精品解析：山东省泰安市多校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷

山东省泰安市多校2025-2026学年高二上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 5. 已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 直线与圆交于两点，，则为（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为，，，则（ ） A. 414 B. 406 C. 403 D. 393 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的最小值是14 C. 满足的最大值是14 D. 数列的最小项为第8项 10. 已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的焦点坐标为 B. 若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C. 以线段为直径的圆与轴相切 D. 以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 11. 如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（ ） A. 若点为线段上的动点，当时， B. 若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为 C. 若点为底面的中心，且，则面积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k=______. 13. 在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是______. 14. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知等差数列的前n项和为，． （1）求的通项公式； （2）令，求证：数列为等差数列﹒ 16. 如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. （1）求； （2）求. 17. 已知的顶点，在AB边上的中线CM所在的直线方程为的角平分线BH所在直线方程为. （1）求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; （2）求直线BC的方程; （3）在线段AB上是否存在点D，满足，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由. 18. 如图，在四面体中，，，，、分别为、的中点. （1）证明：； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆C：的焦距为，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰安市多校2025-2026学年高二上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由， 得， 由该曲线表示圆， 可知， 解得或， 故选：B. 2. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，建立方程求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以，则. 故选：C. 4. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】A 【解析】 【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD. 【详解】解：在正方体中， 且平面， 又平面，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：A. 选项BCD解法二： 解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线， 在内，作于点，在内，作，交于点，连结， 则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则， 由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 故选：A. 5. 已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将点坐标代入双曲线方程中可得.求出点坐标代入双曲线的两条渐近线的距离之积，结合化简可得的其次方程，即可求解离心率. 【详解】设. ∵点在双曲线上，，即. 又双曲线的两条渐近线分别为和， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为： ， ，即. 又，，，. 故选：D. 6. 直线与圆交于两点，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，联立方程组得出，由平面向量数量积的坐标运算列出方程求解即可． 【详解】设， 由得，，则， ， 由得，， 故选：B． 7. 在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 【详解】如图： 因为，所以， 则， 又，所以， 则， 又平面，平面，所以，， 即， 又，所以 所以 ， ，， 所以， 则直线与直线夹角的余弦值为． 故选：A 【点睛】方法点睛：以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 8. 已知数列的前n项和为，，，则（ ） A. 414 B. 406 C. 403 D. 393 【答案】B 【解析】 【分析】利用两式相减得，再利用两式相减可得，由此可得，进一步可得答案. 【详解】由，两式相减得，即. 再由，两式相减得，由，得， 故为以14为首项，8为公差的等差数列，故， 故. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列的偶数项构成以14为首项，8为公差的等差数列，是解题的关键，属于较难题目. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的最小值是14 C. 满足的最大值是14 D. 数列的最小项为第8项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，即可根据等差的求和公式判定啊ABC，根据，即可求解D. 【详解】由可知． 对于选项A：由为负，为正可知，最小，A正确． 对于选项B：， 则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误． 对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知： 为负．考虑到，故最大，即最小，正确． 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的焦点坐标为 B. 若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C. 以线段为直径的圆与轴相切 D. 以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误． 对于B，设点，由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确． 对于C，因的中点为 该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确． 故选：BCD. 11. 如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（ ） A. 若点为线段上的动点，当时， B. 若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为 C. 若点为底面的中心，且，则面积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，由求出的坐标，然后计算即可得出A选项；设平面的法向量为，根据题意建立方程组求出法向量为的坐标，然后利用向量法求点到面的距离即可得出选项B；对于C，取的中点，连接，结合图形以及已知条件即可分析得出选项C；选项D，根据题意分析，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，结合已知条件分析即可得出结论. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 则， 对于AB选项，由知： ， 则， ，A正确； ，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 故平面的一个法向量为， 又，则点到平面的距离为： ，故B错误； 对于C，取的中点， 连接， 如图所示， 因为正方体的棱长为2， 所以，，， 平面，平面，平面， 所以，， ， 所以，， 所以，， 由可得平面， 所以，所以点的轨迹为线段， 又， 所以面积的最大值: ，故C正确； 对于D，平面，平面， 所以，都是直角三角形. 又， 所以， 因为，所以， 在侧面中以点为坐标原点， 以所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设， 则， 整理得到，圆， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上， 又因为在侧面（含边界）上运动， 所以点的轨迹是圆上的一段劣弧（分别是圆与的交点）， 因为，， 所以， 则点的轨迹长度为，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k=______. 【答案】18 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以，即， 由等差数列的性质可得，所以. 故答案为：18. 方法二：设等差数列的公差为. 由，得. 整理得. 因为，所以. 故答案为：18. 13. 在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是______. 【答案】 【解析】 【分析】建立适当平面直角坐标系，设，计算出点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，可得直线就是所在的直线，结合重心坐标计算即可得出两对称点坐标，再借助周长公式及对称性结合两点间距离公式计算即可得. 【详解】以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则，，， 所以直线的方程为， 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 由，易得，，直线就是所在的直线， 所以直线的方程为， 设的重心为，则， 所以，即， 所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为：. 故答案为：. 14. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分和两种情况去绝对值，两边平方后，可得曲线方程，再利用数形结合，求直线斜率的取值范围. 【详解】当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的右半圆； 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的左半圆， 直线表示经过定点、斜率为的直线， 因此，直线与曲线有两个不同的交点， 就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线与右半圆有两个交点时，记点， 可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率， 且，解得； 当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知等差数列的前n项和为，． （1）求的通项公式； （2）令，求证：数列为等差数列﹒ 【答案】（1）； （2） 由知：，∴， ∴，∴数列是以2为公差，2为首项的等差数列． 【解析】 【分析】(1)设公差为d，列方程组求得和d即可； (2)求，证明为常数即可﹒ 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题可得：，解得， ∴； 【小问2详解】 略 16. 如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)三个不共面的向量作为基底，再用基底表示,再用模长公式. (2)用基底表示,用数量积计算得出结果就行. 【小问1详解】 设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，， 因为， 所以 【小问2详解】 由（1）可知， 同理可得， . 所以 . 17. 已知的顶点，在AB边上的中线CM所在的直线方程为的角平分线BH所在直线方程为. （1）求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; （2）求直线BC的方程; （3）在线段AB上是否存在点D，满足，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当直线过原点时，结合直线斜率可得方程；当直线不过原点时，结合直线方程截距式可求得结果. （2）设，将中点坐标代入方程可求得点坐标；设点关于直线的对称点的坐标为，将利用和将线段的中点代入角平分线上，可得到关于的方程组，最后利用点斜式方程即可求解 （3）联立直线方程求坐标，由在线段上，设，根据垂直关系求参数n并判断点的存在性. 【小问1详解】 设直线在轴上的截距分别为， 当时，直线经过原点与，则直线斜率， 直线方程为，即； 当时，可设直线方程为， 代入坐标，可得， 直线方程为； 综上所述：直线方程为或. 【小问2详解】 由题意知：点在直线上，则可设， 中点为， ，解得，. 设点关于直线的对称点的坐标为， 则点在直线上，线段的中点在角平分线上， 且. 由题意知，解得，即， 因为， 所以直线的方程为， 即. 【小问3详解】 由为直线与直线的交点， 联立，解得，则. 由点在线段上，由， 可得，则， 即， 可设，又， 因为，所以，解得， 由，，因为，所以存在. 18. 如图，在四面体中，，，，、分别为、的中点. （1）证明：； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以， 因为，即，所以，同理可证， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，即可证得结论成立； （2）构造直棱柱，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，由二面角的定义可得，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构造直棱柱如图所示，则，因为，则， 因为，，、平面，所以平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面平面，，， 所以二面角的平面角为，则， 因为，，则， 又因为，所以， 所以、、、， 因为、分别为、的中点，所以、， 所以， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆C：的焦距为，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 【答案】（1） （2）①由题意知，直线l斜率存在，设直线l方程为，设. 由得， ，. 因为点P为线段的中点，点P在直线上，所以，即，. 所以. 所以线段MN的垂直平分线方程为，即，即. 故线段的垂直平分线恒过定点. ②直线OM与ON的斜率之积为. 【解析】 【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可； （2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM与ON的斜率之积即可得出定值. 【小问1详解】 因为焦距为，即，所以， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由弦长公式得， 坐标原点到直线的距离为， 所以的面积为. 当且仅当，即时等号成立. 所以. 所以直线OM与ON的斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $