5.3导数的应用 （二）利用导数研究函数的极值（题型专练）数学沪教版选择性必修第二册

5.3导数的应用（二）利用导数研究函数的极值 题型01函数极值、极值点的辨析 1．能说明“若不存在，则不是函数极值点”为假命题的一个函数是 ． 2．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 . ①有2个极值点 ②在处取得极小值 ③有极大值，没有极小值 ④在上单调递增 3．已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为 ．    ①函数在区间上严格减；   ②函数在区间上严格增； ③函数在处取得极小值；   ④函数在处取得极小值． 题型02求已知函数的极值点 4．函数的极大值点为 . 5．函数在上的极大值点为 . 6．函数的极小值点为 ． 7．函数的极值点是 ． 题型03函数(导函数)图象与极值的关系 8．已知函数的导函数图象如图所示，那么（   ） A．有1个极大值和1个极小值 B．有1个极大值没有极小值 C．有1个极小值没有极大值 D．没有极大值也没有极小值 9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有极大值 B．有极小值 C．有极大值 D．有极小值 10．设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（   ） ①函数有极大值 ②函数有极小值 ③函数有极大值 ④函数有极小值 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）    A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 题型04函数(导函数)图像与极值点的关系 12．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有 个 13．已知定义域为的函数的导函数为，若的图象如图所示，则的极小值点为 ．    14．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内极大值点的个数与极小值点的个数之和为 ．    15．已知函数的定义域为R，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有 个. 16．函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是 （填上所有错误命题的序号）. ①是函数的极值点； ②是函数的极小值点； ③在区间上单调递增； ④是函数的极大值点. 题型05求不含参数的函数的极值 17．函数的极小值是 . 18．函数的极大值为 . 19．函数的极值是 . 20．已知函数，则的极小值为 题型06求含参数的函数的极值 21．已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是 . 22．若函数在处取得极小值，则函数的极大值为 ． 23．已知函数是奇函数，则的极小值是（   ） A． B．0 C．2 D． 24．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 题型07根据极值求参数 25．若函数在处取得极值4，则 ． 26．已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 27．若函数在上有极值，则实数的取值范围是 28．若函数有极值，则实数的取值范围是 ． 29．若函数在区间上有极值，则a的取值范围为 . 题型08根据极值点求参数 30．已知是函数的一个极值点，则实数 . 31．对任意，函数不存在极值点的充要条件是 . 32．已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是 ． 33．已知函数的极小值点为1，则 ． 1．设函数在区间内的极值点分别为，则 . 2．函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 3．已知且函数的图象恰有三条对称轴在上，则其在上共有 个极大值点． 4．若是函数的极值点，且函数的图象关于点对称，则 . 5．已知函数(R).若在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为 6．设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 9．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 10．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 11．已知． (1)若，求函数的极值； (2)若存在单调递增区间，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3导数的应用（二）利用导数研究函数的极值 题型01函数极值、极值点的辨析 1．能说明“若不存在，则不是函数极值点”为假命题的一个函数是 ． 【答案】 【解析】画出函数的图像, 由图象可知不存在，但是是函数极值点. 2．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 . ①有2个极值点 ②在处取得极小值 ③有极大值，没有极小值 ④在上单调递增 【答案】③④ 【解析】观察图象知，当时，，当且仅当，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，无极小值， 因此①②错误；③④正确. 3．已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为 ．    ①函数在区间上严格减；   ②函数在区间上严格增； ③函数在处取得极小值；   ④函数在处取得极小值． 【答案】②④ 【解析】观察图象知，当时，或，当时，或， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，①错误，②正确； 函数在处取得极大值，③错误； 函数在处取得极小值，④正确， 所以所有真命题的序号是②④. 题型02求已知函数的极值点 4．函数的极大值点为 . 【答案】1 【解析】因为，所以， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以在处取得极大值，即函数的极大值点为1. 5．函数在上的极大值点为 . 【答案】 【解析】由，时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则函数在上的极大值点为. 6．函数的极小值点为 ． 【答案】 【解析】由可得， 令可得，即，解得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以是的极小值点. 7．函数的极值点是 ． 【答案】3 【解析】的定义域为，所以， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，无极小值点. 题型03函数(导函数)图象与极值的关系 8．已知函数的导函数图象如图所示，那么（   ） A．有1个极大值和1个极小值 B．有1个极大值没有极小值 C．有1个极小值没有极大值 D．没有极大值也没有极小值 【答案】C 【解析】由导函数图象，设导函数与轴的交点的横坐标分别为， 则时（且仅在处），时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值. 故选：C 9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有极大值 B．有极小值 C．有极大值 D．有极小值 【答案】A 【解析】函数的图象如图所示， 当时，；当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 有极大值，无极小值，故选：. 10．设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（   ） ①函数有极大值 ②函数有极小值 ③函数有极大值 ④函数有极小值 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】由题图知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值是，极小值是，①④正确，故选：B 11．已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）    A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 【答案】A 【解析】 由导函数图像可知： 导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减， 在上大于等于0，于是原函数在上单调递增， 所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选：A. 题型04函数(导函数)图像与极值点的关系 12．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有 个 【答案】 【解析】由题图，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故只有一个极值点. 13．已知定义域为的函数的导函数为，若的图象如图所示，则的极小值点为 ．    【答案】3 【解析】由图可得，时，，，单调递增， 时，，，单调递减，故1为函数的极大值点， 时，，，单调递增，故3为函数的极小值点， 时，，，单调递减，故10为函数的极大值点， 所以的极小值点为3． 14．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内极大值点的个数与极小值点的个数之和为 ．    【答案】 【解析】设导函数在内的四个零点为，，，，且满足， 从而根据图象得到，当时，函数单调递增； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 于是是函数的极大值点，而是函数的极小值点， 因此函数在开区间内极大值点的个数与极小值点的个数之和为． 15．已知函数的定义域为R，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有 个. 【答案】2 【解析】由题意可知， 由图象可知，当时，，递增； 当时，，递减， 当时，，递增； 故为函数的极值点， 16．函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是 （填上所有错误命题的序号）. ①是函数的极值点； ②是函数的极小值点； ③在区间上单调递增； ④是函数的极大值点. 【答案】②④ 【解析】根据导函数的图像可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 可知是函数的极值点，所以①正确. 因为函数在上单调递增，可知不是函数的极小值点，也不是函数的极大值点，所以②错误，③正确，④错误. 题型05求不含参数的函数的极值 17．函数的极小值是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又， 令，解得或， 当时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值. 18．函数的极大值为 . 【答案】1 【解析】由题意得，，恒成立， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 是的极大值点，且的极大值为. 19．函数的极值是 . 【答案】 【解析】由的定义域为，， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 故在取得极小值为，无极大值； 20．已知函数，则的极小值为 【答案】 【解析】易知函数的定义域为，由题知， 令，得到，当时，，当时，， 所以在处取得极小值，极小值为， 题型06求含参数的函数的极值 21．已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是 . 【答案】4 【解析】定义域为，， 由题意得，故， 令得，或，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值为. 22．若函数在处取得极小值，则函数的极大值为 ． 【答案】 【解析】，由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当或时，，单调递增， 故在处取得极大值， 故极大值为. 23．已知函数是奇函数，则的极小值是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【解析】易得的定义域为，且为奇函数， 故， 对应相等可得，故，， 令，即，解得或；令，即，解得； 则在，上单调递增，在上单调递减，故的极小值是． 故选：D． 24．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】因为 所以， 又因为是函数的极小值点， 所以， 解得， 所以，， 令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在处取极大值，在处取极小值， 所以的极大值为. 故选：D. 题型07根据极值求参数 25．若函数在处取得极值4，则 ． 【答案】 【解析】因为在处取得极值4， 所以且. 又，所以①， 又②， 联立①②，解得，经验证符合题意， 所以. 26．已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由求导得． 因为函数在上既有极大值也有极小值， 所以必有两个相异实根，即， 解得，即实数的取值范围是． 27．若函数在上有极值，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】因为，， 函数在上有极值，则在有解，即. 时，，则，则. 时，，，不能说明函数在上有极值，所以； 时，，，不能说明函数在上有极值，所以. 28．若函数有极值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由， 则， 由函数有极值， 即有变号零点， 所以， 解得或， 29．若函数在区间上有极值，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】由求导可得，， 因函数在区间上有极值， 则方程在区间上有实根， 故须使，（若，得，此时，函数在上无极值） 解得或 且方程在区间上有实根， 也即函数与在区间上有交点. 因在上递减，在上递增，且，， 故，即，解得，又或， 故a的取值范围为. 题型08根据极值点求参数 30．已知是函数的一个极值点，则实数 . 【答案】1 【解析】函数的定义域为，求导得， 由是函数的一个极值点，得，解得，此时， 因函数在上都单调递增，故函数在上单调递增， 而，当时，；当时，， 则函数在处取得极小值，符合题意，故. 31．对任意，函数不存在极值点的充要条件是 . 【答案】 【解析】，, 由于函数不存在极值点， 无实根或有两个相等的实根. ①时，原方程化为，不成立，原方程无解，符合题意； ②时，为一元二次方程， 故,解得： 综上所述， 32．已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题可知在上恰有一个变号零点， 即与直线在时上恰有一交点，易得函数在上单调递增，值域为，则时满足题意. 33．已知函数的极小值点为1，则 ． 【答案】3 【解析】易知， 由题意可知是其一个变号零点， 即或， 当时，， 此时时，，即单调递减， ，，即单调递增，故在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 此时时，，即单调递减， ，，即单调递增，故在处取得极小值，符合题意； 综上. 1．设函数在区间内的极值点分别为，则 . 【答案】 【解析】由得，， 令，得，，，，， 由为连续不断的曲线及极值点的概念可知：， 则 . 2．函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由得， 因为函数有两个极值点，所以有两个异号零点， 即有两个不同的根，显然，则有两个不同的根，令， 则与的图象有两个不同的交点， ，当和时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在时，取得极小值，作出图象如图： 由图可知，所以，所以m的取值范围是 . 3．已知且函数的图象恰有三条对称轴在上，则其在上共有 个极大值点． 【答案】2 【解析】先作出函数的图象，如图．    由图可知函数图象在轴右侧靠近的四条对称轴分别是： 由于，，则把函数的图象横坐标缩短为原来的倍， 即可得函数的图象， 为了满足函数的图象恰有三条对称轴在上， 则只需要将函数图象对称轴压缩倍到区间内， 且将函数图象对称轴压缩倍不能到区间内， 因此其在上共有2个极大值点． 4．若是函数的极值点，且函数的图象关于点对称，则 . 【答案】2 【解析】已知函数的图象关于点对称，则， 即，所以， 即，解得或， 即， 所以， 令，即，因为是函数的极值点， 所以，即是函数的两个根，因此. 5．已知函数(R).若在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】由， 令，则. 因为，所以， 当时，， 所以在上为减函数，所以，. 则在上为减函数，在上无极值点，矛盾. 当时，令得， 令得， 所以在上为增函数，在上为减函数， 注意到，当无限趋于正无穷大时，无限趋于负无穷大， 则使. 当时，，，则在上单调递增； 当时，，，则在上单调递减. 因此，在区间上恰有一个极值点， 所以的取值范围为. 6．设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 故选：B. 7．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则， 由题意有两个不同的异号零点，即有两个不同的根，记， 当时，函数单调递增，在时，函数单调递减， 所以当时，函数有最大值，且， 所以当时，有两个不同的根， 等价于直线与函数有两个不同的交点，如图， 所以.故选：A 8．若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，令， 又在上有两个极值点，即在上有两个变号零点， 令在上单调递减，且， 根据二次函数性质知只需与在上有两个交点， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，在上，在上， 综上，与有两个交点，则. 故选：B 9．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【解】（1）若，则， 函数定义域为， ． 当时，； 当时，； 当时，， 故的单调递减区间是和，单调递增区间是． （2）， 函数，当，即时，恒成立， 则有，单调递减，此时没有极值点，符合题意． 当时，方程有两个实数根，，不妨设， 则，． 当时，，此时在区间，上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； 同理可知，当时，在区间上单调递增，上单调递减，是的极大值点，不符合题意． 综上，a的取值范围是． 10．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 【解】（1）由得， 当时，，在上单调递增； 当时，令且得， 令且得， 故在上单调递减，在 上单调递增； 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，在上单调递增，无极值； 当，即时，在上单调递减，无极值； 当，即时，，且在上单调递减， 在上单调递增， 故函数在处有极小值，无极大值. 11．已知． (1)若，求函数的极值； (2)若存在单调递增区间，求实数的取值范围． 【解】（1）时，定义域为， ，， 令解得. 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以在时，函数取得极小值；无极大值. （2） 因为存在单调递增区间，所以在上有解. 由，得， ∵，当且仅当时取等号. ∴，即， 所以实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $