第03讲 矩形（知识点+12考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

矩形是特殊的平行四边形 定义 矩形：四个内角都是直角的四边形叫作矩形 实例：黑板、地砖等 矩形具有平行四边形的所有性质，同时具备以下特殊性质： 对边平行(AB‖CD,AD‖BC) 边： 对边相等(AB=CD,AD=BC) 性质 角： 四个内角都是直角（∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°） 两条对角线相等(AC三BD) 对角线： 对角线互相平分(OA=OC,OB=OD,且OA=OB=OC=OD) 矩形 中心对称图形：对称中心是对角线交点 对称性： 轴对称图形：对称轴是对边中点所在的直线（有两条对称轴） 定义法：四个内角都是直角的四边形是矩形 定理1：有一个内角是直角的平行四边形是矩形 判定 定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 有两个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形） 注意事项： 对角线相等的四边形不一定是矩形（必须先满足平行四边形条件） 矩形的性质常用于解决直角三角形、等腰三角形等相关问题 关键提示 折叠问题中，矩形的对角线性质可推导出全等三角形矩形是特殊的平行四边形 定义 矩形：四个内角都是直角的四边形叫作矩形 实例：黑板、地砖等 矩形具有平行四边形的所有性质，同时具备以下特殊性质： 对边平行(AB‖CD,AD‖BC) 边： 对边相等(AB=CD,AD=BC) 性质 角： 四个内角都是直角（∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°） 两条对角线相等(AC=BD) 对角线： 对角线互相平分(OA=OC,OB=OD,且OA=OB=OC=OD) 矩形 中心对称图形：对称中心是对角线交点 对称性： 轴对称图形：对称轴是对边中点所在的直线（有两条对称轴） 定义法：四个内角都是直角的四边形是矩形 定理1：有一个内角是直角的平行四边形是矩形 判定 定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 有两个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形） 注意事项： 对角线相等的四边形不一定是矩形（必须先满足平行四边形条件） 矩形的性质常用于解决直角三角形、等腰三角形等相关问题 关键提示 折叠问题中，矩形的对角线性质可推导出全等三角形 寒假预习第03讲 矩形 1.掌握矩形的概念，理解矩形与平行四边形之间的联系. 2.经历探索矩形的性质和判定定理的过程，能够运用矩形的性质与判定定理解决简单的几何问题. 3.探索矩形的对称性，并会运用矩形的对称性解题. 在小学阶段，我们已经了解过长方形与正方形，其中长方形就是我们将要介绍的矩形.生活中有很多矩形的实例，如图23-3-1，黑板、地砖，它们的边框都可以看作矩形. 图23-3-1 定义 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 如图23-3-2，在矩形中，由矩形的定义，可知 ． 所以， 所以，即矩形的两组对边平行． 根据平行四边形的定义，可知矩形必然是平行四边形．所以，矩形是一种特殊的平行四边形． （1）有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形. （2）矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形. 矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质也可以从边、角、对角线、对称性等几方面来研究，如下表所示: 图形 性质 符号表示 边 对边平行 对边相等 角 四个内角都是直角 对角线 两条对角线相 等且互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴 矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】B 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质：对边相等且平行，四个角都是直角，对角线平分且相等，矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，根据性质判断即可． 【详解】解：矩形不一定具有的性质是对角线垂直． 故选：B． 矩形的短边长为，长边是短边的倍，则矩形的周长是 ． 【答案】 【知识点】矩形性质理解 【分析】矩形的短边长为，长边是短边的倍，可得长边为，即可计算周长． 【详解】解：∵矩形的短边长为，长边是短边的倍， ∴矩形的较长边长为， ∴矩形的周长 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和周长，掌握矩形的性质是解题关键． 如图，在矩形中，点在边上，若，，则 ． 【答案】/40度 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】根据矩形性质得，，进而得，再根据得，然后再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在△中，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用矩形的性质求角度，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 1.定义判定法 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 2.判定定理1 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形. 3.判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 两条对角线相等的四边形不一定是矩形. (1)判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择方法. (2)用定理1判定一个四边形是矩形必须同时满足2个条件:一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形. (3)用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件:一是对角线相等，二是平行四边形，也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识. 首先证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、等边三角形的判定和性质、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由，可得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是矩形； （2）由题意求得，由矩形的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）解：，， ． 又矩形中，， ∴是等边三角形， ． （1）矩形的四个角都是直角，故常把矩形的有关问题转化到直角三角形中进行解决. （2）矩形的对角线相等且互相平分，矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形，如果矩形的两条对角线的夹角为60°或120°，那么图形中必有等边三角形，解题时要重视此隐含条件. （3）在四边形是平行四边形的前提下，判定一个四边形是矩形只要证明这个平行四边形的对角线相等或有一个角是直角即可. 考点1：矩形性质理解 例1. 在下列结论中，不属于矩形性质的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 【答案】C 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题考查的是矩形的性质，比较简单，熟记矩形的各种性质是解题关键．根据矩形的各种性质解答即可． 【详解】解：由矩形的性质可知：矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，邻边互相垂直．但矩形的两条对角线不一定互相垂直， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列关于矩形的说法中正确的是（ ）． A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】B 【知识点】矩形性质理解 【详解】A．对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误； B．矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误； D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误； 故选B． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质． 【变式1-2】平行四边形不具有而矩形只有的性质是（　　） A．.对边相等 B．对边平行 C．.对角相等 D．对角线相等 【答案】D 【知识点】矩形性质理解 【分析】根据平行四边形和矩形的性质进行判断． 【详解】解：A、平行四边形和矩形的对边都相等，故本选项错误； B、平行四边形和矩形的对边都平行，故本选项错误； C、平行四边形和矩形的对角都是相等的，故本选项错误； D、平行四边形的对角线不一定相等，而矩形的对角线肯定相等，故本选项正确． 故选D． 【点睛】考查了矩形的性质和平行四边形的性质，熟练掌握四边形性质是解题的关键． 【变式1-3】矩形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．两组对角相等 D．两组对边平行且相等 【答案】B 【知识点】矩形性质理解 【详解】试题分析：A、C、D是矩形和平行四边形都具有的性质，对角线相等是矩形具有的性质而平行四边形不具有，故A和C，D都不对．故选B． 考点：1．矩形的性质；2．平行四边形的性质． 考点2：利用矩形的性质求角度 例2. 两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算、三角形的外角的定义及性质、利用矩形的性质求角度 【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α． 【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°， ∠2=90°-∠3=180°-α． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义． 【变式2-1】如图，的边与矩形的边相交于点．若，，则的大小为 ． 【答案】124° 【知识点】利用矩形的性质求角度、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是利用矩形的直角性质求出相关角，再结合平行四边形对边平行、对角相等的性质推导角度． 结合矩形的直角性质、三角形外角定理，先求出的度数，再利用平行四边形对角相等得到的大小． 【详解】解：四边形是矩形， ． ， ． 又， ． 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 【变式2-2】如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 【答案】 【知识点】利用矩形的性质求角度 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质（对角线互相平分且相等）是解题关键． 【变式2-4】如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E．与交于点F．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，，求的面积． 【答案】(1)详见解析， (2)，详见解析， (3)，详见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】(1)根据证明三角形全等即可； (2)利用全等三角形的性质，矩形的性质和折叠的性质求解即可； (3)根据全等三角形的性质得，然后在中，由勾股定理列方程求得的长，再由的面积即可求解． 【详解】（1）将矩形沿对角线折叠，则， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）∵， ∴， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换，勾股定理，三角形面积计算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 考点3：根据矩形性质求线段长 例3. 如图，矩形中，对角线与交于点，垂直平分，是垂足，若，则的长是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、二次根式的乘法、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理． 由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，，， ， 垂直平分， ， ， ， ． 故选：B． 【变式3-1】如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接可知，的面积等于与的面积和，分别表示出和的面积，再列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案． 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 【变式3-3】如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，证明得到， 则可证明， 设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 考点4：根据矩形的性质求面积 例4. 在矩形中，对角线，则矩形的面积为（  ） A．48 B．60 C．80 D．96 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理等知识 ，根据矩形的性质以及勾股定理求得的长是解题的关键． 利用矩形的对角线相等和勾股定理，求出另一条边的长度，再计算矩形面积． 【详解】解：∵ 在矩形中，对角线， ∴ 在中，，为斜边， 由勾股定理得：，即， ∴ 矩形面积． 故选A． 【变式4-1】如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是平方厘米，请问：阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】13 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题主要考查三角形的面积、矩形的性质等知识点，弄清各图形面积间的关系是解题的关键。 由图可知，，据此列式计算即可． 【详解】解：三角形、三角形、三角形都可以以为底，为高，故它们的面积都等于 (平方厘米)， 平方厘米． 故答案为：13． 【变式4-2】如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求面积、整式加减的应用 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形面积的相关知识，解题的关键是利用中点性质和三角形面积关系进行推导． 通过连接，分析三角形面积之间的关系，从而得出阴影部分面积． 【详解】解：连接．    在长方形中，和等底等高， ， 同理可证，， 是的中点，， 是的中点，， ， ． 故选：B． 【变式4-3】如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求面积、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 求阴影部分面积的方法 当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴影部分转化为比较规则的图形，再求其面积. 考点5：利用矩形的性质证明 例5. 如图，四边形是矩形，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．根据矩形的性质得到，进而得到，，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． 【变式5-1】如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，即，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据矩形的判定得出即可； （2）根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，推出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）∵四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【变式5-2】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、两直线平行内错角相等、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明； （2）先根据勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵，， 故， 故在中，， ∵的面积为， 即， ∴． 【变式5-3】如图，在长方形纸片中，，将其沿折叠，点C落在点A处． (1)求证：为等腰三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质，等腰三角形的判定和勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）结合矩形和折叠的性质证明即可； （2）设，折叠可得，从而得到，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠性质可知，， 由题意可得， ． ． ． 是等腰三角形． （2）解：由折叠可得，设， 则． ， 在中，有， 即，解得． ． ． 考点6：矩形与折叠问题 例6. 如图，矩形中，，，点E为的中点，将沿翻折至，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案． 【详解】解：连接， ∵，点E为的中点， ∴， 又∵， ∴， 由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴）， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 根据勾股定理得，． 故答案为：． 【变式6-1】如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为．若，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质和折叠的性质（垂直平分线的性质）、勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程求出的长度是解题的关键． 由折叠得垂直平分，得，设，则，，由矩形得，利用勾股定理列方程求得长，由即可得出． 【详解】解：由折叠得垂直平分， ∴， 设，则，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得，即， ∴． 故答案为． 矩形的折叠问题 对于矩形的折叠问题，要抓住这类问题的关键——弄清“折痕”的特点，认识到折起部分与原部分是全等的，主要抓住以下几点:(1)轴对称变换的性质:①关于一条直线对称的两个图形全等;②对应点所连线段被对称轴垂直平分.(2)注意隐含的位置关系和数量关系.(3)适当添加辅助线，有时还需要借助代数中的方程思想进行有关线段、角度或面积的计算. 考点7：矩形性质理解 例7. 下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解、矩形性质理解 【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 【详解】解：A选项：矩形是有一个角是直角的平行四边形， 故A选项正确； B选项：平行四边形的内角不一定是直角， 平行四边形不一定是矩形， 故B选项错误； C选项：矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故C选项正确； D选项：矩形是特殊的平行四边形， 矩形具有平行四边形的所有性质， 故D选项正确． 故选：B． 【变式7-1】要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用． 根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意； 选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意； 选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意； 故选D． 【变式7-2】下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 根据矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），该选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式7-3】平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是（） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．不规则四边形 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解 【分析】利用平行四边形邻角互补、角平分线的性质，推导内角平分线围成四边形的内角特征． 【详解】解：已知平行四边形对边平行，邻角互补（和为）． 当作出平行四边形的内角平分线时，相邻两个内角的平分线相交形成的角为． A、梯形：梯形是只有一组对边平行的四边形，但内角平分线围成的四边形四个角都是直角，不止一组对边平行，不符合题意； B、矩形：矩形的定义是有三个角是直角的四边形（或四个角都是直角的四边形），由上述分析可知，内角平分线围成的四边形四个角均为，符合矩形的判定条件，符合题意； C、正方形：正方形需要邻边相等且有一个角是直角，但平行四边形内角平分线围成的四边形邻边不一定相等，不符合题意； D、不规则四边形：该四边形四个角都是直角，是规则的矩形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定，解题关键是利用平行四边形邻角互补的性质，推导内角平分线相交形成的角为直角． 考点8：添加条件使四边形是矩形 例8. 如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，添加，由矩形的判定可得出结论． 【详解】解：添加的一个条件是：． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，添加的条件符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式8-1】如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】证明四边形是菱形、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形， 故本选项符合题意； 、， 是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：． 【变式8-2】如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A． ∵，∴，即，平行四边形不是矩形 B． ，无法判定平行四边形是矩形 C． ，无法判定平行四边形是矩形 D． ∵，∴，平行四边形是矩形 故选：D． 考点9：证明四边形是矩形 例9. 如图，在中，，为的中点，连接并延长至使，连接、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，E为的中点，连接，．求对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质与判定求线段长、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、三角形中位线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等，熟记相关定理是解题的关键． （1）先根据中点性质可得，再证四边形为平行四边形，又，即可证明四边形为矩形； （2）根据中位线性质得，根据矩形的性质和，可证为等边三角形，可得，继而可得对角线． 【详解】（1）证明：为的中点， ． 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． （2）解：，点是的中点， ． 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ． 【变式9-1】如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，然后根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得四边形是矩形． （2）证明和是等边三角形，是等边三角形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 即的长为． 【变式9-2】如图，E、F为平行四边形的对角线上的两点，且，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．连接交于点O，证明四边形是平行四边形，由即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：连接交于点O， 四边形是平行四边形， ， 即， 又∵ 四边形是平行四边形 ， 四边形是矩形. 【变式9-3】如图，将的边延长至点，使，，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定以及三角形的外角性质等知识．注意证得四边形为平行四边形是关键． （1）根据平行四边形的判定和性质证明即可； （2）由（1）得，即可证得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形为平行四边形，则，， 四边形为平行四边形， ，即， 又，， ， ， ，即， 平行四边形为矩形． 考点10： 矩形的判定与性质综合 1.根据矩形的性质与判定求角度 例10.如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求角度、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 【变式10-1】如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、根据矩形的性质与判定求角度、证明四边形是矩形 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式10-2】如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用、根据矩形的性质与判定求角度、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2.根据矩形的性质与判定求线段长 例11. 如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：    小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．    这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． 【答案】这两位同学的说法都正确，证明见解析 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质与判定求角度、证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定以及性质，连接，，先证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，再证明四边形是矩形，根据矩形得性质得出，，进而即可证明． 【详解】这两位同学的说法都正确，证明如下， 证明：如图，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，点D在的延长线上， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． 【变式11-1】如图所示，梯形中，，，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、图形的全等 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等图形的性质，勾股定理． 连接，证明四边形是矩形，得到，，根据全等图形的性质求出，设，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵四个全等的直角梯形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∵四个全等的直角梯形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，即， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式11-2】如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、垂线段最短 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用矩形的性质得出．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得＝，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得．即则的最小值是． 故答案为：． 【变式11-3】如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 3.根据矩形的性质与判定求面积 例12. 如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 。 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握．过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和=长方形的面积． 故答案为：． 【变式12-1】矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式12-2】如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为 ． 【答案】3 【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了菱形的性质的运用，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分． 连接，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到都是直角，即可得到四边形是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又 ∵是的中点， ∴， 又 ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵菱形的面积为， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：3． 【变式12-3】如图，在菱形中，对角线相交于点，．若，且四边形的面积为18，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，可判断出四边形是矩形；由菱形的面积和勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形的面积为18， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及完全平方式等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键． 1．关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　） A．四个角都是直角 B．既是轴对称图形，也是中心对称图形 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 【答案】C 【知识点】矩形性质理解 【分析】根据矩形的性质得出A、B、D正确，C不正确，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴A选项正确，不符合题意； ∵矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形， ∴B选项正确，不符合题意； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴C选项不正确，符合题意；D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 2．如图，过矩形对角线上一点作，分别交和于点和，连接，已知，则和的面积和等于（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】作于，交于，根据矩形的对角线平分矩形面积的性质得到的面积等于，然后求解即可． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ， ， ，， ， ∴和的面积和， 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，正确添加辅助线以及利用矩形对角线平分矩形面积得到的面积等于是解决本题的关键． 3．要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不一定能合格的零件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答即可．熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意； B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意； C、一组对角为直角的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意； D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意． 故选：C． 4．两个矩形的位置如图所示，若，则 ． 【答案】117 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查矩形的性质及平行线的性质等知识．利用矩形的性质和余角的性质可得，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形、都是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：117． 5．如图在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若cm，cm，则 cm． 【答案】5 【知识点】根据矩形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出矩形的对角线的长，再根据三角形中位线定理可得出EF的长． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC=， ∴矩形ABCD中，BD=20cm，DO=10cm， ∵点E、F分别是AO、AD的中点， ∴EF是△AOD的中位线， ∴EF=OD=×10=5（cm）， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质的运用，解答本题需要熟练掌握：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 6．如图，已知矩形中，点E在边的延长线上，且，连接交于F，如果，那么的度数为 ． 【答案】60°/60度 【知识点】利用矩形的性质求角度、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】连接AC，交BD于点O，由矩形的对角线相等且互相平分可得∠CAE=∠E=20°，由三角形外角的性质可得∠ACB，由等边对等角可得∠OBC，进而求得∠BOC，△AOF中由三角形内角和定理可得∠AFO． 【详解】解：如图，连接AC，交BD于点O， ABCD是矩形，则BD=AC， CE=BD，则CE=AC， ∠E=20°，则∠CAE=20°， ∴∠ACB=∠CAE+∠E=40°， ∵OB=BD，OC=AC， ∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=40°， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=100°， ∴∠AOF=∠BOC=100°， ∵∠OAF=20°， ∴∠AFO=180°-∠OAF-∠AOF=60°， ∴∠AFB=60°， 故答案为：60°； 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握矩形的性质是解题关键． 7．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，用割补的方法求阴影部分的面积是解题的关键．根据矩形的性质及全等三角形的判定证明，得到，所以可得，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ． 故答案为：30． 8．在矩形中，点E在边上，点F在边上，连接若， ，则的长为 ． 【答案】或/或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】分两种情况讨论，画出图形，根据矩形的性质及勾股定理分别解答即可． 【详解】解：如图，当为锐角三角形时，过点F作交于点H，则有， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中根据勾股定理有， 即． 如图，当为钝角三角形时，过点F作交于点H，则有． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中根据勾股定理有， 即． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 9．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、矩形与折叠问题 【分析】（）利用矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，即得，，进而即可求证； （）由直角三角形的性质可得，进而由平行线的性质得，再根据折叠的性质即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又由折叠得，， ∴． 10．如图，在中，、、、分别是、、、的平分线，、交于点，、交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可得，由此可证四边形为矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ．     ，分别平分，， ． ，     同理可得：，，， ，， ，     四边形是矩形． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握四个角是直角的四边形是矩形． 11．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM． (1)求证：四边形AMCN是矩形； (2)若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长． 【答案】(1)见解析 (2)MN＝2 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）先证四边形AMCN是平行四边形，再证MN=AC，即可得出结论； （2）证△ABC是等腰直角三角形，得AC=AB=2，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∴MN＝2OM， ∵AC＝2OM， ∴MN＝AC， ∴平行四边形AMCN是矩形； （2）解：由（1）得：MN＝AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝2，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠BAD＝135°， ∴∠ABC＝45°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴MN＝2 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，对角线AC、BD相交于点O，点P是AD上一动点（不与A、D重合），过点P作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F，则PE+PF的值是（  ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】连接OP．利用勾股定理求出AC，利用矩形的性质得出，进而得出，再利用，联立即可求出PE+PF的值． 【详解】解：如图，连接OP． ∵ 矩形ABCD中，AB=3，AD=4， ∴， ， 由矩形的性质知，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理及三角形面积公式，通过将PE和PF结合起来，是解题的关键． 13．在四边形ABCD中，有以下四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】证明四边形是矩形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先证明△ABC≌△CDA，然后即可证明四边形ABCD是矩形． 【详解】解：当具备①③④这三个条件，能得到四边形ABCD是矩形． 理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA（AAS）， ∴∠ACB＝∠DCA， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 14．在四边形中，有以下四个条件：①；②；③；④．若从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形，则这样的选择共有 种． 【答案】3/三 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、证明四边形是矩形 【分析】此题考查了矩形的判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分情况讨论，然后根据矩形的判定和全等三角形的性质和判定定理逐项求解判断即可． 【详解】如图所示， 若选择①②③ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形； 若选择①②④ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形； 若选择②③④ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 综上所述，可以判定四边形为矩形的选择共有3种． 故答案为：3． 15．如图，矩形中，对角线相交于点O，分别过点A，C作于点E，于点F，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用矩形的性质证明 【分析】（1）由，，可得，，由四边形是矩形，可得，，证明，则，进而结论得证； （2）由（1）知， ，则，证明为线段的垂直平分线，则，为等边三角形，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）知， ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴为线段的垂直平分线， ∴，   ∴为等边三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16．如图，已知平行四边形ABCD． （1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形； （2）若∠BAD＝120°，CD＝3，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)证明见详解；（2）9 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD＝3，求得∠ABC＝60°，勾股定理即可求出AC,可得到结论． 【详解】1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵AC＝2OM， ∴MN＝AC， ∴四边形AMCN是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝3， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BCA=30° ∴BC=6 ∴AC＝3， ∴平行四边形ABCD的面积＝AC•AB＝33＝9． 【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 17．如图，在中，＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且，． (1)求证：四边形CEDF是矩形； (2)连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、证明四边形是矩形 【分析】（1）由三个角是直角的四边形是矩形可证四边形CEDF是矩形； （2）连接CD，由矩形的性质可得CD＝EF，当CD⊥AB时，CD有最小值，即EF有最小值，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°， ∴∠DFB＝∠C＝90°， ∴∠DFC＝90°＝∠C， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C， ∴四边形CEDF是矩形； （2）解：连接CD，如图所示： 由（1）可知，四边形CEDF是矩形， ∴CD＝EF， ∴当CD有最小值时，EF的值最小， ∵当CD⊥AB时，CD有最小值， ∴CD⊥AB时，EF有最小值， ∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5， ∴CD的最小值为5， ∴EF的最小值为5． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质以及最小值问题，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 18．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是矩形 【分析】（1）连接，首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，在中，，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在 中， ∵为中点， ， 在 中， ∵为中点， ， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 19．【阅读理解】矩形纸片中，点为边上一点，将沿折叠至，延长与直线交于点．    (1)【操作尝试】若，且点落在边上，则矩形的面积为________； (2)【理解探究】若，且点落在矩形内部，点在边上，如图，已知，请求出矩形的面积； (3)【探究拓展】若，且，直接写出矩形的面积． 【答案】(1)72 (2)108 (3)48或144 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据折叠得：，可得，根据矩形的面积即可解答； （2）如图2，连接，先证明，得，设，则，根据勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：①如图3，点G在点B的右侧，连接，先由勾股定理可得和的长，设，则，最后由勾股定理即可解答；②如图4，点G在点B的左侧，连接，同样的方法即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，    ∴， ∵点F落在边上， 由折叠得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形的面积； 故答案为：72； （2）解：如图2，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积； （3）解：分两种情况： ①如图3，点G在点B的右侧，连接，    ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 此时点G与C重合， ∴矩形的面积； ②如图4，点G在点B的左侧，连接，      同理， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴矩形的面积 综上，矩形的面积是48或144． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，矩形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20．如图，点E是平行四边形对角线上一点，点F在的延长线上，且，与交于点G．    (1)求证：； (2)连接，若，若G恰好是的中点，求证：四边形是矩形； 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）连接，交于点，证出是的中位线，得即可； （2）先证，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； 【详解】（1）证明：连接，交于点O，如图所示：    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； （2）证明：如图所示：    由（1）得：， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形； 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假预习第03讲 矩形 1.掌握矩形的概念，理解矩形与平行四边形之间的联系. 2.经历探索矩形的性质和判定定理的过程，能够运用矩形的性质与判定定理解决简单的几何问题. 3.探索矩形的对称性，并会运用矩形的对称性解题. 在小学阶段，我们已经了解过长方形与正方形，其中长方形就是我们将要介绍的矩形.生活中有很多矩形的实例，如图23-3-1，黑板、地砖，它们的边框都可以看作矩形. 图23-3-1 定义 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 如图23-3-2，在矩形中，由矩形的定义，可知 ． 所以， 所以，即矩形的两组对边平行． 根据平行四边形的定义，可知矩形必然是平行四边形．所以，矩形是一种特殊的平行四边形． （1）有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形. （2）矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形. 矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质也可以从边、角、对角线、对称性等几方面来研究，如下表所示: 图形 性质 符号表示 边 对边平行 对边相等 角 四个内角都是直角 对角线 两条对角线相 等且互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴 矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 矩形的短边长为，长边是短边的倍，则矩形的周长是 ． 如图，在矩形中，点在边上，若，，则 ． 1.定义判定法 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 2.判定定理1 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形. 3.判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 两条对角线相等的四边形不一定是矩形. (1)判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择方法. (2)用定理1判定一个四边形是矩形必须同时满足2个条件:一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形. (3)用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件:一是对角线相等，二是平行四边形，也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． （1）矩形的四个角都是直角，故常把矩形的有关问题转化到直角三角形中进行解决. （2）矩形的对角线相等且互相平分，矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形，如果矩形的两条对角线的夹角为60°或120°，那么图形中必有等边三角形，解题时要重视此隐含条件. （3）在四边形是平行四边形的前提下，判定一个四边形是矩形只要证明这个平行四边形的对角线相等或有一个角是直角即可. 考点1：矩形性质理解 例1. 在下列结论中，不属于矩形性质的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 【变式1-1】下列关于矩形的说法中正确的是（ ）． A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分 【变式1-2】平行四边形不具有而矩形只有的性质是（　　） A．.对边相等 B．对边平行 C．.对角相等 D．对角线相等 【变式1-3】矩形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．两组对角相等 D．两组对边平行且相等 考点2：利用矩形的性质求角度 例2. 两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，的边与矩形的边相交于点．若，，则的大小为 ． 【变式2-2】如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 【变式2-4】如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E．与交于点F．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，，求的面积． 考点3：根据矩形性质求线段长 例3. 如图，矩形中，对角线与交于点，垂直平分，是垂足，若，则的长是（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式3-1】如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 【变式3-2】如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ． 考点4：根据矩形的性质求面积 例4. 在矩形中，对角线，则矩形的面积为（  ） A．48 B．60 C．80 D．96 【变式4-1】如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是平方厘米，请问：阴影部分的面积是 平方厘米． 【变式4-2】如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 求阴影部分面积的方法 当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴影部分转化为比较规则的图形，再求其面积. 考点5：利用矩形的性质证明 例5. 如图，四边形是矩形，．求证：四边形是平行四边形． 【变式5-1】如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【变式5-2】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式5-3】如图，在长方形纸片中，，将其沿折叠，点C落在点A处． (1)求证：为等腰三角形； (2)求的长． 考点6：矩形与折叠问题 例6. 如图，矩形中，，，点E为的中点，将沿翻折至，连接，则的长为 ． 【变式6-1】如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为．若，，则的面积为 ． 矩形的折叠问题 对于矩形的折叠问题，要抓住这类问题的关键——弄清“折痕”的特点，认识到折起部分与原部分是全等的，主要抓住以下几点:(1)轴对称变换的性质:①关于一条直线对称的两个图形全等;②对应点所连线段被对称轴垂直平分.(2)注意隐含的位置关系和数量关系.(3)适当添加辅助线，有时还需要借助代数中的方程思想进行有关线段、角度或面积的计算. 考点7：矩形性质理解 例7. 下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 【变式7-1】要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 【变式7-2】下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【变式7-3】平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是（） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．不规则四边形 考点8：添加条件使四边形是矩形 例8. 如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是 （写出一种情况即可）． 【变式8-1】如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 考点9：证明四边形是矩形 例9. 如图，在中，，为的中点，连接并延长至使，连接、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，E为的中点，连接，．求对角线的长． 【变式9-1】如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式9-2】如图，E、F为平行四边形的对角线上的两点，且，．求证：四边形是矩形． 【变式9-3】如图，将的边延长至点，使，，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 考点10： 矩形的判定与性质综合 1.根据矩形的性质与判定求角度 例10.如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【变式10-1】如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【变式10-2】如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 2.根据矩形的性质与判定求线段长 例11. 如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：    小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．    这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． 【变式11-1】如图所示，梯形中，，，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，如果，那么 ． 【变式11-2】如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是 ． 【变式11-3】如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 3.根据矩形的性质与判定求面积 例12. 如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 。 【变式12-1】矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为 ． 【变式12-3】如图，在菱形中，对角线相交于点，．若，且四边形的面积为18，则的值是 ． 1．关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　） A．四个角都是直角 B．既是轴对称图形，也是中心对称图形 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 2．如图，过矩形对角线上一点作，分别交和于点和，连接，已知，则和的面积和等于（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 3．要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不一定能合格的零件是（    ） A． B． C． D． 4．两个矩形的位置如图所示，若，则 ． 5．如图在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若cm，cm，则 cm． 6．如图，已知矩形中，点E在边的延长线上，且，连接交于F，如果，那么的度数为 ． 7．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 8．在矩形中，点E在边上，点F在边上，连接若， ，则的长为 ． 9．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．如图，在中，、、、分别是、、、的平分线，、交于点，、交于点．求证：四边形是矩形． 11．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM． (1)求证：四边形AMCN是矩形； (2)若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长． 12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，对角线AC、BD相交于点O，点P是AD上一动点（不与A、D重合），过点P作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F，则PE+PF的值是（  ） A． B． C． D．3 13．在四边形ABCD中，有以下四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是 ． 14．在四边形中，有以下四个条件：①；②；③；④．若从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形，则这样的选择共有 种． 15．如图，矩形中，对角线相交于点O，分别过点A，C作于点E，于点F，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 16．如图，已知平行四边形ABCD． （1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形； （2）若∠BAD＝120°，CD＝3，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积． 17．如图，在中，＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且，． (1)求证：四边形CEDF是矩形； (2)连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值． 18．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 19．【阅读理解】矩形纸片中，点为边上一点，将沿折叠至，延长与直线交于点．    (1)【操作尝试】若，且点落在边上，则矩形的面积为________； (2)【理解探究】若，且点落在矩形内部，点在边上，如图，已知，请求出矩形的面积； (3)【探究拓展】若，且，直接写出矩形的面积． 20．如图，点E是平行四边形对角线上一点，点F在的延长线上，且，与交于点G．    (1)求证：； (2)连接，若，若G恰好是的中点，求证：四边形是矩形； 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $