第01讲 多边形（4知识点+7考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

容 组 多边形的有关概念 正 定义 性质 多边形的对角线 多边形 示例 定理 多边形的内角和 推导 多边形的外角和定理 多边形：在同一平面上，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形 义 n边形：如果一个多边形由n条线段组成，则称为n边形(n为正整数，且n≥3) 边：组成多边形的每一条线段 顶点：相邻两条线段的公共端点。多边形顶点通常用大写字母表示 成要素 内角：多边形相邻两边所成的角 外角：多边形内角的一边的延长线与另一边所组成的角。外角与相邻内角互补 多边形 定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形 凸多边形：如果画出任意一边所在的直线，其余各边都在这条直线的同一侧 边形的分类 非凸多边形：不满足凸多边形条件的多边形 注：如无特别说明，本教材中的多边形均指凸多边形 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 从一个顶点出发的对角线数：从边形的一个顶点出发，可以引（几一3）条对角线 分成的三角形数：这些对角线将n边形分成(n一2)个三角形 总对角线数：n边形共有n3》条对角线 四边形：从一个顶点引1条对角线，分成2个三角形，总对角线2条 五边形：从一个顶点引2条对角线，分成3个三角形，总对角线5条 六边形：从一个顶点引3条对角线，分成4个三角形，总对角线9条 内角和公式：（n-2)·180° 方法1：从n边形的一个顶点引出对角线，分成(n一2)个三角形，总内角和为(n一2)·180° 方法2：在n边形内任取一点P,连接各顶点，分成n个三角形，内角和为m·180°，减去一个周角360°，得 方法 (n-2)·180° 方法3：在边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得(n一1)个三角形，内角和为(n一1)·180°，减 去一个平角180°，得(n-2)·180° 外角：多边形内角的一边的延长线与另一边所组成的角。每个内角对应两个外角（对顶角相等） 定义 外角和：从每个内角相邻的两个外角中任取一个，所有这样的外角的和 定理 多边形的外角和等于360° n边形的内角和与外角和之和为m·180° 推导 内角和为(m-2)·180°，因此外角和为m·180°-(n-2)·180°=360°。 性质 不变性：外角和不随多边形边数的变化而变化，恒为360°。多边形：在同一平面上，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形 定义 n边形：如果一个多边形由n条线段组成，则称为n边形(n为正整数，且n≥3) 边：组成多边形的每一条线段 顶点：相邻两条线段的公共端点。多边形顶点通常用大写字母表示 组成要素 多边形的有关概念 内角：多边形相邻两边所成的角 外角：多边形内角的一边的延长线与另一边所组成的角。外角与相邻内角互补 正多边形 定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形 凸多边形：如果画出任意一边所在的直线，其余各边都在这条直线的同一侧 多边形的分类 非凸多边形：不满足凸多边形条件的多边形 注：如无特别说明，本教材中的多边形均指凸多边形 定义 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 从一个顶点出发的对角线数：从边形的一个顶点出发，可以引(n一3)条对角线 性质 分成的三角形数：这些对角线将n边形分成(n一2)个三角形 多边形的对角线 总对角线数：n边形共有n,3】条对角线 2 四边形：从一个顶点引1条对角线，分成2个三角形，总对角线2条 多边形 示例 五边形：从一个顶点引2条对角线，分成3个三角形，总对角线5条 六边形：从一个顶点引3条对角线，分成4个三角形，总对角线9条 定理 内角和公式：(n-2)·180° 多边形的内角和 方法1：从n边形的一个项点引出对角线，分成(n一2)个三角形，总内角和为(n一2)·180 方法2：在n边形内任取一点P,连接各顶点，分成n个三角形，内角和为n·180°，减去一个周角360°，得 推导方法 (n-2).180° 方法3：在n边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得(n-1)个三角形，内角和为(n一1)·180°，减 去一个平角180°，得(n-2)·180° 外角：多边形内角的一边的延长线与另一边所组成的角。每个内角对应两个外角（对顶角相等） 定义 外角和：从每个内角相邻的两个外角中任取一个，所有这样的外角的和 定理 多边形的外角和等于3609 多边形的外角和定理 n边形的内角和与外角和之和为n·180° 推导 内角和为(n一2)·180°，因此外角和为m·180°一(n一2)·180°=360°。 性质 不变性：外角和不随多边形边数的变化而变化，恒为360°。 寒假预习第01讲 多边形 1.了解多边形的有关概念,认识多边形的边、内角、外角、顶点、对角线. 2.认识正多边形，知道正多边形的每条边都相等，每个内角都相等. 3.探索并掌握多边形的内角和公式与外角和定理,会用多边形的内角和公式与外角和定理进行简单的计算与说理. 1.多边形 一般地，在同一平面上，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作多边形。 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形等，三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫作n边形（为正整数，且）。如图23-1-1中的屋顶、窗户、地砖等，从中可见三角形、四边形、五边形、六边形、八边形等多边形。 图23-1-1 2.多边形的边、内角、外角、顶点、对角线图23-1-2 组成多边形的每一条线段叫作多边形的边；相邻的两条线段的公共端 点叫作多边形的顶点。 多边形各顶点通常用大写英文字母表示。在图23-1-2中，五边形的顶 点依次分别是，记作五边形。 多边形相邻两边所成的角叫作多边形的内角。在图23-1-2中， 都是五边形的内角。图23-1-3 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线。在 图23-1-3中，就是五边形的两条对角线。 例1 （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形，四边形共有 条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形，五边形共有 条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线． 从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形. 已知从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，这些对角线可以把这个六边形分成个三角形，则 . 例2画出四边形、五边形、六边形的所有对角线，猜想七边形、八边形有多少条对角线？边形呢？ 观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 边形有条对角线．对的理解：从边形的一个顶点出发有（）条对角线，因为它有个顶点，共有条对角线，其中每条对角线都重复数了一次，所以有条对角线． 3.多边形的分类 对于一个多边形，如果画出它的任意一边所在的直线时，其余各边都在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫作凸多边形.图23-1-2、图23-1-4都是凸多边形，图23-1-5不是凸多边形.如无特别说明，本套教科书中所说的多边形都指凸多边形. 图23-1-5 图23-1-4 已知三角形的内角和等于180°，那么四边形的内角和等于多少?五边形呢?六边形呢?由此，你能推出n边形的内角和公式吗? 多边形的内角和定理 n边形的内角和等于． 设多边形是n边形。任取多边形的一个顶点，分别连接该顶点与其他不相邻的各个顶点，这个n边形被分成个三角形，这样n边形的内角和等于个三角形的内角和之和。因为个三角形的内角和之和等于，所以n边形的内角和等于。 例3求十边形的内角和与外角和． 多边形的内角和的三种推导方法 定理 推理过程 拓展 n边形的内角和等于 方法 1：如图所示，从边形的一个顶点引出（）条对角线，这条对角线把边形分成个三角形，每个三角形的内角和是，所以边形的内角和是 正n边形的每条边都相等，每个角都相等，其内角和为， 所以正n边形的每个内角的度数为 方法 2：如图所示，在边形内任取一点，连接，把边形分成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得边形的内角和是 方法 3：如图所示，在边形的一边上任取一点与各顶点相连，得（）个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去在点处的一个平角，即 (1)多边形内角和的问题,通过添加辅助线将其转化为三角形内角和的问题. (2)多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°.所以，运用多边形的内角和定理可以进行有关多边形的角度计算与证明，也可以根据角度求边数. 1．正十二边形的每一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在四边形中，去掉一个的得到一个五边形，求的度数． 3．如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 1.多边形的外角 多边形内角的一边的延长线与另一边所组成的角叫作多边形的外角．图 23－1－7 中，是五边形的一个外角． 多边形的外角与它相邻的内角互补． 多边形的外角中，与同一个内角相邻的外角有两个，这两个角为对顶角，它们相等．图 23－1－8 中，和是五边形的外角中具有这种关系的两个外角． 2.多边形的外角和定理 对多边形的每个内角，从与它相邻的两个外角中任取一个，这样得到的所有外角的和，叫作多边形的外角和． 图23-1-8 图23-1-7 n边形的内角和随着边数的增加而增大，那么n边形的外角和是否也随着边数的变化而变化呢? 多边形的外角和定理 多边形的外角和等于． 设多边形是边形．因为多边形的任意一个外角与同它相邻的内角互补，图23-1-9 即它们的和等于（图 23－1－9），所以边形的外角和加内角和等 于，于是边形的外角和等于减去边形的内角和，即 ，所以边形的外角和等于． 多边形的外角和不随着多边形边数的变化而变化，是一个常数． 如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形是几边形？ 已知一个多边形的内角和是外角和的 6 倍，问：这个多边形是几边形？ 正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 常见的正多边形. 题型一 多边形内角和问题 例1如图，，则的值是 ． 【变式1-1】四边形中，，则 ． 【变式1-2】若一个四边形的四个内角之比为，则这个四边形中最大内角的度数为 ． 【变式1-3】求出下列图形中的值． 【变式1-4】如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 题型二 多边形内角和公式的应用 1.确定少加的角的度数 例2下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：    请根据以上对话内容解答下列问题： (1)明明求的是几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？ 【变式2-1】小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 【变式2-2】阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题． (1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是_________°． (2)在（1）的条件下，明明求的是几边形的内角和？ (3)在（1）的条件下，若这是一个正多边形，则这个正多边形的每一个外角的度数是多少？ 通常情况下，解此类问题应用多边形的内角和是180°的整数倍，列出关于多边形的边数n的不等式组)，通过求不等式(组)的整数解确定多边形的边数. 2.计算不规则图形中多个角的度数和 例3如图所示，的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】五边形的边所在直线形成如图所示的形状，则（      ） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，（    ） A． B． C． D． 题型三 多边形内角和公式与平行线性质的综合 例4如图所示，在正五边形中，过点，作平行线，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，四边形中，，，平分交于点，平分交于点，交于点 (1)若，求的度数． (2)探究与有何位置关系？试说明理由． 【变式4-3】如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则 ． 题型四 多边形外角和定理的实际应用 例5 “花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案．若，则 度． 【变式5-1】如图，小明从点出发沿直线前进12米到达点，向左转后又沿直线前进12米到达点，再向左转后沿直线前进12米到达点，．．．，照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为（    ） A．120米 B．96米 C．72米 D．48米 【变式5-2】一个机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为多少米？（    ） A．9 B．12 C．24 D．45 【变式5-3】完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 题型五 多边形的对角线 1.多边形的对角线条数问题 例6 若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（  ） A．7 B．10 C．35 D．70 【变式6-1】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 【变式6-2】从多边形的一个顶点出发可以作条对角线，则这个多边形的边数是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ． 【变式6-4】若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 2.对角线分成的三角形个数问题 例7 从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 3.构建多边形模型，利用对角线条数公式解决实际问题 例8 学科某校八年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环（即每两个班举行一场比赛）积分制，那么一共需要进行多少场比赛？ 【变式8-1】【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【变式8-2】问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 题型六 多边形内角和公式在探究、开放性问题中的应用 例9 将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，求这两个多边形的内角和之和的度数． 【变式9-1】如图，若将一四边形纸片沿直线l剪成两个多边形，这两个多边形的内角和都是，则剪切正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【变式9-2】如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 截多边形一角后边数的变化情况一个多边形(边数大于3)截去一个角后，不同的截法会出现不同的结果:(1)边数减少1;(2)边数不变;(3)边数增加1. 【变式9-3】“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．    (1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中的度数； (2)若将图①中的星形截去一个角，如图②，请你求出的度数； (3)若再将图②中的星形进一步截去角，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想出图③中的的度数吗？(只要写出结论，不需要写出解题过程) 【变式9-4】（1）如图1，以四边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分（阴影部分）的面积之和记为，求的值（结果保留π）． （2）如图2，试探究其中与之间的关系，并证明． "化零为整"法 单独去求每个阴影部分的面积不太容易，但"化零为整"，从四边形的内角和来考虑四个阴影部分的面积的和,就比较简单了. 【变式9-5】（1）如图①所示，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系（直接写出结论）． （2）②示，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系（写出说理过程）． （3）若将（2）中的四边形改为六边形（如图③所示），请直接写出与的数量关系． 【变式9-6】（1）在图1中， 求∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2的度数． （2）我们作如下规定： 图1称为2环三角形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2； 图2为2环四边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2； 图3称为2环5五边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠E1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2＋∠E2； 想一想：2环n边形的内角和为 度（只要求直接写出结论）． 题型七 多边形内角和与外角和综合 例10 如图，五边形的一个内角，则 ． 【变式10-1】如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【变式10-2】四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式10-3】（1）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． （2）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ （3）如果一个边形的内角和等于它的外角和，则 ． 【变式10-4】如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为 ．    1．下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 3．若正多边形的一个顶点出发有条对角线，则该正多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 4．要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 5．如图，是一块四边形钢板缺了一个角，根据图中所标出的测量结果得所缺损的的度数为 ． 6．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ． 7.（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 ． （2）如果一个多边形的每个外角都等于24°，这个多边形的内角和是 °． 8．小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 9．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加 度． 10．如图，硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 ． 11．若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是 ． 12.四边形中，四个内角度数之比是，求出四个内角的度数． 13.如图所示，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的阴影部分的面积． 14.阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： 佳佳：我把一个多边形的各内角相加，所得的和为； 明明：什么？不可能的！虽然你的运算正确，但是你错把一个外角当成一个内角了！ (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)佳佳求的是几边形的内角和？ (3)错当成内角的那个外角为多少度？ 1．如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 2．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 3．如图， ． 4．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假预习第01讲 多边形 1.了解多边形的有关概念,认识多边形的边、内角、外角、顶点、对角线. 2.认识正多边形，知道正多边形的每条边都相等，每个内角都相等. 3.探索并掌握多边形的内角和公式与外角和定理,会用多边形的内角和公式与外角和定理进行简单的计算与说理. 1.多边形 一般地，在同一平面上，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作多边形。 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形等，三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫作n边形（为正整数，且）。如图23-1-1中的屋顶、窗户、地砖等，从中可见三角形、四边形、五边形、六边形、八边形等多边形。 图23-1-1 2.多边形的边、内角、外角、顶点、对角线图23-1-2 组成多边形的每一条线段叫作多边形的边；相邻的两条线段的公共端 点叫作多边形的顶点。 多边形各顶点通常用大写英文字母表示。在图23-1-2中，五边形的顶 点依次分别是，记作五边形。 多边形相邻两边所成的角叫作多边形的内角。在图23-1-2中， 都是五边形的内角。图23-1-3 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线。在 图23-1-3中，就是五边形的两条对角线。 例1 （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形，四边形共有 条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形，五边形共有 条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线． 【答案】 1 2 2 2 3 5 3 4 9 【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题 【分析】画出图形得到各图形从一个顶点出发引的对角线的条数、三角形的个数及对角线的总条数，进而结合规律，得到n边形的结果． 【详解】解：画出图形观察图形可得：    （1）从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形，四边形共有2条对角线； 故答案为：1，2，2； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形，五边形共有5条对角线； 故答案为：2，3，5； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形，六边形共有9条对角线； 故答案为：3，4，9； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形，n边形共有条对角线． 故答案为：，，． 【点睛】此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到其规律． 从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形. 已知从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，这些对角线可以把这个六边形分成个三角形，则 . 【答案】﹣1 【知识点】对角线分成的三角形个数问题、多边形对角线的条数问题 【分析】多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）；组成的三角形的个数为（n﹣2），分别求出m、n的值即可得出. 【详解】根据题意，画出图形： 总结规律“多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）；组成的三角形的个数为（n﹣2）”可知， 对角线共有6﹣3=3条，分成6﹣2=4个三角形， 则 所以 故答案为﹣1 【点睛】本题主要考查了多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）及组成的三角形的个数为（n﹣2），掌握规律能轻松快速解答本题. 例2画出四边形、五边形、六边形的所有对角线，猜想七边形、八边形有多少条对角线？边形呢？ 【分析】本题考查多边形对角线的定义，根据对角线的定义直接画图及求解即可得到答案； 【详解】解：画图如图所示， 四边形：条， 五边形：条， 六变形：条， ∴七边形有条对角线； 八边形有条对角线； 边形有条对角线； ∵从边形的一个顶点出发有条对角线， ∴共有条对角线， ∵其中每条对角线都重复数了一次， ∴有条对角线． 观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【答案】(1)2；5；9；14 (2)； (3) (4)54条 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查的是多边形的对角线的数量的探究； （1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可； （2）根据从1个顶点出发的对角线的数量，可得答案； （3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可； （4）利用（3）的规律，把代入计算即可． 【详解】（1）解：一个四边形有条对角线； 一个五边形有条对角线； 一个六边形有条对角线； 一个七边形有条对角线； （2）解：由（1）归纳总结可得： 由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线； （3）解：由（1）归纳总结可得： 一个n边形有条对角线． （4）解：当时， 一个十二边形有条对角线． 边形有条对角线．对的理解：从边形的一个顶点出发有（）条对角线，因为它有个顶点，共有条对角线，其中每条对角线都重复数了一次，所以有条对角线． 3.多边形的分类 对于一个多边形，如果画出它的任意一边所在的直线时，其余各边都在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫作凸多边形.图23-1-2、图23-1-4都是凸多边形，图23-1-5不是凸多边形.如无特别说明，本套教科书中所说的多边形都指凸多边形. 图23-1-5 图23-1-4 已知三角形的内角和等于180°，那么四边形的内角和等于多少?五边形呢?六边形呢?由此，你能推出n边形的内角和公式吗? 【详解】（1）解：依题意，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形， 则四边形的内角和是； （2）解：∵五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形， 则五边形的内角和是； （3）解：∵六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形， 则六边形的内角和是； （4）解：如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到个三角形，则n边形的内角和是 多边形的内角和定理 n边形的内角和等于． 设多边形是n边形。任取多边形的一个顶点，分别连接该顶点与其他不相邻的各个顶点，这个n边形被分成个三角形，这样n边形的内角和等于个三角形的内角和之和。因为个三角形的内角和之和等于，所以n边形的内角和等于。 例3求十边形的内角和与外角和． 【答案】十边形的内角和为，外角和为 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】根据多边形的内角和公式进行计算求得内角和，根据任意多边形的外角和为即可求解． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为， ∴十边形的外角和为， 十边形的内角和为 答：十边形的内角和为，外角和为． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，掌握内角和公式以及任意多边形的外角和为是解题的关键． 多边形的内角和的三种推导方法 定理 推理过程 拓展 n边形的内角和等于 方法 1：如图所示，从边形的一个顶点引出（）条对角线，这条对角线把边形分成个三角形，每个三角形的内角和是，所以边形的内角和是 正n边形的每条边都相等，每个角都相等，其内角和为， 所以正n边形的每个内角的度数为 方法 2：如图所示，在边形内任取一点，连接，把边形分成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得边形的内角和是 方法 3：如图所示，在边形的一边上任取一点与各顶点相连，得（）个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去在点处的一个平角，即 (1)多边形内角和的问题,通过添加辅助线将其转化为三角形内角和的问题. (2)多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°.所以，运用多边形的内角和定理可以进行有关多边形的角度计算与证明，也可以根据角度求边数. 1．正十二边形的每一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解． 【详解】解：正十二边形的每个外角的度数是：， 则每一个内角的度数是：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是解题的关键． 2．如图所示，在四边形中，去掉一个的得到一个五边形，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】此题考查了多边形内角和，三角形内角和和外角的性质，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式：（n是多边形的边数）． 解法一：首先根据四边形内角和得到，然后利用五边形内角和求解即可； 解法二：利用三角形外角的性质求解即可； 解法三：利用三角形内角和定理得到，然后利用平角的概念求解即可． 【详解】解法一：∵，， ∴． 又， ∴． 解法二：如图所示， ∵，，， ∴． 解法三：如图所示， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 3．如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、求扇形面积 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 1.多边形的外角 多边形内角的一边的延长线与另一边所组成的角叫作多边形的外角．图 23－1－7 中，是五边形的一个外角． 多边形的外角与它相邻的内角互补． 多边形的外角中，与同一个内角相邻的外角有两个，这两个角为对顶角，它们相等．图 23－1－8 中，和是五边形的外角中具有这种关系的两个外角． 2.多边形的外角和定理 对多边形的每个内角，从与它相邻的两个外角中任取一个，这样得到的所有外角的和，叫作多边形的外角和． 图23-1-8 图23-1-7 n边形的内角和随着边数的增加而增大，那么n边形的外角和是否也随着边数的变化而变化呢? 边形的外角和不随边数变化而变化，始终等于。 推理过程： 任意一个内角与它的外角之和为，因此 n 边形的内角和与外角和之和为。 已知 n 边形内角和为，所以外角和为： 多边形的外角和定理 多边形的外角和等于．图23-1-9 设多边形是边形．因为多边形的任意一个外角与同它相邻的内角互补， 即它们的和等于（图 23－1－9），所以边形的外角和加内角和等 于，于是边形的外角和等于减去边形的内角和，即 ，所以边形的外角和等于． 多边形的外角和不随着多边形边数的变化而变化，是一个常数． 如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形是几边形？ 【解析】设这个多边形是边形．根据题意，得 解得． 所以，这个多边形是五边形． 已知一个多边形的内角和是外角和的 6 倍，问：这个多边形是几边形？ 【解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，而外角和等于． 根据题意，得 解得． 所以，这个多边形是十四边形． 正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 常见的正多边形. 题型一 多边形内角和问题 例1如图，，则的值是 ． 【答案】70 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了四边形外角和定理与邻补角的性质，掌握四边形外角和为、邻补角的和为是解题的关键． 先利用四边形外角和为，求出第四个外角的度数，再根据邻补角的和为，计算出的值． 【详解】解：∵四边形的外角和为，且， ∴ 第四个外角的度数为， ∵ 与这个外角互为邻补角， ∴． 故答案为： ． 【变式1-1】四边形中，，则 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】根据四边形内角和定理，四边形的内角和为，结合角度比例设未知数列方程求解． 本题主要考查了四边形内角和为，熟练掌握并运用是解题的关键． 【详解】解：设，，，， 则， 解得， 故． 故答案为：． 【变式1-2】若一个四边形的四个内角之比为，则这个四边形中最大内角的度数为 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】设四个内角度数分别为，根据四边形内角和为，列出方程求解x，再求最大角的度数． 本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和计算方法是解题的关键． 【详解】解：由四边形内角和公式，得， 即， 解得， 则最大内角为． 故答案为：． 【变式1-3】求出下列图形中的值． 【答案】36；40 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了四边形内角和，解题的关键是结合四边形的内角和寻求等量关系，构建方程． 先根据四边形内角和为，用建立方程，对每个逐一求解即可． 【详解】解：图①：四边形的内角和等于， ， 解得． 图②：四边形的内角和等于， ， 解得． 【变式1-4】如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查了四边形的内角和，角平分线的定义，三角形的内角和，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理． 先通过邻补角的定义，四边形的内角和为，得到；再通过角平分线的定义结合三角形内角和为即可求出． 【详解】解：如图， ,， ． 又， ． 与的外角平分线交于点， ，． ． ． 故选：A． 题型二 多边形内角和公式的应用 1.确定少加的角的度数 例2下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：    请根据以上对话内容解答下列问题： (1)明明求的是几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？ 【答案】(1)明明求的是七边形的内角和； (2) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决几何问题、多（少）算一个角问题 【分析】（1）设少加的那个内角为，这个多边形的边数为，根据题意，列方程求解即可； （2）根据题意，列式求解即可； 【详解】（1）解：设少加的那个内角为，这个多边形的边数为． 根据题意，得， 则． 因为，所以． 解得． 因为为整数，所以． 所以明明求的是七边形的内角和． （2）解：当时，． 所以少加的那个内角为． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，多边形内角和，解题的关键是理解题意，正确列出方程或不等式． 【变式2-1】小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 【答案】， 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．根据多边形内角和定理：（且为整数），可得：多边形的内角和一定是的倍数，而多边形的内角一定大于，并且小于，用除以，根据商和余数的情况，求出加的这个内角的度数，进而可求出这个多边形的边数． 【详解】解：， 少加的这个内角的度数是：． ∴这个多边形的边数是：． 答：这个内角的度数为，多边形的边数为14． 【变式2-2】阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题． (1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是_________°． (2)在（1）的条件下，明明求的是几边形的内角和？ (3)在（1）的条件下，若这是一个正多边形，则这个正多边形的每一个外角的度数是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多边形内角和问题、多（少）算一个角问题、正多边形的外角问题 【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键． （1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可； （2）根据多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形外角和为360°，而每一个外角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， ∵发现少加了一个锐角， ∴这个“少加的锐角”是， 故答案为：； （2）设多边形边数为， 则， 解得：， 即明明求的是边形的内角和； （3）∵正边形的外角都相等，而多边形的外角和始终为， ∴这个正多边形的每个外角为， ∴这个正多边形的每一个外角的度数是． 通常情况下，解此类问题应用多边形的内角和是180°的整数倍，列出关于多边形的边数n的不等式组)，通过求不等式(组)的整数解确定多边形的边数. 2.计算不规则图形中多个角的度数和 例3如图所示，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形外角的性质以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和等于360°，是解题的关键，根据三角形外角的性质以及四边形内角和等于，即可求解． 【详解】解：如图，先标注顶点， ∵，， 又∵， ∴， 故选：C． 【变式3-1】如图所示，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，连接，根据四边形的内角和等于，可得，根据“8字形”的关系可得：，然后即可得解． 【详解】解：如图，连接，    则， 根据“8字形”数量关系，， 所以． 故选：C． 【变式3-2】如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题、三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．由，得，再由折叠的性质得，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， 把沿对折， ， 故选：D． 【变式3-3】五边形的边所在直线形成如图所示的形状，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和外角之间的关系及四边形内角和定理，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和为．分析图形，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”可知能把，，，，，，全部转化到，所在的四边形中，利用四边形内角和为360度可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式3-4】如图，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形外角和的实际应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】先根据三角形的外角性质可得，，，，，正好是五边形的外角和为． 【详解】解：如图： ∵，，，，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及多边形的外角和，解题的关键是得出，，，，． 题型三 多边形内角和公式与平行线性质的综合 例4如图所示，在正五边形中，过点，作平行线，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，平行线的性质，根据多边形的内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴． ∵，， ∴． 故选：A． 【变式4-1】如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行同旁内角互补、多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：延长，， ， ， 根据多边形的外角和定理可得， ． 故选：A． 【变式4-2】如图，四边形中，，，平分交于点，平分交于点，交于点 (1)若，求的度数． (2)探究与有何位置关系？试说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角与外角，平行线的性质与判定，（2）中根据已知条件求得的度数是解题的关键． （1）利用角平分线的定义求得的度数，然后利用平行线性质即可求得答案； （2）根据角平分线的定义，结合已知条件求得的度数，然后根据同位角相等，两直线平行即可证得结论． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ； （2）解：；理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式4-3】如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则 ． 【答案】/104度 【知识点】加减消元法、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、多边形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，平角的意义，四边形内角和，先根据角平分线的意义设，继而根据平角的意义得出，再由平行线的性质及四边形内角和得出，结合，求解即可． 【详解】∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴设， ∴， 过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 题型四 多边形外角和定理的实际应用 例5 “花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案．若，则 度． 【答案】348 【知识点】利用邻补角互补求角度、多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查多边形的外角和的应用．熟练掌握多边形的外角和为，是解题的关键．根据多边形的外角和为，求出另外三个外角的和，再根据补角的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵多边形的外角和为，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式5-1】如图，小明从点出发沿直线前进12米到达点，向左转后又沿直线前进12米到达点，再向左转后沿直线前进12米到达点，．．．，照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为（    ） A．120米 B．96米 C．72米 D．48米 【答案】B 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键． 根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以12米即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进12米后向左转45度， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了米． 故选B． 【变式5-2】一个机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为多少米？（    ） A．9 B．12 C．24 D．45 【答案】C 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形外角和是是解题的关键．根据多边形外角和是即可求出多边形的边数，再乘3即可得出答案． 【详解】解：， 即机器人从开始到停止围成的多边形为八边形， （米， 即该机器人从开始到停止所行走的路程为24米， 故选：C． 【变式5-3】完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 题型五 多边形的对角线 1.多边形的对角线条数问题 例6 若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（  ） A．7 B．10 C．35 D．70 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题 【详解】∵一个正n边形的每个内角为144°， ∴144n=180×（n﹣2）， 解得：n=10， 这个正n边形的所有对角线的条数是：==35， 故选：C． 【变式6-1】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和公式、外角和定理及对角线条数公式，掌握多边形内角和公式、外角和为、对角线条数公式​是解题的关键． 先利用多边形外角和为的定理，结合内角和公式，根据内角和是外角和的倍少列方程求边数；再用多边形对角线条数公式计算总对角线条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为． 由题意，得， 解得，即这个多边形的边数为． 总对角线条数为． 【变式6-2】从多边形的一个顶点出发可以作条对角线，则这个多边形的边数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线条数与边数的关系，设这个多边形的边数是，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，得出，求出即可，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 由题意得， 解得：， 故选：． 【变式6-3】若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ． 【答案】54 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形内角和公式与对角线公式的结合应用，关键在于准确求出边数并代入计算．根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解． 【详解】解：设多边形的边数是n，则 ， 解得， 多边形的对角线条数公式为：， 代入： 故答案为：54． 【变式6-4】若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 【答案】A 【知识点】多边形对角线的条数问题、正多边形的外角问题 【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的外角和定理和对角线的数量，掌握多边形的外角和定理和对角线数量的公式是解题的关键． 先根据正多边形外角和为360°，求出边数n，再利用对角线公式计算． 【详解】正多边形每个外角为60°，外角和为360°，故边数 ． 正n边形的对角线总数为 ．代入 ，得： 因此，该正六边形共有9条对角线， 故选：A． 2.对角线分成的三角形个数问题 例7 从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形对角线分割三角形的个数问题，根据从边形的一个顶点出发，可以将多边形分为个三角形，进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为， 故选：A． 【变式7-1】从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 【变式7-2】过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【答案】 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数． 【详解】解：设多边形有n条边，则 ， 解得：． 故这个多边形的边数是． 故答案为：． 3.构建多边形模型，利用对角线条数公式解决实际问题 例8 学科某校八年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环（即每两个班举行一场比赛）积分制，那么一共需要进行多少场比赛？ 【答案】15场 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】由题意可知，比赛的总场数即为六边形的对角线条数加边数． 【详解】解：如图所示，由题意可知，比赛的总场数即为六边形的对角线条数加边数，即共需比赛（场）．    【点睛】体育比赛中的单循环赛、打电话、握手等问题，都是多边形对角线公式在实际问题中的应用．需要注意的是一班与二班比赛一场和二班与一班比赛一场，只能算一场，不能重复计算． 【变式8-1】【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3， (2)5 (3) 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】（1）根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线，解答即可； （2）根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，解答即可； （3）根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，解答即可． 本题考查了多边形的对角线的规律探索，熟练掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线， 故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线， 故答案为：． 【变式8-2】问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】问题：；拓展：（1）9；14；（2）可以，9 【知识点】多边形对角线的条数问题、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键在于理解握手问题的数量关系． 问题：设参加聚会的同学共有人，则每人应握手次，根据等量关系建立等式即可． 拓展：（1）根据六边形中每个顶点可以形成3条对角线，求解即可；根据七边形中每个顶点可以形成4条对角线，求解即可． （2）根据n边形的对角线数量为条，建立等式求解一元二次方程即可． 【详解】解：问题：设参加聚会的同学共有人， 对于其中任意一个人来说，他需要和除自己之外的个人握手， ∵总共有个人，总共握手的次数是次． ∴得． 故答案为：． 拓展：（1）∵每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成3条对角线， ∴六边形的对角线数量为条． ∵每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成4条对角线， ∴七边形的对角线数量为条． 故答案为：9；14． （2）∵每个顶点可以与个顶点连接形成对角线， ∴每个顶点可以形成条对角线． 所以n边形的对角线数量为条． 设多边形的边数为n，对角线数量为， 可以得到方程，化简为． 解得或， 因为n为正整数，所以， 即多边形的边数为9． 题型六 多边形内角和公式在探究、开放性问题中的应用 例9 将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，求这两个多边形的内角和之和的度数． 【答案】或或 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形内角和问题，n边形的内角和，分为直线经过一组邻边、经过一组对边，经过一个角和一条边、经过两条边4种情况讨论． 【详解】解：一条直线将长方形分割成两个多边形，有以下4种情况（如图所示）：    （1）如图①所示，长方形被分割成一个五边形和一个三角形，这时两个多边形的内角和之和是； （2）如图②所示，长方形被分割成两个四边形，这时两个多边形的内角和之和是； （3）如图③所示，长方形被分割为一个四边形和一个三角形，这时两个多边形的内角和之和是； （4）如图④所示，长方形被分割成两个三角形，这时两个多边形的内角和之和是． 综上可得，这两个多边形的内角和之和是或或． 【变式9-1】如图，若将一四边形纸片沿直线l剪成两个多边形，这两个多边形的内角和都是，则剪切正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】多边形内角和问题 【分析】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键．根据四边形的内角和是求解即可． 【详解】解：四边形的内角和是， 剪成的两个多边形均为四边形， 故选：A 【变式9-2】如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 截多边形一角后边数的变化情况一个多边形(边数大于3)截去一个角后，不同的截法会出现不同的结果:(1)边数减少1;(2)边数不变;(3)边数增加1. 【变式9-3】“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．    (1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中的度数； (2)若将图①中的星形截去一个角，如图②，请你求出的度数； (3)若再将图②中的星形进一步截去角，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想出图③中的的度数吗？(只要写出结论，不需要写出解题过程) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多边形内角和问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】主要考查了多边形的内角与外角之间的关系． 三角形外角的性质和三角形内角和定理． （1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数； （3）根据图中可找出规律，并且每截去一个角则会增加，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴；    （2）∵，， ∴；      （3）观察可以发现图（1）到图（2）可以发现每截去一个角，则会增加， 所以当截去5个角时增加了， 则 【变式9-4】（1）如图1，以四边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分（阴影部分）的面积之和记为，求的值（结果保留π）． （2）如图2，试探究其中与之间的关系，并证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理： （1）根据四边形内角和定理可得四个阴影部分的圆心角的度数之和为四边形的四个内角之和，即为，据此根据圆面积计算公式求解即可； （2）由四边形的内角和是可知：，再由平角的定义可得，据此可得结论． 【详解】解：（1）由图可知，四个阴影部分的圆心角的度数之和为四边形的四个内角之和，即为， ∴四个阴影部分的面积构成一个整圆的面积，即：； （2），理由如下： 由四边形的内角和是可知：， ∵， ∴， ∴． "化零为整"法 单独去求每个阴影部分的面积不太容易，但"化零为整"，从四边形的内角和来考虑四个阴影部分的面积的和,就比较简单了. 【变式9-5】（1）如图①所示，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系（直接写出结论）． （2）②示，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系（写出说理过程）． （3）若将（2）中的四边形改为六边形（如图③所示），请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）．（2），见解析；（3） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （2）根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可； （3）根据六边形的内角和公式表示出，然后同理探究二解答即可． 【详解】解：（1）、分别平分和， ，， ， ， ， ， ； （2），理由如下： ∵，分别平分和， ∴，． ∴ ． （3）、分别平分和， ，， ， ， ， ， ， 即． 【变式9-6】（1）在图1中， 求∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2的度数． （2）我们作如下规定： 图1称为2环三角形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2； 图2为2环四边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2； 图3称为2环5五边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠E1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2＋∠E2； 想一想：2环n边形的内角和为 度（只要求直接写出结论）． 【答案】（1）360°；（2）（n-2）360° 【知识点】多边形内角和问题 【分析】（1）连结B1B2，首先根据三角形的内角和得到∠A2+∠C1=∠B1B2A2+∠B2B1C1，然后所求的六个角的和可转化为四边形A1B1B2C2的内角和； （2）2环n边形添加（n-2）条边，2环n边形的内角和成为（2n-2）边形的内角和，然后根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）连结B1B2， 则∠A2+∠C1=∠B1B2A2+∠B2B1C1， ∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2=∠A1+∠B1+∠B1B2A2+∠B2B1C1+∠B2+∠C2=360°； （2）如图，A1A2之间添加两条边， 可得B2+∠C2+∠D2=∠EA1D+∠A1EA2+∠EA2B2 则∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2=∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠EA1D+∠A1EA2+∠EA2B2=720°； 2环n边形添加（n-2）条边，2环n边形的内角和成为（2n-2）边形的内角和．其内角和为（2n-4）180°=（n-2）360°． 题型七 多边形内角和与外角和综合 例10 如图，五边形的一个内角，则 ． 【答案】290° 【知识点】利用邻补角互补求角度、多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了邻补角的性质与多边形的外角和，掌握利用邻补角将内角转化为相关角，结合周角计算角度和是解题的关键． 延长得到的邻补角，利用邻补角的性质求出该邻补角的度数；再结合多边形的外角和为，由此可得到的和． 【详解】解：如图，延长，令为． ，， ． ， ． 故答案为：． 【变式10-1】如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【知识点】多边形外角和的实际应用、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 【变式10-2】四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【知识点】正多边形的外角问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形的内角和外角的关系，利用内角和定理是解题关键． 四边形的外角与内角互补，外角为钝角当且仅当内角为锐角，因此，问题转化为求四边形内角中最多有多少个锐角． 【详解】解：∵四边形的内角和为，且每个锐角小于， ∴若四个内角均为锐角，则内角和，矛盾， ∴最多有三个内角为锐角． ∵每个锐角内角对应一个钝角外角， ∴最多有三个钝角外角． 故选：B． 【变式10-3】（1）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 【答案】六/6 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得出，解之即可得出答案． 本题主要考查多边形内角和与外角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式与外角和为． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则，解得，即这个多边形的边数为六． 故答案为：六． （2）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ 【答案】该多边形的边数为9 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理和外角和的性质；设这个多边形的边数为，然后根据多边形内角和定理、外角和的性质以及题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得： 解得． 答：该多边形的边数为9． （3）如果一个边形的内角和等于它的外角和，则 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形内角和公式与外角和，熟记多边形内角和公式及外角和为是解决问题的关键．先得到这个边形的内角和为，外角和为，再由内角和等于它的外角和，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：这个边形的内角和为，外角和为， ， 解得， 故答案为：． 【变式10-4】如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为 ．    【答案】/40度 【知识点】多边形内角和与外角和综合、多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形． 根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据的角度和为，得到，结合内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点， ∴是五边形， ∵，，，的角度和为， ∴， ∵五边形的内角和为 ∴． 故答案为：． 1．下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查凸多边形的定义，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形， 只有B选项不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：B． 2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 3．若正多边形的一个顶点出发有条对角线，则该正多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，解题关键是掌握多边形对角线的条数求法． 根据正多边形的一个顶点出发有15条对角线，列出方程求解． 【详解】解：设该正多边形的边数是， ∵正多边形的一个顶点出发有15条对角线， ∴，解得：， 故选：D． 4．要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，设多边形的边数为n，根据n边形从一个顶点出发画对角线，可分成个三角形进行计算． 【详解】解：设多边形的边数为n，则： ， 解得． 故选：C． 5．如图，是一块四边形钢板缺了一个角，根据图中所标出的测量结果得所缺损的的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟知四边形的内角和是解题的关键；用减去其余各角即可得解． 【详解】解：由题意，， 故答案为：． 6．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形内角和，设这个多边形的边数为，根据多边形内角和建立方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：． 故答案为：8． 7.（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的关系，设这个多边形的边数为，则，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数为， ∴， 解得：， 故答案为：． （2）如果一个多边形的每个外角都等于24°，这个多边形的内角和是 °． 【答案】2340 【知识点】多边形内角和与外角和综合、正多边形的外角问题、正多边形的内角问题 【详解】解析：一个多边形的每个外角都等于24°，由多边形的外角和是360°可得这个多边形的边数是，内角和是． 8．小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、多（少）算一个角问题 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，把一个内角多加一次即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个内角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个内角是的余数 即为 故答案为 9．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加 度． 【答案】180 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 根据n边形的内角和公式求解作差即可． 【详解】解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 故答案为：180． 10．如图，硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 ． 【答案】 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查正多边形的外角，掌握正多边形的每个外角都相等，且外角和为是解题的关键．将外角和除以角的个数9，即可解答． 【详解】解：， 即一个外角的度数为． 故答案为：． 11．若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是 ． 【答案】5 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】多边形的外角和恒为，因此内角和为，再根据内角和公式求边数即可． 本题考查了多边形的内角和，外角和，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：多边形的外角和恒为，因此内角和为， 设边数为n，则， 即， 解得． 故答案为：5． 12.四边形中，四个内角度数之比是，求出四个内角的度数． 【答案】四边形的四个内角的度数分别为：，，， . 【知识点】多边形内角和问题 【分析】设四个内角度数分别是x°，2x°，3x°，4x°，由多边形内角和公式可得：x+2x+3x+4x=180（4-2），再解方程即可得到答案． 【详解】解：设四个内角度数分别是 ， 根据题意得：， 解得：， . 答：四边形的四个内角的度数分别为：，，， ． 【点睛】此题主要考查了多边形内角公式，解题的关键是掌握内角和公式：（，且为整数） ． 13.如图所示，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的阴影部分的面积． 【答案】（1）1；（2） 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，外角和定理，扇形面积计算，熟知多边形内角和定理是解题的关键． （1）设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理和外角和为360度建立方程求解即可； （2）根据多边形内角和定理求出五边形内角和，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解；（1）设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为7； （2）五边形内角和为， ∴五个阴影部分的扇形圆心角度数之和为540度， ∴阴影部分面积为． 14.阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： 佳佳：我把一个多边形的各内角相加，所得的和为； 明明：什么？不可能的！虽然你的运算正确，但是你错把一个外角当成一个内角了！ (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)佳佳求的是几边形的内角和？ (3)错当成内角的那个外角为多少度？ 【答案】(1)不可能，详见解析 (2)佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和 (3)或 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的外角和内角的关系，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． （1）设多边形的边数为n，根据多边形内角和公式建立方程求出n的值，看n是否是正整数即可得到结论； （2）设这个多边形的边数为n，错把外角当内角的那个外角为，根据题意可得，化简得，根据n为正整数，且求出n的正整数解即可； （3）根据（2）的结果可求出相应的外角度数． 【详解】（1）解：设多边形的边数为n， 由题意得：， 解得：， ∵n为整数， ∴多边形内角和为是不可能的； （2）解：设这个多边形的边数为n，错把外角当内角的那个外角为． 根据题意可得，化简这个式子： 因为n为正整数，且，所以必须是的倍数． 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，不符合，舍去． 所以或． ∴佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和． （3）由（2）可知，当时，， 当时， ∴那个外角的度数为或 1．如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、多边形的概念与分类 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，割补法求面积；过点作交于，过点作交于，点作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，，设，，由四个三角形面积和，即可求解；能熟练利用割补法求面积，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作交于，点作交于， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 同理可证：， ， ， ， 设， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题、折叠问题 【分析】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质是解题的关键． 延长交于点，利用四边形的内角和定理得到：，利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得的值，则结论可求． 【详解】解：延长交于点，设交于点，如图， 四边形的内角和为， ， ， ． 由折叠的性质可得：． ， ． 在和中， ， ， ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．如图， ． 【答案】/360度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题考查三角形外角的性质及四边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．根据四边形的内角和得．又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，，从而求出所求的角的和． 【详解】解：如图所示： ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题、正多边形的外角问题 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $