北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试卷（第Ⅱ卷）

20252026学年度第一学期高一年级期末练习 数学 说明：数学第Ⅱ卷共三道大题，8道小恩，共3页，满分50分，删去海淀区统考19题， 总计考试时间120分钟：诮在密封线内填写个人信息。 第IⅡ卷（共8道题，满分50分） 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置。) 1.己知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),且2a+b与a+(22-1)b方向相反，则实数入 的值为() N.-1或 B.1或分 C.1 2.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处， 小球将自由下落。小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障得物， 最后落入A袋或B袋中。己知小球每次遇到照色障碍物时， 向左、右两边下落的概率都是二，则小球落入A袋中的概率为(') 2 B B. 3 7 A. C. 2 D. 4 8 3.已知[x]表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]=3，[-4.2]=-5。 若方程3x2-2x]=0的解集为A,集合B={x12x2-7ax+a2>0}, 且AUB=R,则实数a的取值范围是() a.u的] c.t-Ij D.i 第1页，共3页 4.已知△ABC的重心为G,若其所在平面内有4个不同点乃，P,乃，P满足 AD+B丽+CP=3i,i=1,2,3,4。给出下列四个结论： ①GA+GB+Gd=0 ②GP=2 ®R回+B网+BD的最小值为3 @R回+B马+？D的最大值为18 其中正确结论个数为（) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置。） 5.早期的生成式人工智能原理是“单字接龙”，人工智能桢型会进行“算法预测'。例如输 入“白日”之后，系统会检索文本库中包含“白日”的词语或短句，假设文本库中包含“白 日”的词语或短句只有“白日梦”和“白日依山尽”，且二者在文本库中出现的频率为0.8 和0.2，则模型下一个字输出“梦和依”的概率分别为0.8和0.2，依此类推生成下一 个汉字。假设有一个简化的人工智能模型，仅能生成四个汉字，生成每个汉字之前都 箭要对前面的所有汉字进行“算法预测”，并且每一步判断是相互独立的。该人工智能 模型的文本库如下： 人及陟小 人民英雄 人女附中集团校△ 人附中入 人才济济 八少代表 人民大学 人∂附幼儿园 地灵人杰 学为人师 助人为乐 人氏附$东门公 输入“人”后，下一个字输出“大”的概率为 输入“人“后，最终输出结果为“人大附中”的概率为 6.利用你#握的研究函数的思路与方法，研究函数(x)=l0g2(4“+1)+x2-x一2， 并直接写出下列结论： 定义域： 值域： 奇偶性： 单调性： 容点个数： 第2页，共3页 7.己知O为△ABC的外接圆圆心，∠ABC=45,BO=2BA+4BC(几，H∈R), 给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为 ①对于任意△ABC,2+H≠0： ②存在△ABC,使得2+4=2026： ③入+μ=二时，△ABC是等腰直角三角形： ④九+4的最大值是2-√2。 三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上 的相应位置。) 8.没集合A,B三R,若存在函数∫：A-→B,满足： ①值域为B: ②x,x2∈A,≠x2时恒有f(x)≠f(x2), 则称集合对(A,B)是函数∫相关的。若函数∫是指数函数，则称(A,B)指数相关， 若∫是对数函数，则称(A,B)对数相关。 (】)A={1,2,3},B=2,4,8},分别判断(A,B)是否指数相关和对数相关： (Ⅱ)若A=B={2,a},（A,B)既指数相关又对数相关，求a的值： (Ⅲ)若A=B={a,a2,,an},（A,B)既是指数相关又是对数相关，直接写出n的 最大值以及对应的一组指数函数和对数函数。 筮？而共3页 2025~2026学年度第一学期高一年级期末练习 数学第Ⅱ卷参考答案 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 1.D 2.c 3.A 4.B 二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） (第一空2分，第二空3分) 6.定义域：R: 值域：【-l,oo): 奇偶性：偶函数： 单调性：单调增区间为[0，+∞)，单调减区间为(-∞，0)： 零点个数：2 （每个结论1分，定义域值域必须丧示成集合形式，单调区间开闭均可) 7.②③④（选对1个2分，2个3分，全对5分，有错不得分.） 三、解答题（共1小题，共15分） 8.解： (I)是指数相关，因为2=2,22=4,2=8，指数函数f(x)=2*满足3分 不是对数相关，因为1的对数为0,0华2,4,8}…5分 (Ⅱ)先研究指数相关，设f(x)=b(b>0,b≠1)， [b2=2b2=a 则有两种情况， 或 b=ab°=2 [b2=2 情况一： &=0解得b=反，V万°=a 根据指数函数增长速度与一次函数增长速度的比较， 指数函数的图像与直线最多两个交点， 令g()=V2-x,注意到g(2)=0且g(4)=0,所以g(x)仅有这两个零点， 故a=2或a=4. 结合集合的互异性a≠2，所以a=4.… …8分 第1页，共2页 (b2=a 情况二： b°=2 解得b°=2，两边取对数得lnb= ，令每数树)=血x In2 子 因为y=nx,y=- In2 单调递增，所以h(x)单调递增，至多有一个零点， 注意到g(V瓦)=0，所以b=√5，则a=2,含。 再验证a=4时，取对数函数y=log5x可以满足对数相关.综上a=4.…l1分 (若直接给出a=4,并说明指数函数y=√2与对数函数y=log符合，扣3分) (Ⅲ)3， 与y=l0g1X等等…]5分 6 (只要底数小于e‘的一组指对函数即可，e‘≈0.06599) 第2页，共2页