圆相切 (有且只有一个公共点，该点叫切点)。 若d > r：直线与圆相离 (没有公共点)。 13.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 14. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 15.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 16.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心。外心是三角形三边垂直平分线的交点；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 17.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三条角平分线的交点；内心总是在三角形内部。 18.弧长公式：在半径为 r 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长 l为： ; 19.扇形面积公式：在半径为 r 的圆中，n° 的圆心角所对的扇形面积 S 为： 或 S (其中 l 为对应弧长) 20.正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形;正多边形的外接圆和内切圆： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆;中心角： 正多边形的中心角（即每边所对的外接圆的圆心角）等于 (n 为边数); 21.对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形的每个顶点与它的中心连线所在的直线都是这个正n边形的对称轴.一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.当n为奇数时，正n边形的n条对称轴都是顶点与中心的连线；当n为偶数时，正n边形有条对称轴是顶点与中心的连线，有条对称轴是过中心与边垂直的直线；当正多边形边数为偶数是，也是中心对称图形，边数为奇数时，不是中心对称图形。 备考方向与建议： 1.核心概念： 圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角、圆周角、切线、切点是本章最基础也是最重要的概念，必须深刻理解。 2.位置关系： 点和圆、直线和圆的位置关系判定是重点，要熟练掌握距离比较法 (d 与 r 的关系)。 3.定理应用： 垂径定理及其推论 (常涉及弦、弦心距、弧的关系)；圆周角定理及其推论 (判断角度、直角、直径)；切线的判定定理 (证明切线) 和性质定理 (切线性质、切线长定理)；圆内接四边形对角互补。 4.对称性： 圆的轴对称性和中心对称性是许多性质和证明的基础。 5.计算： 弧长和扇形面积的计算公式要牢记。 6.思想方法： 本章涉及大量几何证明和计算，需要灵活运用转化、数形结合、方程等思想方法。 7.综合应用： 本章知识常与三角形、四边形、相似等知识结合，解决综合性问题。 一、圆的基本概念中的典型错误 错误1：混淆弦与直径，认为弦就是直径 例题1：下列说法正确的是（） A. 圆上两点间的线段叫直径 B. 直径是弦，弦也是直径 C. 圆中最长的弦是直径 D. 弦的长度一定小于直径 错解：B 正解：C 注 意：忽略直径是“过圆心的弦”，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，且直径是圆中最长的弦。 例题2：已知⊙O的半径为5，圆内任意一条弦的长度的取值范围是______。 错解：0<弦长<5 正解：0<弦长≤10 注 意：忘记直径是特殊的弦，圆中最长弦为直径（长度10）。 错误2：判断弧的类型时，仅看长度不看圆心角，误将等长弧当作等弧 例题1：下列说法正确的是（ ） A.长度相等的两条弧是等弧 B.同圆中，优弧一定比劣弧长 C.半圆是优弧 D.长度不相等的两条弧叫等弧 错解：A 正解：B 注意：等弧的前提是“同圆或等圆中且能完全重合”，仅长度相等不满足；半圆既非优弧也非劣弧，同圆中优弧一定长于劣弧。 例题2：⊙O₁半径为2，弧AB长度为π；⊙O₂半径为4，弧CD长度为π，弧AB和弧CD______（填“是”或“不是”）等弧。 错解：是 正解：不是 注意：两圆半径不同，即使弧长相等，也无法完全重合，不是等弧。 错误3：混淆半圆与弧的包含关系 例题：①弧是半圆 ②半圆是弧 ③优弧大于半圆，劣弧小于半圆。其中正确的有______（填序号）。 错解：①②③ 正解：②③ 注意：弧包含优弧、劣弧想、半圆，半圆是特殊的弧，但弧不一定是半圆。 二、垂径定理及推论类 错误1：应用垂径定理遗漏核心条件，平分弦时忽略“弦非直径” 例题1：下列说法正确的是（） A.平分弦的直径垂直于弦 B.垂直于弦的直线平分弦所对的弧 C.平分非直径弦的直径垂直于弦 D.弦与直径没有区别 错解：A 正解：C 注意：平分弦的直径垂直于弦的前提是“弦不是直径”，若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直；B遗漏“直线过圆心”。 例题2：已知⊙O的直径为10，弦AB=8，弦CD=6，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。 错解：仅得7 正解：7或1 注意：未考虑弦AB和CD在圆心同侧和异侧两种情况，同侧距离为3-2=1，异侧距离为3+2=1（先由垂径定理得弦心距分别为3和2）。 错误2：计算弦长未构造“半径、弦心距、半弦”直角三角形 例题1：⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，求弦AB的长。 错解：4 正解：8 注意：直接用半径减弦心距得弦长，未掌握垂径定理核心：弦长=，应先求半弦长为4，再乘2得弦长8。 例题2：已知圆的一条弦把圆分成1:3的两段弧，弦长为2，求圆的半径为______。 错解：2 正解：2 注意：未先由弧的比例得圆心角为90°，再结合垂径定理构造等腰直角三角形，设半径为r，半弦长为，由勾股定理得r=2。 三、圆心角、弧、弦的关系 错误：忽略“同圆或等圆中”前提 例题1：下列说法成立的是（） A. 圆心角相等，所对的弦相等 B.弧相等，所对的圆心角相等 C.同圆中，圆心角相等，所对的弧相等 D.弦相等，弧相等，圆心角相等 错解：A或B 正解：C 注意：A、B均遗漏“同圆或等圆中”的前提，不同圆中，圆心角或弧相等，对应的弦、圆心角不一定相等。 例题2：⊙O₁半径为2，圆心角∠A₁O₁B₁=60°；⊙O₂半径为3，圆心角∠A₂O₂B₂=60°，则弦A₁B₁与A₂B₂的长度关系为A₁B₁______A₂B₂（填“>”“<”或“=”）。 错解：= 正解：< 注意：忽略两圆半径不同，同圆心角下，半径越大，所对弦越长。 四、圆周角定理及推论类 错误1：混淆圆周角与圆心角的度数关系，忽略“同弧所对” 例题1：⊙O中，弧AB的度数为60°，∠AOC=100°，求∠ABC的度数。 错解：50° 正解：30° 注意：误将∠ABC当作∠AOC所对的圆周角，实际∠ABC是弧AB所对的圆周角，应等于弧AB度数的一半（60°÷2=30°）。 例题2：⊙O中，圆心角∠AOB=80°，则弧AB所对的圆周角为______°。 错解：40 正解：40或140 注意：忽略圆周角可在弧AB的优弧侧和劣弧侧，劣弧侧为40°，优弧侧为180°-40°=140°。 错误2：认为“同弦所对的圆周角相等” 例题：已知⊙O的弦AB所对的一个圆周角为30°，则弦AB所对的另一个圆周角为______°。 错解：30 正解：150 注意：同弦所对的两个圆周角分别在弦的两侧，互补，故另一个为180°-30°=150°。 错误3：误用90°圆周角的逆定理，混淆直径与半径 例题：△ABC内接于⊙O，∠C=90°，求证：AB是⊙O的直径。 错解：连接OC，证OC=OA，故AB是半径 正解：由圆周角定理推论，90°的圆周角所对的弦是直径， ∵∠C=90°， ∴AB是⊙O的直径。 注意：误将90°圆周角所对的弦当作半径，核心结论为“所对弦是直径”。 五、点与圆、直线与圆的位置关系 错误1：判断点与圆位置，误将点到弦的距离与半径比较 例题：⊙O的半径为5，弦AB=8，点P到弦AB的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆上或圆内 错解：B 正解：C 注意：仅计算了圆心到弦AB的距离为3，点P可能在弦AB的垂直平分线上（圆上），也可能在圆内其他位置到AB的距离为3。 错误2：证明切线遗漏“过半径外端”或“垂直于半径”一个条件 例题1：如图，OA是⊙O的半径，AB⊥OA，求证：AB是⊙O的切线。 错解：∵AB⊥OA，∴AB是切线 正解：∵OA是⊙O半径，AB⊥OA且A在⊙O上（过半径外端）， ∴AB是⊙O的切线。 注意：遗漏“直线过半径外端”的条件。 例题2：下列直线是⊙O切线的是（ ） A. 与⊙O有一个交点的直线 B. 垂直于⊙O半径的直线 C. 经过⊙O上一点且垂直于该点半径的直线 错解：A或B 正解：C 注意：A未强调“平面内”（空间中可能有一个交点但非切线），B遗漏“过半径外端”。 错误3：混淆切线的性质，认为切线垂直于任意半径 例题：圆的切线垂直于圆的所有半径（ ） 错解：√ 正解：× 注意：切线仅垂直于过切点的半径，与其他半径不垂直。 六、圆与圆的位置关系类 错误：忽略内切/外切的等号边界，混淆内含与内切、外离与外切 例题1：已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为2，则两圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D.相离 错解：A 正解：B 注意：未掌握“d=R-r（R>r）时两圆内切”，圆心距2=5-3，故为内切，内含是d<R-r。 例题2：两圆半径分别为4和6，当圆心距d满足______时，两圆外离；当d=______时，两圆外切。 错解：d>8；8 正解：d>10；10 注意：外离的条件是d>R+r，外切是d=R+r，此处R+r=4+6=10，混淆半径和与差。 例题3：两圆相切，半径分别为2和5，求圆心距d。 错解：7 正解：7或3 注意：相切包含外切（d=7）和内切（d=3）两种情况，遗漏内切。 七、弧长、扇形面积公式类 错误1：混淆弧长与扇形面积公式，角度未带单位参与计算 例题1：求圆心角为60°，半径为6的弧长。 错解：60×π×6÷360=6π 正解：60×π×6÷180=2π 注意：混淆弧长公式（÷180）与扇形面积公式（÷360）。 例题2：求圆心角为90°，半径为4的扇形面积。 错解：90×π×4÷180=2π 正解：90×π×4²÷360=4π 注意：扇形面积公式需乘半径的平方，且除以360，误用量弧长公式计算。 错误2：计算圆锥侧面积，混淆底面半径与母线长 例题1：圆锥的底面半径为3，母线长为5，求圆锥的侧面积。 错解：π×5²=25π 正解：π×3×5=15π 注意：圆锥侧面积公式为S=πrl（r为底面半径，l为母线），误将母线长当作底面半径代入圆的面积公式。 例题2：圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为9的扇形，则圆锥的底面半径为______。 错解：9 正解：3 注意：扇形半径是圆锥的母线长，设底面半径为r，由“扇形弧长=底面周长”得：120×π×9÷180=2πr，解得r=3，误将扇形半径当作底面半径。 八、圆的作图与计算类 错误：混淆三角形外心与内心的定义和性质 例题1：三角形的内心是（ ） A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.到三个顶点距离相等的点 D.三边中线的交点 错解：A或C 正解：B 注意：A、C是外心的定义和性质，内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等。 例题2：直角三角形的两条直角边分别为6和8，则其外接圆的半径为______，内切圆的半径为______。 错解：5；5 正解：5；2 注意：直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径=斜边的一半=5； 例题3：任意三角形的外心都在三角形内部（） 错解：√ 正解：× 注意：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部，遗漏直角和钝角三角形的情况。 重难点01 求弧长 【典例1】如图，长沙市某处位于北纬（即），东经，南沙群岛某处位于北纬（即），东经．设地球的半径为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（    ）千米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式，能根据纬度求出和两点对应的圆心角的度数是解题的关键． 由位于北纬，即，位于北纬，即 ，且和都在东经的经线圈上，得出它们的圆心角是，再根据弧长公式计算劣弧的长度即可． 【详解】解：∵位于北纬，即，位于北纬，即 ，且和都在东经的经线圈上， ∴， ∴点和点之间的劣弧长为：． 故选：． 【典例2】如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 【典例3】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转．则（   ） A．120 B．116 C．108 D．100 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故选C． 重难点02 求阴影部分的面积 【典例1】如图，点、、均在上，直径，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，扇形面积，先根据得，根据扇形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：B 【典例2】如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，CD=6，则图中阴影部分面积为（   ） A．π–24 B．9π C．π–12 D．9π–6 【答案】A 【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，根据垂径定理求出AE、CF，再利用勾股定理列式求出OE=OF，从而得到AE=OF，OE=CF，然后利用“边角边”证明△AOE和△OCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠OCF，再求出∠AOE+∠COF=90°，然后求出∠AOB+∠COD=180°，把弧CD旋转到点D与点B重合，构建直角三角形ABC；然后根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式来求阴影部分的面积：阴影面积=半圆面积-直角三角形ABC的面积． 【详解】解：如图1，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F， 由垂径定理得，AE=AB=×8=4，CF=CD=×6=3， 由勾股定理得，OE===3， OF===4， ∴AE=OF，OE=CF， 在△AOE和△OCF中，， ∴△AOE≌△OCF（SAS），∴∠AOE=∠OCF， ∵∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOE+∠COF=90°， ∴∠AOB+∠COD=2（∠AOE+∠COF）=2×90°=180°， 如图2把弧CD旋转到点D与点B重合． ∴△ABC为直角三角形，且AC为圆的直径； ∵AB=8，CD=6，∴AC=10（勾股定理）， ∴阴影部分的面积=S半圆–S△ABC=π×52–×6×8=π–24； 故选A． 【典例3】如图，内接于，若的半径为则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°，过点O作OD⊥BC，根据垂径定理与含30°的直角三角形及勾股定理求出BC，OD，再根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵∠A＝60°， ∴∠BOC＝2∠A＝120°， 过点O作OD⊥BC， ∴∠BOD=60° ∴∠OBD=30° ∴OD= ∴BC=2BD= ∴阴影部分的面积＝S扇形BOC−S△BOC== 故答案为：． 重难点03 正多边形和圆的关系 【典例1】如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，根据正六边形内接于，可得：，又因为，可知是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一定理可得：，利用勾股定理求出的长度，再利用弧长公式求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接、，则， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 故选：B． 【典例2】如图，正六边形的半径为4，以A为圆心，的长为半径画弧，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式，作于，由题意可得，，从而求出，由等腰三角形的性质结合直角三角形的性质可得，，求出，同理可得，，求出，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：B． 【典例3】如图，五边形是的内接正五边形，直线与相切于点，则 °． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线的性质定理等知识点；连接，多边形是正五边形，可求出的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键． 【详解】解：连接， ∵多边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴． 故答案为：． 重难点04 圆的周长和面积相关问题 【典例1】如图，在圆O的直径AB上，分别与BC和AC为直径在画两圆，然后用剪子或其它工具挖去这两个圆（即以O1、O2为圆心的圆），设BC＝2R，AC＝2r. （1）求余下部分的面积（用R、r的代数式表示） （2）当R≠r时，请你比较余下部分的面积和被挖去部分的面积的大小． （3）当R＝r时，请你比较余下部分的面积和被挖去部分的面积的大小． 【答案】（1）2Rrπ；（2）剩余的面积小于挖去的两圆面积和，（3）剩余的面积等于挖去的两圆面积和 【分析】（1）用大圆的面积减去中间两个小圆的面积即可； （2）当R≠r时，用被挖去部分的面积减去余下部分的面积，再判断值与0的关系即可； （3）当R＝r时，用被挖去部分的面积减去余下部分的面积，再判断值与0的关系即可； 【详解】解：（1）π（R+r）2-πr2-πR2=2Rrπ； （2）R≠r时，（R2＋r2）π－2Rrπ＝（R2＋r2－2Rr）π＝（R－r）2π﹥0， 故（R2＋r2）π﹥2Rrπ， 即剩余的面积小于挖去的两圆面积和， （3）R＝r时，（R2＋r2）π－2Rrπ＝（R2＋r2－2Rr）π＝（R－r）2π＝0， 故（R2＋r2）π＝2Rrπ， 即剩余的面积等于挖去的两圆面积和 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1． （1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系； （2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）． 【答案】（1）⊙P与⊙P1外切．（2）∏-2 【详解】（1）将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1后，两圆圆心距与两圆半径之和相等，故⊙P与⊙P1外切． （2）劣弧AB与弦AB围成的图形的面积实际等于圆的四分之一面积减去∆OAB的面积，这样根据已知条件即易求出． 重难点05 点与圆上一点的最值问题 【典例1】如图①，抛物线 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），射线交抛物线于点E． (1)求A、B、C三点坐标． (2)求的最大值． (3)如图②，圆O过点A，P是圆O上一动点，S表示面积： ①求S的取值范围． ②求的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)①，② 【分析】(1)令得， ，令得， ，解方程即可得三点的坐标； (2)如图，作交于点M，利用相似三角形的性质和二次函数的最值即可得解； (3)①先求出中边上的高，再利用点圆位置关系即可得出到边上的最大距离和最小距离，进而即可得解，②在上截取，连接，，构造出相似三角形，利用其性质得出，，再利用“两点之间线段最短”即可得解． 【详解】（1）解：令得， ， 解方程得，，， ，， 令得， ， ； （2）解：如图，作交于点M， ， ， 设的解析式为， 解得， ， 最大值为； （3）①利用直角三角形的面积公式得中边上的高， 圆O过点A，P是圆O上一动点， 圆O的半径为1，到边上的最大距离为，到边上的最小距离为， 的最大值，的最小值， ； ②在上截取，连接，， ，， ∴， ， ， ， 当C，P，M三点共线时，最小， ． 【典例2】如图，已知抛物线与x轴交于，两点，交轴于点，以为直径作经过点，连接． (1)求的圆心的坐标； (2)如图1，点是延长线上的一点，的平分线交于点，连接，求直线的解析式． (3)如图2，在（2）的条件下，是上一动点（不与点重合），连接是中点，连接，求的最大值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)； (3)． 【分析】（1）先令，求得点、的坐标分别为：，根据是直径，即可求解； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据题意可得，根据圆周角定理可得，圆的半径为，进而可得点的坐标为，待定系数法求解析式，即可求解． （3）连接，由垂径定理可得，，取中点，则在以为圆心，为半径的圆上运动．当运动到如图点位置时（即经过圆心时），最长，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ，令， 解得：或， 故点、的坐标分别为：， 是的直径，故为的中点， 点的坐标为； （2）连接 是直径 ， ， 的平分线为， ， ，即， 圆的半径为， 故点的坐标为， 又， 设直线的表达式为： 则， 解得：， ∴直线的表达式为：； （3）连接， ∵是的中点， 由垂径定理可得，， 取中点，则在以为圆心，为半径的圆上运动． ∴当运动到如图点位置时（即经过圆心时），最长． 在中，，由勾股定理可得， ． 重难点06 与弧、弦、圆心角三者有关的求解 【典例1】如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】证明：连接． 在中， ， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 【典例2】如图1，A、B、C是⊙O上三点，，，延长，交于点E，过点O作的平行线交射线于点F，连接． (1)求证：； (2)如图2，若，求的长； (3)设的长为x，记，，，四边形的面积分别为，，，． 小乐：存在实数x，使得成立； 小善：对于任意实数x，都有成立． 请判断以上两位同学的说法是否正确，并选择其中一个进行证明或说理． 【答案】(1)见解析 (2) (3)小乐不正确，小善正确，证明见解析 【分析】（1）通过圆的半径相等，得到等腰三角形，即可求解． （2）通过已知条件的边相等，得到角相等，得到线段平行，根据平行四边形的性质，即可求解． （3），，，假设，，，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵A、C两点都在圆上， ∴， 为等腰三角形，， 同理， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）证明：小乐不正确，小善正确， 理由如下， 小乐：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不成立． 小善：假设成立． ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【典例3】如图，为的内接三角形，点为弧的中点（弧弧），连交于点，作 ，交线段于点，交于点． (1)求证：； (2)①求证：； ②记，，，的面积依次为，，，若满足，试判断的形状，并说明理由． (3)当，，，试用含p，m，n的式子表示． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理可证明，问题即可得证； （2）①根据相似得，再根据点为弧AC的中点，可得，即有，问题得证；②根据，可得，进而可证明，问题得证； （3）连接，由（1）相似得，即．再证明 ，可得．根据点为弧的中点，可得，即．根据，问题得证． 【详解】（1），， ． 又， ； （2）①由（1）相似得， 点为弧AC的中点， ， ， ； ②为等腰三角形． 理由如下： ， ， ， 又， ． 为等腰三角形， 为等腰三角形． （3）连接， 由（1）相似得，即． 又点为弧的中点， ， 弧弧， ， 又， ， ， 即． 点为弧的中点， 弧弧AB，故， ． 又， ． 重难点07 与圆周角定理有关的求解 【典例1】如图，在中，弦为，弦为，为的直径，D为的中点．连接和，与相交于点F． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了圆的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键．（1）利用圆周角定理寻找等角证明即可； （2）根据圆的性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：连接，则， ∵，且， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴解得或（不符合题意，舍去）， ∴（cm）， ∴ ， ∴， ∴的值为3． 【典例2】如图，为的直径，为的弦，D为弧的中点．与相交于E，连接． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等，可得．进而证明，根据对应边成比例列式，可得； （2）由可得．由是直径，可得．进而可得 ，再证，根据勾股定理及三角函数解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵D为弧的中点， ∴． ∵分别是上的圆周角， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴． ∴． ∵是直径， ∴． ∵ ， 设，则． ∴， x， ． ∵， ∴． ∴． ∴ ． 在中，． ∵， ∴． 【典例3】【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，即可求解； （2）根据圆内接四边形的对角互补可得，推出，证明，得到，，推出，根据勾股定理得到，结合，，，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点与点分别在直径的异侧时，当点与点分别在直径的同侧时，分别求得即可． 【详解】解：（1）点、、、均在上，， ， ， 点、、三点共线， ， 故答案为：； （2） 是四边形的外接圆， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， 点在上， ，即， ，即， ， ，，， ， 线段，，之间的数量关系为； （3）当点与点分别在直径的异侧时，如图，连接，，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴； 当点与点分别在直径的同侧时，如图，连接，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述：或． 重难点08 垂径定理求解和实际应用 【典例1】已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理、三角形全等判定与性质、勾股定理： （1）连接并延长交于点，根据垂径定理可得，，再证明可得，由此即可得到结论； （2）设的半径为，在中根据勾股定理列出方程求出R，在中，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）解：设的半径为则， ∵，， ∴， 在中，， 解得， ， ， ． 【典例2】如图所示，在中，半径弦，垂足为，，． (1)求半径的长． (2)作图：延长交于点并连接，求的长． 【答案】(1)5 (2)图见解析， 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得到，设，在利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （2）延长交于点并连接，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴半径的长为5； （2）解：如图， 由（1）得，半径的长为5， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 【典例3】如图，在等腰中,交于两点，半径于H． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理． （1）根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据垂径定理可证，根据等式的性质可得； （2）连接构造，由（1）知，，设半径为，则，利用勾股定理求圆的半径． 【详解】（1）证明：在中，，于， ， 是的弦，是半径，且于， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接， 由（1）知，， 设半径为，则， 在中， 解得：， 的半径为． 【典例4】如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 【典例5】问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）          问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） 【答案】(1)； (2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米． 【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解； （2）作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒， ∴每秒旋转， 当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，， ∵， ∴； （2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，    在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴(米)， 答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米． 重难点9 切线的性质证明或求解 【典例1】如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例2】如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2）解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 重难点10 正多边形与圆的综合 【典例1】如图，内接于，过点B的切线与线段的延长线交于点D，线段交于点E，交于点F，． (1)求的度数； (2)连接，探究线段，和之间的数量关系，并进行证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用等边对等角分别得出与，结合对顶角的性质，可得出，再结合切线的性质可得出，从而可利用圆周角定理得出结果； （2）延长到G，使，连接，利用圆内接四边形的性质，结合证明，从而可得出是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得出，从而可得出． 【详解】（1）解：连接，，， ∵过点B的切线与线段的延长线交于点D， ∴，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：延长到G，使，连接， ，， ， 解得：， ， ， 四边形是的圆内接四边形， ， 又， ， 在与中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【典例2】【问题情境】如图①，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？ 【思路梳理】 （1）如图②，将小正方形绕圆心旋转，可以发现大正方形面积是小正方形面积的______倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【初步探究】 （2）如图③，一个对角线互相垂直的四边形，四边，，，之间存在某种数量关系．若按图③所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图④，请你结合整个变化过程，直接写出图④中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系：______； 【探究应用】 （3）如图⑤，在四边形中，对角线，若，，求的最小值． 【答案】（1）2；（2）；（3）的最小值为10． 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将沿方向平移至，使点与点重合，四边形是矩形，求得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． 故答案为：2； （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； 故答案为：； （3）如图，将沿方向平移至，使点与点重合， 由平移的性质知：，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 【典例3】如图，正五边形的边长为6，以点B为圆心，线段为半径画圆． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆、扇形的弧长，解题的关键是确定正五边形的内角的度数， （1）首先求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）∵五边形是正五边形， ∴ ∵ ∴； （2）∵正五边形的边长为6， ∴． 重难点11 三角形形与圆的综合 【典例1】如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连接交于点G，连接，过点C的切线交的延长线于点H． (1)求证：； (2)若求的值； (3)连接交于点N，连接，若的半径为5，，求与的周长比． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，结合垂径定理得到，再由是的切线，即可求证． （2）连接，先证明，设出，根据勾股定理即可求解． （3）先证明，设，，利用勾股定理得，求出，通过，求出，再利用，即可求解． 【详解】（1）证明：点，是的三等分点， ， 是的直径， ， 是的切线， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ； （3）解： ∴， ， ， ， 设，则， 同（2）得， 由勾股定理得， ， 解得， ， ∵， ∴ ， ， ， ， ， ， ． ∵，， ∴， ∴与的周长比为． 【典例2】定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗? I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）； II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）； III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）． 【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆； （2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证． 【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题： （3）证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高． （4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积． 【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）；；（3）见解析；（4）时，有最大值为，此时 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论II可得：，根据得出，根据三角形的外角大于与它不相邻的任一个内角得出，相互矛盾，即可证明点在上； （3）以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，，推得，根据对顶角相等可得，根据三角形内角和定理得出，即可证明； （4）连接，作中点，连接，过作轴交于，先求出点、、的坐标，根据勾股定理求出，根据中点坐标的公式求出点的坐标，根据等腰直角三角形的定义可推得，根据结论III可得，，，，共圆，即在的外接圆上，推得点为的外接圆圆心，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据待定系数法求出直线的解析式为，根据坐标系中两点间的距离公式列出方程，求出的值，得出点的坐标；根据待定系数法求出直线的解析式为，根据点的横坐标得出，，求出，根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接、，如图： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，， ∴， 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （2）解：假设点落在外，交于点，连接， 根据结论II可得：， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，相互矛盾， 故点在上； 故答案为：；． （3）证明：以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接， ∵，，，四点共圆， ∴， ∵以，，，四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的边上的高． （4）解：连接，作中点，连接，过作轴交于，如图： ∵的图象与轴交于、两点，与轴交于点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，，共圆，即在的外接圆上， ∵， ∴点为的外接圆圆心， ∴， 设直线为，将点和点的坐标代入得：， 解得：， 直线为， 设，， 解得：或（舍去）， ∴， 设直线为，将点和点的坐标代入得：， 解得：， 直线为， ∵点横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， 此时． 重难点12 四边形与圆的综合 【典例1】对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；        （    ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形；        （    ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（    ） (2)如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． (3)已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 【答案】(1)①×；②√；③√ (2)①外接型单圆；②见解析 (3)，， 【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③； （2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论； （3）①连接、、、、，根据四边形是“完美型双圆”四边形，结合四边形的内角和定理可推导出，，，进而可得，，然后利用圆周角定理可推导出，即可证得结论； ②连接、、、，根据已知条件证明，进而证明得到，再利用勾股定理求得，，同理可证求解即可． 【详解】（1）解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以 ①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即； 故③正确， 故答案为：①×；②√；③√； （2）解：①若四边形中有内切圆，则，这与矛盾， ∴四边形无内切圆， 又∵该四边形有外接圆， ∴该四边形是“外接型单圆”四边形， 故答案为：外接型单圆； ②∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即和均为半圆， ∴是的直径． （3）①证明：如图，连接、、、、， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，， ∵四边形是“完美型双圆”四边形， ∴该四边形有外接圆，则， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接、、、， ∵四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H， ∴∴，，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，由得， 解得； 在中，， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴． 【典例2】我们约定：对角线相等的四边形称之为：“等线四边形”． （1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中一定是“等线四边形”的是___________________； ②如图1，若四边形是“等线四边形”， 分别是边的中点，依次连接，得到四边形，请判断四边形的形状：______________________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知，以为直径作圆，该圆与轴的正半轴交于点，若为坐标系中一动点，且四边形为“等线四边形”．当的长度最短时，求经过三点的抛物线的解析式； （3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形是“等线四边形”， 在轴的负半轴上，在轴的负半轴上，且．点分别是一次函数与轴，轴的交点，动点从点开始沿轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为秒，以点为圆心，半径，单位长度作圆，问：①当与直线初次相切时，求此时运动的时间；②当运动的时间满足且时，与直线相交于，求弦长的最大值． 【答案】（1）①矩形，正方形；②菱形；（2）；（3）①；②当时，有最大值 【分析】（1）①依据矩形，正方形的性质即可得出结论；②根据三角形中位线定理，菱形的判定定理可知它一定是菱形； （2）连接CP，与圆相交于一点，当点Q在直线PC上时，PQ的长度为最短；利用勾股定理先求出C点坐标，再求出直线PC的方程，从而算出点Q的坐标，然后得到抛物线的解析式； （3）根据题意可知点B、C坐标，设出点A、D坐标，由AD=，课求得A、D坐标，然后求得点P的坐标，再分别讨论BC与圆P的关系，从而求出时间；再求出弦MN的长度的最大值. 【详解】解：（1）①在我们学习过的四边形中，矩形和正方形属于等对角线四边形； 故答案为；矩形，正方形. ②如图，四边形ABCD是等线四边形，E、F、G、H分别是各边中点， ∵E、F、G、H分别是各边中点， ∴EF=GH=，EH=FG=， ∵AC=BD ∴EF=GH=EH=FG， ∴四边形EFGH是菱形. （2）如图，连接CP与圆E相交于一点，连接CE， ∵A(-2，0)，B（8,0） ∴圆心坐标为，， ∴中， ∴点坐标为， ∴直线解析式为， ∴圆心E（3,0）刚好在PC上. 当点在线段上时最小，此时点Q在第四象限， ∴， 解得： 点坐标为， ∴设过抛物线为则 ， ∴； （3）依题，如图 由直线方程令x=0，y=0可得，坐标分别为， 设点坐标为， ∵AC=BD， ∴点坐标为， ∴中，， ∴（舍去），， ∴点坐标分别为， ∴点坐标为； ①∴当与初次相切时， ∴； ②当时，逐渐增大， 当时，，此时， 当时，，过作于点， 则 ∴ ∴当时，有最大值． 重难点13 函数与圆的综合 【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E． ①求； ②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标； (3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①法一：先求出，，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，则是外接圆的直径，设的中点为F，圆心，再根据对称性求出，得到，过E作于H，求出，，解直角三角形得到，，则；法二：设外接圆与x轴的另一交点为D，同理可得，证明，再由是直径，得到，则；②求出，，，，解直角三角形得到，由于为锐角，要使得与相似，情况1：，根据相似三角形的性质得到或，点P作轴于Q，解直角三角形得到，由勾股定理求出或，进而求出点P的坐标即可情况2：，同理求出或，同理可得或． （3）得抛物线对称轴为直线，取点，证明当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上，此时，即可得到，同理可得当取时，是直角三角形，即，再根据锐角三角形的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：将A，B两点坐标直接代入解析式有， 解得，， ∴拋物线的解析式为． （2）解：①法一：∵抛物线解析式为， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴是外接圆的直径， 设的中点为F， ∴圆心， ∵，， ∴点F在垂直平分线上，即点F的纵坐标于中点的纵坐标相同 ∴， ∴， 过E作于H， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中，； 法二：设外接圆与x轴的另一交点为D， 同法一：可得是外接圆的直径，，， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． ②，，，， 在中，， 在中， ∴， ∴， 又∵点N在射线上， ∴为锐角，要使得与相似， 情况1：， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴：， 又∵与相似， ∴或 ∴或， ∴或， ∴或， 过点P作轴于Q， ∴，即， 由勾股定理得， ∴或， 解得或， 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 情况2：， ∴， ∴， 又∵与相似， ∴或 ∴或， ∴或 ∴或， 同理可得或．…… 综上所述，点P的坐标为或或或． （3）解：由（2）得抛物线对称轴为直线，取点， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∴当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上， ∴此时， ∴， 同理可得当取时，是直角三角形，即， ∵为锐角，且， ∴， ∴或． 【典例2】如图，点在反比例函数上，轴于点，点在轴正半轴上，，、的长是方程的两个实数根，且，点是线段延长线上的一个动点，的外接圆与轴的另一个交点是． (1)求点和点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接求的值． 【答案】（1）点A坐标为(－6，0)，点B坐标为(0，2)；（2）反比例函数解析式为：；（3）． 【分析】（1）先解一元二次方程求出线段长，再转化为坐标即可； （2）设出点P坐标，根据PA=PB建立方程求解即可； （3）连接AM，设半径为r，在Rt△AOM中利用勾股定理求出半径长，再过点P作PH⊥y轴，根据线段之间的关系得到HM的长度，在Rt△PMH中即可求出结果． 【详解】解：（1），解得：或， ∵OA，OB的长是方程的两个实数根，且OA＞OB， ∴OA=6，OB=2， ∴点A坐标为(－6，0)，点B坐标为(0，2)； （2）设点，由知， ∴， 解得：， ∴点P(－6，10)，反比例函数解析式为：； （3）连接AM，设半径为r，则OM=r－2， ∵在中，， ∴，解得， ∴BM=AM=10， 过点P作PH⊥y轴，则OH =10，PH=6， ∴HB=OH－OB=8， ∴HM=HB+BM=18， ∴在中，． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆 1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它 ，另一个端点A所形成的 ；固定的端点O叫做 ；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做 (通常用字母 r 表示)；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做 (通常用字母 d 表示)。d ；圆上任意两点间的部分叫做 ，简称 。大于半圆的弧叫 ，小于半圆的弧叫 ；连接圆上任意两点的线段叫做 。 是最长的弦；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做 。 2.点和圆的位置关系：设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r。则： 当d < r时：点在 。 当 时：点在圆上。 当d > r时：点在 。 3.圆是轴对称图形：任何一条经过 的直线都是圆的对称轴，圆有 对称轴。 4.圆是 ：圆心是它的 。圆绕其圆心旋转任意角度都能与自身重合。能够重合的两个圆叫 ，能够互相重合的弧叫 。 5.垂径定理： 。 几何语言描述： 如图，在⊙O中，直径CD ⊥ 弦AB于M，则： 注意： i.“直径”是条件：必须有一条直径。ii.“垂直”是条件：这条直径必须垂直于某条弦。iii.“平分弦”、“平分弧”是结论：同时平分该弦及其所对的两条弧（优弧和劣弧）。 6.垂径定理的推论： 7.垂径定理应用归纳：求弦长、求半径/直径、计算圆弧形拱桥的跨度、高度等。 8.圆心角： 叫做圆心角，在同圆或等圆中，如果 ，那么它所对的 。推论：在同圆或等圆中，如果 9.圆周角： 叫做圆周角。 10.圆周角定理及推论： 圆周角的度数 。推论1； 同弧或等弧所对的 相等；推论2： 半圆（或直径）所对的 ；90°的圆周角所对的弦是 。 11.圆内接四边形：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的 。性质定理： 圆内接四边形的对角 （即对角之和为180°）。 12.直线和圆的位置关系：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r。 若 ：直线与圆相交 (有两个公共点)。 若d = r：直线与圆 (有且只有一个公共点，该点叫切点)。 若 ：直线与圆相离 (没有公共点)。 13.切线的判定定理： 14. 切线的性质定理： 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 。 推论2：经过 的直线必经过圆心。 15.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 。 16.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ；外接圆的圆心叫做三角形的 。外心是三角形三边垂直平分线的交点；锐角三角形的外心在三角形 ，直角三角形的外心在斜边 ，钝角三角形的外心在三角形 。 17.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三条角平分线的交点；内心总是在三角形内部。 18.弧长公式：在半径为 r 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长 l为： ; 19.扇形面积公式：在半径为 r 的圆中，n° 的圆心角所对的扇形面积 S 为： 或 S (其中 l 为对应弧长) 20.正多边形： 的多边形;正多边形的外接圆和内切圆： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆;中心角： 正多边形的中心角（即每边所对的外接圆的圆心角）等于 (n 为边数); 21.对称性：正多边形都是 ，一个正n边形的每个顶点与它的中心连线所在的直线都是这个正n边形的对称轴.一个正n边形共有 对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.当n为奇数时，正n边形的n条对称轴都是顶点与中心的连线；当n为偶数时，正n边形有条对称轴是顶点与中心的连线，有条对称轴是过中心与边垂直的直线；当正多边形边数为偶数是，也是中心对称图形，边数为奇数时，不是中心对称图形。 备考方向与建议： 1.核心概念： 圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角、圆周角、切线、切点是本章最基础也是最重要的概念，必须深刻理解。 2.位置关系： 点和圆、直线和圆的位置关系判定是重点，要熟练掌握距离比较法 (d 与 r 的关系)。 3.定理应用： 垂径定理及其推论 (常涉及弦、弦心距、弧的关系)；圆周角定理及其推论 (判断角度、直角、直径)；切线的判定定理 (证明切线) 和性质定理 (切线性质、切线长定理)；圆内接四边形对角互补。 4.对称性： 圆的轴对称性和中心对称性是许多性质和证明的基础。 5.计算： 弧长和扇形面积的计算公式要牢记。 6.思想方法： 本章涉及大量几何证明和计算，需要灵活运用转化、数形结合、方程等思想方法。 7.综合应用： 本章知识常与三角形、四边形、相似等知识结合，解决综合性问题。 一、圆的基本概念中的典型错误 错误1：混淆弦与直径，认为弦就是直径 例题1：下列说法正确的是（） A. 圆上两点间的线段叫直径 B. 直径是弦，弦也是直径 C. 圆中最长的弦是直径 D. 弦的长度一定小于直径 错解：B 正解：C 注 意：忽略直径是“过圆心的弦”，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，且直径是圆中最长的弦。 例题2：已知⊙O的半径为5，圆内任意一条弦的长度的取值范围是______。 错解：0<弦长<5 正解：0<弦长≤10 注 意：忘记直径是特殊的弦，圆中最长弦为直径（长度10）。 错误2：判断弧的类型时，仅看长度不看圆心角，误将等长弧当作等弧 例题1：下列说法正确的是（ ） A.长度相等的两条弧是等弧 B.同圆中，优弧一定比劣弧长 C.半圆是优弧 D.长度不相等的两条弧叫等弧 错解：A 正解：B 注意：等弧的前提是“同圆或等圆中且能完全重合”，仅长度相等不满足；半圆既非优弧也非劣弧，同圆中优弧一定长于劣弧。 例题2：⊙O₁半径为2，弧AB长度为π；⊙O₂半径为4，弧CD长度为π，弧AB和弧CD______（填“是”或“不是”）等弧。 错解：是 正解：不是 注意：两圆半径不同，即使弧长相等，也无法完全重合，不是等弧。 错误3：混淆半圆与弧的包含关系 例题：①弧是半圆 ②半圆是弧 ③优弧大于半圆，劣弧小于半圆。其中正确的有______（填序号）。 错解：①②③ 正解：②③ 注意：弧包含优弧、劣弧想、半圆，半圆是特殊的弧，但弧不一定是半圆。 二、垂径定理及推论类 错误1：应用垂径定理遗漏核心条件，平分弦时忽略“弦非直径” 例题1：下列说法正确的是（） A.平分弦的直径垂直于弦 B.垂直于弦的直线平分弦所对的弧 C.平分非直径弦的直径垂直于弦 D.弦与直径没有区别 错解：A 正解：C 注意：平分弦的直径垂直于弦的前提是“弦不是直径”，若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直；B遗漏“直线过圆心”。 例题2：已知⊙O的直径为10，弦AB=8，弦CD=6，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。 错解：仅得7 正解：7或1 注意：未考虑弦AB和CD在圆心同侧和异侧两种情况，同侧距离为3-2=1，异侧距离为3+2=1（先由垂径定理得弦心距分别为3和2）。 错误2：计算弦长未构造“半径、弦心距、半弦”直角三角形 例题1：⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，求弦AB的长。 错解：4 正解：8 注意：直接用半径减弦心距得弦长，未掌握垂径定理核心：弦长=，应先求半弦长为4，再乘2得弦长8。 例题2：已知圆的一条弦把圆分成1:3的两段弧，弦长为2，求圆的半径为______。 错解：2 正解：2 注意：未先由弧的比例得圆心角为90°，再结合垂径定理构造等腰直角三角形，设半径为r，半弦长为，由勾股定理得r=2。 三、圆心角、弧、弦的关系 错误：忽略“同圆或等圆中”前提 例题1：下列说法成立的是（） A. 圆心角相等，所对的弦相等 B.弧相等，所对的圆心角相等 C.同圆中，圆心角相等，所对的弧相等 D.弦相等，弧相等，圆心角相等 错解：A或B 正解：C 注意：A、B均遗漏“同圆或等圆中”的前提，不同圆中，圆心角或弧相等，对应的弦、圆心角不一定相等。 例题2：⊙O₁半径为2，圆心角∠A₁O₁B₁=60°；⊙O₂半径为3，圆心角∠A₂O₂B₂=60°，则弦A₁B₁与A₂B₂的长度关系为A₁B₁______A₂B₂（填“>”“<”或“=”）。 错解：= 正解：< 注意：忽略两圆半径不同，同圆心角下，半径越大，所对弦越长。 四、圆周角定理及推论类 错误1：混淆圆周角与圆心角的度数关系，忽略“同弧所对” 例题1：⊙O中，弧AB的度数为60°，∠AOC=100°，求∠ABC的度数。 错解：50° 正解：30° 注意：误将∠ABC当作∠AOC所对的圆周角，实际∠ABC是弧AB所对的圆周角，应等于弧AB度数的一半（60°÷2=30°）。 例题2：⊙O中，圆心角∠AOB=80°，则弧AB所对的圆周角为______°。 错解：40 正解：40或140 注意：忽略圆周角可在弧AB的优弧侧和劣弧侧，劣弧侧为40°，优弧侧为180°-40°=140°。 错误2：认为“同弦所对的圆周角相等” 例题：已知⊙O的弦AB所对的一个圆周角为30°，则弦AB所对的另一个圆周角为______°。 错解：30 正解：150 注意：同弦所对的两个圆周角分别在弦的两侧，互补，故另一个为180°-30°=150°。 错误3：误用90°圆周角的逆定理，混淆直径与半径 例题：△ABC内接于⊙O，∠C=90°，求证：AB是⊙O的直径。 错解：连接OC，证OC=OA，故AB是半径 正解：由圆周角定理推论，90°的圆周角所对的弦是直径， ∵∠C=90°， ∴AB是⊙O的直径。 注意：误将90°圆周角所对的弦当作半径，核心结论为“所对弦是直径”。 五、点与圆、直线与圆的位置关系 错误1：判断点与圆位置，误将点到弦的距离与半径比较 例题：⊙O的半径为5，弦AB=8，点P到弦AB的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆上或圆内 错解：B 正解：C 注意：仅计算了圆心到弦AB的距离为3，点P可能在弦AB的垂直平分线上（圆上），也可能在圆内其他位置到AB的距离为3。 错误2：证明切线遗漏“过半径外端”或“垂直于半径”一个条件 例题1：如图，OA是⊙O的半径，AB⊥OA，求证：AB是⊙O的切线。 错解：∵AB⊥OA，∴AB是切线 正解：∵OA是⊙O半径，AB⊥OA且A在⊙O上（过半径外端）， ∴AB是⊙O的切线。 注意：遗漏“直线过半径外端”的条件。 例题2：下列直线是⊙O切线的是（ ） A. 与⊙O有一个交点的直线 B. 垂直于⊙O半径的直线 C. 经过⊙O上一点且垂直于该点半径的直线 错解：A或B 正解：C 注意：A未强调“平面内”（空间中可能有一个交点但非切线），B遗漏“过半径外端”。 错误3：混淆切线的性质，认为切线垂直于任意半径 例题：圆的切线垂直于圆的所有半径（ ） 错解：√ 正解：× 注意：切线仅垂直于过切点的半径，与其他半径不垂直。 六、圆与圆的位置关系类 错误：忽略内切/外切的等号边界，混淆内含与内切、外离与外切 例题1：已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为2，则两圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D.相离 错解：A 正解：B 注意：未掌握“d=R-r（R>r）时两圆内切”，圆心距2=5-3，故为内切，内含是d<R-r。 例题2：两圆半径分别为4和6，当圆心距d满足______时，两圆外离；当d=______时，两圆外切。 错解：d>8；8 正解：d>10；10 注意：外离的条件是d>R+r，外切是d=R+r，此处R+r=4+6=10，混淆半径和与差。 例题3：两圆相切，半径分别为2和5，求圆心距d。 错解：7 正解：7或3 注意：相切包含外切（d=7）和内切（d=3）两种情况，遗漏内切。 七、弧长、扇形面积公式类 错误1：混淆弧长与扇形面积公式，角度未带单位参与计算 例题1：求圆心角为60°，半径为6的弧长。 错解：60×π×6÷360=6π 正解：60×π×6÷180=2π 注意：混淆弧长公式（÷180）与扇形面积公式（÷360）。 例题2：求圆心角为90°，半径为4的扇形面积。 错解：90×π×4÷180=2π 正解：90×π×4²÷360=4π 注意：扇形面积公式需乘半径的平方，且除以360，误用量弧长公式计算。 错误2：计算圆锥侧面积，混淆底面半径与母线长 例题1：圆锥的底面半径为3，母线长为5，求圆锥的侧面积。 错解：π×5²=25π 正解：π×3×5=15π 注意：圆锥侧面积公式为S=πrl（r为底面半径，l为母线），误将母线长当作底面半径代入圆的面积公式。 例题2：圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为9的扇形，则圆锥的底面半径为______。 错解：9 正解：3 注意：扇形半径是圆锥的母线长，设底面半径为r，由“扇形弧长=底面周长”得：120×π×9÷180=2πr，解得r=3，误将扇形半径当作底面半径。 八、圆的作图与计算类 错误：混淆三角形外心与内心的定义和性质 例题1：三角形的内心是（ ） A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.到三个顶点距离相等的点 D.三边中线的交点 错解：A或C 正解：B 注意：A、C是外心的定义和性质，内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等。 例题2：直角三角形的两条直角边分别为6和8，则其外接圆的半径为______，内切圆的半径为______。 错解：5；5 正解：5；2 注意：直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径=斜边的一半=5； 例题3：任意三角形的外心都在三角形内部（） 错解：√ 正解：× 注意：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部，遗漏直角和钝角三角形的情况。 重难点01 求弧长 【典例1】如图，长沙市某处位于北纬（即），东经，南沙群岛某处位于北纬（即），东经．设地球的半径为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（    ）千米 A． B． C． D． 【典例2】如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【典例3】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转．则（   ） A．120 B．116 C．108 D．100 重难点02 求阴影部分的面积 【典例1】如图，点、、均在上，直径，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，CD=6，则图中阴影部分面积为（   ） A．π–24 B．9π C．π–12 D．9π–6 【典例3】如图，内接于，若的半径为则阴影部分的面积为 ． 重难点03 正多边形和圆的关系 【典例1】如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】如图，正六边形的半径为4，以A为圆心，的长为半径画弧，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例3】如图，五边形是的内接正五边形，直线与相切于点，则 °． 重难点04 圆的周长和面积相关问题 【典例1】如图，在圆O的直径AB上，分别与BC和AC为直径在画两圆，然后用剪子或其它工具挖去这两个圆（即以O1、O2为圆心的圆），设BC＝2R，AC＝2r. （1）求余下部分的面积（用R、r的代数式表示） （2）当R≠r时，请你比较余下部分的面积和被挖去部分的面积的大小． （3）当R＝r时，请你比较余下部分的面积和被挖去部分的面积的大小． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1． （1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系； （2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）． 重难点05 点与圆上一点的最值问题 【典例1】如图①，抛物线 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），射线交抛物线于点E． (1)求A、B、C三点坐标． (2)求的最大值． (3)如图②，圆O过点A，P是圆O上一动点，S表示面积： ①求S的取值范围． ②求的最小值． 【典例2】如图，已知抛物线与x轴交于，两点，交轴于点，以为直径作经过点，连接． (1)求的圆心的坐标； (2)如图1，点是延长线上的一点，的平分线交于点，连接，求直线的解析式． (3)如图2，在（2）的条件下，是上一动点（不与点重合），连接是中点，连接，求的最大值． 重难点06 与弧、弦、圆心角三者有关的求解 【典例1】如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【典例2】如图1，A、B、C是⊙O上三点，，，延长，交于点E，过点O作的平行线交射线于点F，连接． (1)求证：； (2)如图2，若，求的长； (3)设的长为x，记，，，四边形的面积分别为，，，． 小乐：存在实数x，使得成立； 小善：对于任意实数x，都有成立． 请判断以上两位同学的说法是否正确，并选择其中一个进行证明或说理． 【典例3】如图，为的内接三角形，点为弧的中点（弧弧），连交于点，作 ，交线段于点，交于点． (1)求证：； (2)①求证：； ②记，，，的面积依次为，，，若满足，试判断的形状，并说明理由． (3)当，，，试用含p，m，n的式子表示． 重难点07 与圆周角定理有关的求解 【典例1】如图，在中，弦为，弦为，为的直径，D为的中点．连接和，与相交于点F． (1)求证：； (2)求的值． 【典例2】如图，为的直径，为的弦，D为弧的中点．与相交于E，连接． (1)求证：； (2)若，求的值． 【典例3】【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 重难点08 垂径定理求解和实际应用 【典例1】已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【典例2】如图所示，在中，半径弦，垂足为，，． (1)求半径的长． (2)作图：延长交于点并连接，求的长． 【典例3】如图，在等腰中,交于两点，半径于H． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【典例4】如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【典例5】问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）          问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） 重难点9 切线的性质证明或求解 【典例1】如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【典例2】如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 重难点10 正多边形与圆的综合 【典例1】如图，内接于，过点B的切线与线段的延长线交于点D，线段交于点E，交于点F，． (1)求的度数； (2)连接，探究线段，和之间的数量关系，并进行证明． 【典例2】【问题情境】如图①，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？ 【思路梳理】 （1）如图②，将小正方形绕圆心旋转，可以发现大正方形面积是小正方形面积的______倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【初步探究】 （2）如图③，一个对角线互相垂直的四边形，四边，，，之间存在某种数量关系．若按图③所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图④，请你结合整个变化过程，直接写出图④中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系：______； 【探究应用】 （3）如图⑤，在四边形中，对角线，若，，求的最小值． 【典例3】如图，正五边形的边长为6，以点B为圆心，线段为半径画圆． (1)求的度数；(2)求的长度． 重难点11 三角形形与圆的综合 【典例1】如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连接交于点G，连接，过点C的切线交的延长线于点H． (1)求证：；(2)若求的值； (3)连接交于点N，连接，若的半径为5，，求与的周长比． 【典例2】定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗? I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）； II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）； III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）． 【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆； （2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证． 【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题： （3）证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高． （4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积． 重难点12 四边形与圆的综合 【典例1】对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；        （    ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形；        （    ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（    ） (2)如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． (3)已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 【典例2】我们约定：对角线相等的四边形称之为：“等线四边形”． （1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中一定是“等线四边形”的是___________________； ②如图1，若四边形是“等线四边形”， 分别是边的中点，依次连接，得到四边形，请判断四边形的形状：______________________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知，以为直径作圆，该圆与轴的正半轴交于点，若为坐标系中一动点，且四边形为“等线四边形”．当的长度最短时，求经过三点的抛物线的解析式； （3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形是“等线四边形”， 在轴的负半轴上，在轴的负半轴上，且．点分别是一次函数与轴，轴的交点，动点从点开始沿轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为秒，以点为圆心，半径，单位长度作圆，问：①当与直线初次相切时，求此时运动的时间；②当运动的时间满足且时，与直线相交于，求弦长的最大值． 重难点13 函数与圆的综合 【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E． ①求； ②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标； (3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围． 【典例2】如图，点在反比例函数上，轴于点，点在轴正半轴上，，、的长是方程的两个实数根，且，点是线段延长线上的一个动点，的外接圆与轴的另一个交点是． (1)求点和点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接求的值． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $