2.3.2双曲线的性质（第2课时）（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

2.3.2双曲线的性质 （第二课时） 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：掌握双曲线的几何性质，能结合标准方程分析性质并应用。 教学难点：渐近线的几何意义及推导逻辑，性质与方程的综合应用。 理解双曲线核心几何性质，明确性质与标准方程的内在联系； 运用性质解决图像分析、参数求解及渐近线相关问题； 深化数形结合思想，提升几何与代数转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：双曲线性质提炼与规律总结； 逻辑推理：性质推导及渐近线形成分析； 数学运算：基于方程性质计算与参数求解； 直观想象：双性质及渐近线几何直观感知； 数学建模：利用性质解决实际情境中的图形问题。 新知引入 方程 图像 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 关于轴、轴、原点对称 ，或 练习巩固 辨析1：若，方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是( ) 【答案】： 辨析2：如果方程表示双曲线，那么的取值范围是（ ）. 或 或 【答案】： 典例精讲 例5：已知双曲线过点，它的一条渐近线的方程为。求双曲线的标准方程。 解：因为双曲线的一条渐近线方程为， 当时，渐近线上对应点的纵坐标为， 小于的纵坐标所以双曲线的焦点在轴上。 设双曲线的标准方程为。由，可知. 若令，则。又因为点在双曲线上，所以解得 因此，所求双曲线的标准方程为 新知探究 问题1：如果双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程应具有什么形式？ 典例精讲 例6：已设直线与双曲线的方程分别为和，当实数取何值时，直线与双曲线分别有两个公共点？有一 个公共点？没有公共点？ 解：将直线方程代入双曲线方程，得 当，即时，方程①有两个不同的实根 从而直线与双曲线有两个公共点；当，即时，方程①无实根， 从而直线与双曲线没有公共点；直线与双曲线只有一个公共点的情况不存在。 新知探究 问题2：类比椭圆与直线的位置关系，如何判断直线与双曲线的位置关系？ x O y 联立，其判别式 ① ，即， 直线与双曲线相交于一点 ② ，即， Δ＞0 直线和双曲线相交,有两个交点 Δ＝0 直线和双曲线相切,有一个公共点 Δ＜0 直线和双曲线相离,无公共点 新知探究 ∆的取值 位置关系 交点个数 且∆＞0 且∆=0 且∆＜0 相离 相切 相交 没有公共点 只有一个切点 有两个交点 只有一个交点 直线与双曲线位置关系 典例精讲 例7：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图1).它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到). 解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图(2)所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径，都平行于轴，且，. 设双曲线的方程为， 点的坐标为，则点的坐标为. 典例精讲 解：因为直径是实轴，所以.又两点都在双曲线上，所以由方程，得(负值舍去). 代入方程，得. 化简得，. ③ 解方程③，得(负值舍去). 因此所求双曲线的方程为. 练习巩固 练习1：如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求. 解：双曲线的焦点分别为 .因为直线的倾斜角是，且过右焦点， 所以直线的方程为.由消去，得 解方程，得. 将，的值分别代入，得. 于是，两点的坐标分别为，. 所以 练习巩固 法一：当弦的两端点坐标易求时，求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长. 法二：弦的两端点坐标不易求时，为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理： 若直线与双曲线交于，，则弦长 或. 求弦长一般方法： 练习巩固 变式1-1：已知直线双曲线过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程；(2)求弦的长. 解：（法一）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立双曲线方程，得. 设，，则，解得. 所以直线的方程为，即. 练习巩固 变式1-1：已知直线双曲线过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程；(2)求弦的长. 解：（法二）由题意知直线的斜率存在，设代入双曲线方程，得，，两式相减得 ，即 所以直线的斜率 所以直线的方程为，即. 练习巩固 变式1-1：已知直线双曲线过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程；(2)求弦的长. 解：将代入，得. 由弦长公式， 得， 所以. 练习巩固 变式1-2：双曲线，求过且被点平分的弦所在直线的方程. 解：（法一）由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为， 即，由消去， 整理得. 设，，∴即，解得 当时，满足，符合题意. ∴所求直线的方程为，即 练习巩固 变式1-2：双曲线，求过且被点平分的弦所在直线的方程. 解：（法二）设∵均在双曲线上， ∴两式相减，得 ∴.∵点平分弦，∴ ∴ 经验证，该直线存在. ∴所求直线的方程为，即 练习巩固 变式1-3：已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为 （1）求C的标准方程； （2）过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求|AB|. 解：（1）设C的方程为,即 因为椭圆的焦点坐标为(±5，0)， 依题意9λ+16λ=25，解得λ=1， 所以C的标准方程为： 练习巩固 变式1-3：已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为 （1）求C的标准方程； （2）过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求|AB|. 解：（2）由方程为：得C的右顶点为(3,0)，设A(3,0)，B(x0,y0)， 又直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2(x-3)， 由得16x2-9×4(x-3)2=16×9， 整理得5x2-54x+117=0，解得， 故 小结 直线与双曲线位置关系 求弦长一般方法： 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 动点与定点的距离和它到定直线： 的距离比是常数， 若即，则点轨迹表示焦点在轴上的椭圆； 若即，则点轨迹表示焦点在轴上的双曲线． $