专题02 直线与圆的位置关系11大题型（专项训练）数学湘教版九年级下册

专题02 直线与圆的位置关系 题型一、确定圆的条件 1．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列说法正确的是（  ） A．直径是弦，但弦不一定是直径 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．三点确定一个圆 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、等弧和确定圆的条件，熟练掌握是解题关键． 根据定义和定理逐一判断选项的正确性即可． 【详解】解：直径是经过圆心的弦，直径是弦；但弦不一定经过圆心，故弦不一定是直径， 故A正确，符合题意； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但若弦是直径，则平分弦的直径不一定垂直于弦，故B错误，不符合题意； 等弧是能完全重合的弧，长度相等的弧不一定能重合（如在不同半径的圆中），故C错误，不符合题意； 不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线时不能确定圆，故D错误，不符合题意； 故选A． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查了圆的几何性质，过两点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，且到、的距离等于半径，据此即可求解． 【详解】解：∵半径为的圆的直径为， ∴过点，，且半径为的圆没有 故选：A． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：、、；、、；、、；、、；、、；、、． ∴最多可画出圆的个数为个． 故选：． 【点睛】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标 ．（写出一个就行） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质及圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；设直线的解析式为，则根据待定系数法得出函数解析式，然后根据A、B、C三点不能确定一个圆可知：A、B、C三点共线，进而问题可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A、B、C三点不能确定一个圆， ∴A、B、C三点共线， ∴点C的坐标只需满足在直线上即可，例如：，等等； 故答案为（答案不唯一）． 题型二、过不共线三点作圆 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，请用尺规作图法作，使得圆心在的延长线上，且经过点，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，解题的关键在于确定圆心的位置．作线段的垂直平分线交的延长线于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，以点为圆心，为半径画圆，即为所求． 【详解】如图，即为所求． 6．（2025·青海西宁·一模）如图，在 中， ，垂足为D． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的外接圆 ，作直径，连接； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，是解题的关键： （1）根据三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，作的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，再以为圆心，的长为半径画圆，延长交于点，连接，即可； （2）根据圆周角定理得到，即可得证； 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 7．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，作出的外接圆即可求解，掌握三角形外接圆的作法是解题的关键． 【详解】解：①分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接； ②分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接； ③直线与相交于点，以为圆心，以的长为半径画圆，则即为花坛的位置． 8．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句） (1)如图1，已知线段，作出到点距离大于等于且到点距离小于等于的点的集合． (2)如图2，的顶点在直线上，求作：直线上所有的点，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，三角形的外接圆等知识，解答关键是理解题意，灵活运用所学知识解答． （1）利用画圆的方法来求解即可； （2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，作，的垂直平分线，丙线交于点，以为圆心，为半径作的外接圆，圆与直线交于点，，即可得解． 【详解】（1）解：如图1中，阴影部分即为所求（不包含边界） 以点为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，即可得到图中阴影部分； （2）解：如图， 由作图知，，，， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都为圆内接四边形， ∴，， ∴，， ∴点即为所求作的点． 9．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编，书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题，翻译成现代文就是： ①如图，为直角， ②以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点D，E； ③以点D为圆心，以长为半径画弧与．交于点F； ④再以点E为圆心，仍以长为半径画弧与交于点G； ⑤作射线，． (1)根据以上信息，用不带刻度的直尺和圆规，在下图中完成了这道作图题． (2)根据完成的图，请写出，，的大小关系并说明理由． 【答案】(1)图见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）按题干直接画图即可． （2）连接，，可得和均为等边三角形，则，进而可得． 【详解】（1）解：如图，射线，即为所求． （2）解：． 理由：连接，， 则，， 即和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键． 10．（2020·福建福州·一模）已知：在中，，． (1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作线段和线段的中垂线，中垂线的交点即为的外心O，以O为圆心，为半径画出的外接圆即可； （2）如图，连接，利用垂径定理求出半径，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图即为所求． ①分别以点，点为圆心，大于的长为半径，画弧，作出线段的中垂线； ②同理作出线段的中垂线； ③两条中垂线的交点O为圆心，为半径画圆，即为所求． （2）解：如图，连接，由题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴圆的面积为：． 【点睛】本题考查画三角形的外接圆，以及垂径定理求半径．熟练掌握外心的定义和等腰三角形的判定与性质，以及垂径定理是解题的关键． 题型三、三角形外心的确定 11．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟记三角形的外心的概念、二次函数的性质是解题的关键． 设的外心P的坐标为，根据二次函数图象与坐标轴的交点的坐标特征分别求出、，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵抛物线关于y轴对称， ∴的外心在y轴上， 设的外心P的坐标为，连接，则有， 对于二次函数，当时，， 当时， ∴ ∴， 则，， 在中，，即 解得：， ∴的外心P的坐标为， 故选：A． 12．（12-13九年级上·河北·期末）三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（   ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆的圆心，熟记三种三角形的外接圆的圆心的位置是解题的关键． 先明确三角形的外心的定义，再分情况讨论直角、锐角、钝角三角形的外接圆的圆心位置，即可得解． 【详解】解：因为锐角三角形的外接圆的圆心在三角形的内部；直角三角形外接圆的圆心在三角形的边上；钝角三角形的外接圆的圆心在三角形的外部， 所以A、B、C均错误． 故选：D． 13．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)的外接圆的半径为______； (2)将绕点顺时针旋转后得到，请在图中画出． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查作图旋转变换，求三角形外接圆半径，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （）判断出是直角三角形，求出可得结论； （）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，，解答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，是直角三角形，，， ， 的外接圆的半径为， 故答案为：； （2）如图，即为所求． 16．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）工人师傅在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示． (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？ 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了外接圆的作法和勾股定理，正方形的性质等知识，作垂直平分线和得出是解题关键． （1）分别作线段,的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆即可； （2）利用勾股定理求出，即为所需正方形的板的最小边长，继而求出面积． 【详解】（1）解：满足题意的如图所示： ； （2）解 ：∵，，， ∴， ∴所需要正方形板的最小面积是． 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系．点在______（填内、外、上）． 【答案】(1) (2) (3)内 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了点与圆的位置关系，勾股定理． （1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【详解】（1）解：如图，圆心的坐标为； ； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 即的半径为； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴点在内． 故答案为：内． 题型四、求三角形的外接圆半径 18．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 19．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查求三角形外接圆的半径，先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后利用直角三角形的斜边为其外接圆的直径，进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得 ， 解得 ，． 当第三边为 2 时，，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去； 当第三边为 10 时，满足 ，，，且 ，， 所以三角形为直角三角形，斜边为 10， 因此外接圆半径为斜边的一半，即． 故答案为：5． 20．（2025九年级·全国·专题练习）已知的三边长满足，则外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，求出三角形三边长，再利用垂径定理和等腰三角形的性质构造直角三角形，最后根据勾股定理列式求三角形外接圆的半径． 【详解】解：， 且， ， ， ， ， ， 解得：， 即， ， ， ． 的三边长为，，． 如上图所示， 过点作边垂线交于点， 取点为三角形外接圆圆心， 连结， 由垂径定理得：， ， 在直角中，由勾股定理得： ， ， ， ． 设的半径为， 则， 在直角中，由勾股定理得： ， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质、垂径定理、等腰三角形性质以及勾股定理求三角形外接圆半径，核心在于利用非负数的性质求出三角形三边的长，垂径定理和等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 21．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，，，，则的半径 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作交于点，延长交圆于点，连接，设，根据勾股定理求出和，由进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，延长交圆于点，连接， ∵，，， 设，则， ∵，， ∴， 即， ， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径． 故答案为： 22．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）方程的两个根是直角三角形的两直角边的边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，掌握直角三角形外接圆半径的求法是解题的关键． 先解一元二次方程求出直角三角形的两边长，然后分两种情况求出斜边，最后利用直角三角形外接圆半径是斜边的一半求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 则或， 解得 ． ∵方程的两个根分别是直角三角形的两直角边的边长， ∴斜边长为， ∴这个直角三角形的外接圆半径为， 故答案为：． 23．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）三边长为7，24，25的三角形，它的外接圆半径为 ． 【答案】12.5 【分析】本题考查勾股定理逆定理、圆周角定理的推论，根据勾股定理逆定理可得这个三角形是直角三角形，再根据圆周角定理的推论可得这个直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∵这个三角形的直角是它的外接圆的圆周角， ∴这个直角三角形的斜边是它的外接圆的直径， ∴它的外接圆半径为， 故答案为：12.5． 24．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知等腰三角形，如图． (1)用直尺和圆规作的外接圆； (2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为 ． 【答案】(1)图见详解； (2)2 【分析】（1）本题考查了尺规作图及外接圆性质，根据外接圆到各个顶点的距离相等作出、的垂直平分线，找到交点即为外接圆圆心，再画圆即可得到答案； （2）本题考查圆周角定理及圆内接四边形对角互补，根据，求出，再根据垂径定理求出即可得到答案； 【详解】（1）解：作、的垂直平分线交点即为外接圆圆心，如图所示， ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ∵等腰三角形的外接圆的圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 题型五、直线与圆的位置关系 25．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，掌握直线与圆的位置关系定是解此题的关键．根据点为圆心，得到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ，， 圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 26．（23-24九年级上·湖南·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有勾股定理的运用，判定点和圆的位置关系是解题关键． 先求出点与C的距离，再根据直线与圆的位置关系得出即可． 【详解】解：∵点与C的距离为， ∴点在以为圆心、4为半径的圆内， ∴过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是相交． 故选：A． 27．（2025九年级·全国·专题练习）若直线l与半径为6的相离，则圆心O到直线l的距离d满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线的位置关系，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径即可求解． 【详解】解：∵直线与相离，的半径为， ∴圆心到直线的距离， 故选：B． 28．（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长． 求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 29．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）的直径为6，直线上有一点满足，则与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交；②直线l和相切；③直线l和相离．分垂直于直线l，不垂直直线l两种情况讨论． 【详解】如图， 当垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与l相切； 当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与直线l相交． 故直线l与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 30．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在C中，，点O在内部，以O为圆心，长为半径的圆与直线相离，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，勾股定理，设恰好与直线相切时，切点为E，过点C作于D，连接，可由勾股定理得到的长，利用等面积法可得的长，再求出恰好与直线相切时的长的最小值即可得到答案． 【详解】解：设恰好与直线相切时，切点为E，过点C作于D，连接， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当点E为点D重合，且O、C、D三点共线时，有最小值，最小值为， ∴当与直线相离，的取值范围是， 故答案为：． 31．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在中，，若以点C为圆心，r为半径画，请根据下列条件填空： （1）若，则点A与的位置关系是 ，点B与的位置关系是 ； （2）若直线AB与至少有一个交点，则r的取值范围为 ． 【答案】 点A在内 点B在外 【分析】（1）判断点与圆的位置关系，关键是比较点到圆心的距离与圆的半径 即可； （2）直线与圆 “至少有一个交点”，意味着直线与圆相切或相交，求出圆心 到直线 的垂直距离，即可求出范围． 【详解】解：（1）， ∴， ∴ 点A在内，点B在外， 故答案为： ① 点A在内，②点B在外． （2）在直角三角形中，， ∵直线与至少有一个交点， ∴最小值为圆心 到直线 的垂直距离， 即直角三角形斜边的高， 斜边的高， ∴， 故答案为： ③． 【点睛】本题考查了点与圆、直线与圆的位置关系判定，同时综合运用了直角三角形的相关性质． 题型六、平移圆（直线）过程中的相切问题 32．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 33．（25-26九年级上·全国·课后作业）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与⊙O相切时b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】解：当直线与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图： 在中， 令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形． 连接圆心和切点，则， 则．即； 同理，当直线与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，． 则若直线与相交时，的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题考查圆与一次函数图象相交的问题，关键是由直线与圆相切时求出的值． 34．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 35．（11-12九年级上·广东汕头·期中）如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，分当点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算是解题的关键． 求得当位于点O的左边与CD相切时t的值和位于点O的右边与CD相切时t的值，两值之间即为相交． 【详解】解：当点P在射线时，与相切，如图，过P作于E， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）； 当点P在射线时，与相切，如图，过P作与F， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）． ∴当的运动时间满足条件时，与直线相交． 故答案为：． 36．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，，，点O以的速度在的边上沿的方向运动．以O为圆心作半径为的圆，求运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔． 【答案】 【分析】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间路程速度即可求解． 【详解】解：第一次相切如图①， ∵，， ∴， 即第一次相切圆心运动的距离为． 第二次相切如图②， ，， 第三次相切如图③， ∵，， ∴， 第三次相切圆心运动的距离为， ∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：， ∴， 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值以及求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离，解题的关键是求出第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差． 题型七、与切线有关的作图问题 37．（2025·江苏·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定、圆周角定理、垂径定理，根据题意正确作图是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点，再以M为圆心，为半径画圆，交于点，连接，根据圆周角定理得到，则切线即为所求； （2）连接，过点作的垂线，直线交直线l于点Q，根据垂径定理可得弦被点P平分，则点Q即为所求； （3）过点O作的垂线，垂足为G；以点O为圆心，长为半径作小；作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作，交小于点H，根据圆周角定理得到；作直线，交于点C，D，则，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，点Q即为所求； （3）解：如图③，直线即为所求． 38．（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； 【分析】本题考查作垂直平分线，作垂线： （1）根据格点作垂直平分线找到中点，连接即可得到答案； （2）根据边的垂直平分线结合（1）得到圆心，根据切线垂直即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，根据正方形对角线互相垂直平分得到与交点，连接即为所求， ； （2）解：如图所示，点是，边垂直平分线的交点，连接根据格点垂直即为所求， ． 39．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心O的位置是关键． （1）作出的角平分线，角平分线与的交点是圆心，以为圆心，以为半径作圆即可； （2）作的角平分线交与，过点作垂直于，交与， 以为圆心，以为半径作圆即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求    ∵是的平分线，， ∴点到的距离等于到的距离， ∴与、所在直线相切 （2）如图所示，即为所求作的图形    40．（2025·山西太原·二模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 点和直线的等距圆在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆． 概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点，经过点B，且与直线l相切于点A，则为点B和直线l关于点A的等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础上连接，，，得到图2． ∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴①________， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：②________） 任务： (1)分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①________；②________； (2)问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E，于点F、． ①求作和直线l上一点M，使是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且的半径为d．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点E右侧，且的半径为，则两点之间的距离用含d的式子表示为______． 【答案】(1)；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查了尺规作图、切线的性质和判定定理、正方形的性质与判定、勾股定理，理解等距圆的定义是解题的关键． （1）利用切线的性质定理、垂直平分线的判定定理即可解答； （2）利用尺规过点作直线的垂线，以及的垂直平分线，两条直线交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求； （3）①在直线l上点F左侧截取点M使得，再分别以点E、点M为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画圆，则和点M即为所求；②作于点，根据等距圆的定义可得，，通过证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 故答案为：；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． （2）解：如图所示， 由作图可得，，点在的垂直平分线上， 与直线相切，， 经过直线外一点， 为点和直线关于点的等距圆， 点D和直线m关于点C的等距圆即为所求． （3）解：①如图所示， 由作图可得，， 又， 四边形是正方形， ， 与直线相切， 为点和直线关于点的等距圆， 和直线l上一点M即为所求． ②如图，作于点，则， 是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，且的半径为， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 由①中的结论得，， ． 故答案为：． 41．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，平分，交边于点，点为边上一点，经过点、并且交于另一点． (1)作出并标出点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下， ①证明：直线是的切线； ②若与交于点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②10． 【分析】作的中垂线，交于点，以点为圆心、为半径作圆即可得，交于点； 连接，证，由得于点，据此即可得证； 作于点，可得四边形是矩形，据此知，由知，再根据垂径定理可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，与点即为所求． （2）解：①如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即， 是上一点， 直线是的切线； 过点作于点， 则，， 四边形是矩形， ， ， ， 则， ． 【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的确定与中垂线的性质及切线的判定、垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点． 42．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查尺规作图，（1）连接并延长，以点B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，再分别以点A、C为圆心，大于线段的长度为半径作弧，交于点D，再作直线即可； （2）连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线即可． 【详解】解：（1）如图，射线即为所求； （2）如图，连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线，直线即为所求，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 43．（2025·河南开封·模拟预测）在学习完《直线与圆的位置关系》后，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：直线，使与相切于点． 小悦同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： 连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点（点，分别位于直线的上下两侧）； 作直线交于点； 以点为圆心，为半径作，交于点点（位于直线的上侧）； 作直线，交于点，则直线即为所求作直线． 请根据小悦同学作图方法，解答下面问题： (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，请说明是切线； (3)若半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）根据题意步骤作图即可； （）由圆周角定理得，结合是半径即可得证； （）先求出，由作图知，直线是的垂直平分线，所以，最后利用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示；   ， （2）解：理由：连接，    由作图知，是的直径， ∴， ∵是的半径， ∴是切线； （3）解：连接，由（）知，，    ∵，， ∴， 由作图知，直线是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型八、切线的判定 44．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 45．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断． 【详解】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 46．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的外接圆，是的直径，D为外一点，平分，且． (1)求证：； (2)求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义得出，再根据即可得出； （2）连接，由相似三角形的性质可得出，然后利用等腰三角形的性质和等量代换得出，从而有，根据平行线的性质即可得出，则结论可证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴与相切． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，切线的判定，掌握相似三角形的判定及性质，切线的判定方法是解题的关键． 47．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图1，在中，点P在边上，，是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)当是的直径时，如图2，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理等知识，证明是的切线是解题的关键． （1）连接，并延长交于点Q，则为的直径，连接，证明，根据切线的判定即可得到结论； （2）证明，求出，得到，由（1）知，，即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，并延长交于点Q，则为的直径， 连接，如图所示， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴． 48．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，是的直径，是弦，于F，交于点E，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）圆周角定理得到，进而得到，根据垂直得到，进而得到，即，即可得证； （2）勾股定理结合等积法求出的长，进而求出的长，垂径定理得到的长，线段的和差求出的长，勾股定理求出的长，再根据余弦的定义进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）∵，， ∴， ∵， ∴，，即， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 49．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，．以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线． (2)若交于点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，求出，求出，根据切线的判定得出即可； （2）由可得，；连接，由是直径可知，根据勾股定理求出，解直角三角形即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接． ． ， ． ． 又是的半径，是的切线． （2）解：如图，连接． 是的直径， ． ， ， ． 在中，． 由（1），得． ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及锐角三角函数的定义等，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 50．（2025·湖南永州·一模）如图，是的直径，弦于点E，过延长线上一点F作的切线交的延长线于点G，切点为M，连接交于点N． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，垂直的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，对顶角线段，同角的余角相等的性质得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）连接，，利用相似三角形的判定与性质求得，利用（1）的结论求得线段，，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质求得，设，则，利用相似三角形的判定与性质求得k值，则结论可求． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的 性质定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 51．（2025·湖南湘西·一模）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且，弦的延长线交切线于点E，连接． (1)求的度数； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，，推出，根据平行线的性质得到．根据切线的性质即可得到结论； （2）运用三角函数值在中求得，然后在中求得即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，C为切点， ∴． ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 题型九、切线的性质 52．（2025·湖南·模拟预测）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据切线的性质可得，根据直角三角形的性质求出，然后利用圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 53．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的直径，点D在上，过点D作的切线，连接，，，，且． (1)求证：； (2)若点E在的延长线上，且，的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．利用切线的性质得到，然后利用平行线的性质证明．接着利用等腰三角形的性质证明，由此即可； （2）过点D作，垂足为H．利用角平分线的性质可以证，接着利用全等三角形的性质得到．设，则，．最后利用勾股定理建立方程模型即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，过点D作，垂足为H． 由（1）可知，平分，且， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 设，则，． 在中，， 在中，． ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题分别考查了圆的切线的性质、圆周角定理、勾股定理及相似三角形的性质与判定，综合运用相关知识是解题的关键． 54．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的直径，与相切于点B，与相交于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质，圆的性质等知识，掌握各性质是解题的关键． （1）在和中，找到，即可证明； （2）根据，得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， 又∵与相切于点B， ∴ ，即， 在和中， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴解得：． 55．（2024·湖南·模拟预测）如图，是圆O的切线，A为切点，点B，C是圆上与点A不重合的两点． (1)如图1，若是的直径，，求的度数； (2)如图2，当点B在上运动时(不与点A，C重合)，与有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，解直角三角形得出，由切线的性质可得，即可得解； （2）连接并延长与交于点，连接，，由圆周角定理并结合等边对等角可得，由圆周角定理可得，推出，由切线的性质可得，从而可得，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是圆O的切线，A为切点， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ， 如图，连接并延长与交于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵是圆O的切线，A为切点， ∴， ∴， ∴， ∴． 56．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图1，已知，过点A作圆切于C，再过点B作圆切于C，两圆除C外的交点记为． (1)证明：； (2)如图2，若点P在上，过P作交于E，过P作交于F，证明：四点C，D，E，F共圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用圆周角定理和切线的性质导角易证，，则可证，进而得证； （2）利用相似易得，进而可得，同理得，所以，再证，可得，进而得证． 【详解】（1）证明：如图1，设是过点A，C，D的圆的直径，连接， 则， 又过点A，C，D的圆切于C， ， ， 同理：， ； （2）如图2，连接， ， ， ， ， ， 同理得 ， 即， 结合（1）的结论可得，， 由（1）可知， 四点C，D，E，F共圆． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形、切线的性质、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 57．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）方法一：过点作于点，证明，则，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；由角平分线的性质定理得到，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线； （2）证明，则，求出，则，在中，求出，得到，，证明，则，设，则，即可求出答案． 【详解】（1）方法一： 证明：过点作于点， ， ， 与相切于点， ， ， ，， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； 方法二： 证明：过点作于点， 与相切于点， ， ， 是的平分线， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； （2），为半径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质是关键． 58．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图1，已知是的直径，点是射线上的一个动点，以为边构造，满足， (1)如图2，当点恰好在上时，则______． (2)如图3，若，且动点与点重合时，连接，求证：是的切线． (3)在点的运动过程中，若，且，是否存在的边所在的直线与相切？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定等等： （1）证明是等边三角形，即可求解； （2）设与交于F，连接，先得到，再证明是等边三角形，得到，，证明，推出，得到，即可证明是的切线； （3）分当与圆相切时，当与圆相切时，两种情况画出对应的图形求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明；如图所示，设与交于F，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （3）解：如图所示，当与圆相切时，过点D作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由平行线间间距相等可得， ∴， ∴； 如图所示，当与圆相切时，设切点为F，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由切线的性质可得， ∴， ∴； 综上所述，存在的边所在的直线与相切，此时的长为或． 题型十、切线长定理 59．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，内切于四边形，若，，，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了切线长定理；如图，设与相切于点E，与相切于点F，与相切于点G，与相切于点H，根据切线长定理得到，，进而得到，结合已知即可得出的长． 【详解】解：∵内切于四边形， 如图，设与相切于点E，与相切于点F，与相切于点G，与相切于点H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 60．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据切线长定理，可得，，，，则，据此即可求解． 【详解】解：如图，设与相切于点G，与相切于点H，与相切于点I，与相切于点F， 、、、都和相切， ，，，． ， ． 故答案为：7． 61．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，以为直径作半圆，过点作半圆的切线，切点为，过点作交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和勾股定理．延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图，先证明为的切线，则利用切线的性质和切线长定理得到，，接着证明，利用相似比得到，则设，，所以，接下来在中利用勾股定理求得，则利用面积法可求出，然后再用勾股定理计算出，最后利用垂径得到的长． 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图， ，， 为的切线， 为的切线， ，， ， ，， ， ， 设，则， ， 在中，， 解得， 即， ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 故答案为：． 62．（2024·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为6，点E是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠的性质，切线长定理，解直角三角形等知识．连接，如图，由正方形的性质得，再由折叠的性质得，接着根据切线长定理得到平分，则，所以，则利用可计算出，然后在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵沿折叠至， ∴， ∵，与以正方形的中心为圆心的相切， ∴平分， ∴， ∴， 而， ∴， 在中，． 故答案为：． 63．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． （3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：在中，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3. （3）解：延长相交于点F，   与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ∴． 64．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，如图，先根据切线长定理得到，再判断垂直平分，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的判定方法得到结论． 【详解】证明：连接交于，连接，如图， 和为的切线， ， ， 垂直平分， 是的直径， ， ， ． 题型十一、三角形的内心与内切圆 65．（2025九年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形有且只有一个内切圆 C．一个圆有且只有一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆、三角形外接圆、圆外切三角形、等边三角形的性质，能熟记以上知识点是解此题的关键． 根据三角形内切圆、三角形外接圆、圆外切三角形、等边三角形的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的内切圆与三角形的三边都相切，该选项说法正确，不符合题意； B、任何三角形都有唯一的内心（角平分线的交点），因此一个三角形有且只有一个内切圆，该选项说法正确，不符合题意； C、一个圆可以有无数个外切三角形（例如，通过改变与圆相切的直线位置，可以形成不同的三角形），该选项说法错误，符合题意； D、等边三角形的内心与外心重合，因此内切圆与外接圆是同心圆，该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 66．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 67．（2025·江苏镇江·一模）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等． 【详解】解：如图：过点作，，，    由题意得：，， 为角平分线的交点， ， 点到三边的距离相等． 点是的内心． 故选：B． 68．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在中，，是的内切圆，则的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，掌握利用勾股定理求出斜边，结合直角三角形内切圆半径公式求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出斜边长度，再根据直角三角形内切圆半径公式计算半径． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得． 直角三角形内切圆半径公式为， 所以， 故答案为：2． 69．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的内切圆的半径是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆与内心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 设的三边分别与相切于点、、，连接，，，，，，然后利用等面积法进行计算即可解答． 【详解】解：设的三边分别与相切于点D、E、F，连接，，，，，， ∴，，， 设的半径为， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ， ∴， ∴它的内切圆半径是2， 故答案为：2． 70．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，是的外接圆，M是的内心，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角，三角形的外接圆与内心，正方形的判定与性质，中位线，垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点M作，垂足分别为D，E，F，延长交于点G，连接，先证明，推导出，继而证明四边形为正方形，得到，延长交于点P，作的中点N，连接，证明，继而得到点A、N、G是在以为直径的圆上，则，推导出，，．再根据勾股定理得到，代入求解即可． 【详解】解：过点M作，垂足分别为D，E，F，延长交于点G，连接，如图 ∵是的外接圆，， ∴为的直径，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为的中点，且点O为的中点， ∵M是的内心， ∴， ， 延长交于点P，作的中点N，连接，如图 ∵， ∴， ∴ ∴， ∵N是的中点， ∴，， ∴， 即点A、N、G是在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ ， 解得 ∴． 故答案为：． 71．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 72．（19-20九年级上·江苏·阶段练习）如图，锐角． (1)分别作出的外接圆、的内切圆（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)已知点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心．试探究与的度数之间的关系； (3)如果，那么的度数是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆和外接圆的性质，尺规作图——作角平分线和垂直平分线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作垂直平分线交于点，作和角平分线交于点即可； （）由点是外接圆的圆心，得，由点是内切圆的圆心，则，，从而可得，然后代入可得； （）由（）得，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∴的外接圆、的内切圆即为所求； （2）解：，理由， 如图， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵点是内切圆的圆心 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（）得，， ∵， ∴． 73．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，线段的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】作的外接圆，交直线于点，连接，先根据圆周角定理可得满足条件，再证出是直角三角形，则的外接圆的圆心为斜边的中点，求出，然后求出的长，则可得点的坐标，最后根据轴对称的性质可得对称点的坐标，由此即可得． 【详解】解：如图，作的外接圆，交直线于点，连接， 由圆周角定理得：，满足条件， 将代入得：，即， 将代入得：，即， ∵线段的中点为点， ∴，即， ∵轴于点， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的外接圆的圆心为斜边的中点， ∴，即， ∴，， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∴点在直线上， ∵直线上存在点， ∴，， ∴， ∴， ∴，此时； 又∵点为线段的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴点关于直线的对称点也在直线上， ∴，满足条件， 设点的坐标为， ∴， 解得， ∴， 综上，的值为或， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的外接圆、反比例函数与一次函数的综合、勾股定理的逆定理、两点之间的距离公式、三角形的中位线定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． 74．（2025·河北邯郸·三模）如图，，点A，B分别在边和上滑动，以为边作等边，点O和点C分别位于的两侧，连接，当时，的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】作的外接圆，H为圆心，连接、、、，交于点P，则，先证是等边三角形，得出，再证四边形是菱形，得出，，，然后由勾股定理求出及，最后由三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：如图，作的外接圆，H为圆心，连接、、、，交于点P， 则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、菱形的判定与性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和三角形三边关系是解题的关键． 75．（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，，点为中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的外接圆半径的最小值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可解决本小题； （2）延长至F，使，连接、，证明．从而，．再根据斜边中线定理可证得； （3）过点作直线于点F，由题意可知．由旋转可知，，，证明．得，即F为中点，从而证得点在的中垂线上运动．作的中垂线l，则的外心必在直线l上，设外心为点G，连接、，，当时，最小，即外接圆半径r最小，此时，，，，设，则，，故，在中，由勾股定理得，解得，（不合题意，舍去）． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴是等边三角形， ∴，即的长为6． （2）证明：延长至F，使，连接、，如图所示： ∵， ∴为的中垂线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 又∵为斜边的中线为斜边的中线， ∴． （3）解：过点作直线于点，如图所示： ∵，，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴． 由旋转可知，． ∴ ∴， 在和中， ， ∴． ∴，即F为中点， 故在的中垂线上运动． 作的中垂线l，则的外心必在直线l上， 设外心为点G，连接、，， 当时，最小，即外接圆半径r最小， 此时，，，， 设， 则，， 故， 在中，由勾股定理得， 解得，（不合题意，舍去）， 故的外接圆的半径r的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，中垂线的判定与性质，外心的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键． 76．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角中，，线段是的高，其中和分别是和的内心，连接并向两侧延长，与两直角边和分别交于点，，连接和． (1)求证：； (2)若，，求三角形的面积； (3)请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)三角形的面积为； (3)`是等腰直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）由线段是的高，则，又和分别是和的内心，则，，然后通过线段和差即可求解； （2）分别过点和作于点，于点，证明，都是等腰直角三角形，，又和分别是和的内心，且，，则和分别是和的内切圆的半径，所以，可证，，也是等腰直角三角形，设和的半径为，通过，即，解得，然后通过面积公式即可求解； （3）连接，，设，，通过同角的余角相等得，，证明，所以，，则，又和 分别是和的内心，所以，得，得到，，通过三角形内角和定理得，从而可得，则有是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵线段是的高， ∴， 又∵和分别是和的内心， ∴，， ∴， （2）解：分别过点和作于点，于点，如图所示， ∵，，是的高， ∴，，， ∴， ∴，都是等腰直角三角形，， ∵和分别是和的内心，且，， ∴和分别是和的内切圆的半径， ∴， 由（）可知，，，， ∴，，也是等腰直角三角形， 设和的半径为， ∵，，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴三角形的面积为； （3）解：`是等腰直角三角形，理由如下：如图， 连接，， 设，， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵和 分别是和的内心， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， 又∵ ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形内心，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线的性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 77．（2024·湖南长沙·一模）已知四个实数，规定新运算：；若一次函数和二次函数满足，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”； (1)下列关于的二次函数是否与一次函数互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”； ①（　　）；②（　　）；③（　　） (2)已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点（不重合），若二次函数的图象经过点和点，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”； (3)已知二次函数与一次函数互为“和谐函数”，并且二次函数的图象与轴交于两点（在的左边），与轴交于点，记抛物线的顶点为，设的外接圆圆心为与轴的另一个交点为，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据题中新运算：及“和谐函数”定义逐个验证即可得到答案； （2）利用直线图象与性质求出直线与坐标轴交点坐标，将代入二次函数化简后，根据题中新运算：及“和谐函数”定义验证即可得到答案； （3）由“和谐函数”定义得到，从而确定二次函数与轴的交点，由二次函数的图象与轴交于两点，的外接圆圆心为，设出相应点的坐标求解得到，由垂径定理知，点在的中垂线上，求出，当四边形为平行四边形，由平行四边形性质列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①与， ，则由新运算，即满足，则与互为“和谐函数”，①√； ②与， ，则由新运算，不满足，则与不是“和谐函数”，②×； ③与， ，则由新运算，即满足，则与互为“和谐函数”，③√； 故答案为：①√；②×；③√； （2）解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ， 又二次函数的图象经过点和点， ， ，即，并且， 一次函数和二次函数满足， 该一次函数与二次函数互为“和谐函数”； （3）解：存在， 理由如下： 二次函数与一次函数互为“和谐函数”， ， 二次函数与轴交于点， 点，即点， 又二次函数， 对称轴为直线， 二次函数的图象与轴交于两点， 令，设点，则， 的外接圆圆心为，则设， ，，，， ，即， ，则，即，解得，即， 如图所示： 与轴的另一个交点为， 由垂径定理知，点在的中垂线上，则， 四边形为平行四边形，则，解得， 又， ，则， 或． 【点睛】本题综合性强，难度较大，涉及新定义运算、新定义函数关系、一次函数与二次函数综合问题、一次函数图象与性质、二次函数图象与性质、三角形外接圆性质、一元二次方程根与系数的关系、垂径定理及平行四边形的性质等知识，读懂题意，理解新定义函数关系，掌握二次函数图象与性质，二次函数综合题型的解法是解决问题的关键． 78．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个函数永远没有交点，则称这两个函数为“相离”函数． (1)当满足什么条件时，函数与为“相离”函数； (2)已知关于的函数，，，，其中与为“相离”函数，与为“相离”函数，请求出的值和的取值范围； (3)已知关于的函数与函数和都不是“相离”函数，且函数与轴负半轴交于点，抛物线向右平移5个单位再向上平移个单位后与轴分别交于，两点，当的外接圆的面积最小时，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先判断正比例函数的图象所在象限，再判断反比例函数图象所在象限满足条件，进而可求解； （2）根据两个一次函数的图象是直线，根据题意，当两条直线平行时永远无交点可求得k值；再根据题意判断出当二次函数图象与x轴无交点时满足题意，进而利用判别式小于0求解即可； （3）注意到函数和的图象可以由平移得到，进而可求得k值，根据抛物线的平移和对称性可得的外接圆的圆心在其对称轴上，进而得到当的外接圆与y轴相切时，即半径最小为5时，的外接圆的面积最小，进而求得点A坐标，进一步求解可得结果． 【详解】（1）解：∵函数的图象在第一、三象限，又函数与为“相离”函数， ∴函数的图象在第二、四象限时，两函数图象永远无交点， ∴，解得； （2）解：∵关于的函数与为“相离”函数， ∴且， 解得； ∵函数与为“相离”函数， ∴函数的图象与x轴无交点，即方程无实数解， ∴，又， ∴； （3）解：当关于的函数与函数不是“相离”函数时，则两个函数的图象相交或相切， 当两函数图象相切时，由得， ∴， 解得或， 当时，函数图象与函数图象相切； 当时，函数图象与函数图象相切，将两函数图象同时向左平移4个单位时，则变为函数与函数图象相切， ∴， ∵函数与轴负半轴交于点， ∴， ∵抛物线向右平移5个单位再向上平移个单位后与轴分别交于，两点， ∴平移后的抛物线的解析式为，则新抛物线的对称轴为直线， 如图，设对称轴与x轴交点为D，的外接圆圆心为I，则圆心在抛物线的对称轴上，， 由题意，当的外接圆与y轴相切时，即半径最小为5时，的外接圆的面积最小，此时， ∴， ∴， ∴点， 将代入中，得， 解得． 【点睛】本题考查新定义下的一次函数、反比例函数和二次函数的性质与图象问题，涉及函数图象的平移和交点问题、三角形的外接圆与切线问题、勾股定理等知识，综合性强，有难度，解决的关键是熟练掌握各函数的图象与性质，以及平移之间的关系． 79．（24-25九年级下·湖南永州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点为线段上一动点，以点M为圆心，为半径作圆，与x轴另一交点为F．过点C作的切线与x轴相交于点D，切点为E，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若D，B点重合时，求的值； (3)如图2，若，点Q是抛物线上的点，满足，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，可得到关于系数的方程组求解，求得，从而可得出其解析式； （2）先根据切线的性质得出，从而可得，再根据等边对等角得出，从而可得，再根据直径所对的圆周角是直角，得出，从而可得，根据同角的余角相等可得，从而可利用证明，根据全等三角形的性质可得，，进而求得 ，设，用分别表示出，进而可表示出，再求得，就可得出； （3）先证明，根据相似三角形的性质列出比例式，设，用分别表示出，，再利用勾股定理求得与，再通过解直角三角形分别求得，，再根据，分“点Q在A处”、“点Q是直线与抛物线的交点”两种情况，分别求出Q的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴； （2）如图1， 连接，，，在上截取， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； （3）如图2，连接，，，设，，交于N， 由（2）知， ∵，与是的切线 ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴、、、在同一个圆上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴， 又， ， ， ， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴当点Q在A处时，符合条件， ∴， 当点Q是直线与抛物线的交点时，符合条件， 设直线的解析式为， ∵，, ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 由， 解得：，， 当时，， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，切线的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． 80．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒2cm的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： (1)如图1，当过点时，求时间的值． (2)如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求证：为定值； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②x的值为或． 【分析】（1）由题可知，再利用中建立勾股方程求解即可； （2）由相切可知，再由，代入求解即可； （3）①由与直线相切可得四边形是正方形，所以，再利用切线长定理，，从而的周长，进而得解即可； ②有切线长定理易证，进而得到，代入，解得或，再分类讨论利用面积求出x值即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过点D， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； （2）解：过P作于点Q， 当与直线相切时，为半径，此时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：①如图，过P作于点E， 当与直线相切时，为半径，此时， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， ∴的周长 ， ∵是半径， ∴， ∴； ②在和中， ， ∴， 同理可证， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，故舍去， ，故舍去； 综上，x的值为或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、解一元二次方程、解直角三角形等内容，综合性强，熟练掌握相关知识是解题的关键． 试卷第2页，共109页 1 / 106 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆的位置关系 题型一、确定圆的条件 1．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列说法正确的是（  ） A．直径是弦，但弦不一定是直径 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．三点确定一个圆 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标 ．（写出一个就行） 题型二、过不共线三点作圆 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，请用尺规作图法作，使得圆心在的延长线上，且经过点，．（不写作法，保留作图痕迹） 6．（2025·青海西宁·一模）如图，在 中， ，垂足为D． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的外接圆 ，作直径，连接； (2)证明：． 7．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 8．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句） (1)如图1，已知线段，作出到点距离大于等于且到点距离小于等于的点的集合． (2)如图2，的顶点在直线上，求作：直线上所有的点，使． 9．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编，书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题，翻译成现代文就是： ①如图，为直角， ②以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点D，E； ③以点D为圆心，以长为半径画弧与．交于点F； ④再以点E为圆心，仍以长为半径画弧与交于点G； ⑤作射线，． (1)根据以上信息，用不带刻度的直尺和圆规，在下图中完成了这道作图题． (2)根据完成的图，请写出，，的大小关系并说明理由． 10．（2020·福建福州·一模）已知：在中，，． (1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） (2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积． 题型三、三角形外心的确定 11．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（12-13九年级上·河北·期末）三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（   ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 13．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)的外接圆的半径为______； (2)将绕点顺时针旋转后得到，请在图中画出． 16．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）工人师傅在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示． (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？ 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系．点在______（填内、外、上）． 题型四、求三角形的外接圆半径 18．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 20．（2025九年级·全国·专题练习）已知的三边长满足，则外接圆的半径为 ． 21．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，，，，则的半径 ． 22．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）方程的两个根是直角三角形的两直角边的边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ． 23．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）三边长为7，24，25的三角形，它的外接圆半径为 ． 24．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知等腰三角形，如图． (1)用直尺和圆规作的外接圆； (2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为 ． 题型五、直线与圆的位置关系 25．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 26．（23-24九年级上·湖南·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 27．（2025九年级·全国·专题练习）若直线l与半径为6的相离，则圆心O到直线l的距离d满足（    ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 29．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）的直径为6，直线上有一点满足，则与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 30．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在C中，，点O在内部，以O为圆心，长为半径的圆与直线相离，则的取值范围是 ． 31．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在中，，若以点C为圆心，r为半径画，请根据下列条件填空： （1）若，则点A与的位置关系是 ，点B与的位置关系是 ； （2）若直线AB与至少有一个交点，则r的取值范围为 ． 题型六、平移圆（直线）过程中的相切问题 32．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·全国·课后作业）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 35．（11-12九年级上·广东汕头·期中）如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 36．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，，，点O以的速度在的边上沿的方向运动．以O为圆心作半径为的圆，求运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔． 题型七、与切线有关的作图问题 37．（2025·江苏·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 38．（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 39．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 40．（2025·山西太原·二模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 点和直线的等距圆在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆． 概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点，经过点B，且与直线l相切于点A，则为点B和直线l关于点A的等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础上连接，，，得到图2． ∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴①________， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：②________） 任务： (1)分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①________；②________； (2)问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E，于点F、． ①求作和直线l上一点M，使是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且的半径为d．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点E右侧，且的半径为，则两点之间的距离用含d的式子表示为______． 41．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，平分，交边于点，点为边上一点，经过点、并且交于另一点． (1)作出并标出点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下， ①证明：直线是的切线； ②若与交于点，且，，求的长． 42．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 43．（2025·河南开封·模拟预测）在学习完《直线与圆的位置关系》后，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：直线，使与相切于点． 小悦同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： 连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点（点，分别位于直线的上下两侧）； 作直线交于点； 以点为圆心，为半径作，交于点点（位于直线的上侧）； 作直线，交于点，则直线即为所求作直线． 请根据小悦同学作图方法，解答下面问题： (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，请说明是切线； (3)若半径为，，求的长． 题型八、切线的判定 44．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 45．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 46．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的外接圆，是的直径，D为外一点，平分，且． (1)求证：； (2)求证：与相切． 47．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图1，在中，点P在边上，，是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)当是的直径时，如图2，求的度数． 48．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，是的直径，是弦，于F，交于点E，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 49．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，．以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线． (2)若交于点，求的值． 50．（2025·湖南永州·一模）如图，是的直径，弦于点E，过延长线上一点F作的切线交的延长线于点G，切点为M，连接交于点N． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 51．（2025·湖南湘西·一模）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且，弦的延长线交切线于点E，连接． (1)求的度数； (2)若的半径为3，，求的长． 题型九、切线的性质 52．（2025·湖南·模拟预测）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 53．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的直径，点D在上，过点D作的切线，连接，，，，且． (1)求证：； (2)若点E在的延长线上，且，的半径为2，求的长． 54．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的直径，与相切于点B，与相交于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 55．（2024·湖南·模拟预测）如图，是圆O的切线，A为切点，点B，C是圆上与点A不重合的两点． (1)如图1，若是的直径，，求的度数； (2)如图2，当点B在上运动时(不与点A，C重合)，与有怎样的数量关系？请说明理由． 56．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图1，已知，过点A作圆切于C，再过点B作圆切于C，两圆除C外的交点记为． (1)证明：； (2)如图2，若点P在上，过P作交于E，过P作交于F，证明：四点C，D，E，F共圆． 57．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求线段的长． 58．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图1，已知是的直径，点是射线上的一个动点，以为边构造，满足， (1)如图2，当点恰好在上时，则______． (2)如图3，若，且动点与点重合时，连接，求证：是的切线． (3)在点的运动过程中，若，且，是否存在的边所在的直线与相切？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 题型十、切线长定理 59．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，内切于四边形，若，，，则的长度为 ． 60．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是 ． 61．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，以为直径作半圆，过点作半圆的切线，切点为，过点作交于点，则 ． 62．（2024·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为6，点E是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为 ． 63．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 64．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 题型十一、三角形的内心与内切圆 65．（2025九年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形有且只有一个内切圆 C．一个圆有且只有一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 66．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 67．（2025·江苏镇江·一模）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心    68．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在中，，是的内切圆，则的半径为 ． 69．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的内切圆的半径是 ． 70．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，是的外接圆，M是的内心，，则的长度为 ． 71．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 72．（19-20九年级上·江苏·阶段练习）如图，锐角． (1)分别作出的外接圆、的内切圆（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)已知点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心．试探究与的度数之间的关系； (3)如果，那么的度数是多少？ 73．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，线段的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 74．（2025·河北邯郸·三模）如图，，点A，B分别在边和上滑动，以为边作等边，点O和点C分别位于的两侧，连接，当时，的最大值为 ． 75．（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，，点为中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的外接圆半径的最小值． 76．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角中，，线段是的高，其中和分别是和的内心，连接并向两侧延长，与两直角边和分别交于点，，连接和． (1)求证：； (2)若，，求三角形的面积； (3)请判断的形状，并说明理由． 77．（2024·湖南长沙·一模）已知四个实数，规定新运算：；若一次函数和二次函数满足，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”； (1)下列关于的二次函数是否与一次函数互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”； ①（　　）；②（　　）；③（　　） (2)已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点（不重合），若二次函数的图象经过点和点，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”； (3)已知二次函数与一次函数互为“和谐函数”，并且二次函数的图象与轴交于两点（在的左边），与轴交于点，记抛物线的顶点为，设的外接圆圆心为与轴的另一个交点为，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由． 78．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个函数永远没有交点，则称这两个函数为“相离”函数． (1)当满足什么条件时，函数与为“相离”函数； (2)已知关于的函数，，，，其中与为“相离”函数，与为“相离”函数，请求出的值和的取值范围； (3)已知关于的函数与函数和都不是“相离”函数，且函数与轴负半轴交于点，抛物线向右平移5个单位再向上平移个单位后与轴分别交于，两点，当的外接圆的面积最小时，求的值． 79．（24-25九年级下·湖南永州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点为线段上一动点，以点M为圆心，为半径作圆，与x轴另一交点为F．过点C作的切线与x轴相交于点D，切点为E，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若D，B点重合时，求的值； (3)如图2，若，点Q是抛物线上的点，满足，求点Q的坐标． 80．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒2cm的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： (1)如图1，当过点时，求时间的值． (2)如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求证：为定值； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 试卷第2页，共109页 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $