第13讲 一元二次方程的应用（第1课时）（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第13讲 一元二次方程的应用（第1课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：列一元二次方程解应用题的步骤 ·列一元二次方程解应用题的步骤 (1)审：审题，弄清已知量和未知量及问题中的等量关系。 (2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异。 (3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个量。 (4)解：求出所列方程的解。 (5)检验：检验方程的解是否正确，是否符合实际问题中的意义。 (6)答：写出答案。 注意：(1)要注意各类应用题中常用的等量关系，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系。 (2)注意语言与代数式的互化，题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务，还要注意从语言叙述中找出等量关系。 (3)注意单位问题：一是在设未知数时必须写清单位，用对单位；二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致。 知识点2：列一元二次方程解应用题的常见题型（一） 1.利润问题 利润=售价-进价； 总利润=单位利润×总销售量； 利润率=利润/进价×100%; 售价=进价×(1+利润率)。 2.平均变化(增长或降低)率问题 在现实生活、经济和科技中，各项指标都在随着社会的进步而发生变化，这就出现了平均变化的百分率问题，求解时要把握住与百分率相对的基数。 （1）平均增长率问题：设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),二次增长后的值为a(1+x)2,依此类推，n次增长后的值为a(1+x)n。 （2）平均降低率问题：设基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),二次降低后的值为a(1-x)2,依此类推，n次降低后的值为a(1-x)n。 3.数字问题 解数字问题的关键是正确而巧妙地设出未知数，一般采用间接设元法。如有关三个连续整数(或连续奇数、连续偶数)的问题，一般设中间一个数为x,再用含x的代数式表示其余两个数；又如多位数问题，一般不直接设出这个多位数，而是设某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字。多位数的表示方法如下： （1）两位数=(十位数字)×10+个位数字； （2）三位数=(百位数字)×100+(十位数字)×10+个位数字； ...... 【题型1 增长率问题】 例1．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）在“我运动，我健康，我快乐！”的活动主题中，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)若该市参加健身运动人数的年增长率不变，预计明年2026年有多少人参加此项活动． 变式1.（25-26九年级上·江西上饶·期中）某商场在国庆期间将单价为100元的某种商品经过两次降价后，以81元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，再下调，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【题型2 经营问题】 例2．（25-26九年级上·重庆开州·月考）城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． (1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ (2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 例3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； (2)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 变式1.（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 变式2.（25-26九年级上·广西南宁·月考）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 ① ② (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯收入总收入－总维护费用）？ 【题型3 数字问题】 例4．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是 ． 变式1.（24-25九年级上·山西晋城·期中）如图是2024年10月的月历表，在这个月历表上可以用一个矩形框圈出9个数．若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为297，设最小数为，则可列方程为 ． 【题型4 握手/比赛问题】 例5．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）某校七年级计划组织一次篮球赛，各班均组织一队参加比赛，赛制为单循环形式（每两班之间都比赛一场），共需安排场比赛，则七年级的班级个数为 ． 变式1.（25-26九年级上·广东揭阳·月考）为倡导“我运动，我健康，我快乐”的全民健身理念，丰富社区居民的业余文化生活，某小区举办了一次乒乓球友谊赛，每人之间仅比赛一次，共进行了场比赛，那么共有 人参加了这次友谊赛． 1．（25-26九年级上·全国·期末）两个连续偶数的积为 ，若设较小的偶数为 ，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建厦门·一模）某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 4．（25-26九年级上·全国·期末）某园艺师用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（    ） A．100元 B．200元 C．300元 D．400元 6．（25-26八年级上·上海·月考）会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有人参加会议，则可列方程 ． 7．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从2023年的20吨增加到2025年的28.8吨，则这两年产量的年平均增长率为 ． 8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）2026年7日1日是建党105周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为 ． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排 人参加． 10．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 11．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 12．（25-26九年级上·河北保定·期中）某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一元二次方程的应用（第1课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：列一元二次方程解应用题的步骤 ·列一元二次方程解应用题的步骤 (1)审：审题，弄清已知量和未知量及问题中的等量关系。 (2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异。 (3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个量。 (4)解：求出所列方程的解。 (5)检验：检验方程的解是否正确，是否符合实际问题中的意义。 (6)答：写出答案。 注意：(1)要注意各类应用题中常用的等量关系，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系。 (2)注意语言与代数式的互化，题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务，还要注意从语言叙述中找出等量关系。 (3)注意单位问题：一是在设未知数时必须写清单位，用对单位；二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致。 知识点2：列一元二次方程解应用题的常见题型（一） 1.利润问题 利润=售价-进价； 总利润=单位利润×总销售量； 利润率=×100%; 售价=进价×(1+利润率)。 2.平均变化(增长或降低)率问题 在现实生活、经济和科技中，各项指标都在随着社会的进步而发生变化，这就出现了平均变化的百分率问题，求解时要把握住与百分率相对的基数。 （1）平均增长率问题：设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),二次增长后的值为a(1+x)2,依此类推，n次增长后的值为a(1+x)n。 （2）平均降低率问题：设基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),二次降低后的值为a(1-x)2,依此类推，n次降低后的值为a(1-x)n。 3.数字问题 解数字问题的关键是正确而巧妙地设出未知数，一般采用间接设元法。如有关三个连续整数(或连续奇数、连续偶数)的问题，一般设中间一个数为x,再用含x的代数式表示其余两个数；又如多位数问题，一般不直接设出这个多位数，而是设某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字。多位数的表示方法如下： （1）两位数=(十位数字)×10+个位数字； （2）三位数=(百位数字)×100+(十位数字)×10+个位数字； ...... 【题型1 增长率问题】 例1．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）在“我运动，我健康，我快乐！”的活动主题中，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)若该市参加健身运动人数的年增长率不变，预计明年2026年有多少人参加此项活动． 【答案】(1) (2)万人 【详解】（1）解：设年均增长率为，则， 解得(舍去负根)． 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为． （2）(万人) 答：预计明年2026年有万人参加此项活动． 变式1.（25-26九年级上·江西上饶·期中）某商场在国庆期间将单价为100元的某种商品经过两次降价后，以81元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，再下调，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】(1) (2)对顾客更优惠；理由见解析 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率是． 根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． （2）售货员的方案对顾客更优惠．理由如下： （元）． ， 售货员的方案对顾客更优惠． 【题型2 经营问题】 例2．（25-26九年级上·重庆开州·月考）城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． (1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ (2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 【答案】(1)每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． (2)精英型帐篷的售价为元或元． 【详解】（1）解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得： ， 解得， 答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． （2）解：降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶； 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴精英型帐篷的售价为元或元． 例3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； (2)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)每千克元 【详解】（1）解：设这种饼干销售量千克与每千克降价元之间满足的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足的函数关系式为：， 当时，， （元）， 即若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利元． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要让顾客获得更大实惠， ， （元）． 答：这种饼干的销售价应定为每千克元． 变式1.（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 【答案】(1)每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为2.5元，5元 (2)a的值为2 【详解】（1）解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为，元 由题意得， 解得， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元． （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，不合题意，故舍去； ∴， 答：的值为． 变式2.（25-26九年级上·广西南宁·月考）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 ① ② (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯收入总收入－总维护费用）？ 【答案】(1)①；② (2)每间客房的定价应为300元 【详解】（1）解：由题意得，提价后入住的房间数量为， 则提价后的总维护费用为元； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要能吸引更多的游客， ∴， ∴， 答：每间客房的定价应为300元． 【题型3 数字问题】 例4．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是 ． 【答案】 【详解】解：设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是． 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， ∴十位上的数字为，百位上的数字为． 故答案为：． 变式1.（24-25九年级上·山西晋城·期中）如图是2024年10月的月历表，在这个月历表上可以用一个矩形框圈出9个数．若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为297，设最小数为，则可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为16， 这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：． 故答案为：． 【题型4 握手/比赛问题】 例5．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）某校七年级计划组织一次篮球赛，各班均组织一队参加比赛，赛制为单循环形式（每两班之间都比赛一场），共需安排场比赛，则七年级的班级个数为 ． 【答案】 【详解】解：设七年级班级个数为，则比赛总场数为， 根据题意得， 整理得， 解得或（舍去）， 七年级的班级个数为． 变式1.（25-26九年级上·广东揭阳·月考）为倡导“我运动，我健康，我快乐”的全民健身理念，丰富社区居民的业余文化生活，某小区举办了一次乒乓球友谊赛，每人之间仅比赛一次，共进行了场比赛，那么共有 人参加了这次友谊赛． 【答案】 【详解】解：设共有人参加了比赛， 根据题意得， 解得或（舍去）， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·全国·期末）两个连续偶数的积为 ，若设较小的偶数为 ，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：较小的偶数为，较大的偶数为，根据题意，得 ． 故选：B． 2．（2026·福建厦门·一模）某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 第一个月成本为450万元，第三个月成本为370万元，且平均每月下降率为x， ∴ 经过两个月下降，第三个月成本第一个月成本， 即． 故选：D． 3．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【详解】解：设九年级的班级数为，则每个班需要送出条祝福， 根据题意，可列方程， 化简，得， 解得，，（负值舍去） ∴九年级一共有12个班． 故选：B． 4．（25-26九年级上·全国·期末）某园艺师用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每盆增加x株花苗， 由题意得，， 故选：A． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（    ） A．100元 B．200元 C．300元 D．400元 【答案】B 【详解】设每台冰箱降价x元，则售价为元， 由题意，得每天的销售量为（台）， 由题意，可列方程， 整理得， 解得或， ∵要让消费者得到更多实惠，即降价幅度尽可能大， ∴应降价200元， 故选：B． 6．（25-26八年级上·上海·月考）会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有人参加会议，则可列方程 ． 【答案】 【详解】设参加会议有人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，因为每对握手被重复计算了一次，所以实际握手次数为，根据题意，总握手次数为66次， 列方程． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从2023年的20吨增加到2025年的28.8吨，则这两年产量的年平均增长率为 ． 【答案】 【详解】解：设平均每年增长率是x， 根据题意得：， 解得：负值舍去， 则这两年产量的年平均增长率为 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）2026年7日1日是建党105周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为 ． 【答案】6 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意，得， 整理，得， 解得，，（不合题意，舍去）， 故答案为：这个最小数为6． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排 人参加． 【答案】45 【详解】解：根据题意得， 所以该旅行社的人数大于人， 设这次旅游可以安排人参加，则人均旅游费为元， 由题意得：， 解得： 当时，人均费用＜，不符合要求；当时，人均费用，符合要求． 故这次旅游可以安排人参加． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【答案】(1) (2)20元或40元 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， ，即， ， 因降价百分率，故， 得， 答：该款帐篷价格每次下降； （2）解：设每套涨价元，则月销售量减少套， 此时，每套盈利：元；月销售量：套 则月销售利润为， 解得或， 当时，涨价元，时，涨价元， 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元． 11．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)21与48是“幸福数对”，理由见解析 (2)42和36 【详解】（1）解： 21与48是“幸福数对”． 理由如下： ，． ． 与48是“幸福数对”． （2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0， 这两个两位数，分别为，． 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为，． 这两个数为“幸福数对”， ． 化简，得． 解得 ，． 经检验，符合题意， ∴这两个两位数分别为42和36． 12．（25-26九年级上·河北保定·期中）某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：由图可知，设平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为， ∵函数过点和， ∴将点和代入， 得， 解得， ∵售价在40元至70元范围内， ， 与的函数表达式为． （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ∴为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，当该店每月获得12250元的利润时，， 整理，得， 解得． ∵每个台灯的利润率不得高于成本价的， ， 即． ， ∴不可能满足题意． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $