第12讲 反比例函数（5知识点+8考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

寒假预习第12讲 反比例函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：反比例函数的概念 1.成反比例 如果变量与变量的乘积是一个不等于0的常数，那么就说变量与变量成反比例，用数学表达式表示为或者，其中是一个不等于0的常数. 2.反比例函数基本概念 (1)概念：一般地，形如（是常数，）的函数叫作反比例函数.非零常数称为比例系数.反比例函数由比例系数的值确定 【特别提醒】反比例函数的表达式也可写成或（是常数，）的形式. (2)自变量x的取值范围：不等于零的一切实数. (3)函数值y的取值范围：不等于零的一切实数 易错易混提醒： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 为什么？ 反比例函数解析式中的,成反比例,无论变量,怎样变化,的值始终等于与的乘积,因此人们习惯上称为比例系数.若,则恒成立,为一个常数函数，失去了反比例函数的意义. 下列函数是否是反比例函数？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 分析：判断一个函数是否是反比例函数，必须紧扣反比例函数的概念，形如，或（为常数且）.如果给出的函数表达式与反比例函数的表达式相符，那么这个函数是反比例函数；如果给出的函数表达式与反比例函数的表达式不相符，那么这个函数不是反比例函数. 解析：(1)不是反比例函数.因为分母中自变量的次数是3，不是1，与（为常数且）的形式不符. (2)是反比例函数.因为它符合（为常数且）的形式，这里. (3)不是反比例函数，而是正比例函数. (4)是反比例函数.因为它符合（为常数且）的形式，这里. (5)不是反比例函数.因为分母是，不是关于的一次单项式，与（为常数且）的形式不符. (6)不是反比例函数.因为表达式的右边是，即，显然与（为常数且）的形式不符. 【方法总结】 判断一个函数是否是反比例函数的方法 判断一个函数是否是反比例函数，关键要看是否能转化为反比例函数表达式的三种形式：（为常数，），（为常数，），（为常数，）. 知识点2：用待定系数法求反比例函数的表达式 1.求反比例函数表达式的一般方法是待定系数法 在反比例函数（是常数，）中，只有一个待定系数，因此只要给出一对、的对应值，就可以求出待定系数的值，从而确定反比例函数的表达式. 2.用待定系数法求反比例函数的表达式的一般步骤 （1）设→设反比例函数的表达式为（） （2）列→把已知与的一对对应值同时代入（），得到关于的方程 （3）解→解方程，求出的值 （4）代→将求出的的值代入所设表达式中，即可得到所求反比例函数的表达式 已知是的反比例函数，当时，． （1）写出关于的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）．（2）；（3）4． 【分析】（1）设，结合“当时，”求，得到函数解析式； （2）将代入函数解析式即可求得的值； （3）将代入函数解析式即可求得的值． 【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为， 当时，， ， 关于的函数解析式为． （2）当时，． （3）若，则， 解得． 知识点3：反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比函的图像 反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 知识点4：反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 补充笔记 【反比例函数图象的对称性】 1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴分别是:①二、四象限的角平分线y=-x;②一、三象限的角平分线;对称中心是:坐标原点. 2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称; 3、反比例函数与(k≠0)的图象关于x轴，y轴对称. 知识点4：比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 题型一．反比例函数的定义 例1．下列关于的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】形如为常数，的函数叫做反比例函数，由此判断即可． 【解答】解：、是正比例函数，故此选项不符合题意； 、是反比例函数，故此选项符合题意； 、不是反比例函数，故此选项不符合题意； 、不是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：． 【变式1】下列函数中，是关于的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【解答】解：、函数是一次函数，不符合题意； 、函数是正比例函数，不符合题意； 、函数不是反比例函数，不符合题意； 、函数是反比例函数，符合题意， 故选：． 【变式2】若是反比例函数，则必须满足（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义．即，只需令即可． 【解答】解：依题意有， 所以． 故选：． 【变式3】下列关系式中的两个量成反比例的是（　　） A．圆的面积与它的半径 B．正方形的周长与它的边长 C．路程一定时，速度与时间 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义解答即可． 【解答】解：、圆的面积半径，不是反比例函数，故本选项不符合题意； 、正方形的周长边长，不是反比例函数，故本选项不符合题意； 、路程一定时，速度和时间的关系，是反比例函数，故本选项符合题意； 、长方形一条边确定时，周长与另一边的关系，不是反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：． 【变式4】下列函数：①，②，③，④，是的反比例函数的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【分析】根据题意写出函数表达式再判断它们的关系则可． 【解答】解：①，是的一次函数，故错误； ②，是的正比例函数，故错误； ③，是的反比例函数，故正确； ④，是的反比例函数，故错误． 综上所述，正确的结论只有1个． 故选：． 题型二．反比例函数的图象 例2．函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象性质：当时，它的两个分支分别位于第二、四象限，得出结果． 【解答】解：反比例函数中， ， 双曲线位于二、四象限． 故选：． 【变式1】反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题． 【解答】解：在反比例函数和一次函数中， 当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象在第一、二、四象限，故选项、错误，选项正确， 当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象在第一、二、三象限，故选项错误， 故选：． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【解答】解：、一次函数图象应该过第一、二、四象限， ，， ， 反比例函数的图象经在二、四象限， 故错误； 、一次函数图象应该过第一、三、四象限， ，， ， 反比例函数的图象经在二、四象限， 故错误； 、一次函数图象应该过第一、二、三象限， ，， ， 反比例函数的图象经在一、三象限， 故错误； 、一次函数图象应该过第二、三、四象限， ，， ， 反比例函数的图象经在一、三象限， 故正确； 故选：． 【变式3】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：，都不在反比例函数图象上， 则， 即， 故的值可能是． 故选：． 题型三．反比例函数图象的对称性 例3．若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， 两函数的交点关于原点对称， 一个交点的坐标是， 另一个交点的坐标是． 故选：． 【变式1】如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于　 　． 【分析】先利用反比例函数解析式确定点坐标为，由于正方形的中心在原点，则正方形的面积为4，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的． 【解答】解：设反比例函数解析式， 由题意可得：点坐标为：， 故图中阴影部分的面积为：． 故答案为：1． 【变式2】已知直线与双曲线相交于点，，那么它们的另一个交点坐标是 　 　． 【分析】由直线与双曲线相交于点，，即可得出函数解析式，再求另一个交点坐标． 【解答】解：方法一：直线与双曲线，相交于点，， ， 直线为． 双曲线为． 解方程组：， 解得：，． 另一个交点为，． 故答案为：，． 方法二：直线是正比例函数， 直线与双曲线的交点关于原点对称， 直线与双曲线相交于点，， 它们的另一个交点坐标为：，． 故答案为：，． 题型四．反比例函数的性质 例4．关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而减小 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，图象位于第二、四象限，关于原点对称，且在每一象限内随的增大而增大． 【解答】解：反比例函数中，， 、当时，，图象经过点，正确，不符合题意； 、，图象位于第二、四象限，正确，不符合题意； 、反比例函数图象关于原点对称，正确，不符合题意； 、，当时，在第二象限，随的增大而增大，原说法错误，符合题意， 故选：． 【变式1】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得． 【解答】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限， ， 解得， 故选：． 【变式2】下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（　　） ①函数图象经过点；②图象经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性可得不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得不满足②；根据平行于轴的直线的性质可得不满足③；根据反比例函数的性质可得满足①②③． 【解答】解：根据一次函数与反比例函数图象的性质逐项分析判断如下： 、在中，一次项系数小于0，则随的增大而减小，不符合③，不符合题意； 、在中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，不符合题意； 、中，不随着的变化而变化，不符合③，不符合题意； 、在中，，则该函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，当时，，则该函数图象经过点，故该函数满足①②③，符合题意； 故选：． 【变式3】已知在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而减小，则的取值范围是　 　． 【分析】根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小可得答案． 【解答】解：在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而减小， ， 故答案为：． 题型五．反比例函数系数k的几何意义 例5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为6，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质和已知条件得出△的面积△的面积四边形的面积，再求出△的面积，即可得出的值． 【解答】解：连接，如图所示： 四边形是矩形， ，△的面积△的面积， 、在反比例函数的图象上， △的面积△的面积， △的面积△的面积四边形的面积， ， △的面积△的面积， ； 故选：． 【变式1】若函数与函数的图象相交于，两点，垂直轴于，则△的面积为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】 【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【解答】解：设点的坐标为，则， 故△的面积为， 又△与△同底等高， △的面积△的面积． 故选：． 【变式2】如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点，连接、．若，则的值为 　 　． 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，先求出，再求出，进而求出的值即可． 【解答】解：点在反比例函数的图象上，且轴， ， 又， ， ， 而， ， 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若△的面积是12，则的值为 　 　 ． 【答案】8． 【分析】连接，，过作轴于，过作轴于，根据平行线分线段成比例定理得到，求得，设，得到，，由，得到，根据三角形的面积和梯形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：连接，，过作轴于，过作轴于， ， ， ， ， 、两点在反比例函数的图象上， 设， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， 故的值为8， 故答案为：8． 【变式4】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 　 　． 【分析】根据反比例函数系数的几何意义得出矩形的面积为：1，矩形的面积是3，则矩形的面积为：． 【解答】解：过点作轴于点， 点在双曲线上，点在双曲线上， 矩形的面积为：1，矩形的面积是3， 矩形的面积为：， 故答案为2． 题型六．反比例函数图象上点的坐标特征 例6．对于函数，当时，的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由函数的解析式得到函数的增减性，然后求得的取值范围． 【解答】解：反比例函数中， 时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 故选：． 【变式1】已知，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：反比例函数的， 反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内随的增大而减小， 点在第三象限， ， ， ， 故选：． 【变式2】函数的图象一定不经过点（　　） A． B． C．， D．， 【答案】 【分析】把所给点的横纵坐标相乘，结果为3的点在函数图象上． 【解答】解：反比例函数中，， 只需要把所给点的横纵坐标相乘，结果为3的点在函数图象上， 四个选项只有符合， 故选：． 【变式3】如果点、点，都在函数的图象上，且，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用反比例函数的性质解决问题即可． 【解答】解：点、点，都在函数的图象上，且， ， ， 故答案为：． 题型七．待定系数法求反比例函数解析式 例7．反比例函数的图象过点，则这个函数的解析式为　 　． 【答案】． 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， 反比例函数解析式为， 故答案为：． 【变式1】在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴，轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2024，”乙同学说：“当时，点随着的增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 　 　． 【答案】．． 【分析】根据甲同学的说法确定，再根据乙同学的说法确定，继而得到反比例函数的解析式即可． 【解答】解：根据题意，满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式为：， 故答案为：， 【变式2】已知，与成正比例，与成反比例．当，时，的值都为6，请写出关于的函数解析式． 【答案】． 【分析】根据正比例与反比例的定义设出与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解． 【解答】解：根据题意设，， ， 当时，，当时，， ， ， ． 【变式3】如图，在第一象限内，已知反比例函数的图象经过横坐标为4的点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）反比例函数图象上有一点，线段上有一点，轴，且△的面积为3，求点坐标； （3）在第（2）小题的前提下，求点到直线的距离． 【答案】（1），直线的解析式为：； （2）； （3）． 【分析】（1）把代入，得，即可求得点的坐标，把代入，即可求得直线的解析式； （2）设，则，，即可求得的值，即可得到点坐标； （3）求出点的坐标，求得的长度，根据，即可求得点到直线的距离． 【解答】解：（1）反比例函数的图象经过横坐标为4的点， 把代入得：， ， 设直线的解析式为， 把代入得：，， 直线的解析式为：， （2）反比例函数图象上有一点，点在上，且轴， 设，则， 在第一象限， ， ， 即：， 解得：或（舍去） ， （3）， ， 设点到直线的距离为， ， ， 点到直线的距离为． 题型八．反比例函数与一次函数的交点问题 例8．直线与双曲线交于，两点，已知点坐标，则点坐标为 ． 【答案】． 【分析】把的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式，把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可； 【解答】解：把点的坐标代入一次函数的解析式中，可得：，解得：， 所以一次函数的解析式为：； 把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得：， 所以反比例函数的解析式为：， 由，解得或， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【变式1】如果正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，那么另一个交点的坐标为　 　． 【答案】． 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的对称性即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为正比例函数与反比例函数都关于坐标原点对称， 所以它们的交点也关于坐标原点对称． 因为正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为， 所以另一个交点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 　 　． 【答案】4． 【分析】先根据待定系数法求出、的值，再代入求解． 【解答】解：由题意得：，， ， 故答案为：4． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点的纵坐标为4． （1）求反比例函数解析式； （2）点在反比例函数的图象上，且在点右侧，过点作轴交正比例函数的图象于点，如果的面积是12，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为； （2）． 【分析】（1）由正比例函数解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）设，则，，利用三角形面积公式即可得到，求得，即可求得． 【解答】解：（1）点在正比例函数的图象上，点的纵坐标为4， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）设，则， ， 的面积是12， ， ， 解得，， 在点右侧， ． 1．下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 2．反比例函数中的常数k为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“形如的函数是反比例函数”是解题的关键． 根据定义直接求解即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 3．下列关于反比例函数的说法中，错误的是（    ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项． 【详解】解：解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 4．反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，即可求解. 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键． 5．如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作轴于点B，若的面积为7，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】设反比例函数的表达式为，点的坐标为，即可表示出点和点的坐标，那么的面积就可以表示为，即可求解． 【详解】解：设反比例函数的表达式为，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴的面积可以表示为， ∵的面积为7，即， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的中心对称性，表示出点的坐标，是解决本题的关键． 6．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的意义． 根据图像在第二、四象限列不等式计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 7．若反比例函数图像上有、、三点，则从小到大排列 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，判定函数图象在每个象限内，y随x的增大而减小，且横坐标、纵坐标同号，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据得， ∴函数图象在每个象限内，y随x的增大而减小，且横坐标、纵坐标同号， ∵反比例函数图像上有、、三点， ∴，， ∴从小到大排列为：， 故答案：． 8．在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向轴，轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”根据甲同学所描述，此反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键，根据甲同学的说法确定，得到反比例函数解析式即可． 【详解】解：根据题意，满足甲同学说法的反比例函数解析式为：， 故答案为：． 9．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．延长交轴于点，连接、，根据反比例函数中的几何意义得到，，从而推出，最后利用和同底等高即可得到答案． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，如图 点在双曲线上，点在双曲线上，且轴 ， 和同底等高 故答案为：1． 10．已知与成正比例，与成反比例．当时，的值都为6，请写出关于的函数解析式． 【答案】 【分析】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设（），（）， ∴， ∵当时，，当时，， ∴， ∴， ∴关于的函数解析式为． 11．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点． (1)求出两函数解析式； (2)根据图像回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？ 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，比较函数值的大小，解题的关键是正确理解图像中的信息． （1）用待定系数法求解析式即可； （2）观察图像，写出一次函数图像在反比例函数图像上方的的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵、在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数的图像上， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为， 答：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）解：由图像可知，一次函数图像在反比例函数图像上方对应的的取值范围是或， ∴当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值， 答：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $知识点1： 知识点2： 反比例函数 知识点3： 知识点4： 知识，点5： 变量y与变量c的乘积是一个不等于0的常数k,即xy=k或y=左， 其中k是一个不等于0的常数 成反比例关系 定义：形如y=会(k是常数，飞≠0)的函数叫作反比例函数 比例系数：非零常数k决定函数特性 反比例函数的概念 基本概念 自变量心的取值范围：不等于零的一切实数 函数值y的取值范围：不等于零的一切实数 普通形式：y=会(k是常数，k≠0) 表达形式 y=kx-1(k是常数，k卡0) 其他形式： xy=k(k是常数，k丰0) 待定系数法 方法 设：设反比例函数解析式为y=会(k≠0) 求反比例函数的表达式 代：将已知心与y的对应值代入解析式，建立关于k的方程 步骤 解：解方程求出k的值 写：将k值代入解析式，得到函数表达式 列表：取x的几对互为相反数的值(x≠0)，计算对应y值 描点：以(x,y)为坐标在平面直角坐标系中描点 画法步骤 连线：用光滑曲线连接各点，并向两方伸展 反比例函数的画法及图像 图像为双曲线，有两支，向心轴和则轴无限接近但永不相交 图像特征 图像向两方无限伸展 图像位置：第一、三象限 k>0 性质：在每个象限内，y随C的增大而减小 k的符号对图像和性质的影响 图像位置：第二、四象限 k<0 性质：在每个象限内，y随c的增大而增大 反比例函数的性质 图像关于原点成中心对称 对称性 图像关于直线y=c和y=一x成轴对称 过双曲线上任意一点P(x,y)作心轴、y轴的垂线， 与坐标轴围成 所得矩形面积S=k 的矩形面积 比例系数的几何意义 以原点、点P和垂足为顶点的 与坐标轴围成 三角形而积S=粤 的三角形面积 寒假预习第12讲 反比例函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：反比例函数的概念 1.成反比例 如果变量与变量的乘积是一个不等于0的常数，那么就说变量与变量成反比例，用数学表达式表示为或者，其中是一个不等于0的常数. 2.反比例函数基本概念 (1)概念：一般地，形如（是常数，）的函数叫作反比例函数.非零常数称为比例系数.反比例函数由比例系数的值确定 【特别提醒】反比例函数的表达式也可写成或（是常数，）的形式. (2)自变量x的取值范围：不等于零的一切实数. (3)函数值y的取值范围：不等于零的一切实数 易错易混提醒： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 为什么？ 反比例函数解析式中的,成反比例,无论变量,怎样变化,的值始终等于与的乘积,因此人们习惯上称为比例系数.若,则恒成立,为一个常数函数，失去了反比例函数的意义. 下列函数是否是反比例函数？为什么？ 【方法总结】 判断一个函数是否是反比例函数的方法 判断一个函数是否是反比例函数，关键要看是否能转化为反比例函数表达式的三种形式：（为常数，），（为常数，），（为常数，）. 知识点2：用待定系数法求反比例函数的表达式 1.求反比例函数表达式的一般方法是待定系数法 在反比例函数（是常数，）中，只有一个待定系数，因此只要给出一对、的对应值，就可以求出待定系数的值，从而确定反比例函数的表达式. 2.用待定系数法求反比例函数的表达式的一般步骤 （1）设→设反比例函数的表达式为（） （2）列→把已知与的一对对应值同时代入（），得到关于的方程 （3）解→解方程，求出的值 （4）代→将求出的的值代入所设表达式中，即可得到所求反比例函数的表达式 已知是的反比例函数，当时，． （1）写出关于的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）若，求的值． 知识点3：反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比函的图像 反比例函数的图像叫做,它有,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 知识点4：反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 补充笔记 【反比例函数图象的对称性】 1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴分别是:①二、四象限的角平分线y=-x;②一、三象限的角平分线;对称中心是:坐标原点. 2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称; 3、反比例函数与(k≠0)的图象关于x轴，y轴对称. 知识点4：比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 题型一．反比例函数的定义 例1．下列关于的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中，是关于的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若是反比例函数，则必须满足（　　） A． B． C． D． 【变式3】下列关系式中的两个量成反比例的是（　　） A．圆的面积与它的半径 B．正方形的周长与它的边长 C．路程一定时，速度与时间 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 【变式4】下列函数：①，②，③，④，是的反比例函数的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二．反比例函数的图象 例2．函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 题型三．反比例函数图象的对称性 例3．若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于　 　． 【变式2】已知直线与双曲线相交于点，，那么它们的另一个交点坐标是 　 　． 题型四．反比例函数的性质 例4．关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而减小 【变式1】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（　　） ①函数图象经过点；②图象经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A． B． C． D． 【变式3】已知在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而减小，则的取值范围是　 　． 题型五．反比例函数系数k的几何意义 例5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为6，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式1】若函数与函数的图象相交于，两点，垂直轴于，则△的面积为（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式2】如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点，连接、．若，则的值为 　 　． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若△的面积是12，则的值为 　 　 ． 【变式4】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 　 　． 题型六．反比例函数图象上点的坐标特征 例6．对于函数，当时，的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2】函数的图象一定不经过点（　　） A． B． C．， D．， 【变式3】如果点、点，都在函数的图象上，且，那么的取值范围是 ． 题型七．待定系数法求反比例函数解析式 例7．反比例函数的图象过点，则这个函数的解析式为　 　． 【变式1】在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴，轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2024，”乙同学说：“当时，点随着的增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 　 　． 【变式2】已知，与成正比例，与成反比例．当，时，的值都为6，请写出关于的函数解析式． 【变式3】如图，在第一象限内，已知反比例函数的图象经过横坐标为4的点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）反比例函数图象上有一点，线段上有一点，轴，且△的面积为3，求点坐标； （3）在第（2）小题的前提下，求点到直线的距离． 题型八．反比例函数与一次函数的交点问题 例8．直线与双曲线交于，两点，已知点坐标，则点坐标为 ． 【变式1】如果正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，那么另一个交点的坐标为　 　． 【变式2】在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 　 　． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点的纵坐标为4． （1）求反比例函数解析式； （2）点在反比例函数的图象上，且在点右侧，过点作轴交正比例函数的图象于点，如果的面积是12，求点的坐标． 1．下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 2．反比例函数中的常数k为（    ） A． B．2 C． D． 3．下列关于反比例函数的说法中，错误的是（    ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值y随x的增大而增大 4．反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 5．如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作轴于点B，若的面积为7，则反比例函数的表达式为 ． 6．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ． 7．若反比例函数图像上有、、三点，则从小到大排列 ． 8．在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向轴，轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”根据甲同学所描述，此反比例函数的解析式是 ． 9．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 10．已知与成正比例，与成反比例．当时，的值都为6，请写出关于的函数解析式． 11．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点． (1)求出两函数解析式； (2)根据图像回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $知识点1： 知识点2： 反比例函数 知识点3： 知识点4： 知识，点5： 变量y与变量x的乘积是一个不等于0的常数飞，即y=k或y=:, 其中k是一个不等于0的常数 成反比例关系 定义：形如y=会(k是常数，飞≠0)的函数叫作反比例函数 比例系数：非零常数k决定函数特性 反比例函数的概念 基本概念 自变量心的取值范围：不等于零的一切实数 函数值y的取值范围：不等于零的一切实数 普通形式：y=至(k是常数，k卡0) 表达形式 y=kx-1(k是常数，k卡0) 其他形式： xy=k(k是常数，k丰0) 待定系数法 方法 设：设反比例函数解析式为y=会(k卡0) 求反比例函数的表达式 代：将已知x与y的对应值代入解析式，建立关于k的方程 步骤 解：解方程求出k的值 写：将k值代入解析式，得到函数表达式 列表：取x的几对互为相反数的值(x≠0)，计算对应y值 描点：以（心，y)为坐标在平面直角坐标系中描点 画法步骤 连线：用光滑曲线连接各点，并向两方伸展 反比例函数的画法及图像 图像为双曲线，有两支，向心轴和则轴无限接近但永不相交 图像特征 图像向两方无限伸展 图像位置：第一、三象限 k>0 性质：在每个象限内，y随C的增大而减小 k的符号对图像和性质的影响 图像位置：第二、四象限 k<0 性质：在每个象限内，y随x的增大而增大 反比例函数的性质 图像关于原点成中心对称 对称性 图像关于直线y=c和y=一x成轴对称 过双曲线上任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线， 与坐标轴围成 所得矩形面积S=k 的矩形面积 比例系数的几何意义 以原点、点P和垂足为顶点的 与坐标轴围成 三角形而积S=粤 的三角形面积知识点1： 知识点2： 反比例函数 知识点3： 知识点4： 知识，点5： 变量y与变量x的乘积是一个不等于0的常数飞，即y=k或y=在， 其中k是一个不等于0的常数 成反比例关系 定义：形如y=会(k是常数，飞≠0)的函数叫作反比例函数 比例系数：非零常数k决定函数特性 反比例函数的概念 基本概念 自变量心的取值范围：不等于零的一切实数 函数值y的取值范围：不等于零的一切实数 普通形式：y=至(k是常数，k卡0) 表达形式 y=kx-1(k是常数，k卡0) 其他形式： xy=k(k是常数，k丰0) 待定系数法 方法 设：设反比例函数解析式为y=在(k≠0) 求反比例函数的表达式 代：将已知x与y的对应值代入解析式，建立关于k的方程 步骤 解：解方程求出k的值 写：将k值代入解析式，得到函数表达式 列表：取x的几对互为相反数的值(x≠0)，计算对应y值 描点：以（心，y)为坐标在平面直角坐标系中描点 画法步骤 连线：用光滑曲线连接各点，并向两方伸展 反比例函数的画法及图像 图像为双曲线，有两支，向心轴和则轴无限接近但永不相交 图像特征 图像向两方无限伸展 图像位置：第一、三象限 k>0 性质：在每个象限内，y随C的增大而减小 k的符号对图像和性质的影响 图像位置：第二、四象限 k<0 性质：在每个象限内，y随x的增大而增大 反比例函数的性质 图像关于原点成中心对称 对称性 图像关于直线y=c和y=一x成轴对称 过双曲线上任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线， 与坐标轴围成 所得矩形面积S=k 的矩形面积 比例系数的几何意义 以原点、点P和垂足为顶点的 与坐标轴围成 三角形而积S=粤 的三角形面积