2.4 一元二次方程的应用-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 2.4一元二为 第1课时销售 自基础进阶 1.(2025·重庆)某景区2022年接待游客25万 人，经过两年加大旅游开发力度，该景区 2024年接待游客达到36万人，那么该景区 这两年接待游客的年平均增长率为() A.10%B.20%C.22%D.44% 2.(2025·杭州滨江期末)某店销售一款每个进 价为60元的电子产品，若按每个90元出售， 每月可销售200个.经调查发现，该电子产品 的售价每下降2元，其销售量就增加8个.当 每个电子产品下降多少元时，该店每月销售 这款电子产品的利润为8000元？设每个电 子产品降价x元，可列出方程为 () A.(90-x)(200-4x)=8000 B.(90-x)(200+8.x)=8000 C.(90-60-2x)(200+8x)=8000 D.(90-60-x)(200+4x)=8000 3.某商品的原价为每件200元，连续两次降价 m%后，每件的售价为162元，则m的值为 4.一商店销售某种商品，当每件的利润为30元 时，平均每天可售出20件，经过一段时间的 销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可 多售出2件，当销售单价降低 元时， 该商店销售这种商品每天的利润为800元. 5.★(2025·泸州)某超市购进甲、乙两种商品， 2022年甲、乙两种商品每件的进价均为 125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件 的进价平均每年下降25元，乙种商品2024年 每件的进价为80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率 (2)2024年该超市用不超过7800元的资金 34 方程的应用 及增长率问题 ●“答案与解析”见P14 一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购 进多少件甲种商品。 素能攀升 6.(2025·嘉兴秀洲段考)某店销售一批户外帐 篷，经调查，当每顶帐篷的利润为200元时， 平均每天可售出60顶；单价每降10元，平均 每天可多售出4顶.已知该店想要平均每天 盈利12160元，可列方程为(200-x)60+ 后×4到=I2160.则下列表述中，正确的是 A.帐篷的单价为x元 B.降价后平均每天可售出(200一x)顶帐篷 C.帐篷的单价应降低x元 D.降价后每顶帐篷的利润为(60十。×4)元 7.某厂把500万元资金投入到新产品的生产， 一年后获得了一定的利润，在不抽调资金和 利润（即第一年获得的利润也作为生产资金） 的前提下，第二年的利润率为第一年的利润 率加8%，这样第二年净得利润112万元，则 第一年的利润率是 () A.10%B.11%C.12%D.13% 8.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档 次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产 95件，每件的利润为6元，每提高一个档次， 每件的利润增加2元，但一天的产量会减少 5件.若生产的某产品一天的总利润为 1120元，且同一天所生产的产品为同一档 次，则该产品是第 档次产品 9.某产品每件的生产成本为500元，原定销售 价为625元，经市场预测，从现在开始的第一 个季度的销售价将下降20%，第二个季度又 将回升6%.当该产品每件的生产成本平均 每个季度降低的百分率是 时，才能 使半年后的销售利润不变 10.(2025·宁波余姚期中)位于宁波市江北区 的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全 国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝 “鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘” 吸引了各地游客前来参观.据统计，假期第 一天保国寺接待游客5000人次，第三天接 待游客7200人次， (1)求游客数量从假期第一天到第三天的 日平均增长率 (2)据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游 纪念章，每个纪念章的成本为5元，当每个 的售价为10元时，平均每天可售出500个， 为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价 销售.市场调查发现，每个的售价每降低 0.5元，平均每天可多售出100个，若要使 每天销售旅游纪念章获利2800元，则每个 的售价应降低多少元？ 第2章一元二次方程 的思维拓展 1.某运动品牌销售一款运动鞋，已知 每双运动鞋的成本为60元，当每 双的售价为100元时，平均每天能 售出200双.经过一段时间的销售发现，平 均每天售出的运动鞋数量y(双)与降低的 价格x(元)之间存在如图所示的函数关系. (1)求y与x之间的函数表达式. (2)公司希望平均每天获得的利润达到 8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的 售价应该定为多少元？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成 本的50%，公司每天能否获得9000元的利 润？若能，求出每双运动鞋的售价；若不能， 请说明理由， ↑y/双 300 200 010 x/元 (第11题) 35 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 第2课时 自基础进阶 1.芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后 的图形（实线部分）如图所示，给该图形补充 四个边长为10cm的小正方形后，得到一个 长方形，且长方形的面积为2000cm.根据 图中的信息，可得x的值为 A.10 B.20 C.25 D.30 (x+10)cm xcm (第1题) (第2题) 2.(2025·宁波鄞州期中)如图，琪琪的爸爸用 一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 6.5m)的长方形鸡舍ABCD,其面积为21m. 在鸡舍的AB边的中间位置留一个1m宽的 门（由其他材料制成），则BC的长为() A.6m或7m B.3m或3.5m C.3.5m D.6m 3.如图，某部门计划在某公园内一块长为32m、 宽为20m的长方形湖面上修筑宽度固定的 观景长廊（涂色部分），要使湖面剩余部分（空 白部分)的面积为540m,则长廊的宽为 m. (第3题) 4.★某地计划对长方形广场进行扩建改造.如图， 原广场长50m,宽40m,要求扩建后的长方形 广场的长与宽的比为3：2.扩建区域的扩建费 用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩建 区域都铺设地砖，铺设地砖的费用为每平方米 36 几何面积问题 ◆“答案与解析”见P15 100元.如果计划的总费用为642000元，那么 扩建后广场的长和宽应分别是多少米？ 原广场 扩建区域 (第4题) 幻素能攀升 5.如图，正方形被分割成四部分，其中I,Ⅱ为 正方形，Ⅲ，V为长方形，I,Ⅱ的面积之和等 于Ⅲ，N面积之和的2倍.若Ⅱ的边长为2，且 I的面积小于Ⅱ的面积，则I的边长为( A.1 B.√2-1 C.4-2W3 D.4+23 30m W 24m Ⅱ (第5题) (第6题) 6.如图，小华准备在一个长30m、宽24m的长方 形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小 路，四条小路围成的中间部分恰好是一个小正 方形，且边长是小路宽的4倍.若四条小路所占 的面积为99m,则小路的宽为 m. 7.易错题(2025·义鸟段考)如图，学 校在教学楼后面搭建了两个简易的 长方形自行车车棚.搭建要求：一边 利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m), 其他的边用总长为73m的不锈钢栅栏围成， 左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏 的形状如“山”字形.设车棚的宽AB为xm (1)求车棚的长BC(用含x的代数式表示). (2)若长方形车棚ABCD的面积为450m, 求车棚的长和宽 (3)在搭建要求不变的情况下，若学校利用 现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积 为525m的自行车车棚吗？如果能，请你给 出设计方案；如果不能，请说明理由， A 42m 0 墙 (第7题) 第2章一元二次方程 节思维拓展 8.新考法·探究题在△ABC中，∠B= 90°，AB=6cm,BC=8cm. (1)如图，点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B 开始沿边BC向点C以2cm/s的速度运动. 如果点P,Q分别从点A,B同时出发，经过 几秒，△PBQ的面积等于8cm? (2)在(1)的条件下，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时 间；若不能，请说明理由. (3)若点P沿射线AB方向从点A出发， 以1cm/s的速度运动，点Q沿射线CB方向 从点C出发，以2cm/s的速度运动，点P,Q 同时出发，问：经过几秒，△PBQ的面积为 1cm2? A-P (第8题) 37所以无论取何实数，此方程总有两 个不相等的实数根」 (2)由根与系数的关系，得x1十 x2=一m,x1x2=m-2. 因为x号+x号+m(x1十x2)=m2+1, 所以(x1+x2)2-2x1x2十m(x1十 x2)=m2+1. 所以m2-2(m-2)-m2=m2+1. 整理，得m2十2m-3=0,解得m= -3或m=1. 9.(1)由题意，得（一2）2一4(m一 2)≥0，解得m≤3. 所以m的取值范围是m3. (2)由题意，得x1十x2=2,x1x2 m-2. 所以3x1+3x2-x1x2=6-(m- 2)=-m+8. 因为m≤3， 所以当m=3时，3x1十3.x2-x1x2取 得最小值，为一3十8=5. 10.(1)由题意，得关于x的一元二 次方程x2-mx十4m2-1=0的根 的判别式为(-m)2-4X1×(行m2 1=m2-m2+4=4>0, 所以不论实数m取何值，该方程一定 有两个不相等的实数根. (2)设方程的两个根为a,b. 由根与系数的关系，得a十b=m, ab=7m2-1 由题意，得a2十b2=10, 所以(a+b)2-2ab=10. 所以m2-2(子m2-1)=10 整理，得m2=16,解得m=4或m=一4 当m=-4时，a十b=-4<0,不合题 意，舍去 所以m=4. 11.(1)因为m,n是等腰三角形的腰 长和底边长， 所以2m>2,且m>0,n>0. 所以4m2>n2. 所以关于x的一元二次方程x2 2mx+是=0的根的判别式为 (-2my-4X1x=m-r>0 所以这个方程有两个不相等的实数根， (2)设x1,x2是方程的两个根。 由题意，得x1一x2=8, 所以(x1-x2)2=64. 所以(x1十x2)2-4x1x2=64. 由根与系数的关系，得x1十x2=2m, 1 x1x2=4n2, 所以(2m)2-4×子n2=64,即 Nm2-=4 设等腰三角形底边上的高为h. 由题意，易知=√m一子=4 1 因为S腰三韩=21·h=2n×4=16, 所以n=8. 所以4m2-4X】×82=64,解得m= 4 4√2，m2=一4√2（不合题意，舍去）. 所以m=4√2，n=8. 2.4一元二次方程的应用 第1课时销售及增长率问题 1.B2.D3.10 4.10解析：设销售单价降低x元， 根据题意，得(30-x)(20十2.x)= 800.整理，得x2-一20x十100=0，解得 x1=x2=10.所以当销售单价降低 10元时，该商店销售这种商品每天的 利润为800元. 5.(1)设乙种商品每件进价的年平 均下降率为x 根据题意，得125(1一x)2=80,解得x1= 0.2=20%,x2=1.8(不合题意，舍去. 答：乙种商品每件进价的年平均下降 率为20%. (2)设购进y件甲种商品，则购进 (100一y)件乙种商品 根据题意，得(125一25×2)y+ 80(100-y)≤7800，解得y≥40. 所以y的最小值为40. 答：最少购进40件甲种商品. 14 方法归纳 增长率（或下降率）问题的规律 (1)增长率问题：设某数为a, 平均增长率为x,则一次增长后的 值为a(1十x),两次增长后的值为 a(1十x)2,以此类推，n次增长后 的值为a(1+x)”. (2)下降率问题：设某数为a, 平均下降率为x,则一次下降后的 值为a(1一x),两次下降后的值为 a(1一x)2,以此类推，次下降后 的值为a(1一x)”. 6.C解析：因为当每顶帐篷的利润 为200元时，平均每天可售出60顶， 单价每降10元，平均每天可多售出 4顶，所以(200一x)元表示每顶帐篷 的利润.(60+后×4)顶表示平均每 天售出帐篷的数量，所以x元表示帐 篷单价降低的钱。 7.C解析：设第一年的利润率是x, 则第一年的利润是500x万元，第二年 的投人资金为(500+500x)万元，第二年 的利润率为x+8%,利润为112万元， 所以可得方程(500+500x)(x+ 8%)=112,解得x=0.12=12%或 x=一1.2（负值舍去）.所以第一年的 利润率为12%. 8.6解析：设该产品是第x档次产 品，则每天的产量为[95-5(x一1)]件， 每件的利润是[6+2(x一1)]元.由题 意，得[6+2(x-1)][95-5(x 1)]=1120.整理，得x2一18.x+72= 0,解得x1=6,x2=12(不合题意，舍 去).所以该产品是第6档次产品. 9.10%解析：设该产品每件的生产 成本平均每个季度降低的百分率为 x.由题意，得625×(1一20%)×(1+ 6%)-500(1-x)2=625-500,解得 x1=1.9(不合题意，舍去)，x2= 0.1=10%.所以当该产品每件的生产 成本平均每个季度降低的百分率是 10%时，才能使半年后的销售利润不变 10.(1)设游客数量从假期第一天到 第三天的日平均增长率为x. 根据题意，得5000(1十x)2=7200, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（负 值舍去) 答：游客数量从假期第一天到第三天 的日平均增长率为20%. (2)设每个的售价应降低m元，则每 无的销是为(60+)个 根据题意，得(10-m-5)(500十 9a）-28o 整理，得2m2-5m十3=0，解得m1= 2m2=1. 因为要让游客尽可能得到优惠， 所以加一多 答：每个的售价应降低号元， 11.(1)因为y与x之间的函数图象 为一条射线， 所以可设y与x之间的函数表达式 为y=kx十b(k≠0，x≥0) 将(0,200)，(10,300)代人， 得/6=200， k=10, 解得 10k+b=300, b=200. 所以y与x之间的函数表达式为y= 10x+200(.x≥0). (2)根据题意，得(100一60一x)· (10x+200)=8910. 整理，得x2一20x十91=0，解得x1= 7,x2=13. 因为要求优惠力度最大， 所以x=13. 所以100一x=100-13=87 所以每双运动鞋的售价应该定为 87元. (3)能. 假设公司每天能获得90O0元的利润， 则(100一60-x)(10x+200)=9000. 整理，得x2-20x+100=0,解得 x1=x2=10 因为每双运动鞋的利润不低于成本 的50%， 所以100-60一x≥60×50%： 所以x≤10. 所以x=10符合题意， 所以公司每天能获得9000元的利润： 因为100一x=100-10=90, 所以每双运动鞋的售价为90元. 第2课时几何面积问题 1.B2.D3.2 4.设扩建后广场的长为3xm,宽为 2.xm. 依题意，得3x·2x·100+30(3x· 2x-50×40)=642000. 整理，得x2=900,解得x1=30, x2=-30(不合题意，舍去). 所以3.x=90,2.x=60. 所以扩建后广场的长为90m,宽为60m 一方法归纳 几何图形面积问题的解法 解决几何图形面积问题的关键 是把实际问题转化为数学问题，即把 实际问题中的已知量和未知量集中 到某一个几何图形中，然后利用几何 知识来寻找它们之间的关系，列出方 程求解」 5.C解析：设I的边长为x,依题 意，得x2+22=2(2x+2x),解得 x1=4+2√3，x2=4-23.因为I的 面积小于Ⅱ的面积，所以x<2.所以 x=4-2W3, 62 解析：设小路的宽为xm,则 小正方形的边长为4xm.由题意，得 (30+4x十24十4x)x=99.整理，得 3 8x2十54x-99=0,解得x=2, x2= (不合题意，舍去).所以小 4 路的宽为号m 7.(1)因为不锈钢栅栏的总长为73m, 左右两侧各开一个1m的出口，且车 棚的宽AB为xm, 所以车棚的长BC=(73+2一3.x)= (75-3.x)m. (2)根据题意，得(75一3.x)x=450. 整理，得x2-25x+150=0,解得 x1=10,x2=15. 当x=10时，75-3.x=75-3×10= 45>42,不符合题意，舍去， 当x=15时，75-3x=75-3×15= 30<42,符合题意. 答：车棚的长为30m,宽为15m. (3)不能围成面积为525m2的自行 15 车车棚。 理由：假设能围成面积为525m2的自 行车车棚，设AB=ym,则BC= (75-3y)m. 根据题意，得(75-3y)y=525. 整理，得y2-25y+175=0. 因为b2-4ac=(-25)2-4×1× 175=-75<0, 所以原方程没有实数根 所以假设不成立，即不能围成面积为 525m的自行车车棚， 一易错警示 忽视墙长的限制条件而出错 本题中，车棚是用不锈钢栅栏 靠墙围成的，题目中隐含着与墙平 行的边不超过墙长的限制条件.列 出方程求得方程的解后，若忽视此 条件，则会导致错解」 8.(1)设经过xs,△PBQ的面积等 于8cm2. 依题意得2（6-x)·2x=8 整理，得x2一6x+8=0,解得x1=2, x2=4 所以经过2s或4s,△PBQ的面积等 于8cm2. (2)不能。 理由：设经过ys,线段PQ能将 △ABC分成面积相等的两部分， 依题意，得△ABC的面积=2X6X 8=24(m),则76-》·2y 整理，得y2-6y十12=0. 因为b2一4ac=36-4×12=-120, 所以此方程无实数根， 所以线段PQ不能将△ABC分成面 积相等的两部分」 (3)设P,Q两点的运动时间为ms. ①当点P在线段AB上，点Q在线 段CB上时，0≤m≤4. 依题意，得号（6-m)(8-2m)=1 整理，得m2-10m十23=0，解得 m1=5十√2（舍去），m2=5-√2. 所以m=5一√2. ②当点P在线段AB上，点Q在线 段CB的延长线上时，4<m≤6. 依题意，得2(6-m)(2m一8)=1. 整理，得m2一10m+25=0,解得 m1=m2=5. ③当点P在线段AB的延长线上，点 Q在线段CB的延长线上时，m>6. 依题意，得2(m-6)(2m-8)=1. 整理，得m2一10m+23=0,解得 m1=5+√2，m2=5-√2（舍去） 所以m=5+√2 综上所述，经过(5一√2)s,5s,(5十 √2)s,△PBQ的面积为1cm. 专题特训四构建一元二次 方程解决实际问题 1.20解析：设4月、5月两个月的平 均涨价率为x.根据题意，得50(1 10%)(1+x)=64.8,解得x1= 0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍 去).所以4月、5月两个月的平均涨 价率为20%. 2.(1)设2025年7月~9月该国产 品牌新能源汽车销售量的月平均增长 率为x. 由题意，得16(1十x)2=19.36,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题 意，舍去) 答：2025年7月9月该国产品牌新 能源汽车销售量的月平均增长率 为10%. (2)由题意，得10月的销售量为 19.36X(1+10%)=21.296(万辆). 因为16+17.6+19.36+21.296= 74.25675, 所以2025年7月10月该国产品牌新 能源汽车销售总量不能达到75万辆. 3.23或32解析：设原两位数的个 位上的数字是x,则十位上的数字是 5一x.由题意，得[10(5一x)+x]· [10x+（5一x)]=736,解得x1=2, x2=3.所以原来的两位数是23或32. 4.(1)小明的说法不正确. 理由：设小路的宽为ym 根据题意，得(16-2y)(12-2y)= 2×16X12 整理，得y2-14y十24=0，解得y1=2, y2=12. 因为荒地的宽为12m, 所以小路的宽为12m不符合实际情况. 所以y=2. 所以小路的宽为2m. (2)因为小亮的设计方案中的4个相 同扇形的面积之和恰为一个半径为 xm的圆的面积， 1 所以2=2×12X16,解得x≈ ±5.5. 因为x>0, 所以x≈5.5. 所以小亮的设计方案中x的值约 为5.5. (3)方案不唯一，如图： 根据题意，得(16一x)(12-之)= 12×16. 整理，得2一28x十96=0，解得1= 4,x2=24(不合题意，舍去). 所以方案为在荒地的中央修两条互相 垂直的宽为4m的小路 16m 12m m zm (第4题) 5.(1)设y与x之间的函数表达式 为y=kx十b(k≠0). 将(9,33)，(10,30)代入y=kx+b,得 33=9k+b, k=一3， 30=10k+b 解得b=60. 所以y=-3.x+60. 因为销售价不低于成本价，且物价部 门规定这种产品的销售价不得高于 15元/千克， 所以y与x之间的函数表达式为 y=-3.x+60(8x15). (2)根据题意，得(x一8)（一3x+ 60)=96. 整理，得x2-28x+192=0,解得 x1=12,x2=16(不合题意，舍去. 答：售价应定为12元/千克. (3)小杭同学的说法不正确 理由：假设小杭同学的说法正确，根据 16 题意，得(x一8)（一3x+60)= 1200÷10. 整理，得x2-28x+200=0. 因为b2一4ac=(一28)2一4×1× 200=-16<0, 所以原方程没有实数根 所以假设不成立，即小杭同学的说法 不正确。 6.(1)由题意，得AP=21cm,BQ= 4t cm,PB=AB-AP=(10-2t)cm. 在Rt△PBQ中，由勾股定理，得 PB2+BQ=PQ,即(10-2t)2+ (4t)2=102. 整理，得t2一2t=0,解得t1=2,12=0 (不合题意，舍去). 所以当t=2时，PQ的长为10cm. (2)存在1的值，使得五边形APQCD 的面积等于104cm2. 由题意，得S长方形AD=10X12= 120(cm2),S△Pm=2 PB·BQ= ×(10-2)×4=(-42+20)cm2. 1 所以S五边APQD=S长方形AMD一S△PQ,即 104=120-(-4t2+20t). 整理，得t2-5t十4=0，解得t1=4, t2=1. 当t=4时，BQ=16cm,16>12,不合 题意，舍去 当t=1时，BQ=4cm,4<12,符合 题意 所以存在t的值，使得五边形 APQCD的面积等于104cm,此时t 的值为1. 第2章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D解析：因为(m-3)x2+ m2x=9x+5,所以(m-3)x2+ (m2一9)x一5=0.由题意，得m一3≠ 0,m2-9=0,解得m=-3. 一易错警示 勿忽视二次项系数不为0的条件 根据一元二次方程各项系数 的要求确定参数的取值时，应同时 考虑二次项系数不为0的条件.本 题若忽视二次项系数m一3≠0这 个条件，则易导致错选B.