第08讲 两点间的距离公式、平移与轴对称（4知识点+7考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

两点间的 用“方位 表示物体 两点间的距离公式与 平移与轴对称 用坐标表 平面直角 中的轴对 x轴上点：点A(x1,0)、点B(x2,0),距离公式AB=x1一x2 坐标轴上两，点之间的距离 y轴上点：点c(0,y)、点D(0,y2),距离公式CD=y1一y2 平行于坐标轴的直线 平行于x轴：点A(x1,y)、点B(x2,y1),距离公式AB=x1一E2 上两点之间的距离 平行于y轴：点C(x1,y1)、点D(x1,y2),距离公式CD=|y1一y2 距离 距离公式：点A(x1,y1)、点B(x2,y2), 距离AB=V(1-2)2+(1-)2 推导过程：通过勾股定理，构造直角三角形求解 坐标系内任意两，点之间的距离 两点同在x轴或平行于x轴的直线上时， 公式简化为1一x2 两点同在y轴或平行于y轴的直线上时， 特殊情况： 公式简化为|y1-y2 点P(x,y)到原点0的距离PO=√x2十y2 格式：如“北偏东45°”，其中“偏”字前方向选南、北， “偏”字后方向选东、西，夹角为锐角 角+距离” 方位角 的相对位置 表示方法：用方位角和距离结合描述物体的相对位置 参照点影响：选择的参照点不同，物体的方位角和距离一般不同 注意事项 方向划分：按“上北下南，左西右东”的标准划分 向右平移m个单位：点(x,y)→(x+m,y) 向左平移m个单位：点(x,y)→(x-m,y) 点在坐标系中 的平移(m>0) 向上平移m个单位：点(x,y)→(x,y+m 向下平移m个单位：点(x,y)→(x,y-m 左右平移：横坐标左减右加，纵坐标不变 规律总结： 示平移 上下平移：横坐标不变，纵坐标上加下减 平移性质：平移只改变图形位置，不改变形状、大小 向右或向左平移m个单位，图形各点横坐标加或减m 图形在坐标系 平移规则： 中的平移 向上或向下平移m个单位，图形各点纵坐标加或减m 明确平移方向和距离 找出图形关键点 图形平移画图步骤： 确定平移后关键点的对应坐标 连接各对应点得到平移图形 关于x轴对称：点M(x,y)→对称，点坐标(x,-y) 点关于坐标轴对称 关于y轴对称：点M(x,y)→对称点坐标(-x,y) 对称判定：若点A(x,y)与点B(x,-y),则关于x轴对称： 若点A(x,y)与点C(-x,y),则关于y轴对称 关于x轴对称：图形上各组对应点横坐标相同，纵坐标互为相反数 坐标系 关于y轴对称：图形上各组对应点纵坐标相同，横坐标互为相反数 称 图形关于坐标轴对称 计算对称点的坐标 画对称图形步骤： 根据坐标描点 依次连接各点得到对称图形 点关于原，点对称：点M(x,y)→对称点坐标(-×，y) 关于原点对称 图形关于原点对称：图形上各组对应点横、纵坐标均互为相反数 寒假预习第08讲 两点间的距离公式、平移与轴对称 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：两点间的距离 1. 坐标轴上两点之间的距离 轴上点 、，两点之间的距离 . 轴上点 、，两点之间的距离 . 2. 平行于坐标轴的直线上两点之间的距离 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 3. 坐标系内任意两点之间的距离 两点间的距离公式：对于平面直角坐标系中的两点 、，其距离为 推导过程： 过点 作平行于 轴的直线，过点 作平行于 轴的直线，两直线相交于点 ，则点 的坐标是 ，，. 因为 轴、 轴互相垂直，所以 . 在 中，由勾股定理 ，得 提示 (1) 如果点 、 同在 轴或平行于 轴的直线上，公式仍适用： 当 时，，与平行于 轴的距离公式一致. 同理，两点同在 轴或平行于 轴的直线上时，公式也适用. (2) 特别地，点 到原点 的距离 . 在平面直角坐标系中，点P（3，5），Q（﹣1，5），则线段PQ的长为 　 　 ． 【解答】解：∵P（3，5），Q（﹣1，5），∴PQ4．故答案为：4． 在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2）与点B（5，4）之间的距离是 　 　 ． 【解答】解：∵A（3，﹣2），B（5，4），∴AB2． 已知A（0，10），A（a，﹣5）两点之间的距离为17，则实数a＝ 　 　 ． 【解答】解：由两点间距离公式列式可得：，解得：a＝±8． 故答案为：8或﹣8． 【拓展】在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），设点M为线段AB的中点，则点M的坐标可以表示为（，）． 已知线段CD的中点坐标为（4，﹣3），点C的坐标为（﹣1，5），求点D的坐标． 【解答】解：设点D的坐标（x，y）， ∴， 解得：， ∴D点坐标为（9，﹣11）． 知识点2：用“方位角+距离”表示物体的相对位置 1.像这种“北偏东 ”的角称为方位角，其中“偏”字前的方向选南、北方向，“偏”字后的方向选东、西方向，且要求这两个方向的夹角为锐角. 2. 在航海和地理测绘中，经常用方位角和距离表示物体的相对位置. 注意： (1) 用方位角和距离表示物体的位置和地图上的方向一样，按“上北下南，左西右东”划分. (2) 选择的参照点不同，描述的目标物体的方位角和距离一般不同. 知识点3：用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 知识巧记：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.（或者：上加下减，左减右加） 在平面直角坐标系中，将M（﹣3，2）先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（1，1） B．（﹣5，﹣1） C．（﹣5，1） D．（1，﹣1） 【解答】解：由题意得，点M先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，移动后的点的坐标为（﹣3﹣2，2﹣3），即（﹣5，﹣1）．故选：B． 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明： (1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中C点坐标为（1，1）． （1）写出点A、B的坐标：A（ 　　 ，　　 ），B（ 　　 ，　 　 ）； （2）△ABC的面积是 　 　 平方单位； （3）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A'B'C'，则△A'B'C'的三个顶点坐标分别是A'（ 　　 ，　　 ），B'（ 　　 ，　　 ），C'（ 　　 ，　　 ）． （4）请在图中画出△A'B'C'，并标注字母． 【解答】解：（1）由图可知，A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1）． 故答案为：﹣1；4；﹣4；﹣1． （2）△ABC的面积为（平方单位）． 故答案为：． （3）由图可知，A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）， ∴A'（2，2），B'（﹣1，﹣3），C'（4，﹣1）． 故答案为：2；2；﹣1；﹣3；4；﹣1． （4）如图，△A'B'C'即为所求． 【方法总结】 坐标平面内的图形平移的画图步骤 1. 明确平移的方向和距离； 2. 找出图形中的关键点； 3. 利用平移规律确定平移后的各关键点的对应点的坐标，顺次连接各对应点得到平移后的图形. 知识点4：平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. 巧记：关于（或轴）对称，横（或）坐标不变，另一坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） （1）点A（﹣2，3）关于x轴对称的点在第 　 　 象限，坐标是 　 　 ； 点B（4，﹣2）关于y轴对称的点在第 　 　 象限，坐标是 　 　 ； 点C（，﹣2.5）关于原点对称的点在第 　 　 象限，坐标是 　 　 ． （2）如果一个点关于x轴对称的点的坐标是（3，﹣8），那么这个点的坐标是 　　 ． （3）如果点A（m+1，﹣2）与B（3，5﹣n）关于y轴对称，那么m+n＝　 　 ． （4）如果点A（﹣2，3.5）关于x轴的对称点是点A1，点A1关于y轴的对称点是点A2，那么点A2的坐标是 　 　 ． 【解答】解：（1）点A（﹣2，3）关于x轴对称的点在第三象限，坐标是（﹣2，﹣3）， 点B（4，﹣2）关于y轴对称的点在第三象限，坐标是（﹣4，﹣2）， 点C（，﹣2.5）关于原点对称的点在第一象限，坐标是（，2.5）； 故答案为：三；（﹣2，﹣3）；三；（﹣4，﹣2）；一；（，2.5）； （2）如果一个点关于x轴对称的点的坐标是（3，﹣8），那么这个点的坐标是（3，8）， 故答案为：（3，8）； （3）∵点A（m+1，﹣2）与B（3，5﹣n）关于y轴对称， ∴m+1＝﹣3，5﹣n＝﹣2， 解得：m＝﹣4，n＝7， ∴m+n＝﹣4+7＝3， 故答案为：3； （4）∵点A（﹣2，3.5）关于x轴的对称点是点A1， ∴点A1的坐标为（﹣2，﹣3.5）， ∵点A1关于y轴的对称点是点A2， ∴点A2的坐标为（2，﹣3.5）， 故答案为：（2，﹣3.5）； 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在小正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为A1，B1，C1）； （2）画△ABD，点D在第二象限内的格点上，且∠ADB＝45°，画出所有符合条件的图形，并写出点D的坐标． 【分析】（1）根据题意，确定A1，B1，C1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可． 【解答】解：（1）根据题意作图，如图所示， ∴△A1B1C1即为所求； （2）取D（﹣1，2），连接AD，DB， ∵AD为小正方形的对角线， ∴∠ADB＝45°； 取D1（﹣1，4），连接AD1，BD1， 由图得AD1＝AB，∠BAD1＝90°， ∴∠AD1B＝45°， ∴点D的坐标为D（﹣1，2）或（﹣1，4）． 【方法总结】 在平面直角坐标系中画与一个图形关于坐标轴对称的图形的步骤 1. 计算——计算对称点的坐标. 2. 描点——根据对称点的坐标描点. 3. 连线——依次连接所描各点得到对称图形. 3.关于原点对称 (1) 点关于原点对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标为 . 即关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. (2) 图形关于原点对称 在给定的平面直角坐标系中，如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于原点对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 在平面直角坐标系中，点A（5，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（5，4） B．（3，﹣4） C．（﹣5，﹣4） D．（﹣5，4） 【解答】解：点A（5，﹣4）关于原点对称的点的坐标为（﹣5，4）．故选：D． 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，3），B（﹣4，1）， C（﹣2，3）．请按下列要求画图： （1）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标； （2）△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，利用关于原点对称的点的坐标关系，画出△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标． 【分析】（1）分别作出点A、B、C平移后的对应点A1，B1，C1，并依次连接即可，并可写出平移后三点的坐标； （2）分别作出点A、B、C关于原点对称的点A2，B2，C2，并并依次连接即可，并可写出此三点的坐标． 【解答】解：（1）如图所示： A1（0，5），B1（1，3），C1（3，5） （2）如图，A2（5，﹣3），B2（4，﹣1），C2（2，﹣3）． 题型1 两点间的距离公式 例1 在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，则，两点间的距离为 　　． 【答案】3． 【分析】由已知条件可得，轴，两点的距离为两点纵坐标差的绝对值． 【解答】解：． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 【变式1】在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则的值是 　 　． 【分析】根据点与点之间的距离是3，可以得到，从而可以求得的值． 【解答】解：点与点之间的距离是3， ， 解得，或， 故答案为：或5． 【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式2】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 　 　． 【答案】13． 【分析】利用勾股定理直接计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，点到原点的距离为， 故答案为：13． 【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3】已知点，，则，两点间的距离是 　 　． 【分析】直接利用两点间的距离公式计算． 【解答】解：点，， ，两点间的距离． 故答案为：8． 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为． 【变式4】如果点与点的距离等于，那么的值等于 　 　． 【答案】0或． 【分析】根据两点间距离公式，列出方程即可求出的值． 【解答】解：由题意得， ， 化简得， ， 解得或． 故答案为：0或． 【点评】本题考查了两点间距离公式，正确列出方程即是解题的关键． 【变式5】在平面直角坐标系中，已知线段的长为5，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 　 　． 【答案】或． 【分析】判断出轴，根据可得结论． 【解答】解：点的坐标为，点的坐标为， 轴， ， 或． 故答案为：或． 【点评】本题考查两点间距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式6】已知点和点，且轴，则，两点间的距离为　 　 ． 【答案】3． 【分析】平行于轴的直线上的点纵坐标相同，据此可求出的值，进而求出点的横坐标，再求出、两点的距离即可． 【解答】解：由条件可得， ， ， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握该知识点是关键． 题型2 求点到坐标轴的距离 例2点到x轴的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，掌握知识点是解题的关键． 点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，即可解答． 【详解】解：点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，即为． 故选C． 【变式1】已知点的坐标为点的坐标为，且，则的值为（　　） A．或2 B．或4 C．2或8 D．或8 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查坐标与图形性质．根据点A、B的横坐标相等可得轴，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为点的坐标为， ∴A，B两点的横坐标相等，均为2， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 解得：或4． 故选：B 【变式2】若y轴上的点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是 ． 【答案】或/或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握轴上的点横坐标为，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 根据点在轴上，可得横坐标为；根据点到轴的距离为，可得纵坐标为． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的横坐标为． ∵点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为或． ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【变式3】已知点，则点A到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ． 【答案】 6 3 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值． 根据平面直角坐标系中点的坐标几何意义进行解答即可． 【详解】解：点的坐标为，则点到轴的距离为，到轴的距离为． 故答案为：，． 题型3 中点坐标 例3已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】中点坐标、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 【变式1】如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中点坐标、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了坐标系中的旋转，掌握旋转的性质和中点坐标公式是解题的关键； 根据旋转的性质可得：点C是的中点，设点B的坐标为，然后根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：点C是的中点， 设点B的坐标为， 则， 解得：， ∴点B的坐标为； 故选：D． 【变式2】点和点的中点坐标为 ． 【答案】 【知识点】中点坐标、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查的是中点坐标计算，解题的关键在于准确代入数值并注意正负号的运算．已知两点和，要求线段的中点坐标．根据中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半，直接代入计算即可得出结果． 【详解】解：点坐标为，点坐标为， 则中点横坐标为，纵坐标为， 故中点坐标为． 【变式3】若点与点B关于点对称，则点B的坐标是 ． 【答案】 【知识点】中点坐标 【分析】本题考查中心对称点的坐标、中点坐标，熟练掌握中点坐标的运算方法是解题的关键． 点A与点B关于点C对称，则点C是线段的中点，利用中点坐标公式求解． 【详解】解：设点B的坐标为， 则， 解得， 因此，点B的坐标是， 故答案为：． 题型4 坐标系中的平移 例4在平面直角坐标系中，已知点，，直线与x轴平行，则a为（   ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】C 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标与图形的性质。当两个点的纵坐标相等时，它们的连线与x轴平行，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵直线与轴平行， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】已知点，则直线与x轴（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．不确定 【答案】A 【知识点】坐标系中的平移、坐标系中描点 【分析】本题考查了点的坐标，根据点的横坐标都为，则直线与轴平行，直线与x轴垂直，即可作答． 【详解】解：∵点 ∴点的横坐标都为， ∴直线与轴平行，直线与x轴垂直， 故选：A． 【变式2】已知点，，，以，，三点为顶点画对边互相平行的四边形，则第四个顶点不可能在第 象限． 【答案】三 【知识点】判断点所在的象限、坐标系中的平移 【分析】此题重点考查坐标与图形性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 首先根据已知在直角坐标系中标出点、、的位置，然后连接、、，接下来分别以、、三条线段为平行四边形的对角线，进行分类讨论，结合图形进行判断即可得到结论． 【详解】解：在坐标系中表示出点，，，如图所示： 如果以线段为对角线，、为边，作平行四边形，则第四个顶点在第四象限； 如果以线段为对角线，、为边，作平行四边形，则第四个顶点在第一象限； 如果以线段为对角线，、为边，作平行四边形，则第四个顶点在第二象限． 综上，第四个顶点可能在第一、第二、第四象限，不可能在第三象限． 故答案为：三． 【变式3】将点向右平移3个单位长度得到点，点落在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标系中的平移 【分析】本题主要考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移规律是解题关键．先根据点坐标的平移规律可得，再根据轴上的点的横坐标等于0可得的值，据此解答即可得． 【详解】解：∵将点向右平移3个单位长度得到点， ∴，即， ∵点落在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型5 坐标系中的对称 例5已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：关于轴的对称点为， 横坐标不变，即． 故选：D． 【变式1】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标规律，理解题意是解决本题的关键． 关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于y轴对称， ∴横坐标取相反数，纵坐标不变， ∴对称点为． 故选A． 【变式2】点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，根据点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标取相反数求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称，横坐标不变，为；纵坐标取相反数，为． 故对称点的坐标为． 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、坐标系中的对称 【分析】此题考查了正多边形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解本题的关键．利用中心对称图形的性质即可求出D的坐标． 【详解】解：∵正六边形是中心对称图形，且对称中心为坐标原点O， ∴点A与点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 题型6 坐标系中的旋转 例6如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标系中的旋转、利用平行四边形的性质求解、全等三角形综合问题 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地求出点C的坐标是解题的关键．由平行四边形的性质可得点，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于E，过点作轴于F， 设点， ∵的顶点，点， ∴点B先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点O， ∴点A先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点C， ∴， ∴点， ∴， ∵将绕原点O顺时针旋转， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：B． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标系中的旋转、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先利用A、B的坐标求出，，再结合旋转的性质、直角三角形两个锐角互余证明，然后证明，再求得点的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点B逆时针旋转，得到线段， ∴，， 过点作轴的垂线垂足为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在第四象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求解线段，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是利用全等三角形的性质证明线段相等． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点旋转，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】全等三角形的性质、根据旋转的性质求解、坐标系中的旋转 【分析】本题考查了旋转性质，坐标与图形，全等三角形的性质，进行分类讨论，即逆时针和顺时针两个情况，以及作图，再结合点所在的象限，即可作答． 【详解】解：依题意，当将绕点逆时针旋转，得，如图： ． ，． 点在第二象限， ． 当将绕点顺时针旋转，得， ． ，． 点在第四象限， ． 综上，点的坐标为或． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的旋转、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 题型7 点坐标规律探索 例7如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， ∴每次轴对称变换重复一轮， ∵， ∴经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为， 故选：． 【变式1】如图在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后所得A点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称的坐标变换，点的坐标变换规律探究，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2025除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是； 点A第二次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是； 点A第三次关于x轴对称后在第二象限，所得A点的坐标是； 点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是； 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵余1， ∴经过第2025次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 故选：A． 【变式2】在平面直角坐标系中，有一系列点、、 ……按照如下规律排列：的坐标为，对于任意，点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3．例如，的坐标为，的坐标为，依此类推．则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，熟练找出其中的规律是解题的关键． 根据题意，计算出各点的坐标，找出规律，由此得出结果． 【详解】解：∵的坐标为，的坐标为，的坐标为，且点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3， ∴的横坐标为：， 的纵坐标为：， ∴当时，，， 故点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】综合与实践 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为______； (2)若点的“5阶派生点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“4阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】由平移方式确定点的坐标、写出直角坐标系中点的坐标、点坐标规律探索 【分析】本题考查了“阶派生点”的定义，由题目已知“阶派生点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“阶派生点”的定义，则“3阶派生点”需“；”即可求解； （2）设出点P的坐标，根据“阶派生点”的定义即可求解； （3）根据直角坐标系下点的平移规律先表示出点，再根据在哪个轴分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：；， 点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为． 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意可知，解得：， 点的坐标为； （3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点 ∴， 的“4阶派生点”为：，即 当在轴上，，， ； 当在轴上，，， ． 1．已知点，则线段MN与x轴（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．不垂直 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中线段与坐标轴位置关系的判断，解题的关键是通过横纵坐标关系得到线段与坐标轴位置关系. 根据横坐标相同即可判断. 【详解】解： 横坐标相同， 轴. 故选：A ． 2．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 3．已知点与点，若直线平行于轴，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是掌握直线平行于轴时，所在直线上的点的横坐标相等． 根据直线平行于轴，得到点和点的横坐标相等，据此进行解答即可． 【详解】解：∵直线平行于轴， ∴点和点的横坐标相等， 则， 故答案为：． 4．如图，已知点，，则线段上任意一点的坐标可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，掌握平行于x轴的直线上的点纵坐标相等是解题关键．根据A、B两点纵坐标相等，可确定与x轴平行，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∴线段上任意一点的坐标可表示为． 故答案为：． 5．点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，在坐标系中，两个点关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 6．点关于y轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中的轴对称性．根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标不变即可解答． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中点坐标公式． 根据中点坐标公式，直接计算两点横纵坐标的平均值． 【详解】解：点和点的中点坐标公式为，即． 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图象见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． 【详解】（1）解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示： ； （2）解：关于y轴对称点为， 故答案为：； （3）解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下： 由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，这两条直线相交于点，其中． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)若点是直线上一点，点的横坐标为，过点作．交直线于点，设长度为，用含的式子表示； (3)点是轴上一点，为平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，菱形的性质，点的平移，两点间的距离等知识，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． （）求出点坐标, 再用待定系数法求函数的解析式，当时， 求出点坐标即可； （）由题意可知，则，所以； （）设，分三种情况讨论：①当时，；当时，；当时，或，再由点的坐标平移求出对应的点坐标即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，解得， ∴； （2）解：∵点是直线上一点，点的横坐标为， ∴， ∵轴交直线于点， ∴， ∴； （3）解：设， 当时，，解得， ∴， ∵点平移得到点， ∴点平移得到； 当时，， 解得或（舍）， ∴， ∵点平移得到点， ∴点平移得到； 当时，， 解得或， ∴或， ∵点平移得到点， ∴点平移得到或； 综上所述：点坐标为或或或． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $两点间的 用“方位 表示物体 两点间的距离公式与 平移与轴对称 用坐标表 平面直角 中的轴对 x轴上点：点A(x1,0)、点B(x2,0),距离公式AB=x1一x2 坐标轴上两，点之间的距离 y轴上点：点c(0,y)、点D(0,y2),距离公式CD=y1一y2 平行于坐标轴的直线 平行于x轴：点A(x1,y)、点B(x2,y1),距离公式AB=x1一x2 上两点之间的距离 平行于y轴：点.C(x1,y1)、点D(x1,y2),距离公式CD=|y1一y2 距离 距离公式：点A(x1,y1)、点B(x2,y2), 距离AB=V(1-2)2+(1-)2 推导过程：通过勾股定理，构造直角三角形求解 坐标系内任意两，点之间的距离 两点同在x轴或平行于x轴的直线上时， 公式简化为1一x2 两点同在y轴或平行于y轴的直线上时， 特殊情况： 公式简化为y1-y2 点P(x,y)到原点0的距离PO=√x2十y2 格式：如“北偏东45°”，其中“偏”字前方向选南、北， “偏”字后方向选东、西，夹角为锐角 角+距离” 方位角 的相对位置 表示方法：用方位角和距离结合描述物体的相对位置 参照点影响：选择的参照点不同，物体的方位角和距离一般不同 注意事项 方向划分：按“上北下南，左西右东”的标准划分 向右平移m个单位：点(x,y)→(x+m,y) 向左平移m个单位：点(x,y)→(x-m,y) 点在坐标系中 的平移(m>0) 向上平移m个单位：点(x,y)→(x,y+m 向下平移m个单位：点(x,y)→(x,y-m 左右平移：横坐标左减右加，纵坐标不变 规律总结： 示平移 上下平移：横坐标不变，纵坐标上加下减 平移性质：平移只改变图形位置，不改变形状、大小 向右或向左平移m个单位，图形各点横坐标加或减m 图形在坐标系 平移规则： 中的平移 向上或向下平移m个单位，图形各点纵坐标加或减m 明确平移方向和距离 找出图形关键点 图形平移画图步骤： 确定平移后关键点的对应坐标 连接各对应点得到平移图形 关于x轴对称：点M(x,y)→对称点坐标(x,-y) 点关于坐标轴对称 关于y轴对称：点M(x,y)→对称点坐标(-x,y) 对称判定：若点A(x,y)与点B(x,-y),则关于x轴对称； 若点A(x,y)与点C(-x,y),则关于y轴对称 关于x轴对称：图形上各组对应点横坐标相同，纵坐标互为相反数 坐标系 关于y轴对称：图形上各组对应点纵坐标相同，横坐标互为相反数 称 图形关于坐标轴对称 计算对称点的坐标 画对称图形步骤： 根据坐标描点 依次连接各点得到对称图形 点关于原，点对称：点M(x,y)→对称点坐标(-×，y) 关于原点对称 图形关于原点对称：图形上各组对应点横、纵坐标均互为相反数 寒假预习第08讲 两点间的距离公式、平移与轴对称 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：两点间的距离 1. 坐标轴上两点之间的距离 轴上点 、，两点之间的距离 . 轴上点 、，两点之间的距离 . 2. 平行于坐标轴的直线上两点之间的距离 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 3. 坐标系内任意两点之间的距离 两点间的距离公式：对于平面直角坐标系中的两点 、，其距离为 推导过程： 过点 作平行于 轴的直线，过点 作平行于 轴的直线，两直线相交于点 ，则点 的坐标是 ，，. 因为 轴、 轴互相垂直，所以 . 在 中，由勾股定理 ，得 提示 (1) 如果点 、 同在 轴或平行于 轴的直线上，公式仍适用： 当 时，，与平行于 轴的距离公式一致. 同理，两点同在 轴或平行于 轴的直线上时，公式也适用. (2) 特别地，点 到原点 的距离 . 在平面直角坐标系中，点P（3，5），Q（﹣1，5），则线段PQ的长为 　 　 ． 在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2）与点B（5，4）之间的距离是 　 　 ． 已知A（0，10），A（a，﹣5）两点之间的距离为17，则实数a＝ 　 　 ． 【拓展】在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），设点M为线段AB的中点，则点M的坐标可以表示为（，）． 已知线段CD的中点坐标为（4，﹣3），点C的坐标为（﹣1，5），求点D的坐标． 知识点2：用“方位角+距离”表示物体的相对位置 1.像这种“北偏东 ”的角称为方位角，其中“偏”字前的方向选南、北方向，“偏”字后的方向选东、西方向，且要求这两个方向的夹角为锐角. 2. 在航海和地理测绘中，经常用方位角和距离表示物体的相对位置. 注意： (1) 用方位角和距离表示物体的位置和地图上的方向一样，按“上北下南，左西右东”划分. (2) 选择的参照点不同，描述的目标物体的方位角和距离一般不同. 知识点3：用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 知识巧记：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.（或者：上加下减，左减右加） 在平面直角坐标系中，将M（﹣3，2）先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（1，1） B．（﹣5，﹣1） C．（﹣5，1） D．（1，﹣1） 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明： (1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中C点坐标为（1，1）． （1）写出点A、B的坐标：A（ 　　 ，　　 ），B（ 　　 ，　 　 ）； （2）△ABC的面积是 　 　 平方单位； （3）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A'B'C'，则△A'B'C'的三个顶点坐标分别是A'（ 　　 ，　　 ），B'（ 　　 ，　　 ），C'（ 　　 ，　　 ）． （4）请在图中画出△A'B'C'，并标注字母． 【方法总结】 坐标平面内的图形平移的画图步骤 1. 明确平移的方向和距离； 2. 找出图形中的关键点； 3. 利用平移规律确定平移后的各关键点的对应点的坐标，顺次连接各对应点得到平移后的图形. 知识点4：平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. 巧记：关于（或轴）对称，横（或）坐标不变，另一坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） （1）点A（﹣2，3）关于x轴对称的点在第 　 　 象限，坐标是 　 　 ； 点B（4，﹣2）关于y轴对称的点在第 　 　 象限，坐标是 　 　 ； 点C（，﹣2.5）关于原点对称的点在第 　 　 象限，坐标是 　 　 ． （2）如果一个点关于x轴对称的点的坐标是（3，﹣8），那么这个点的坐标是 　　 ． （3）如果点A（m+1，﹣2）与B（3，5﹣n）关于y轴对称，那么m+n＝　 　 ． （4）如果点A（﹣2，3.5）关于x轴的对称点是点A1，点A1关于y轴的对称点是点A2，那么点A2的坐标是 　 　 ． 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在小正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为A1，B1，C1）； （2）画△ABD，点D在第二象限内的格点上，且∠ADB＝45°，画出所有符合条件的图形，并写出点D的坐标． 【方法总结】 在平面直角坐标系中画与一个图形关于坐标轴对称的图形的步骤 1. 计算——计算对称点的坐标. 2. 描点——根据对称点的坐标描点. 3. 连线——依次连接所描各点得到对称图形. 3.关于原点对称 (1) 点关于原点对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标为 . 即关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. (2) 图形关于原点对称 在给定的平面直角坐标系中，如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于原点对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 在平面直角坐标系中，点A（5，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（5，4） B．（3，﹣4） C．（﹣5，﹣4） D．（﹣5，4） 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，3），B（﹣4，1）， C（﹣2，3）．请按下列要求画图： （1）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标； （2）△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，利用关于原点对称的点的坐标关系，画出△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标． 题型1 两点间的距离公式 例1 在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，则，两点间的距离为 　　． 【变式1】在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则的值是 　 　． 【变式2】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 　 　． 【变式3】已知点，，则，两点间的距离是 　 　． 【变式4】如果点与点的距离等于，那么的值等于 　 　． 【变式5】在平面直角坐标系中，已知线段的长为5，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 　 　． 【变式6】已知点和点，且轴，则，两点间的距离为　 　 ． 题型2 求点到坐标轴的距离 例2点到x轴的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 【变式1】已知点的坐标为点的坐标为，且，则的值为（　　） A．或2 B．或4 C．2或8 D．或8 【变式2】若y轴上的点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是 ． 【变式3】已知点，则点A到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ． 题型3 中点坐标 例3已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】点和点的中点坐标为 ． 【变式3】若点与点B关于点对称，则点B的坐标是 ． 题型4 坐标系中的平移 例4在平面直角坐标系中，已知点，，直线与x轴平行，则a为（   ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【变式1】已知点，则直线与x轴（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．不确定 【变式2】已知点，，，以，，三点为顶点画对边互相平行的四边形，则第四个顶点不可能在第 象限． 【变式3】将点向右平移3个单位长度得到点，点落在轴上，则点的坐标为 ． 题型5 坐标系中的对称 例5已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【变式2】点关于轴的对称点的坐标是 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 题型6 坐标系中的旋转 例6如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点旋转，则点的对应点的坐标为 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 题型7 点坐标规律探索 例7如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后所得A点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，有一系列点、、 ……按照如下规律排列：的坐标为，对于任意，点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3．例如，的坐标为，的坐标为，依此类推．则点的坐标为 ． 【变式3】综合与实践 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为______； (2)若点的“5阶派生点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“4阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 1．已知点，则线段MN与x轴（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．不垂直 2．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知点与点，若直线平行于轴，则 ． 4．如图，已知点，，则线段上任意一点的坐标可表示为 ． 5．点关于x轴对称的点的坐标是 ． 6．点关于y轴的对称点的坐标是 ． 7．在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，这两条直线相交于点，其中． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)若点是直线上一点，点的横坐标为，过点作．交直线于点，设长度为，用含的式子表示； (3)点是轴上一点，为平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $