四川省成都市石室中学 2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟试卷

2025-2026学年四川省成都市石室中学天府校区九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.篆刻是中华传统艺术之一.如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是(    ) A. B. C. D. 2.已知，则代数式的值为(    ) A. 1 B. C. D. 3.如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：：2，，则EF的长为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球.不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是(    ) A. 16 B. 14 C. 12 D. 8 5.如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心.若的周长为5，则的周长为(    ) A. 45 B. 20 C. 15 D. 10 6.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，当时，x的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7.习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.我校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆1250人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1800人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 8.如图，是等腰三角形，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接下列四个结论：①；②；③；④当时，其中正确结论的个数是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.下列函数中，图象位于第一、三象限的有______；在图象所在象限内， y的值随x值的增大而增大的有______. ；；； 10.关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是      . 11.邢窑是河北著名瓷窑.如图，小明用两根木棍AC，BD制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径AB的长.若两木棍交于点E，且∽，，，则AB的长为        . 12.如图，将沿BC方向平移得到，与重叠部分图中阴影部分的面积是面积的，已知，则平移的距离是______. 13.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，，，则BO的长为        . 14.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，则三角形的周长为______. 15.对于任意实数ab，定义：a◆，若方程◆的两根记为m、n，则______. 16.如图，四边形ABCD是菱形，点P为AD边上一动点不与点A，D重合，于点E，于点若，，则EF的最小值为        . 17.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数为常数，且在第一象限的图象交于点E，过点E作轴于M，过点F作轴于N，直线EM与FN交于点若为大于1的常数记的面积为，的面积为，则______用含m的代数式表示 18.如图，已知正方形ABCD，，E是边BC上的一个动点不与点B，C重合，连接AE，点B关于直线AE的对称点为F，连接EF并延长交CD于点G，连接AG，在点E运动过程中，作的平分线EH交AG延长线于H，若：：1，则线段BE的长为        . 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 用适当的方法解下列方程. ； 20.本小题8分 在校园文化系列活动中，我校七年级开展了“我爱我班”创意绘画比赛.美术陈老师从七年级随机抽取了A、B、C、D共4个班的作品进行数量统计分析，绘制了如图两幅不完整的统计图： 陈老师所调查的4个班共征集到作品______件，并补全条形统计图； 在扇形统计图中，表述C班的扇形圆心角的度数为______； 如果七年级参展作品中有4件获得一等鉴，其中有1名作者是男生，3名作者是女生.现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率要求用画树状图或列表法写出分析过程 21.本小题8分 【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度.已知榕树CD、FG和灯柱AB如图所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据. 已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树PG在路灯下的影子GH； 如图，若榕树CD的高度为米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，同棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度. 22.本小题10分 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得连接过点B作，交AE于点F，连接 求证：四边形AFBO是矩形； 若，，求菱形ABCD的面积. 23.本小题10分 如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，反比例函数的图象与直线AB交于P、Q两点，已知Q点的纵坐标为，连接OP、 求反比例函数的解析式和的面积. 试说明：≌ 若C是OA上不与O、A重合的任意一点，，于D，于 ①a为何值时，？ ②线段OA上是否存在点C，使？若存在这样的点，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由. 24.本小题8分 某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示. 求y与x之间的函数关系式； 若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 25.本小题10分 如图，在坐标平面中，直线分别交x轴、y轴于A、B，把绕点O旋转，使点B落在x轴正半轴点C处，A落在y轴上点D处，直线CD于AB相交于点 求直线CD的解析式； 点P为线段CD上一点，过点作x轴的平行线交直线BC于F，设P点的横坐标为m，的面积为S平方单位，求S与m的函数关系式； 在的条件下，若与相似，求P点坐标. 26.本小题12分 在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示. 在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，若，过C作交BE于点F，同学们猜想是个定值.老师给予了肯定，请你帮助同学们证明. 【深入探究】同学们分组进行探究，A组选用了菱形进行探究，如图2所示. 在菱形ABCD中，过C作交AB的延长线于点E，过E作交AD于点F， ①求证：∽； ②若时，求的值. 【拓展提升】B组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决. 在平行四边形ABCD中，，，，点E在边CD上，且，点F为边BC上一点，连接EF，过E作交平行四边形ABCD的边于点G，若时，请直接写出线段AG的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形是： 故选： 根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可． 本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 2.【答案】B  【解析】解：， ， 故选： 根据比例的性质解答即可． 本题考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积是解答本题的关键． 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】 解：直线， ， ， ， 4.【答案】C  【解析】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右， 摸到白球的概率为， 袋子里白球的个数估计是个， 故选： 利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在左右，得到摸到白球的概率为，再利用概率求数量即可． 本题考查利用频率估算概率，掌握其相关知识点是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：由题意可知，，， 与位似，OD：：1， ：：1， 的周长为5， 的周长为15， 故选： 根据题意求出OA、OD，根据面积比等于周长比，推理计算即可． 本题考查了位似图形，根据对应点坐标确定位似比是解题关键． 6.【答案】B  【解析】解：由双曲线的对称性得点B的横坐标为， 当时，或 故选： 根据双曲线的对称性得到点B的横坐标为，根据图象即可求出当时，x的取值范围为或 本题考查了双曲线的对称性和反比例函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系，根据双曲线的对称性求出点B的横坐标是解题关键． 7.【答案】B  【解析】解：根据题意得： 故选： 根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合第三个月进馆1800人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：由题意可知，BD是的平分线，MN是线段BD的中垂线， ，， ， 是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ， 是BD的中垂线， ， ， ， ， 因此①正确， ， 因此②正确； 由于DE不是的中位线， 因此③不正确； ，， ∽， ， 即， 设，则， ， 解得舍去或， 即， 因此④正确， 综上所述，正确的结论有①②④，共有3个， 故选： 根据角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，可得到也是含有角的等腰三角形，进而得出，再根据平行线的判定方法可得出，对①作出判断；再根据三角形内角和定理和等腰三角形的判定，进一步得出，对②作出判断；由，可得DE不是的中位线，对③作出判断，最后再根据相似三角形的判定和性质，得出∽，进而求出BC，即AD即可对④作出判断． 本题考查角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及相似三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和是以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提． 9.【答案】    ；  【解析】解：的，图象位于一、三象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而减小； ，图象位于一、三象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而减小； ，图象位于一、三象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而减小； ，图象位于二、四象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而增大； 故答案为：； 分别根据每个反比例函数的比例系数的符号确定其经过的象限和其增减性即可． 本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是能够根据反比例函数的比例系数的符号确定其所在的象限，难度不大． 10.【答案】且  【解析】解：关于x的方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 的取值范围为且 故答案为：且 根据一元二次方程的定义和判别式，得出且，解出不等式，即可得到k的取值范围． 本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系．一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 11.【答案】6cm  【解析】解：， ， 根据相似三角形的性质可得， ， ， ， 故答案为： 由可得，进而根据相似三角形的性质即可求解． 本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：将沿BC方向平移得到， ， ∽， 与重叠部分图中阴影部分的面积是面积的， ， ， ， ，即平移的距离是； 故答案为： 移动的距离可以视为FC或BE的长度，根据题意可知与阴影部分为相似三角形，且面积比为3：1，所以BC：：1，推出，所以，从而求解． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证与阴影部分为相似三角形． 13.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是矩形，， ，， 是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 故答案为： 由已知推出OM是的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质BO的长即可求出． 本题考查了矩形的性质，掌握勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用是解题的关键． 14.【答案】16  【解析】解：解方程得，， 第三边的边长， 即第三边的边长， 第三边的边长为 这个三角形的周长是 故答案为： 首先求出方程的根，再根据三角形三边关系，确定第三边的长，进而求其周长． 本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 15.【答案】10  【解析】解：◆， 、n为方程的两个根， ，， 故答案为： 根据新定义可得出m、n为方程的两个根，利用根与系数的关系可得出、，将其代入中即可得出结论． 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：连接OP，作于点H， 四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ，，， ， ， ， ， 解得， 于点E，于点F， ， 四边形PEOF是矩形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为： 连接OP，作于点H，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据矩形的性质得到，于是得到结论． 此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：方法一：过点F作轴于点G， ， 又， ， 则， 又， ， 由，得：， ， ， 则， 方法二：如图2，过点F作于点D，于点W， ， ， ， ， ， 设E点坐标为：，则F点坐标为：， 的面积为：， 的面积为：， ， ， ， ， ， 故答案为： 根据E，F都在反比例函数的图象上得出假设出E，F的坐标，进而得出的面积以及的面积，进而比较即可得出答案． 此题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积求法，根据已知表示出E，F的点坐标是解题关键． 18.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是正方形，点B关于AE对称， ，，， ， ， ， ， 过点H作，交EG的延长线于点M，，交BC的延长线于点N， 点B关于直线AE的对称点为F， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ≌， ， 平分，，， ， ，， ， ， ， 故答案为： 由轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质证明，推出，过点H作，交EG的延长线于点M，，交BC的延长线于点N，证明≌，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，根据三角形面积公式可得出答案． 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 19.【答案】，  ，  【解析】， ， ， 解得：，； ， ， ， ，， ， 把方程整理为标准形式，再用因式分解法或公式法求解； 用因式分解法解一元二次方程即可． 本题考查了一元二次方程的解法，尤其是因式分解法的应用，熟练掌握将方程整理为标准形式、通过提取公因式进行因式分解的技巧是解题的关键． 20.【答案】24     【解析】解：抽取作品总数：件， B班作品数量：件， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：24； 扇形图中表述C班的扇形圆心角的度数为： 故答案为：； 画出树状图如图所示： 共有12种等可能的结果，恰好抽中一男一女的6种结果， 恰好抽中一男一女的概率为 先求出A班作品数量所占百分比，再用A班作品数量除以其百分比，求出抽取作品总数；用抽取作品总数分别减去A、C、D作品数，求出B班作品数量，最后补全条形统计图即可； 用乘以C班作品数量所占百分比，即可求解； 画出树状图，数出所有去情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可． 本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据关联，解题的关键是正确理解题意，根据统计图获取需要的数据． 21.【答案】如图，线段GH即为所求；  榕树FG的高度为米  【解析】解：如图，线段GH即为所求； ， ∽， ，即， 解得：， ， ∽， ，即 米， 答：榕树FG的高度为米． 根据题意画出图形； 证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 本题考查的相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22.【答案】证明：四边形ABCD是菱形， ，，， ， ， 四边形AEBD是平行四边形， ， 四边形AFBO是平行四边形． ，， ， ， 平行四边形AFBO是矩形． 解：由知四边形AFBO是矩形， ，， 又，， ， 在中，， ， 为等边三角形，   【解析】证四边形ADBE是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； 由矩形的性质得，，所以又由，可得，由直角三角形性质得在中，，由直角三角形性质得，得到为等边三角形，即可计算得出结论． 本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 23.【答案】反比例函数的解析式为，  点、， ，， ， 是线段AB的垂直平分线， ， ，；，， ， 在与中， ， ≌  ①当a为时，；②存在．由①可知，，， ，， ，即， 解得， ，   【解析】解：点的纵坐标为， 把代入得，， ， ， 把代入得， 反比例函数的解析式为， 解， 解得或， ，； 过点O作于点F， 点、， ，， ，，解得， ，； ， ； 点、， ，， ， 是线段AB的垂直平分线， ， ，； ，， ， 在与中， ， ≌； ①过点D作轴于点M， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 轴， 四边形DEOM是矩形， ， 在中， ，，， ，即， 解得或舍去 故当a为时，； ②存在．理由如下： 由①可知，，， ，， ，即， 解得， ， 先用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出直线AB与双曲线的交点坐标，根据勾股定理求出线段AB的长，过点O作于点F，利用三角形的面积公式求出OF的长，进而可得出的面积； 先根据A、B两点的坐标可知是等腰直角三角形，，，由可知OF是线段AB的垂直平分线，故，由P、Q两点的坐标可知，故，所以，由此即可得出结论； ①过点D作轴于点M，由于，，故，由，可知是等腰直角三角形，故，再根据轴可知四边形DEOM是矩形，故，在中利用勾股定理即可求出a的值； ②由①可知，，，由于，所以若，则，故可得出a的值． 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，难度较大． 24.【答案】解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得：， 解得：， 与x之间的函数关系式为 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又要让顾客获得更大实惠， 答：这种干果每千克应降价9元．  【解析】观察函数图象，根据图象中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式； 利用超市销售该种干果获得的利润=每千克的销售利润日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价9元． 本题考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求出一次函数解析式，解题的关键是：根据图中点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25.【答案】由直线分别交x轴、y轴于A、B两点， 则A、B两点坐标分别为：， 则， ≌ ， 则C、D两点坐标分别为：， 设直线CD的解析式为，分别代入C、D两点，整理得直线CD的解析式为 如图，过点P作交BC于F，连接DF，反向延长FP交BO于G 由P在直线CD上 点P的坐标为 ， 点的纵坐标为 设直线BC的解析式为，代入， 整理得直线BC的解析式为 又在BC上， 点的坐标为 如图， 连接BP，过P作于H，过F作于I ∽ 在中， 在中， ， 又 当时，点P与点C重合，不合题意舍去，故∽时，，即  【解析】求直线解析式，常规做法就是确定直线上两点的坐标，然后代入，利用待定系数法确定解析式．而根据旋转的特性，C、D坐标不难求得． 求S与m的函数关系式，由于S的值和三角形的底高有关系，那么先选着合适的高和底，用m分别将其底高表示出来是解决问题的关键．表示后在合并表示 两个三角形相似可以得到对应角相等及对应边成比例．题目中设点P的横坐标为m，表示为线长，且此题与角的内容相关较少，则可考虑对应边成比例，有然后根据前两问求出相关边长用m表示，利用勾股定理表示出PC，BC，CF，则可得关于m的方程，求出即可，注意结果要符合题意，去掉不合实际项． 本题难度较高，第一问为常规题．第二问，第三问则需要学生明晰自己的解题目标，利用m表示出相关边长．这里不仅需要扎实的知识基础，更要较高的计算能力．这里注意，在直角坐标系中任意两点的连线长度可以过端点做关于x轴、y轴平行线构造直角三角形，再利用勾股定理求得． 26.【答案】四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ，， ， ， 是个定值  ①四边形ABCD是菱形， ，， ， ，， ， ∽②32  的长为3或4或  【解析】证明：四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ，， ， ， 是个定值； ①证明：四边形ABCD是菱形， ，， ， ，， ， ∽； ②解：∽，， ， ， ， ， ∽， ， ； 解：AG的长为3或4或理由如下： 分三种情况讨论： ①当点G在AD边上时，如图3，平行四边形ABCD中，，，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作于点H， ， ， ， ∽， ， ， ，  在中，， ，， ， 解得：， ，，， ∽， ， ， 设，则，，， ， 解得：或， 或4； ②当G点在AB边上时，如图4，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作，则，四边形ADNG是平行四边形， 设，则，， ， ∽， ， ， ， ， ， 过点E作于点H， 在中，，， ，， ， ， ， ，， ，， 又， ∽， ， ，即， 解得：，不合题意，舍去， ； ③当G点在BC边上时，如图5，过点B作于点T， 在中，，， ， ， ， ， 点不可能在BC边上， ④当G点在CD上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，AG的长为3或4或 根据矩形的性质得出，，进而证明，结合已知条件，即可证明；由①可得≌，根据，即可求解； ①根据菱形的性质得出，，则，进而根据即可得证； ②根据∽结合已知条件得出，根据相似三角形的性质即可求解； 分三种情况讨论，①当点G在AD边上时；②当G点在AB边上时；③当G点在BC边上时． 本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $