七年级数学上学期期末测试（综合训练）七年级数学新教材苏科版

2025-2026学年七年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 一．选择题（共8小题，每小题2分，满分16分） 1．的倒数是（　　） A．﹣3 B． C． D．3 2．2024的绝对值的相反数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 3．上网搜索“淄博烧烤”，网页显示找到相关结果约31600000个．数据31600000用科学记数法表示为（　　） A．3.167 B．3.16×106 C．3.16×107 D．31.6×106 4．解方程，去分母后，变形正确的是（　　） A．15x﹣1＝8x+2﹣1 B．15x﹣5＝8x+4﹣10 C．15x﹣5＝8x+4﹣1 D．15x﹣1＝8x+2﹣10 5．已知|n+2|+（5m﹣3）2＝0，则关于x的方程10mx+4＝3x+n的解是（　　） A．x B．x C．x＝2 D．x＝﹣2 6．据统计，少浪费1500张纸，就可以保留1棵树．某公司新购进一批白纸，计划每天用234张，可以用20天．为节约用纸，公司倡导无纸化办公，实际每天少用114张，实际用了多少天？设实际用了x天，列出的比例方程为（　　） A．234：（234﹣114）＝x：20 B．234：（234﹣114）＝x：（x﹣20） C．234：114＝x：20 D．234：x＝20：（234﹣114） 7．如图两直线m、n与△ABC的边相交，且m、n分别与AB、BC平行．根据图中所示角度，可知∠B的度数为（　　） A．52° B．58° C．70° D．72° 8．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2025次跳跃后它所停在的点对应的数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 二．填空题（共8小题，每小题2分，满分16分） 9．写一个次数是3，系数是2的单项式 　 　 ． 10．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若∠AOD＝28°，则∠BOC等于　 　 ． 11．已知代数式A＝2x2+3xy+2y﹣1，B，若代数式A﹣2B的值与x的取值无关，则A﹣2B的值为 　 　 . 12．若a﹣b＝﹣1，则﹣2022a+2022b﹣1＝　 　 ． 13．如图，一艘快艇S从灯塔O南偏东60°的方向上的某点出发，绕着灯塔O逆时针方向以每个时间单位6°的转速旋转1周，当时，快艇S旋转了 　 　 个时间单位．（题中所说的角是指还没有旋转成平角所成的角） 14．整式﹣x2y与2x2y+xy2的和，即﹣x2y+（2x2y+xy2）＝ 　 　 ． 15．已知线段AB＝17cm，点D为线段AB的中点，点C在线段AB上，且DC＝3cm，则BC的长为 　 　 cm． 16．将9个数填入幻方的九个格中（如图1），使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，若将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图2，则这9个数的和为 　 　 （用含a的整式表示）． 三．解答题（共11小题，满分68分） 17．（4分）计算：； 18．（4分）解方程：． 19．（4分）观察图形，并回答下列问题． （1）图中共有 　 　 条线段； （2）请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题． 20．（4分）先化简，再求值：2（2a2+3ab）﹣3（a2+ab），其中|a+5|+（b）2＝0． 21．（8分）如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，则有MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请在下面的解答过程中填空或在括号内填写理由． 因为BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知）， 所以∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（ 　 　 ）， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）， 所以 　 　 ∥　 　 （同位角相等，两直线平行）， 所以∠2＝∠CBD（ 　 　 ）， 因为∠1＝∠2（已知）， 所以∠1＝ 　 　 （ 　 　 ）． 所以BC∥GF（内错角相等，两直线平行）， 因为∠BMD+∠ABC＝180°（已知）， 所以MD∥BC（ 　 　 ）， 所以MD∥GF（ 　 　 ）． 22．（6分）用小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．试回答下列问题： （1）a，d，f各表示几？ （2）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ （3）当b＝e＝3，c＝1时，画出这个几何体从左面看到的形状图． 23．（6分）已知代数式A＝3x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． （1）计算A﹣3B； （2）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣3B的值； （3）若A﹣3B的值与x的取值无关，求y的值． 24．（6分）如图，已知：AF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断∠E与∠ACB的大小关系，并说明理由； （2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠BCD＝55°，求∠BDC的度数． 25．（6分）某商场销售A，B两种商品，A种商品每件进价10元，售价16元；B种商品每件售价18元，利润率为50%．（利润率100%） （1）每件A种商品利润率为 　 　 ，每件B种商品进价为 　 　 元； （2）若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为560元，求购进A种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 原购物总金额 优惠措施 少于等于100元 不优惠 超过100元，但不超过150元 按总售价打九折 超过150元 其中不超过150元部分八折优惠，超过150元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款135元，求小华在该商场原购物总金额？ 26．（10分）定义：在平面内，对于∠P和∠Q，若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°．则称∠Q是∠P的“t点数补角”，例如∠P＝80°，∠Q＝50°，有∠P+2∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“2系数补角“． （1）若∠P＝30°，求∠P的“5系数补角”∠Q的度数； （2）在平面内，直线AB∥CD，直线AB在CD上方，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，且∠EFD＞90°，点H为直线EF右侧一个动点，∠EFH的平分线与∠FEH的平分线交于点M． ①如图1，若点H在直线AB上方，且∠BEH＝33°，∠DFH＝67°，求∠EMF的度数； ②已知∠BEH＝m°，∠DFH＝n°，∠N是∠EMF的“3系数补角”，且∠N＝x°，请直接用含m和n的式子表示x． 27．（10分）一副三角尺按照如图所示的方式摆放在量角器上，边PD与量角器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，∠APB＝45°，∠CPD＝60°．将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒7°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动．设三角尺ABP的运动时间为t秒． （1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数（内圈刻度）为 　 　 °； （2）t＝ 　 　 时，边PB平分∠CPD； （3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转． ①当t为何值时，边PB平分∠CPD； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得∠APC＝2∠BPD？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期期末模拟卷 （参考答案） 一．选择题（共8小题，每小题2分，满分16分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A A C B D A A C 1．的倒数是（　　） A．﹣3 B． C． D．3 【解答】解：∵1， ∴的倒数是﹣3． 故选：A． 2．2024的绝对值的相反数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 【解答】解：由2024的绝对值是2024， 得2024的绝对值的相反数是﹣2024． 故选：A． 3．上网搜索“淄博烧烤”，网页显示找到相关结果约31600000个．数据31600000用科学记数法表示为（　　） A．3.167 B．3.16×106 C．3.16×107 D．31.6×106 【解答】解：31600000＝3.16×107． 故选：C． 4．解方程，去分母后，变形正确的是（　　） A．15x﹣1＝8x+2﹣1 B．15x﹣5＝8x+4﹣10 C．15x﹣5＝8x+4﹣1 D．15x﹣1＝8x+2﹣10 【解答】解：原方程两边同乘10得：5（3x﹣1）＝2（4x+2）﹣10， 整理得：15x﹣5＝8x+4﹣10， 故选：B． 5．已知|n+2|+（5m﹣3）2＝0，则关于x的方程10mx+4＝3x+n的解是（　　） A．x B．x C．x＝2 D．x＝﹣2 【解答】解：根据题意可知，|n+2|＝0，5m﹣3＝0， 解得：n＝﹣2，， 将n＝﹣2，代入方程10mx+4＝3x+n， 得， 解得：x＝﹣2． 故选：D． 6．据统计，少浪费1500张纸，就可以保留1棵树．某公司新购进一批白纸，计划每天用234张，可以用20天．为节约用纸，公司倡导无纸化办公，实际每天少用114张，实际用了多少天？设实际用了x天，列出的比例方程为（　　） A．234：（234﹣114）＝x：20 B．234：（234﹣114）＝x：（x﹣20） C．234：114＝x：20 D．234：x＝20：（234﹣114） 【解答】解：设实际用了x天， 根据题意可得方程为：234：（234﹣114）＝x：20； 故选：A． 7．如图两直线m、n与△ABC的边相交，且m、n分别与AB、BC平行．根据图中所示角度，可知∠B的度数为（　　） A．52° B．58° C．70° D．72° 【解答】解：因为m、n分别与AB、BC平行， 所以∠C+122°＝180°，∠A+110°＝180°， 所以∠C＝58°，∠A＝70°， 所以∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝52°． 故选：A． 8．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2025次跳跃后它所停在的点对应的数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【解答】解：发现规律：每4次跳动为一个循环组3、5、2、1依次循环， 2025÷4＝506⋯1， 即经过2024次后与第1次跳动停的位置相同，对应的数字是3． 故选：C． 二．填空题（共8小题，每小题2分，满分16分） 9．写一个次数是3，系数是2的单项式 　2ab2（答案不唯一）　 ． 【解答】解：次数是3，系数是2的单项式为：2ab2（答案不唯一）， 故答案为：2ab2（答案不唯一）． 10．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若∠AOD＝28°，则∠BOC等于　28°　 ． 【解答】解：∵∠AOB＝∠DOC＝90°，∠AOB＝∠AOD+∠DOB，∠DOC＝∠BOC+∠DOB， ∴∠AOD+∠DOB＝∠BOC+∠DOB＝90°， ∴∠AOD＝∠BOC， ∵∠AOD＝28°， ∴∠BOC＝28°， 故答案为：28°． 11．已知代数式A＝2x2+3xy+2y﹣1，B，若代数式A﹣2B的值与x的取值无关，则A﹣2B的值为 　　 . 【解答】解：A﹣2B＝2x2+3xy+2y﹣1﹣2（x2﹣xy+x）＝2x2+3xy+2y﹣1﹣2x2+2xy﹣2x+1＝5xy+2y﹣2x＝（5y﹣2）x+2y， ∵A﹣2B的值与x的取值无关， ∴5y﹣2＝0， 解得：y， ∴A﹣2B＝2y． 12．若a﹣b＝﹣1，则﹣2022a+2022b﹣1＝　2021　 ． 【解答】解：当a﹣b＝﹣1时，原式＝﹣2022（a﹣b）﹣1＝﹣2022×（﹣1）﹣1＝2021． 故答案为：2021． 13．如图，一艘快艇S从灯塔O南偏东60°的方向上的某点出发，绕着灯塔O逆时针方向以每个时间单位6°的转速旋转1周，当时，快艇S旋转了 　17或25　 个时间单位．（题中所说的角是指还没有旋转成平角所成的角） 【解答】解： 当快艇S在东南方时， 不存在∠AOS＝∠BOS； 当快艇S在东北方时， ∠AOS＝90°÷（1+4）＝18°， 快艇S旋转的度数：180°﹣60°﹣18°＝102°， ∴快艇S旋转的时间：102°÷6°＝17； 当快艇S在西北方时， ∠AOS＝90°÷（4﹣1）＝30°， 快艇S旋转的度数：270°﹣60°﹣60°＝150°， ∴快艇S旋转的时间：150°÷6°＝25； 当快艇S在西南方时， 不存在∠AOS＝∠BOS， 故答案为：17或25． 14．整式﹣x2y与2x2y+xy2的和，即﹣x2y+（2x2y+xy2）＝ x2y+xy2 ． 【解答】解：﹣x2y+（2x2y+xy2） ＝﹣x2y+2x2y+xy2 ＝x2y+xy2． 故答案为：x2y+xy2． 15．已知线段AB＝17cm，点D为线段AB的中点，点C在线段AB上，且DC＝3cm，则BC的长为 　或　 cm． 【解答】解：∵AB＝17cm，点D为线段AB的中点， ∴AD＝BDABcm， 如图1，当点C在点D的左侧时，BC＝BD+CD3（cm）， 如图2，当点C在点D的右侧时，BC＝BD﹣CD3（cm）， 故答案为：或． 16．将9个数填入幻方的九个格中（如图1），使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，若将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图2，则这9个数的和为 　9a+18　 （用含a的整式表示）． 【解答】解：如图所示： a+2a+3﹣x+3a﹣2x+6＝a+a+5+x， 解得x＝a+1， a+a+5+x＝2a+5+a+1＝3a+6， 3（3a+6）＝9a+18． 故答案为：9a+18． 三．解答题（共11小题，满分68分） 17．（4分）计算：； 【解答】解：原式 ＝﹣1+3 ＝2； 18．（4分）解方程：． 【解答】解：原方程去分母得：3（x+2）﹣2（2x﹣3）＝12， 去括号得：3x+6﹣4x+6＝12， 移项，合并同类项得：﹣x＝0， 系数化为1得：x＝0． 19．（4分）观察图形，并回答下列问题． （1）图中共有 　10　 条线段； （2）请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题． 【解答】解：（1）如图所示： ∵以点A为端点且不重复的线段有4条，分别是AB，AC，AD，AE；以B为端点且不重复的线段有3条，分别是BC，BD，BE；以点C为端点且不重复的线段有2条，分别是CD，CE；以点D为端点且不重复的线段有1条，是DE， ∴图中线段的条数为：1+2+3+4＝10（条）， 故答案为：10． （2）∵十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次手，相当于求一条线段上共有15个点（含端点），这条线段上共有多少条线段， 由（1）可知：线段共有15个点（含端点）时，共有线段的条数是：1+2+3+…+13+14+15＝105（条）． ∴十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，握手的次数为105（次）． 20．（4分）先化简，再求值：2（2a2+3ab）﹣3（a2+ab），其中|a+5|+（b）2＝0． 【解答】解：∵|a+5|+（b）2＝0， |a+5|≥0，（b）2≥0， ∴|a+5|＝0，（b）2＝0． ∴a＝﹣5，b． 2（2a2+3ab）﹣3（a2+ab） ＝4a2+6ab﹣3a2﹣3ab+2 ＝a2+3ab+2． 当a＝﹣5，b时， 原式＝（﹣5）2+3×（﹣5）2 ＝25﹣10+2 ＝17． 21．（8分）如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，则有MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请在下面的解答过程中填空或在括号内填写理由． 因为BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知）， 所以∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（ 　垂直的定义　 ）， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）， 所以 BD ∥EF （同位角相等，两直线平行）， 所以∠2＝∠CBD（ 　两直线平行，同位角相等　 ）， 因为∠1＝∠2（已知）， 所以∠1＝ 　∠CBD （ 　等量代换　 ）． 所以BC∥GF（内错角相等，两直线平行）， 因为∠BMD+∠ABC＝180°（已知）， 所以MD∥BC（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ）， 所以MD∥GF（ 　平行于同一条直线的两条直线平行　 ）． 【解答】解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知）， ∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）， ∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）， ∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠CBD（等量代换）， ∴BC∥GF（内错角相等，两直线平行）， ∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知）， ∴MD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）， ∴MD∥GF（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：垂直的定义，BD，EF，两直线平行，同位角相等，∠CBD，等量代换，同旁内角互补，两直线平行，平行于同一条直线的两条直线平行． 22．（6分）用小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．试回答下列问题： （1）a，d，f各表示几？ （2）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ （3）当b＝e＝3，c＝1时，画出这个几何体从左面看到的形状图． 【解答】解：（1）由主视图，俯视图可知a＝2，d＝f＝1； （2）这个几何体最少2+3+1+1+1+1＝9（个），最多2+3+3+3+1+1＝13（个）； （3）左视图为： 23．（6分）已知代数式A＝3x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． （1）计算A﹣3B； （2）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣3B的值； （3）若A﹣3B的值与x的取值无关，求y的值． 【解答】解：（1）∵A＝3x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x， ∴A﹣3B ＝（3x2+3xy+2y）﹣3（x2﹣xy+x） ＝3x2+3xy+2y﹣3x2+3xy﹣3x ＝6xy+2y﹣3x； （2）当x＝﹣1，y＝3时， A﹣3B ＝6xy+2y﹣3x ＝6×（﹣1）×3+2×3﹣3×（﹣1） ＝﹣18+6+3 ＝﹣9； （3）A﹣3B ＝6xy+2y﹣3x ＝（6y﹣3）x+2y， ∵A﹣3B的值与x的取值无关， ∴6y﹣3＝0， 解得y． 24．（6分）如图，已知：AF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断∠E与∠ACB的大小关系，并说明理由； （2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠BCD＝55°，求∠BDC的度数． 【解答】解：（1）∠E＝∠ACB，理由如下： ∵AF∥CD， ∴∠2＝∠FAC， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1+∠FAC＝180°， ∴FE∥AC， ∴∠E＝∠ACB； （2）∵EF⊥BE， ∴∠E＝90°， ∵AC∥EF， ∴∠ACB＝∠E＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠BCD＝35°． 又∵AF∥CD， ∴∠FAC＝∠2＝35°， ∵AC平分∠FAB， ∴∠FAD＝2∠FAC＝2×35°＝70°， ∴∠BDC＝∠FAD＝70°． 25．（6分）某商场销售A，B两种商品，A种商品每件进价10元，售价16元；B种商品每件售价18元，利润率为50%．（利润率100%） （1）每件A种商品利润率为 　60%　 ，每件B种商品进价为 　12　 元； （2）若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为560元，求购进A种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 原购物总金额 优惠措施 少于等于100元 不优惠 超过100元，但不超过150元 按总售价打九折 超过150元 其中不超过150元部分八折优惠，超过150元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款135元，求小华在该商场原购物总金额？ 【解答】解：（1）根据题意得：每件A种商品利润率为100%＝60%； 每件B种商品进价为18÷（1+50%）＝12（元）． 故答案为：60%，12； （2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（50﹣x）件， 根据题意得：10x+12（50﹣x）＝560， 解得：x＝20． 答：购进A种商品20件； （3）设小华在该商场原购物总金额为y元， 当100＜y≤150时，0.9y＝135， 解得：y＝150； 当y＞150时，150×0.8+0.75（y﹣150）＝135， 解得：y＝170． 答：小华在该商场原购物总金额为150或170元． 26．（10分）定义：在平面内，对于∠P和∠Q，若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°．则称∠Q是∠P的“t点数补角”，例如∠P＝80°，∠Q＝50°，有∠P+2∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“2系数补角“． （1）若∠P＝30°，求∠P的“5系数补角”∠Q的度数； （2）在平面内，直线AB∥CD，直线AB在CD上方，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，且∠EFD＞90°，点H为直线EF右侧一个动点，∠EFH的平分线与∠FEH的平分线交于点M． ①如图1，若点H在直线AB上方，且∠BEH＝33°，∠DFH＝67°，求∠EMF的度数； ②已知∠BEH＝m°，∠DFH＝n°，∠N是∠EMF的“3系数补角”，且∠N＝x°，请直接用含m和n的式子表示x． 【解答】解：（1）∵∠P＝30°， ∴∠P的“5系数补角” ∴∠Q＝（180°﹣∠P）÷5＝30°； （2）①∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∵∠DFH＝67°， ∴∠BEF+∠EFH＝180°﹣∠DFH＝113°， ∵∠BEH＝33°， ∴∠EFH+∠FEH＝113°+33°＝146°， ∵EM平分∠FEH，FM平分∠EFH， ∴，∠FEH， ∴， ∴∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝107°； ②如图，当点H在直线AB，CD内部时， ∵EM平分∠FEH，FM平分∠EFH， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∴∠BEH+∠FEH+∠DFH+∠EFH＝180°， ∵∠BEH＝m°，∠DFH＝n°， ∴∠FEH+∠EFH＝180°﹣（m°+n°）， ∴， ∴， ∵∠N是∠EMF的“3系数补角”， ∴∠EMF+3∠N＝180°，即90°180°， ∴， 如图，当点H在直线CD下方时， ∵AB∥CD， ∴∠FEH+∠DFE+∠BEH＝180°， ∴∠FEH+∠DFE＝180°﹣m°， ∴∠FEH+∠EFH＝∠FEH+∠DFE+∠DFH＝180°﹣m°+n°， ∵EM平分∠FEH，FM平分∠EFH， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵∠N是∠EMF的“3系数补角”， ∴∠EMF+3∠N＝180°，即90°180°， ∴； 如图，当点H在直线AB上方时， 同理可得， ∴∠， ∵∠N是∠EMF的“3系数补角”， ∴∠EMF+3∠N＝180°，即， ∴， 综上所述，∠N＝x°或或． 27．（10分）一副三角尺按照如图所示的方式摆放在量角器上，边PD与量角器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，∠APB＝45°，∠CPD＝60°．将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒7°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动．设三角尺ABP的运动时间为t秒． （1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数（内圈刻度）为 　100　 °； （2）t＝ 　15秒　 时，边PB平分∠CPD； （3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转． ①当t为何值时，边PB平分∠CPD； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得∠APC＝2∠BPD？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵△ABP是等腰直角三角形， ∴∠APB＝45°， ∴旋转前，边PB经过量角器刻度对应的度数是135°， 当t＝5秒时，由旋转知，7°×5＝35°， ∴旋转5秒时，边PB经过量角器刻度对应的度数是135°﹣35°＝100°， 故答案为：100； （2）由旋转知，旋转角为7°t， ∵边PB平分∠CPD，且∠DPC＝60°， ∴7°t＝180°60°﹣45°＝105°， 解得t＝15， 故答案为：15秒； （3）①同（2）的方法得，7°t＝180°60°﹣3°t﹣45°， 解得t＝10.5； ∴当t为10.5秒时，边PB平分∠CPD； ②在旋转过程中，存在某一时刻，使得∠APC＝2∠BPD，理由如下： 当边PB在边PD右侧时， 由旋转知，∠APC＝7°t﹣[180°﹣（60°+3°t）]＝10°t﹣120°，∠BPD＝3°t﹣[180°﹣（45°+7°t）]＝10°t﹣135°， ∵∠APC＝2∠BPD， ∴10°t﹣120°＝2（10°t﹣135°）， 解得t＝15， 当边PB在边PD左侧时， 由旋转知，∠APC＝7°t﹣[180°﹣（60°+3°t）]＝10°t﹣120°，∠BPD＝180°﹣（45°+7°t）﹣3°t＝135°﹣10°t， ∴10°t﹣120°＝2（135°﹣10°t）， 解得t＝13， 综上所述，t的值为15或13． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $