精品解析：陕西省延安市志丹县保安教育集团2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

陕西省延安市志丹县保安教育集团2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是持合題意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 计算：（ ） A. 0 B. 1 C. 5 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，任何非零数的零次幂都等于1，据此可得答案． 【详解】∵（其中）， ∴． 故选：B． 2. 下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形是在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】A．可以看作轴对称图形； B．不可以看作轴对称图形； C．不可以看作轴对称图形； D．不可以看作轴对称图形； 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项及单项式除以单项式，掌握相关运算法则是关键．利用幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项及单项式除以单项式的法则逐选项计算即可判断． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，选项计算不正确，不符合题意； B．，选项计算不正确，不符合题意； C．，选项计算不正确，不符合题意； D．，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 4. 将周长为三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项符合题意； D、由，此选项不符合题意； 故选：C． 5. 已知（为常数）是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．根据完全平方式得出，比较系数即可求出答案． 【详解】解：∵为完全平方式， ∴完全平方式为， ∴ 解得：． 故选：A． 6. 如图，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等和三角形内角和是是解题的关键．先利用全等三角形对应角相等即可得到的度数，再利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：，， ． ， 故选：B． 7. 下列分式变形正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．熟悉分式的约分法则是解题的关键． 选项变号时出现错误，选项分子分母未同时除以，选项误把看作，选项分子、分母同时除以，变形正确． 【详解】对于选项：∵，而，两者分母不同，∴ 不相等； 对于选项： ∵与，分子中的未发生变化，∴分子分母未同时除以，∴等式不成立； 对于选项： ∵，∴变形正确； 对于选项：∵ ，除非，但，∴等式不成立． 故选：． 8. 如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分割法求阴影部分面积，利用完全平方公式变形求值，根据题意得，求出梯形的面积，和得出阴影部分的面积代数式，将代入计算即可． 详解】解：由题意可知， ∴梯形的面积为， ，， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， 故选C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若分式的值为0，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分子为零，分母不为零列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故答案为：2． 10. 分解因式：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟悉运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， = ． 故答案：． 11. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 工地上的塔吊的塔身和吊臂都有大量的三角形支撑结构，这是利用了三角形的___． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的特性．熟悉三角形区别于四边形等多边形具有稳定性这一特点是解题的关键．三角形具有稳定性，不易变形，因此用于塔吊的支撑结构以保持牢固． 【详解】解：在初中几何中，三角形是最稳定的多边形，因为其三边长度确定后，形状就固定，不会发生形变．塔吊的塔身和吊臂采用三角形支撑结构，正是利用了三角形的稳定性，使结构在受力时保持坚固和稳定． 故答案为：稳定性． 13. 我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个等腰三角形的“和谐比”为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质．熟悉等腰三角形三边关系，根据不同情况分别计算答案，是解题的关键．根据等腰三角形的周长和一边长，分别讨论该边为腰长或底边长两种情况，计算和谐比即可． 【详解】解：等腰三角形的周长为，其中一边长为， 若为腰长，则底边长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为， 若为底边长，则腰长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为． 故答案为：或． 14. 如图，的平分线上有一点，过点作交于点，点在射线上，若，则的最小值为___． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意得当时，的长最小， 平分，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：3． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，先计算同底数幂的乘法再合并即可． 【详解】解： 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，－7 【解析】 【分析】此题考查整式的混合运算和化简求值，注意利用整式的乘法计算方法计算．直接利用整式的乘法计算，进一步合并同类项，再代入求得数值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 17. 如图，在中，,是的延长线上一点，平分，交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和，角平分线的性质，三角形外角的性质；由三角形内角和得，由角平分线得，再根据三角形外角求解即可． 【详解】解：， 平分， ， ． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．去分母转化为整式方程，解整式方程，检验得到分式方程的根，据此求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 整理得：， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 19. 如图，在中，点D是边上一点．请利用尺规作图法在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图、平行线的判定定理．用尺规以点D为顶点作，与交于点E即可． 【详解】解：如图，点即为所求． ． 20. 如图，点A，D，C在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题全等三角形的判定，根据平行的性质得到以及灵活运用全等三角形的证明方法是解答本题的关键．先根据平行的性质得到，然后根据即可证明 【详解】证明：， ， 在和中， 21. 如图，这是一个正确的因式分解，其中部分式子被遮盖后看不清． （1）求被遮盖处的式子． （2）若被遮盖处的式子的值不小于3，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解不等式，掌握相关的运算法则是解题的关键； （1）计算即可解答； （2）根据题意解即可解答． 【小问1详解】 解： ， ∴被遮盖处的式子为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， 的取值范围是． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． （1）画出与关于轴对称的． （2）已知为轴上一点，若的面积为10，求点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查在坐标系中作轴对称图形，根据三角形面积求点的坐标； （1）找出对应点连接即可； （2）设点的坐标为，则，根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图．即为所求， 【小问2详解】 解：设点的坐标为，则 的面积为10， ，即， 解得或， ∴点的坐标为或． 23. 某公司的两台智能机器人“闪电”和“追风”进行40米竞走比赛．第一轮比赛，它们同时从起点出发，当“闪电”到达终点时，“追风”走了全程的．已知“闪电”比“追风”每秒多行走1.2米． （1）求“追风”的行走速度． （2）如果将“闪电”的行走路程增加，“追风”的行走路程不变，两台机器人以原始速度再次比赛，它们能同时到达终点吗？请通过计算说明． 【答案】（1）2米每秒 （2）不能同时到达，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，有理数运算；理解题意找出数量关系是解题的关键； （1）设“追风”的速度为米／秒，则“闪电”的速度为米／秒．根据题意列方程解答即可； （2）比较“闪电”， “追风”到达终点所用的时间即可． 【小问1详解】 解：设“追风”的速度为米／秒，则“闪电”的速度为米／秒． 根据题意，得， 解得 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴“追风”的速度为2米每秒 【小问2详解】 解：不能同时到达 调整后“闪电”的行走路程为（米）， “闪电”到达终点所用的时间为（秒） “追风”到达终点所用的时间为（秒）， ∴两台机器人不能同时到达终点． 24. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点于点，且，连接． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系可证得，又根据平行关系可得，即可求解； （2）由已知条件证明，即可证得． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：是的垂直平分线，， ， ， ， ， 和中， ， ， ． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，体现了“边、角关系的推导与转化”能力． 25. 在“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分，而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是将一个多项式分解因式．如代数式，分解因式的结果为，当时，，此时可以得到6个6位数的数字密码，分别是121824，122418，181224，182412，241218，241812． （1）小云同学设计的多项式是，根据上述方法，当时，求分解因式后得到的一个6位数的数字密码． （2）小青同学设计的多项式是，根据上述方法，当时，求多项式分解因式后得到的一个8位数的数字密码． 【答案】（1）数字密码是212517，211725，252117，251721，172125，172521．（写出其中一个即可） （2）其中一个8位数的数字密码是26261010．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用， （1）将因式分解，根据题意求解即可； （2）将因式分解，根据题意求解即可． 【小问1详解】 解： 当时，， ∴数字密码是212517，211725，252117，251721，172125，172521．（写出其中一个即可） 【小问2详解】 解： 当时，， 所以用于组成密码的四个两位数是26, 26, 10, 10， 根据题意，其中一个8位数的数字密码是26261010．（答案不唯一） 26. 【模型初步】 （1）如图1，与相交于点．求证：． 【结论应用】 （2）如图2，与相交于点，点在边上，为等边三角形，．求证：是等边三角形． 【拓展探索】 （3）如图3，与相交于点O，，若为上一点，且，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的相关计算； （1）根据三角形外角的性质解答即可； （2）由是等边三角形，得，证得，，证即可解答； （3）连接．根据（1）结论得，证，再根据（1）可得结论可知，得，即可解答． 【详解】（1）证明：根据三角形外角的性质，得 ； （2）证明：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ， ，， 是等边三角形； （3）解：理由如下： 如图，连接． ， ， 与相交，且， 由（1）结论可知， 又，， ， 与相交，且， 由（1）可得结论可知， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省延安市志丹县保安教育集团2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是持合題意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 计算：（ ） A 0 B. 1 C. 5 D. 50 2. 下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知（为常数）是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 12 6. 如图，．若，则度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列分式变形正确的是（ ）. A. B. C. D. 8. 如图，正方形与正方形边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 40 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若分式的值为0，则的值是______． 10 分解因式：____． 11. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 12. 工地上的塔吊的塔身和吊臂都有大量的三角形支撑结构，这是利用了三角形的___． 13. 我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个等腰三角形的“和谐比”为____． 14. 如图，的平分线上有一点，过点作交于点，点在射线上，若，则的最小值为___． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，,是的延长线上一点，平分，交的延长线于点，若，求的度数． 18. 解分式方程：． 19. 如图，在中，点D是边上一点．请利用尺规作图法在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，点A，D，C在同一直线上，．求证：． 21. 如图，这是一个正确的因式分解，其中部分式子被遮盖后看不清． （1）求被遮盖处的式子． （2）若被遮盖处的式子的值不小于3，求的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． （1）画出与关于轴对称的． （2）已知为轴上一点，若的面积为10，求点的坐标． 23. 某公司的两台智能机器人“闪电”和“追风”进行40米竞走比赛．第一轮比赛，它们同时从起点出发，当“闪电”到达终点时，“追风”走了全程的．已知“闪电”比“追风”每秒多行走1.2米． （1）求“追风”的行走速度． （2）如果将“闪电”的行走路程增加，“追风”的行走路程不变，两台机器人以原始速度再次比赛，它们能同时到达终点吗？请通过计算说明． 24. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点于点，且，连接． （1）求证：． （2）求证：． 25. 在“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分，而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是将一个多项式分解因式．如代数式，分解因式的结果为，当时，，此时可以得到6个6位数的数字密码，分别是121824，122418，181224，182412，241218，241812． （1）小云同学设计的多项式是，根据上述方法，当时，求分解因式后得到的一个6位数的数字密码． （2）小青同学设计的多项式是，根据上述方法，当时，求多项式分解因式后得到的一个8位数的数字密码． 26. 【模型初步】 （1）如图1，与相交于点．求证：． 结论应用】 （2）如图2，与相交于点，点在边上，为等边三角形，．求证：是等边三角形． 【拓展探索】 （3）如图3，与相交于点O，，若为上一点，且，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $