2.4.2抛物线的性质（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

2.4.2抛物线的性质 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：掌握抛物线的几何性质，能结合标准方程分析性质并应用。 教学难点：性质与方程的综合运算，实际情境中抛物线性质的灵活运用。 理解抛物线核心几何性质，明确性质与标准方程关联； 能运用性质求解焦点弦、参数计算及图像分析问题； 深化数形结合思想，提升几何与代数转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：抛物线性质概念提炼与规律； 逻辑推理：性质推导及焦点弦特征分析； 数学运算：性质计算与焦点弦相关运算； 直观想象：抛物线性质及图像特征的几何直观感知； 数学建模：利用性质解决实际情境中的抛物线问题。 新知引入 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 轴的 正半轴上 轴的 负半轴上 轴的 正半轴上 轴的 负半轴上 (- - - - 新知探究 问题1：类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线 ① 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 范围、对称性、顶点、离心率...... l F y x O 范围、对称性、顶点、离心率...... 新知探究 范围 由抛物线 有 所以抛物线的范围为 对称性 以代，方程 不变，所以抛物线关于轴对称． 把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 新知探究 顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点. ∴ 中，令，则. 即抛物线的顶点. 离心率 抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比 ，叫做抛物线的离心率，用表示． 由抛物线的定义可知，. 新知探究 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y≤0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 练习巩固 辨析1：判断正误. (1)抛物线有一条对称轴为轴.( ) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ) (4)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线.( ) 【答案】√，√，√，×. 练习巩固 辨析2：抛物线的焦点到直线的距离是（ ）. A. B. C. D. 【答案】. 辨析3：设点为抛物线上一点，点，且，则点的横坐标（ ）. A. B. C.或 D.或 【答案】. 练习巩固 辨析4：在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中的系数的关系： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】 抛物线如图，的系数的绝对值越大， 抛物线的开口越大． 典例精讲 例3：过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线相交于两点，求线段的长． 解：由题意可知，抛物线的焦点为，则直线的方程为 将方程①代入抛物线方程，并化简得 设两个交点的坐标分别为，则有 由抛物线定义可知，分别等于点到准线的距离，如图，又因为，，所以 练习巩固 练习1：已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且于圆相交的公共弦长为，求抛物线的方程. 解：设所求抛物线的方程为或， 抛物线与圆的交点，()，则 ，即. 由对称性，知，代入上式，得， 把代入，得， 所以点在抛物线上，点在抛物线上， 可得.于是所求抛物线的方程为或. 新知探究 弦 长 公 式 若直线（斜率为且）与抛物线交于, 两点,则 ____________________________ _ __________________________. （1）若直线过抛物线的焦点,则___________,___, _____. （2）若直线过抛物线的焦点且垂直于轴,则 ____. （3）若直线过抛物线的焦点且直线的倾斜角为 ,则 _____. 练习巩固 变式1：边长1为的等边三角形，为坐标原点，轴，以为顶点且过的抛物线方程是（ ）. A. B. C. D. 【答案】. 练习2：过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，求线段的长. 解：由抛物线的方程得 所以根据抛物线的定义可得 练习巩固 变式2：过抛物线的焦点作倾斜角为直线交抛物线于，两点， 如果，求线段的长. 解：因为抛物线的焦点是， 所以直线的方程为， 与抛物线方程联立消去得， 所以，从而. 练习巩固 练习3：已知是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程. 解：由题知，抛物线的焦点. ∵抛物线关于轴对称，，∴为等腰三角形. ∴两点关于轴对称. 设，则.∵的垂心恰为抛物线的焦点， ∴，则，即. 又∵，∴. ∴直线的方程为. 练习巩固 变式3：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长. 解：如图所示，设正三角形的顶点在抛物线上，且坐标分别为，,则，. 又，所以，即， 整理得. ∵，，，∴，由此可得， 即线段关于轴对称.由此得， ∴，与联立，解得. ∴. 典例精讲 例4：求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程。 解：先考虑过点且不垂直于轴的直线，可设其方程为 由方程组 , 得 当时，方程①为一元一次方程，其解为，此时直线与抛物线只有一个公共点 当时，方程①为一元二次方程，它只有一个解的充要条件是其判别式 解得.由此得到直线与抛物线也只有一个公共点。 典例精讲 例4：求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程。 此外，过点且垂直于轴的直线也满足题意 因此，所求直线的方程为或或 问题2： 类比椭圆、双曲线，探究抛物线与直线的位置关系. 设直线,抛物线 ,将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于的方程 新知探究 （1）若 ,则有 判别式 位置关系 交点情况 直线与抛物线______ __________ 直线与抛物线______ __________ 直线与抛物线______ __________ 相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点 （2）若 ,则直线与抛物线有______交点,此时直线与抛物线的对称轴 _____________. 一个 平行或重合 练习巩固 练习4：已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 解：由题意，直线的方程为， 由方程组 可得.① 当时，由方程①得， 把代入，得， 这时直线与抛物线只有一个公共点. 练习巩固 练习4：已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 当时，方程①的判别式. 当，即，解得或，所以方程①只有一个解，从而方程组只有一个解，这时直线与抛物线只有一个公共点. 当，即，解得，于是，当，且时，方程①有两个解，从而方程组有两个解，这时直线与抛物线只有两个公共点. 当，即，解得或，于是当或时，方程①没有实数解，从而方程组没有解，直线与抛物线无公共点. 练习巩固 练习4：已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 综上，当或或时，直线与抛物线只有一个公共点； 当，且时，直线与抛物线有两个公共点； 当或时，直线与抛物线无公共点. 典例精讲 例5：如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是， 灯深，求灯泡与反射镜顶点的距离． 解：以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系，如图 典例精讲 例5：如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是， 灯深，求灯泡与反射镜顶点的距离． 由题意，得点的坐标为 设抛物线的方程为 因为点在抛物线上，所以 解得。因此，抛物线焦点的坐标为 所以，灯泡与反射镜顶点的距离为 练习巩固 练习5：某河上有座抛物线拱桥，当水面距拱桥时，水面宽，一木船宽，高，载货后船露在水面上的部分高为，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 解：设以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线方程为，由题意知， 点在抛物线(设为水面宽且)，所以，， 所以抛物线方程为. 设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于，(与关于轴对称)时，船开始不能通航，设点坐标为，由，得， 此时水面与抛物线拱顶相距. 练习巩固 变式5：喷灌喷头装在直立管柱顶点处，喷出的水流呈抛物线形，且最高点高，与所在直线相距，水流落在以为圆心，半径为的圆上，则管柱长是多少？ 解：如图所示，建立直角坐标系，则点坐标为 设水流所形成的抛物线的方程为. 因为点在抛物线上，所以， 因此所以抛物线的方程为. 因为点在抛物线上，所以， 即，所以的长为. 所以管柱的长为. 小结 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y≤0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 小结 小结 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $