内容正文:
专题06 函数的图象和性质
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热点聚焦 方法精讲 能力突破
热点聚焦·析考情
锁定热点,靶向攻克:聚焦高考高频热点题型,明确命题趋势下的核心考查方向。
题型引领·讲方法
系统归纳,精讲精练:归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
能力突破·限时练
实战淬炼,高效提分:精选热点经典题目,限时训练,实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年:考查重点是以基本初等函数、基本初等函数组成的复合函数为载体,以函数内容和性质为主导,考查函数的定义域、值域,函数的表示方法、图象及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)。通常与不等式、方程等必备知识结合,考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想.考查学生运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力和数学建模等关键能力
预测2026年:预测2026年高考,函数图像与性质主要以小题形式出现,通常与不等式、方程等必备知识结合具体评估为:(1)以选择题或填空题形式出现,数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想.(2)热点是函数用于新定义中,加强学生的逻辑推理思维能力。
函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)
题型01函数单调性的应用
题型02函数奇偶性的应用
题型03函数的奇偶性与单调性
题型04函数的奇偶性与周期性
题型05函数的奇偶性与对称性
函数图像与变换
题型06函数图象的识别
题型07函数图象的应用
题型08函数的零点
题型09函数零点的应用
题型01函数单调性的应用
解|题|策|略
配凑法求最值的实质及关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.
1.已知函数是区间上的减函数,比较大小: (填“”或“”).
【答案】
【解析】由,又函数是区间上的减函数,所以.
2.已知函数,若,则实数t的取值范围是 .
【答案】
【解析】已知,其中和均为单调递增函数,且定义域为,所以在上单调递增,且,
可得,可得,解得。
3.已知函数在区间上是单调函数,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的图象对称轴为,
由函数在区间上是单调函数,得或,解得或,
所以实数m的取值范围是,故选C
4.定义在R上的函数满足:对任意的,有,则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】任意的,有
即当时,都有,所以函数在是减函数,
又∵0<1<3,∴f(0)>f(1)>f(3)
5.(2025·四川雅安·三模)已知函数,则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为均为上的增函数,则为上的增函数,
所以若,则,解得,故选:D.
题型02函数奇偶性的应用
解|题|策|略
配凑法求最值的实质及关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.
6.已知函数为偶函数,则实数的值为 .
【答案】
【解析】为奇函数,
当函数为偶函数时,函数为奇函数,
所以,解得:.经验证符合题意,
7.已知函数,则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】由,在R上都单调递减,且都是奇函数,
所以是单调递减的奇函数,
故,则,即,
所以不等式的解集为.
8.(2025·吉林长春·二模)已知函数为奇函数,则的值是( )
A.3 B.1或3 C.2 D.1或2
【答案】C
【解析】因为为奇函数,所以,解得或.
当时,,,故不合题意,舍去;
当时,,,故符合题意,故选:C.
9.若函数满足,且当时,,则( )
A. B.10 C.4 D.2
【答案】B
【解析】由,得,∴函数是周期函数,且4是它的一个周期.
又当时,,∴,故选B.
10.已知函数是定义域为R的奇函数,当时,,则的值为( )
A.3 B. C.1 D.
【答案】B
【解析】根据题意,当时,,则,
而函数是定义域为R的奇函数,则故选B.
题型03函数的奇偶性与单调性
解|题|策|略
解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
(2)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
11.(2025·上海嘉定·一模)已知,且,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】令,等价于,可得,解得,
可知函数的定义域为,
因为,即,
可知函数为奇函数,
且,
因为在内单调递增,则在内单调递减,
且在定义域内单调递增,可知函数在内单调递减,
若,则,
可得,解得,
所以实数的取值范围是.
12.设函数是定义在R上的偶函数,记,且函数在区间上是增函数,则不等式的解集为
【答案】
【解析】因为,且是定义在上的偶函数,
则,
∴函数为偶函数,
原不等式可化为,
即,
又因为函数在区间上是增函数,则,解之得:或,
题型04函数的奇偶性与周期性
解|题|策|略
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等,常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,或已知单调性的区间内求解.
13.(2026·上海嘉定·二模)已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,若,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时,;
设,则,则.
又函数是定义在上的奇函数,则当时,.
且,满足,所以,.
作出函数的图象如下图所示:
由图象可知,函数在上为增函数,
,,,解得.
因此,实数的取值范围是.
14.已知定义在上的奇函数满足,若,则曲线在处的切线方程为 .
【答案】
【解析】由,
令,则,即,
又为奇函数,则,
故是以4为周期的周期函数,则,
对,求导得,
故是以4为周期的周期函数,则,
即切点坐标为,切线斜率,
故切线方程为,即.
故答案为:.
15.(2026·上海·模拟预测)设是定义在上以2为周期的奇函数,当时,,则函数在[4,6]上的解析式是
【答案】
【解析】因为是定义在上以2为周期的奇函数且时,,
设,则,
所以,
设,则,,
故;
又,所以,
综上可得,函数在上的解析式是,
故答案为:
题型05函数的奇偶性与对称性
解|题|策|略
解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时,要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再判断函数图象的对称轴或对称中心;也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.
16(2026·上海长宁·一模)已知函数是定义在上且周期为的偶函数,当时,则的值为 .
【答案】
【详解】由题意知,,又,所以,故填.
17.(2026·上海普陀·期中)若定义在R上的函数为奇函数,设,且,则的值为 .
【答案】
【解析】由可得,因为为奇函数,所以的对称中心为,则的对称中心为,又,则.
18.(2026·上海青浦·二模)已知函数是定义在上的奇函数,且满足, ,则 .
【答案】
【解析】因为函数是定义在上的奇函数,则,
因为,即,
所以,函数为周期函数,且周期为,则,
在等式中,令,可得,所以,,
因为,则,
因为,
所以,
.
19已知是定义在R上的奇函数,的图象关于对称,,则( )
A. B.0 C.1 D.2
【答案】A
【解析】因为的图象关于对称,
所以,于是,
又是定义在上的奇函数,所以,
则,即,
所以的周期为4,
所以,
又因为是定义在上的奇函数,所以.
故选:.
题型06函数图象的识别
解|题|策|略
1.抓住函数的性质,定性分析
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的周期性,判断图象的循环往复;
(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征,定量计算
利用函数的特殊点、特殊值的计算,分析解决问题.
20.已知函数的图象如下,则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图可知函数为偶函数,而函数和函数为奇函数,故排除选项AB;
又当时,此时,
由图可知当时,,故C不符合,D符合,故选D
21.函数在区间的大致图象为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,
又函数定义域为,故该函数为偶函数,可排除A、C,
又,
故可排除D,故选B.
22.已知函数的部分图象如下,则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为的图象关于轴对称,所以为偶函数,排除B,
又,排除A,当时,,排除D,故选C.
23.函数的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】的定义域为R,则,
所以为偶函数,图象关于y轴对称,故排除C,D选项;又因为,故排除B选项,故选A.
题型07函数图象的应用
解|题|策|略
利用函数图象研究不等式问题的方法
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时,可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题,利用图象法求解.若函数为抽象函数,可根据题目画出大致图象,再结合图象求解.
24.如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如下图所示,画出的函数图象,从而可知交点,∴不等式的解集为,故选C.
25.已知函数是定义域为的奇函数,当时,且,则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】函数是定义域为的奇函数,,
当时,,即,
,
奇函数的图象关于原点对称,由此画出的大致图象如下图所示,
由图可知,不等式的解集为.
26.已知函数,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不等式,
分别画出函数和的图象,
由图象可知和有两个交点,分别是和,
由图象可知的解集是 ,即不等式的解集是,故选B
题型08函数的零点
解|题|策|略
1.判断函数零点个数的3种方法
(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)就有多少个零点;
(2)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
2.函数零点所在区间的判断方法
(1)定理法:利用函数零点存在定理进行判断,适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形;
(2)图象法:画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断,适用于容易画出函数图象的情形.
27.函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在上单调递减,在单调递增,
所以在定义域上单调递减,
显然,
28.方程在内实数根的个数为( )
A.11 B.10 C.9 D.8
【答案】A
【解析】由,得,
方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数,
当时,由两函数图象可知两图象共有11个公共点,从而方程有11个实数根.
29.当时,曲线与的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为,
函数的最小正周期为,
所以在上函数有三个周期的图象,
在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示:
由图可知,两函数图象有6个交点.故选C
30.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的定义域为,因为在上连续且为增函数.
且,则.
由零点存在定理可知,函数的零点所在的区间是,故选C.
题型09函数零点的应用
解|题|策|略
利用函数零点求参数的方法
31.已知函数有且只有一个零点,则实数m的取值范围是 .
【答案】或,
【解析】由于为单调递增函数,且时,,
当时,,当时,,
作出的图像如下所示:
故只有一个交点,则直线与函数的图像只有一个交点,
故或
32.曲线与在上有两个不同的交点,则的取值范围为 .
【答案】
【解析】令,即,令
则,令得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,,
因为曲线与在上有两个不同的交点,
所以等价于与有两个交点,所以.
33.函数在区间存在零点.则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由在上单调递增,在上单调递增,得函数在区间上单调递增,
因为函数在区间存在零点,
所以,即,解得,
所以实数m的取值范围是,故选B.
34.已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的图象如图所示,
由图可知,当时,函数与图象有且仅有三个不同的交点,故选B.
(建议用时:40分钟)
1.(2025·上海崇明·一模)已知是定义在上的奇函数,且当时,,则 .
【答案】
【解析】依题意,,
而是奇函数,
所以.
2.(2026·上海杨浦·期末)已知是定义在上的严格增函数,则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为是定义在上的严格增函数,且,
可得,解得,
所以不等式的解集为为.
3.(2026·上海徐汇·一模)设.若函数是定义在上的奇函数,则 .
【答案】1
【解析】由函数是定义在上的奇函数,可知,
再由,
所以,
4.(2026上海浦东新·三模)已知函数的定义域为,函数为偶函数,若,则 .
【答案】
【解析】因为为偶函数,所以,
当时,,所以在单调递增,
令,结合,所以在上仅有一解2,
所以由,结合的定义域可得.
故的值为,
5.(2026·上海闵行·一模)记.若函数是偶函数,则该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为 .
【答案】
【解析】由是二次函数,对称轴为,
再由偶函数的性质可得,,
而该函数图象与轴交点的纵坐标为,
根据,因此,即,
取等号条件分别为或,
所以该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为.
6.(2026·上海长宁·二模)已知函数是定义域为的奇函数,当时,,若,则实数的取值范围为 .
【答案】或
【解析】因为函数是定义域为的奇函数,
所以,
当时,,
当时,,
所以,
所以,
若,
当时,可得,解得,
当时,可得,解得,
当时,可得,显然不成立,
故的取值范围为或.
7.(2026·上海嘉定·一模)关于x的方程有三个不同的实数解,则实数m的值为 .
【答案】
【解析】在同一坐标系中作出的图象,
方程有三个不同的实数解等价于与的图象恰好有三个公共点,
需要满足与的图象在相切,
当时,,
令即,
由得,
当时,方程有两个相等的解,满足题意,
当时,方程有两个相等的解,不满足题意,
故.
8.(2026·上海·三模)若,,则满足的m的最大值为 .
【答案】/
【解析】当时,,即,
当时,,即,
于是,在上,都成立,即为偶函数.
由指数函数的单调性可知,在上单调递增,
因此,不等式等价于,
即,解得.
故m的最大值为.
9.(2026·上海静安·二模)若函数为奇函数,且,若,则的值为
A.1 B. C.2 D.
【答案】A
【解析】∵函数为奇函数,
∴
∴
∴
∴
故选:
10.已知函数为偶函数,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为为偶函数,所以,即
解之得,经检验符合题意.则
由,可得
故的解集为,
故选:B.
11.(2026·上海奉贤·二模)已知函数,其中,,其中,则图象如图所示的函数可能是( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】易知是偶函数, 是奇函数,给出的函数图象对应的是奇函数,
A. ,定义域为R,
又,所以是奇函数,符合题意,故正确;
B. ,,不符合图象,故错误;
C. ,定义域为R,
但,故函数是非奇非偶函数,故错误;
D. ,定义域为R,
但,故函数是非奇非偶函数,故错误,
故选:A
12.(2026·上海松江·一模)已知函数,,若函数的图像经过四个象限,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】作出函数的图像,如图,
作出直线,它过定点,由图可得,只要时,的函数值有正有负,时,的函数值有正有负,则的图像就经过四个象限
时,与轴的公共点为,,
时,,
由得,
,解得或,由图像知,切线的斜率为,
所以时满足题意.
故选:A.
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专题06 函数的图象和性质
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题型引领·讲方法
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能力突破·限时练
实战淬炼,高效提分:精选热点经典题目,限时训练,实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年:考查重点是以基本初等函数、基本初等函数组成的复合函数为载体,以函数内容和性质为主导,考查函数的定义域、值域,函数的表示方法、图象及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)。通常与不等式、方程等必备知识结合,考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想.考查学生运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力和数学建模等关键能力
预测2026年:预测2026年高考,函数图像与性质主要以小题形式出现,通常与不等式、方程等必备知识结合具体评估为:(1)以选择题或填空题形式出现,数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想.(2)热点是函数用于新定义中,加强学生的逻辑推理思维能力。
函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)
题型01函数单调性的应用
题型02函数奇偶性的应用
题型03函数的奇偶性与单调性
题型04函数的奇偶性与周期性
题型05函数的奇偶性与对称性
函数图像与变换
题型06函数图象的识别
题型07函数图象的应用
题型08函数的零点
题型09函数零点的应用
题型01函数单调性的应用
解|题|策|略
配凑法求最值的实质及关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.
1.已知函数是区间上的减函数,比较大小: (填“”或“”).
2.已知函数,若,则实数t的取值范围是 .
3.已知函数在区间上是单调函数,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.定义在R上的函数满足:对任意的,有,则
A. B.
C. D.
5.(2025·四川雅安·三模)已知函数,则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
题型02函数奇偶性的应用
解|题|策|略
配凑法求最值的实质及关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.
6.已知函数为偶函数,则实数的值为 .
7.已知函数,则不等式的解集是 .
8.(2025·吉林长春·二模)已知函数为奇函数,则的值是( )
A.3 B.1或3 C.2 D.1或2
9.若函数满足,且当时,,则( )
A. B.10 C.4 D.2
10.已知函数是定义域为R的奇函数,当时,,则的值为( )
A.3 B. C.1 D.
题型03函数的奇偶性与单调性
解|题|策|略
解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
(2)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
11.(2025·上海嘉定·一模)已知,且,则实数的取值范围是 .
12.设函数是定义在R上的偶函数,记,且函数在区间上是增函数,则不等式的解集为
题型04函数的奇偶性与周期性
解|题|策|略
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等,常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,或已知单调性的区间内求解.
13.(2026·上海嘉定·二模)已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,若,则实数的取值范围是 .
14.已知定义在上的奇函数满足,若,则曲线在处的切线方程为 .
15.(2026·上海·模拟预测)设是定义在上以2为周期的奇函数,当时,,则函数在[4,6]上的解析式是
题型05函数的奇偶性与对称性
解|题|策|略
解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时,要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再判断函数图象的对称轴或对称中心;也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.
16(2026·上海长宁·一模)已知函数是定义在上且周期为的偶函数,当时,则的值为 .
17.(2026·上海普陀·期中)若定义在R上的函数为奇函数,设,且,则的值为 .
18.(2026·上海青浦·二模)已知函数是定义在上的奇函数,且满足, ,则 .
19已知是定义在R上的奇函数,的图象关于对称,,则( )
A. B.0 C.1 D.2
题型06函数图象的识别
解|题|策|略
1.抓住函数的性质,定性分析
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的周期性,判断图象的循环往复;
(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征,定量计算
利用函数的特殊点、特殊值的计算,分析解决问题.
20.已知函数的图象如下,则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
21.函数在区间的大致图象为( )
A. B. C. D.
22.已知函数的部分图象如下,则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
23.函数的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
题型07函数图象的应用
解|题|策|略
利用函数图象研究不等式问题的方法
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时,可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题,利用图象法求解.若函数为抽象函数,可根据题目画出大致图象,再结合图象求解.
24.如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是
A. B.
C. D.
25.已知函数是定义域为的奇函数,当时,且,则不等式的解集为 .
26.已知函数,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
题型08函数的零点
解|题|策|略
1.判断函数零点个数的3种方法
(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)就有多少个零点;
(2)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
2.函数零点所在区间的判断方法
(1)定理法:利用函数零点存在定理进行判断,适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形;
(2)图象法:画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断,适用于容易画出函数图象的情形.
27.函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
28.方程在内实数根的个数为( )
A.11 B.10 C.9 D.8
29.当时,曲线与的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
30.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
题型09函数零点的应用
解|题|策|略
利用函数零点求参数的方法
31.已知函数有且只有一个零点,则实数m的取值范围是 .
32.曲线与在上有两个不同的交点,则的取值范围为 .
33.函数在区间存在零点.则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
34.已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
(建议用时:40分钟)
1.(2025·上海崇明·一模)已知是定义在上的奇函数,且当时,,则 .
2.(2026·上海杨浦·期末)已知是定义在上的严格增函数,则不等式的解集为 .
3.(2026·上海徐汇·一模)设.若函数是定义在上的奇函数,则 .
4.(2026上海浦东新·三模)已知函数的定义域为,函数为偶函数,若,则 .
5.(2026·上海闵行·一模)记.若函数是偶函数,则该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为 .
6.(2026·上海长宁·二模)已知函数是定义域为的奇函数,当时,,若,则实数的取值范围为 .
7.(2026·上海嘉定·一模)关于x的方程有三个不同的实数解,则实数m的值为 .
8.(2026·上海·三模)若,,则满足的m的最大值为 .
9.(2026·上海静安·二模)若函数为奇函数,且,若,则的值为
A.1 B. C.2 D.
10.已知函数为偶函数,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
11.(2026·上海奉贤·二模)已知函数,其中,,其中,则图象如图所示的函数可能是( ).
A. B.
C. D.
12.(2026·上海松江·一模)已知函数,,若函数的图像经过四个象限,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
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