第11讲 一次函数的应用（2知识点+7考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

寒假预习第11讲 一次函数的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：利用一次函数解决简单问题 在实际问题中,首先分析题意并探究实际问题中的有关信息,然后在此基础上建立一次函数模型,从而解决问题 根据实际问题列一次函数解析式的步骤 (1)找等量关系; (2)把已知的条件代入,变化的两个量用变量x,y来表示 (3)求定义域:既要根据解析式又要根据实际意义求定义域 【结构特征】(1)等量关系有且只有两个变化的量;(2)定义域既要满足函数解析式,又要使实际问题有意义 小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间. 从山脚出发后小明所走路程s（米）和所用时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空.    (1)小明中途休息用了 分钟； (2)小明休息后爬山的平均速度是 米/分钟； (3)小明休息前所走的路程s与时间t之间的函数关系式是 （无需写出定义域）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、平均速度的计算方法： （1）根据图像可得小明休息的时间； （2）根据图像得到小明休息后所用的时间以及路程，即可得到平均速度； （3）根据图像得到小明休息前所用的时间以及路程，然后求得平均速度，即可得到关系式； 数形结合，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得在段为小明休息的时间， 此时时间为分钟， 故答案为：5； （2）解：由图可得小明休息后爬上的阶段为段， 这段所走的路程为：米， 这段所用的时间为：分钟， ∴平均速度为：米/分钟， 故答案为：； （3）解：由图可得小明休息前所走的路程为：米， 小明休息前所走路程所用的时间为：分钟， ∴小明休息前的平均速度为：米/分钟， ∴根据路程=速度时间可得：小明休息前所走的路程s与时间t之间的函数关系式是， 故答案为：． 某中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，已知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元． (1)求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？ (2)甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元．妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)甲类圆珠笔每盒进价是15元，乙类圆珠笔每盒进价是10元 (2)当甲类圆珠笔为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的性质， （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）首先根据题意列出一元一次不等式方程组，结合利润公式列出一元一次函数，根据函数的性质求得最大值． 【详解】（1）解：设甲类圆珠笔每盒进价是元，乙类圆珠笔每盒进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲类圆珠笔每盒进价是15元，乙类圆珠笔每盒进价是10元； （2）解：设购进甲类圆珠笔盒，则购进乙类圆珠笔盒， 根据题意得：， 解得：． 设购进的甲、乙两类圆珠笔全部售出后获得的总利润为元，则 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． 答：当甲类圆珠笔为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元． 知识点2：利用一次函数的性质解决决策问题 利用一次函数解决决策问题的方法: (1)根据题意建立函数解析式; (2)根据解析式画出函数图像; (3)根据图像作出决策 题型一．两直线的交点与二元一次方程组的解 例1．图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系；根据题意联立直线与的解析式，再整理成一般形式即可． 【详解】解：由图可知直线的解析式为，直线的解析式为， 联立方程组得，即为， ∴直线与的交点坐标可以看作方程组的解； 故选A． 【变式1】如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，掌握两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键． 先求出点坐标，根据两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可得点的坐标为二元一次方程组的解， 代入中，得， ∴点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为 故答案为：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求自变量的值或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．将点代入得出，即可求解． 【详解】解：由条件可知：当时，， ， 关于，的方程组的解为， 故选：A． 【变式3】如图，直线与交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查一次函数交点的性质和二元一次方程组的解，明白一次函数的交点即为对应的二元一次方程组的解是解题的关键． 首先根据交点在已知直线上，代入解得交点的坐标，即可得到交点坐标对应的x，y的值就是关于x，y的二元一次方程组的解． 【详解】解：由图可知，直线与交于点， ∴点在直线上， ∴解得：， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 题型二．求直线围成的图形面积 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C，点E在线段上，过点E作x轴的垂线与直线交于点F，与x轴交于点D，且，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标．根据两条直线的关系式求出交点坐标，设，则 ，根据列方程求出a值，进而求出结论即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为； 设，则，， ，， ， ， 解得：， ， 的面积为， 故答案为：． 【变式1】已知直线与直线相交于点，直线经过点． (1)求m的值； (2)求直线的解析式； (3)求两条直线与y轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)3 (2) (3)1 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查一次函数的交点，待定系数法求一次函数和与坐标轴所围成图形的面积，掌握待定系数法和求与坐标轴的交点坐标是解题的关键． （1）已知x的值，代入求y的值，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）根据题意先求出与y轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：在直线上， ， 则m的值为3； （2）， ， 直线经过点和， ，解得， 直线的解析式为； （3）如图，与y轴交于点C，与y轴交于点D， 当时，，则， 当时，，则， ， 又， ， 则两条直线与y轴围成的三角形的面积为1． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求、的值； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了待定系数法，直线围成的图形的面积； （1）当时，得点的坐标为，将、代入，即可求解； （2）设点的坐标为，由面积关系得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 将、代入， 得：， 解得：，； （2）（2）由（1）得， 当时，有， 解得：， 点的坐标为． 设点的坐标为， ， 即， 解得：， 点的坐标为或． 【变式3】已知直线的表达式为，与轴交于点，点在直线上，点的坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查待定系数法求一次函数表达式、一次函数与三角形面积问题，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法直接求解即可得到答案； （2）设点的纵坐标为，由的面积为，列方程求解得到，再根据点在直线上，代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：直线的表达式为，与轴交于点， ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：如图所示： 点的坐标为， ， ∵的面积为， 设点的纵坐标为， 则， 解得， 则， 点在直线上， 当时，，解得，则点的坐标为； 当时，，解得，则点的坐标为； 点的坐标为或． 题型三. 分配方案问题 例3．某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【答案】(1)(且x为整数) (2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆 【知识点】根据一次函数增减性求参数、分配方案问题(一次函数的实际应用)、不等式组的分配问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式； （2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵租用甲种客车x辆， ∴租用乙种客车辆， 由题意得，总费用为 (且x为整数)； （2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元， ∴， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴x的取值为2或3， ∵中， ∴y随x增大而增大， ∴当时，总费用最低， ∴租甲种客车2辆，乙种客车辆． 【变式1】A，B两个红十字会分别有100吨和120吨生活物资，准备直接运送给甲、乙两个灾区，甲地需160吨，乙地需60吨，A，B两地到甲、乙两地的路程以及每吨每千米的运费如图所示．    (1)设红十字会A运往甲地物资吨，完成下表： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 ________ 乙地 ________ ________ (2)求总运费关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)当A、B两红十字会各运往甲、乙两地多少吨物资时，总运费最省？最省运费是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)A运往甲地、乙地分别为40吨、60吨，B运往甲地、乙地分别为120吨、0吨时，总运费最省，最省运费是7260元 【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了列代数式，一次函数的应用，正确理解题意和熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题目所给信息列式求解即可； （2）根据（1）所求分别求出对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设红十字会A运往甲地物资吨，则红十字会A运往乙地物资吨， ∴红十字会B运往甲地物资吨， ∴红十字会B运往乙地物资吨， 列表如下： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 乙地 （2）解：由题意得， （3）解：∵，， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时， 答：A运往甲地、乙地分别为40吨、60吨，B运往甲地、乙地分别为120吨、0吨时，总运费最省，最省运费是7260元． 【变式2】当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【答案】(1) (2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元 (3)2 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、分配方案问题(一次函数的实际应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， ∴ 根据题意得：； （2）解：设可获得利润为元． ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元； （3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元． ∴该函数图象的对称轴为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∴． 【变式3】某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 【答案】(1) (2)三种分配方案，方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区 (3)派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高；理由见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台，每种情况乘以相应的租金，然后相加即可得关系式； （2）由题意可得，，求出整数解，得到分配方案； （3）利用一次函数的增减性求出函数在自变量范围内的最值即可． 【详解】（1）解：设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台， ； （2）解：由题意可得， ， 得， ，为整数， 、、， 有三种分配方案， 方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； （3）解：派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高， 理由：， ∵, ∴随的增大而增大， 且为整数， 当时，取得最大值，此时， 派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高． 题型四. 最大利润问题 例4．某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）依据题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）依据题意，先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）由题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双， ∴， 又∵， ∴， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为：（元），此时B型皮鞋为：（双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【变式1】某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元 【知识点】列一次函数解析式并求值、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据题意得： ， ∵A型皮鞋不得少于， ∴， 即， ∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为， （2）解：∵中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为： （元）， （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元． 【变式2】某水果店销售榴莲，成本价为40元/千克，经市场调查，每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于成本价且不得高于成本价的倍．      (1)求出与之间的函数关系式； (2)设每周的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该水果店每周的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为100元时，该水果店每周的利润最大，最大利润是4800元． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．确定变量，建立函数模型，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为，将点代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得：，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将分别代入，得： ， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）解： 当时，随的增大而增大， ， 当时，最大，为4800元． 答：当销售单价定为100元时，该水果店每周的利润最大，最大利润是4800元． 【变式3】某商场购进一批单价为元的商品，在商场试销发现：每天销售量（件）与销售单价（元件）之间满足如图所示的函数关系： (1)求与之间的函数关系式； (2)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；售价定为多少时，才能使每天的利润最大？每天的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)；140元；1600元 【知识点】求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用和二次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． （1）设函数关系式为，将和代入求解即可； （2）由题意可得，每件的利润为，再列出二次函数的解析式并根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 图象过，， ， ，， ； （2）解：由（1）得，销售量， 每件的利润为， ， ， 当时，为最大值， 售价定为元时，才能使每天的利润最大，最大为元． 题型五. 行程问题 例5．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 【答案】(1) (2)6分钟 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 设线段的表达式为：， 把，代入得： ， 解得：， 即线段的表达式为：， （2）解：线段可知：甲的速度为：（米/分）， 乙的步行速度为：（米/分）， 在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为：（米）， 与终点的距离为：（米）， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：（分）， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：（分），（分）， 答：乙比甲早6分钟到达终点． 【变式1】甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 【答案】(1)270千米 (2) (3)2.1小时或2.7小时 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）由图象易得货车的速度为60千米/小时，然后问题可求解； （2）设线段对应的函数表达式是，然后把点，点代入求解即可； （3）由题意易得当时，两车之间的距离为70千米，由图象可得，线段对应的函数解析式为，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可得， 货车的速度为（千米/小时）， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是（千米）， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米； （2）解：设线段对应的函数表达式是， ∵点，点， ∴， 解得， 即线段对应的函数表达式是； （3）解：当时，两车之间的距离为：， ∵， ∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在之间， 由图象可得，线段对应的函数解析式为， 则， 解得或， ∵轿车比货车晚出发1.5小时，（小时），（小时）， ∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米， 答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米． 【变式2】小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 【答案】(1) (2)B品牌 (3)10或30 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出的函数解析式，然后把代入、，求出、，最后比较即可求解； （3）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， （2）解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得，， ∵， ∴小明选择B品牌的共享单车更省钱； （3）解：当时， 根据题意，得， 解得， 当时， 根据题意，得， 解得（舍去）， 当时， 根据题意，得， 解得， 综上，当骑行时间为10或30时，两种品牌的收费相差2元 【变式3】小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图像． (1)当_______分钟时，小明爸爸正好回到家； (2)与之间的函数表达式为_______； (3)当___________分钟时，小明和爸爸第一次相遇．（第（3）需要写出过程） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据时间路程速度，即可求解； （2）根据小明爸爸与家之间的距离总路程已行驶的路程，即可求解； （3）求出当时，，联立，即可求解． 【详解】（1）解：家和邮局之间的距离为米，小明爸爸的步行速度为每分钟米， 小明爸爸从邮局到家的时间为：（分钟）， 即当分钟时，小明爸爸正好回到家， 故答案为：； （2）与之间的函数表达式为， 故答案为：； （3）当时，，将代入得： ， 解得：， 当时，， 联立， 解得：， 即当分钟时，小明和爸爸第一次相遇， 故答案为：． 题型六. 其他问题 例6．弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 【答案】(1)C (2)（D）处应填充： (3) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练应用待定系数法求出函数关系式． （1）依据题意，该函数可能是一次函数，即可得解； （2）依据题意，结合（1）可设所求函数为一次函数即可判断得解； （3）依据题意，设y关于x的解析式是，则，从而可得解析式，然后结合弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过，故，可得x的范围，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，该函数可能是一次函数， 故选：C． （2）解：结合（1）可设所求函数解析式为， 故（D）处应填充：． （3）解：设y关于x的解析式是， 由题意得：， ∴ ∴y关于x的解析式是； 又∵， ∴． ∴， 答：所挂重物的重量最多为． 【变式1】甲乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像如图所示，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像；线段表示乙机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像．根据图像信息回答下列问题． (1)甲种机器人比乙种机器人早开始工作___________小时； (2)甲种机器人每小时工作量是___________吨； (3)直线的表达式为___________； (4)如果乙种机器人工作了5小时，那么它完成的工作量是___________吨． 【答案】(1)3 (2)5 (3) (4)50 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据，判定甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时； （2）甲种机器人每小时工作量是吨/小时； （3）设直线的表达式为，把代入解析式解答即可； （4）根据题意，得，解得，于是得到工作量相等时位置，设直线的解析式，把和分别代入解析式，得，解答即可． 本题考查了一次函数的应用，准确识别函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据，得甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时， 故答案为：3． （2）解：甲种机器人每小时工作量是吨， 故答案为：5． （3）解：设直线的表达式为，把代入解析式，得 ， 解得， 故， 故答案为：． （4）解：根据题意，得， 解得，于是得到工作量相等时位置， 设直线的解析式， 把和分别代入解析式，得， 解得， 故直线的解析式， 当时，， 解得， 故乙机器人的工作效率为（吨/小时）． 故5小时的工作量为（吨）， 故答案为：50． 【变式2】为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．） (1)小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示： ①求y关于x的函数解析式（不写定义域）； ②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？ (2)小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速． 【答案】(1)①②不一致，160 (2)该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为 【知识点】分式方程的其它实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，利用待定系数法求函数解析式，列分式方程解决实际问题等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，并找出等量关系列出方程． （1）①利用待定系数法即可求出函数解析式； ②求出实际流速进行比较即可，利用待定系数法求出正比例函数，代入求值即可； （2）假设液体C的实际流速为，则液体B的实际流速为，根据等量关系列出分式方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：①假设函数解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴函数解析式为； ②不一致，理由如下： 当函数值为0时， ， 解得， ， ， ， 所以，液体A的实际流速是否与设定流速不一致， 假设液体A的实际流速为，设定流速为，， 将代入上式得，， 解得， ∴ 当时，代入得， ， ， 所以，应该把旋钮式输液器的流速设定为160毫升/小时； （2）解：假设液体C的实际流速为，则液体B的实际流速为， 根据题意得， 解方程得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 此时，， 所以，该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为． 【变式3】如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，注意分情况讨论是解决本题的关键． （1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可； （2）过点作轴，垂足为，则是在边上的高，，根据三角形面积公式求出的长，可得Q点坐标； 【详解】（1）解：与关于原点对称， ， 过点， ， ， ， ∵点C的坐标为，直线轴， 当时，， ， ， ． （2）解：过点作轴，垂足为，则是在边上的高，， ∴， ， ， ∴在轴上存在两个点满足条件， 即：或． 题型七. 一次函数与几何综合 例7．如图，在中， ，D是射线上一点(不与点A、C重合)，过点D作直线的垂线，垂足为点E，M是的中点 (1)求证：； (2)当点D在边上时，如果设，，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当时， 求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当在上时，；当在延长线上时， 【知识点】函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质即可证明； （2）根据勾股定理得出，则，根据勾股定理得出，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：①当在上时，②当在延长线上时． 【详解】（1）证明：在中，，是的中点， ． 在中，，是的中点， ， ． （2）解：在中，，，， ． 由勾股定理得， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴， ①当在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当在延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 由（1）可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标交点的计算方法，待定系数求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据题意可求出的面积，由此可确定的面积，如图所示，过点作轴于点，根据三角形面积的计算方法即可求解； （3）根据题意，先求出所在直线的解析式，设，则，图形结合，分类讨论：①，；②，；③，；根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴直线的表达式为。 （2）解：解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴，即， 解得，，即点的纵坐标为6， ∵点是一次函数的图象在轴上方的一点， ∴，解得， ∴点的坐标为． （3）解：存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或，理由如下： 已知，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在线段上，轴， ∴设，则点N的纵坐标为， 把代入函数，得 ，解得：， ∴， ∴。 分三种情况讨论： ①如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴点，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ②如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ③如图所示，，，即是等腰直角三角形，过点作于点， ∴是的中点，且， 又∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)点或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】（1）先根据已知条件求得，，再利用待定系数法求解的函数解析式即可； （2）设直线交轴于点，先求得，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分两种情况：当点P在点E的左侧时和当点P在点E的右侧时，分别画出对应图形，利用数形结合思想，结合等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，由得， ∴，,， ∵， ∴，则， ∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵函数的图象经过点C、D， ∴，解得， ∴； （2）解：解：设直线交轴于点， 当时，，则， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：根据题意，分两种情况： 当点P在点E的左侧时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则点P为直线和直线的交点， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当点P在点E的右侧时，如图， ∵，，， ∴， 过点E作交于F，则， ∴， ∴， 设， 由得， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 由可设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形的外角性质、两点坐标距离公式、两直线的交点问题等知识，涉及知识点多，综合性强，熟练掌握待定系数法，添加平行线构造等腰三角形以及分类讨论是解答的关键． 1．直线与的交点坐标是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查求一次函数与二元一次方程组的交点坐标，掌握知识点是解题的关键． 通过联立两个直线方程，解方程组求得交点坐标即可． 【详解】解：∵两条直线的交点坐标同时满足两个方程， ∴， 即， ∴． 将代入，得 ． ∴直线与的交点坐标为． 故选C． 2．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 3．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（    ） A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定 【答案】B 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可． 【详解】解：利用图象，当游泳次数大于10次时， 在上面，即＞， ∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键． 4．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 【详解】A、根据图①可得第25天的销售量为200件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，日销售利润为（元）； 当时，日销售利润为（元）， ∴第20天和第30天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润为（元）， 当时，日销售利润为（元）． ∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 5．随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．小橙的行驶时间为 B．小橙的速度为 C．小橙比小绿先出发 D．小橙比小绿晚到达居民位置 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的图象，正确地从图象上获取信息是关键． 根据一次函数的性质，结合函数图象对选项依次进行判断即可． 【详解】解：从图象上可知，小橙比小绿先出发，故C正确； 总路程为，小绿的行驶速度为， ∴小绿的行驶时间为， ∴， 由图象可知，当时，， ∴小橙的行驶速度为，故B错误； 小橙行驶时间为，故A错误； 小橙比小绿晚到达，故D错误． 故选：C． 6．一辆货车从A地去往B地，一辆轿车从B地去往A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离y（单位：）与货车行驶的时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达B地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了函数图象在实际行程问题中的运用，正确读取函数图象上的信息，结合题意进行分析是解题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以逐一判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：A、根据函数图象可知，货车行驶与轿车相遇，未到达B地，故该选项错误，不符合题意； B、∵轿车用了从B地到达了A地，两地相距， ∴轿车的速度为：， ∵两车相遇时间为， ∴货车的速度为：，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵货车速度为， 又∵， ∴货车到达目的地用时， 轿车到达目的地用时， ， ， 即轿车比货车早到达目的地，故该选项说法正确，符合题意； D、相遇前两车相距时，货车行驶的时间是： ， ， 根据图象可得：当相遇后两车相距时，轿车到达目的地， ∴两车相遇后两车相距时，货车行驶的时间是： ，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 7．如图，平面直角坐标系中，在函数和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是，则第100个直角三角形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数，求直角三角形面积，掌握一次函数的性质是解本题的关键． 本题先根据点A的坐标以及函数和的表达式求出第一个直角三角形的直角边长度，进而得到其面积，再通过同样的方法求出后续几个直角三角形的面积，找出面积变化规律，最后根据规律求出第100个直角三角形的面积． 【详解】解：如图： 点A的坐标是， ， 当时，， ， 当时，， ， ， 第1个直角三角形的面积为， 同理可得， 第2个直角三角形的面积为， 第3个直角三角形的面积为， 第4个直角三角形的面积为， ， 依此规律，第100个直角三角形的面积为， 故选：A． 8．已知，且．若设，则m的最大值是 ． 【答案】7 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、比较一次函数值的大小、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的性质以及解一元一次不等式．用含x的代数式表示y，并代入中即可求出x的取值范围，再用含x的代数式表示m，再根据x的取值范围即可求出m的最大值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 即 又，， ∴当，有最大值为， ∴最大值为． 故答案为：． 9．如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用问题，解题的关键是看懂函数图象并掌握待定系数法求一次函数解析式的方法， 先求出第一次相遇的时间，再求出直线的解析式，联立直线的解析式即可得出第二次相遇的时间． 【详解】解：根据甲15-33分钟运动了2千米， 所以可得甲这段时间的速度为：/分， 故从5千米运动至6千米需要9分钟， 即6千米对应的时间为24分钟， 可得：第一次相遇的时间是第24分钟， 故乙的速度为：/分 的解析式为 点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 即直线的解析式为， 联立直线与直线的解析式可得：， 解得：， 即第二次相遇的时间是第38分钟， 所以乙领先甲时的x的取值范围是． 故答案为：． 10．如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点 (1)求的值及点、的坐标； (2)求的面积； (3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)2 (3)点的坐标为或 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了两条直线相交问题，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积． （1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （2）根据待定系数法，可得的解析式，根据函数值为零，可得点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案； （3）设，可得，然后根据时，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， 得， 解得， 一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、， 当时，， 解得，即， 当时，，即， ，，； （2）解：把点代入一次函数，得，解得， ， 当时，，即． ， ； （3）解：点是轴上的一个动点，设， ， ，， ， 或， 点的坐标为或． 11．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与BC交于点E．，的长满足式子 ． (1)求点A，C的坐标； (2)直接写出点E的坐标，并求出直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、求一次函数解析式、绝对值非负性 【分析】（1）根据非负数的性质，求出、的长即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，，构建方程求出，可得点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （3）分情形分别求解即可解决问题①当OB为菱形的边时②当OB为菱形的对角线时，分别画出图形，根据菱形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，的长满足式子． ，， ，， ，； （2）解：四边形是矩形， ， ， 根据翻折不变性可知：， ， ，设， 在中，， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的函数解析式为； （3）解：存在，点P的坐标为：或或或． 如图， ，， ． ①当为菱形的边时，，故， ，故． ②当为菱形的对角线时，， 设，则， 在中，， ，解得， ， ， ③当为对角线时，可得， 综上所述，存在，满足条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，算术平方根的非负性，菱形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假预习第11讲 一次函数的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：利用一次函数解决简单问题 在实际问题中,首先分析题意并探究实际问题中的有关信息,然后在此基础上建立一次函数模型,从而解决问题 根据实际问题列一次函数解析式的步骤 (1)找等量关系; (2)把已知的条件代入,变化的两个量用变量x,y来表示 (3)求定义域:既要根据解析式又要根据实际意义求定义域 【结构特征】(1)等量关系有且只有两个变化的量;(2)定义域既要满足函数解析式,又要使实际问题有意义 小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间. 从山脚出发后小明所走路程s（米）和所用时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空.    (1)小明中途休息用了 分钟； (2)小明休息后爬山的平均速度是 米/分钟； (3)小明休息前所走的路程s与时间t之间的函数关系式是 （无需写出定义域）． 某中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，已知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元． (1)求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？ (2)甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元．妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ 知识点2：利用一次函数的性质解决决策问题 利用一次函数解决决策问题的方法: (1)根据题意建立函数解析式; (2)根据解析式画出函数图像; (3)根据图像作出决策 题型一．两直线的交点与二元一次方程组的解 例1．图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，直线与交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 题型二．求直线围成的图形面积 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C，点E在线段上，过点E作x轴的垂线与直线交于点F，与x轴交于点D，且，则的面积为 ． 【变式1】已知直线与直线相交于点，直线经过点． (1)求m的值； (2)求直线的解析式； (3)求两条直线与y轴围成的三角形的面积． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求、的值； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标． 【变式3】已知直线的表达式为，与轴交于点，点在直线上，点的坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若的面积为，求点的坐标． 题型三. 分配方案问题 例3．某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【变式1】A，B两个红十字会分别有100吨和120吨生活物资，准备直接运送给甲、乙两个灾区，甲地需160吨，乙地需60吨，A，B两地到甲、乙两地的路程以及每吨每千米的运费如图所示．    (1)设红十字会A运往甲地物资吨，完成下表： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 ________ 乙地 ________ ________ (2)求总运费关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)当A、B两红十字会各运往甲、乙两地多少吨物资时，总运费最省？最省运费是多少？ 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 乙地 【变式2】当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【变式3】某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 题型四. 最大利润问题 例4．某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【变式1】某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【变式2】某水果店销售榴莲，成本价为40元/千克，经市场调查，每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于成本价且不得高于成本价的倍．      (1)求出与之间的函数关系式； (2)设每周的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该水果店每周的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式3】某商场购进一批单价为元的商品，在商场试销发现：每天销售量（件）与销售单价（元件）之间满足如图所示的函数关系： (1)求与之间的函数关系式； (2)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；售价定为多少时，才能使每天的利润最大？每天的最大利润是多少？ 题型五. 行程问题 例5．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 【变式1】甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 【变式2】小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 【变式3】小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图像． (1)当_______分钟时，小明爸爸正好回到家； (2)与之间的函数表达式为_______； (3)当___________分钟时，小明和爸爸第一次相遇．（第（3）需要写出过程） 题型六. 其他问题 例6．弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 【变式1】甲乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像如图所示，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像；线段表示乙机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像．根据图像信息回答下列问题． (1)甲种机器人比乙种机器人早开始工作___________小时； (2)甲种机器人每小时工作量是___________吨； (3)直线的表达式为___________； (4)如果乙种机器人工作了5小时，那么它完成的工作量是___________吨． 【变式2】为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．） (1)小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示： ①求y关于x的函数解析式（不写定义域）； ②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？ (2)小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速． 【变式3】如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标． 题型七. 一次函数与几何综合 例7．如图，在中， ，D是射线上一点(不与点A、C重合)，过点D作直线的垂线，垂足为点E，M是的中点 (1)求证：； (2)当点D在边上时，如果设，，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当时， 求的面积． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 1．直线与的交点坐标是（） A． B． C． D． 2．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 3．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（    ） A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定 4．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 5．随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．小橙的行驶时间为 B．小橙的速度为 C．小橙比小绿先出发 D．小橙比小绿晚到达居民位置 6．一辆货车从A地去往B地，一辆轿车从B地去往A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离y（单位：）与货车行驶的时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达B地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 7．如图，平面直角坐标系中，在函数和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是，则第100个直角三角形的面积是（  ） A． B． C． D． 8．已知，且．若设，则m的最大值是 ． 9．如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是 ． 10．如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点 (1)求的值及点、的坐标； (2)求的面积； (3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 11．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与BC交于点E．，的长满足式子 ． (1)求点A，C的坐标； (2)直接写出点E的坐标，并求出直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $