6.1导数（题型专练）高二数学人教B版选择性必修第三册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.1导数 题型一平均变化率 题型二瞬时变化率 题型三极限问题 基础达标题 题型四在一点处的切线方程 题型五过一点的切线方程 导数 题型六基本初等函数的导数 题型一公切线问题 能力提升题 题型二在一点处的导数 题型一 导数与周期性、对称性结合 拓展培优题 题型二最值问题 基础达标题 题型一 平均变化率 1.(23,24高二上湖南期末)某物体运动s后，其位移（单位：m)为y=+2,在2s≤4这段时间里， 该物体的平均速度为(） A.5m/s B.6m/s C.8m/s D.10m/s 2.(25-26高二上江苏期末)函数fx=x2-sinx在区间0，π上的平均变化率为() A.--1 B.-π C.π D.+1 π 3.(24-25高二下四川绵阳·期末)某质点沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关 系为：s=t,则该质点在1,1+△t内的平均速度是() A.2+△t B.2-△t C.-1+2△t D.-2+△t 4.(24-25高二下，吉林：期末)函数f(x)=x+2x在区间1,2上的平均变化率为() A.5 B.6 C.7 D.10 题型二 瞬时变化率 1/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26高二上宁夏石嘴山·月考)已知某质点的位移函数为st=t3-3t+3,则当t=1s时，该质点的 瞬时速度为() A.-3m/s B.3m/s C.-4m/s D.1m/s 2.(24-25高二下·云南曲靖·期末)已知半径为r的球的体积为Vr,当r=Vπ时，Vr的瞬时变化率为 () A.4π3 B.4π2 C.8π D.8π2 3.(24-25高二下·海南海口·期中)一物体做直线运动，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)的关系 是yt=t+4t,则物体在t=2s时的瞬时速度为（) A.2m/s B.6m/s C.8m/s D.12m/s 4.(24-25高二下江西抚州·期中)（多选)电动汽车产业是我国的优势新型产业之一.某款电动汽车在 一次上路测试中，速度V(单位：千米每小时)关于运行时间t(单位：分钟)的关系可以用函数 vt=t2-8t+400≤t≤8表示，则() A.该车速度在前8分钟内的平均变化率为0 B.该车速度的瞬时变化率逐渐减小 C.该车速度在第3分钟的瞬时变化率为2 D.可以用该车运行5分钟到5.01分钟之间的平均速度估算该车在t=5时的瞬时速度 题型三 极限问题 1.(25-26高二上·贵州黔南月考)已知函数f(x)在R上可导，则f(2)=(() limf(2-△x)-f(2) limf(2+△x)-f(2) A.4x-0 B.4x0 △X △X limf(2+△x)-f(2-△x) limf(2)-f(2-△x) C.4x→0 D.4x-0 -2△x 2△X limf(xo+2△x)-f(xo) 2.(25-26高二上江苏宿迁·期末)若函数fx在x=X处可导，则4x-0 △x A.f(xo) B.2f xo C.3f xo D.f 3.(2025高三.全国.专题练习)已知函数fx在x=x处可导，则1i IfxatAx-flxo) △x-0△X 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.fxo) B.f(xo) C.fxal D.2f(xo)f(xo limf(1+2△x)-f(1-△x) 4.(25-26高二上·陕西·月考)已知函数fx可导，且满足4x-0 =3,则函数fx △X 在x=1处的导数为 题型四 在一点处的切线方程 1.(24-25高二下江西宜春·月考)若fe=x+1,则函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 () A.y=ex B.y=ex+1 C.y=x D.y=x+1 2.(24-25高二下.北京房山期末)曲线y=fx在点x=1处的切线方程为y=2x-1,则f1+f1=d () A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26高二上·云南昆明·月考)设fx的导函数为f(x,曲线y=fx在点2，f(2处的切线与直线 3x-2y-3=0垂直，则f(2=元 4.(24-25高二下.贵州安顺期末)己知函数fx=ex2-x+1,则fx在点0,1处的切线方程为一， 题型五 过一点的切线方程 1.(24-25高二下重庆渝中期中)过点0，-4作函数fx=X-4图像的切线，则切线方程为() X A.y=5X-4 B.y=4x-4 C.y=3x-4 D.y=2x-4 2.(24-25高二下北京通州期中)过点P0,-1作曲线y=lnx的切线，则切点坐标为() A.e,1 B.1,-1 c.1,0 D. 3.(24-25高二下江西吉安，期末)已知过原点的直线1与函数fx=lnx+1的图像相切，则直线的方程 为 4.(24-25高二下.湖北十堰期末)已知fx=x3-6x2+12x-4,函数fx图像上一点P处的切线为l1. (1)当l经过坐标原点时，求点P的横坐标； 3/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若l与曲线交于另一点Q,fx在点Q处的切线为l2,记l1,12的斜率分别为k1,k2,求 的值. 题型六 基本初等函数的导数 1.(25-26高二上陕西月考)已知fx=13-8x+2x2,且fx=4,则x,=元() A.3 B.3V2 C.2 D.22 2.(25-26高二上湖南长沙月考)下列导数运算正确的是() A.cosx)=sinx B.(sin=cos 6 6 C.(log2x)=-1 x·ln2 D.2=2 3.(25-26高二上·福建莆田·月考)（多选）下列求导正确的是() A.若y=x3-x+3,则y=3x2-1 a.若y=ln2x-1则y=2X C.若y=xe,则y=x2(1+3x)e.若y=2sin× X',则y-2 XCOSX4sinx 4.(24-25高二下·福建厦门月考)已知函数fx=cosx,则f = B 能力提升题 题型一 公切线问题 1.(24-25高二下江苏盐城期末)已知直线1为曲线fx=e-1与gx=lnx+1的公共切线，则直线1的 方程可以为() A.y=x-1 B.y=x+1 C.y=ex-1 D.y=ex+1 2.(24-25高二下广东深圳期中)已知fx=lnex和gx=e+1有公共切线1，切点分别为Px1,y1, Qx2,y2,则下列结论不正确的是() A.X1y2-X1=1 1一X2二0 B.x+1+x2 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1一X1二0 C.若点A0,1,则∠PAQ始终为钝角D.X,+1+X 3.(24-25高二下·云南丽江·月考)已知函数fx=e+1(e为自然对数的底数)，gx=lnx+3,直线l 既与fx相切又与gx相切，则直线的方程是() A.y=x+1 B.y=-X+2 .1 C.y=ex+1或y=x+2 0.y=。x+2或y=x+1 4.(23-24高二下.湖北武汉·期中)已知直线y=kx+b是曲线f(x)=e-1与g(x)=e+2023-2024的公切线， 则k=式一· 题型二 在一点处的导数 1.(25-26高二上河北衡水.期末)若函数fx=x2f1+e,则f2=() A.e2+4e B.e2-4e C.e2+2e D.e2-2e 2.(24-25高二上-山东滨州-期末)已知fx是函数fx)的导函数，且fx=2f1lnx+1,则f1=元 () A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.(2526商=上江医月与)已知函数断x的号爵数为fx,且fX=x-f倍c0sx,则r侣}= () A.1 B.2 C.2n 3 D. 3 4.（2526商二上男龙江大庆期未)已知函fx=e+f0x+x-2其中f1xfx的号函数)。 则f(1=() A.e+2 B.e+3 C.e-2 D.e-3 拓展培优题 题型一 导数与周期性、对称性结合 1.(24-25高二下辽宁鞍山期末)（多选）己知函数Fx和其导函数fx的定义域均为R,若函数 F2+x是偶函数，fx-2是奇函数，则() 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.F3=F-3 B.fx的一个周期为32 c.f2026=0 D. i=0 i=1 2.(24-25高二下·安徽六安期末)（多选)已知函数fx,gx的定义域为R,gx为gx的导函数，且 fx+gx-8=0,fx-2-g6-x-8=0,若gx为偶函数，则下列成立的有() A.。w为奇函数B.g-4=-1 C.f1+f3=16 D. fai=16m n=1 3.(24-25高二下·安微宿州期末)（多选）设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f(x)和g(x), 若g(x+1)为奇函数，且f(x+2)-9(1-x)=2,f(x=9(x+1),则下列说法中一定正确的是() A.g(1)=0 B.函数g(x)的图象关于x=2对称 :∑口gk=0 D. f(k)a(k=0 k=1 4.(24-25高二下江西上饶期末)（多选）已知定义在R上的函数f(x)和g(x)满足： f(x)+g(x)=2,f(x)-g(2-x)=2,g(x)是偶函数，则() A.f(x)的图象关于点(1,4)对称 B.4为g(x)的周期 C. f(x 的图象关于直线x=1对称 D. g12=20s k=0 题型二 最值问题 1.(2324高二下山东月考)已知函数y=￡的图象与函数y=n(2x)的图象关于某一条直线对称，若P, Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为() A.2In2 6.21n2 c.2(1+n2) D.2(1-In2) 2 4 2 2.(24-25高二下河北期末)已知fx=x-1x-ax-ba>0,b>0,若曲线y=fx在x=1处的切 线与直线y=4x+1平行，则a+b的最小值为一. 3.(22-23高二下浙江金华.月考)已知b=-a2+3l1na,d=c+2,则(a-c+(b-d)的最小值为一 4.(23-24高二下山东，月考)已知y=(x-a2+(xnx-a+32(a∈R),则y的最小值为一. 6/6丽学科网·上好课 题型一平均变化率 1.A 2.C 3.A 4.A 题型二瞬时变化率 1.A 2.B 3.C 4.AD 题型三 极限问题 1.B 2.B 3.D 4.1 题型四在一点处的切线方程 1.C 2.C 3.-号 4.y=1 题型五过一点的切线方程 1.D 2.C 3.y=土x 4.【答案】(1或1±V3 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.1导数 A 基础达标题 1/3 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2定 【分析】(1)对函数求导，利用导数的几何意义写出切线方程，再把原点带入切线方程即可求解； (2)联立f(x)与切线1计算出Q点的坐标，再利用导数的几何意义分别求出k1k2即可求解. 【详解】(1)设P点的坐标为(xy1),则y1=36x+12x1-4, 因为f(x)=3x2-12x+12， 所以切线1 的方 程为 y-(x-6x+12x1-4)=(3x-12x1+12)(X-x1), 由切线经过原点，把x=y=0带入切线方程得：-(-6x+12x14)=-x1(3x子-12x1十12)， 即x-3x+2=0→（经-2x1-2)(x11)=0→x1=1或x1=1±V3, 所以点P的横坐标为1或1±V5 (2)设Q点的坐标为(x2y2),由(1)可知k1=3x-12x1+12=3(x1-2)2, 切线41的方程为y-(x-6x+12x14)=(3x好-12x1十12)(x-81)，整理得： y=(3x经-12x1+12)x-2x+6x经-4，与y=x3-6x2+12x-4联立得： (3x-12x1+12)x-2x3+6x-4=x3-6x2+12x-4, 即x3.6x2-(3x子-12x1)x+2x-6x=0→(x-x1)(x+2x1-6)=0→x=x1或x=6-2x1, 所以x2=6-2x1,故k2=3x3-12x2+12=3(6-2x1)2-12(6-2x1)+12=12(x1-2)2, 因此会= 题型六基本初等函数的导数 1.B 2.C 3.AD 4.-1 B 能力提升题 题型一 公切线问题 1.C 2.D 3.C 4.1 题型二在一点处的导数 1.B 2/3 ©6学科网·上好课 2.A 3.C 4.B 题型一导数与周期性、 1.BC 2. ACD 3. ACD 4.BC 题型二 最值问题 1.D 2.6 3.8 4.1 2 www.zxx k co m 上好每一堂课 C 拓展培优题 对称性结合 3/3 6.1导数 题型一   平均变化率 1．（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的含义，代入数据，计算即可得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C. 3．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 4．（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A 题型二   瞬时变化率 1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 【答案】A 【分析】利用导数求出的值，即可得出答案. 【详解】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度为. 故选：A. 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对球体体积公式求导，结合瞬时变化率的定义求时的瞬时变化率. 【详解】因为，所以，故时，的瞬时变化率为. 故选：B 3．（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的运算公式，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由题意知，位移与时间的关系是，可得， 可得. 故选：C. 4．（24-25高二下·江西抚州·期中）（多选）电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某款电动汽车在一次上路测试中，速度（单位：千米每小时）关于运行时间（单位：分钟）的关系可以用函数表示，则（    ） A．该车速度在前分钟内的平均变化率为 B．该车速度的瞬时变化率逐渐减小 C．该车速度在第分钟的瞬时变化率为 D．可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度 【答案】AD 【分析】利用平均变化率的定义可判断A选项；求出瞬时变化率的表达式，结合一次函数的单调性可判断B选项；求出的值，可判断C选项；利用瞬时速度的概念可判断D选项. 【详解】函数在上的平均变化率为，故A正确； 该车速度的瞬时变化率即， 所以该车速度的瞬时变化率逐渐增大，故B错误； 由，故当时，，故C错误； 函数在时的瞬时速度为， 在现实生活中，可以用很小的近似替代，而D中，符合条件， 可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度，故D正确． 故选：AD． 题型三   极限问题 1．（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在上可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的定义进行求解． 【详解】对于A，，故A项错误； 对于B，，故B项正确； 对于C，，故C项错误； 对于D，，故D项错误． 故选：B 2．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质求解. 【详解】 当时，， 所以， 故选：D． 4．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为函数可导，且满足， 所以 ，所以， 所以函数在处的导数为. 故答案为： 题型四   在一点处的切线方程 1．（24-25高二下·江西宜春·月考）若，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求出函数的解析式，再根据导数几何意义求切线方程即可. 【详解】设，则，所以，即， 所以．又，所以， 则函数的图象在点处的切线方程为，即． 故选：C． 2．（24-25高二下·北京房山·期末）曲线在点处的切线方程为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由切点在切线上，切线斜率为在切点处的导数值即可计算求解. 【详解】所求为. 故选：C. 3．（25-26高二上·云南昆明·月考）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【分析】根据垂直得出斜率关系结合导数的几何意义得出导数值. 【详解】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数，则在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】计算，按照直线方程的点斜式求解. 【详解】由题可知：，所以. 则切线方程为：. 故答案为： 题型五   过一点的切线方程 1．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 2．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 3．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 4．（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义写出切线方程，再把原点带入切线方程即可求解； （2）联立与切线计算出点的坐标，再利用导数的几何意义分别求出即可求解. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 因为，所以切线的方程为， 由切线经过原点，把带入切线方程得：， 即或， 所以点的横坐标为或. （2）设点的坐标为，由（1）可知， 切线的方程为，整理得：，与联立得：， 即或， 所以，故， 因此. 题型六   基本初等函数的导数 1．（25-26高二上·陕西·月考）已知，且，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得， 故选：B. 2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的计算公式逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. 3．（25-26高二上·福建莆田·月考）（多选）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，则，A正确； 对于B中，，则，B错误； 对于C中，，则，C错误； 对于D中，，则，D正确. 故选：AD 4．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知函数，则 . 【答案】 【分析】先求得，即可求得. 【详解】由得，， . 故答案为：. 题型一   公切线问题 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 2．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知和有公共切线，切点分别为，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若点，则始终为钝角 D． 【答案】D 【分析】通过对和求导，根据导数几何意义，可求得切线方程，通过斜率和截距相等建立方程，可求得的关系，逐项代入化简，即可求得正确答案. 【详解】设公切线的斜率为， 由得，又切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又得，切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又直线是和的公切线， 所以，整理得，， 当时，经验证，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，， 则， 当时，；当时，， 又，所以，所以始终为钝角，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D. 3．（24-25高二下·云南丽江·月考）已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设切点，再根据导数几何意义列等量关系，解出切点，即得切线方程. 【详解】设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即， 设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即 ∴，解得，或，， 则直线的方程：或．所以满足条件的直线有2条． 故选：C. 4．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 【答案】1 【分析】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在轴上的截距相等即可求解. 【详解】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1 题型二   在一点处的导数 1．（25-26高二上·河北衡水·期末）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接对求导，列出等式求出的值，再代入到中求即可． 【详解】因为，所以，所以， 所以，则，所以． 故选：B． 2．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 3．（25-26高二上·江西·月考）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先将函数求导，再代入，即可求解． 【详解】由题知，则， 所以， 故选：C． 4．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数（其中是的导函数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导,得到的表达式.再通过令求出的值,最后将代入求出. 【详解】已知,对求导可以得到,. 令, 将代入导函数有 . 将代入的表达式中: . 故选：B. 题型一   导数与周期性、对称性结合 1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）（多选）已知函数和其导函数的定义域均为，若函数是偶函数，是奇函数，则（   ） A． B．的一个周期为 C． D． 【答案】BC 【分析】分析函数是偶函数的性质和是奇函数的性质，再依据函数导数与原函数的关联，以及函数的对称性来推导函数的周期性，从而对各个选项进行判断. 【详解】因为函数是偶函数，所以，可得， 当时，，当时，，故无法判断和是否相等，选项A错误； 因为是奇函数，所以，可得， 因为，，所以， 可得，即，，， 因此的周期，是的一个倍数， 故的一个周期为32，选项B正确； 因为，所以是的一个对称中心， ，故，选项C正确； 因为，所以是的一个对称中心， 又因为的周期，所以是的一个对称中心， 综上可知，，，，且，， 因此一个周期内， ，得， 的值不可求，故选项D错误. 故选：BC. 2．（24-25高二下·安徽六安·期末）（多选）已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列成立的有（    ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】求导函数利用奇函数的定义判断A，推导导函数的周期，利用赋值求值判断B，赋值法结合的周期求值判断C，由及的奇偶性与周期性求和判断D. 【详解】由是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，故A正确； 由，得， 所以，代入， 得， 即，又因为是奇函数， 所以，，即， 所以是周期函数，且周期为4，由是奇函数，所以，所以，故B错误； 对选项C，在中，令得，， 在中，令得，，故，故C正确； 对于D：由得， ， 由B选项知，令得，故， 因为是周期函数与奇函数，且周期为，所以，即，因为，所以 所以，故D正确． 故选：ACD 3．（24-25高二下·安徽宿州·期末）（多选）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若为奇函数，且，,则下列说法中一定正确的是（   ） A． B．函数的图象关于对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用为奇函数，赋值代入计算即得；对于B，通过对已知等式两边求导代换，可推得函数的图象关于点对称即可判断；对于C，利用和条件可得，从而判断函数是以4为周期的函数，利用周期性即可求和判断；对于D，利用条件推出与都是以4为周期的函数，利用周期性计算即可判断. 【详解】对于A，因为奇函数，则，取，则得，即，故A正确； 对于B，由两边求导得，则， 又，则，即， 故函数的图象关于点对称，故B错误； 对于C，因，则，可得①，为常数， 因，则 ②，由②①，可得， 取，可得，故有，又，则得， 即，则，即函数是以4为周期的函数. 在中，取，则得，即，取，则得， 即，则，故C正确； 对于D，因，，则， 故，两式相减可得，，即， 故函数是以4为周期的函数，故，即函数为以4为周期的函数. 由可得，， ， 故， 则，故D正确. 故选：ACD. 4．（24-25高二下·江西上饶·期末）（多选）已知定义在R上的函数和满足：是偶函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．4为的周期 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】BC 【分析】根据已知条件，联立方程组求出的性质，进而求得的性质，再根据函数对称性，周期性的定义，分别判断各选项正误. 【详解】已知，消去得，可知关于中心对称，也可得关于中心对称， 因为，所以关于中心对称，所以A错误； 因为是偶函数，所以，解得，换元的，再换元得，得， 根据复合函数求导得，所以4为的周期，所以B正确， 因为关于中心对称，所以， 根据复合函数求导得，所以的图象关于直线对称，所以C正确； 因为，令，得，即， 因为，所以，以此类推， 则，所以D错误. 故选：BC. 题型二   最值问题 1．（23-24高二下·山东·月考）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到函数的图象与函数的图象关于直线对称，则问题转化为点到直线距离最小值的倍，求出过点的切线恰与平行时切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为， 又，即点在函数的图象上， 所以函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以这，两点之间距离的最小值等于点到直线距离最小值的倍， 由，则， 函数在点处的切线斜率为，令，解得，， 所以点到直线距离的最小值为， 所以这，两点之间距离的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到两函数关于对称，再将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值. 2．（24-25高二下·河北·期末）已知，若曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】通过求导得出曲线在某点处的切线斜率，再根据切线与已知直线平行得到斜率关系，进而得出与的关系式，最后利用基本不等式求的最小值. 【详解】设，则， ， ， 又曲线在处的切线与直线平行， ， ，即， ，当且仅当时，等号成立， 设，则，即， ， 又，， 当时取等号， 此时，,, 处的切线方程为,即,与直线平行，符合题意， 所以的最小值为. 故答案：6． 3．（22-23高二下·浙江金华·月考）已知，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由题意知，点在曲线上，点在直线上，由两点之间距离公式得，故可知的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方，然后利用导数求出曲线的切点，最后利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】因为， 所以点在曲线上， 因为， 所以点在直线上， 所以， 所以， 如图所示，的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方， 由得，， 因为与平行的切线斜率为， 解得（舍去）或， 把代入，得， 所以切点为， 切点到直线的距离为：， 所以， 所以的最小值为.    【点睛】关键点点睛：本题主要考查了代数和的最小值的求法，解题的关键是分析出的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方，然后需要利用导数求切点以及点到直线的距离公式. 4．（23-24高二下·山东·月考）已知，则y的最小值为 ． 【答案】2 【分析】将最小值问题转化为点与点距离最小值的平方，进一步转化为直线与函数的点间距离最小值的平方，利用导数求出函数在点处的切线与直线平行时，对应的点坐标，从而求出最小值. 【详解】设点是函数图象上的点，点是直线上的点， 则，所以， 因为，设函数在点处的切线与直线平行，则，解得， 则点，所以的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $