专题06 圆中的重要模型之辅助线八大模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题06 圆中的重要模型之辅助线八大模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，∴，∴劣弧，故答案为：． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接，是的直径，， 和所对的弧为，， 在中，，．故选：B． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作于，， 的半径为，圆心到的距离为，，， ，．故选C． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)． 【详解】（1）解：直线与相切，理由，如图，连接，， ∵直线与相切，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵是半径，∴直线与相切； （2）解：由（）得，，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（25-26九年级上·江西·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，先根据的直径，，可得出的长及，确定，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接， ∵圆的直径，， ，， ∵， ∴ ， ． 故选：B． 例2（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一个杯子杯口的直径．他们想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm，，．请你帮忙计算杯口的直径为（   ） A．10cm B． C． D．12cm 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，添加辅助线，利用勾股定理列方程求解是关键．设杯口圆的圆心为点O，过点O作于点E，交于点F，根据垂径定理得到，，再根据勾股定理列方程求解得，最后根据勾股定理求解半径，即得直径． 【详解】解：设杯口圆的圆心为点O，过点O作于点E，交于点F， 则， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 即， 解得， ， ， 杯口的直径为． 故选：A． 例3（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的割线，和它的延长线分别交于和，如果，，，那么的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的割线相关性质与勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理计算圆的半径． 通过作，结合垂径定理得到的长度，进而求出；再利用垂径定理先后求出（即圆的半径）． 【详解】解：如图，过作于点，连接， ∵是的弦， ， ， ， ． ∴的半径长为． 故答案为：8． 例4（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为，罐内液体已经过半， 燃料液面弦长为，则液面最大深度为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由题意可得，根据垂径定理得，再由勾股定理得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 例5（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图所示的是某景区“咏月碑林”景点入口处的门洞，这类圆形门洞因形如满月而得名“月洞门”，是中国古典建筑中常见的过径门．某数学兴趣小组利用周末时间实地勘测，测得该门洞地面入口宽为4米，拱高为4米，求该门洞所在圆（）的半径． 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，设半径为r，连接，利用勾股定理列出即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得， 米， 设半径为r，则， 由勾股定理得，即， 解得， 所以该门洞所在圆（）的半径为米． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，中，，，，以点为圆心，为半径的圆与、分别交于点、，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用勾股定理求得，过作，交于点，那么，接着利用三角形面积求得，然后用勾股定理求得，最后算得即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． 过作，交于点，如图所示： ， ，且，，， ∴， 在中，，， ∴． 故选：A． 例2（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，利用垂径定理求平行弦问题，半圆（直径）所对的圆周角是直角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 过O作于点G，过C作于点F，过D作于点E，证明，得到，由矩形的性质得到，分别在和中应用勾股定理得到，，从而可得关于的方程求解即可． 【详解】解：如图，过O作于点G，过C作于点F，过D作于点E， 则，，， 设的半径为，， ∵是的直径， ， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在与中， ， ， 在四边形中，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：A． 例3（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弦的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．将半圆沿弦所在的直线折叠，半圆上的点与点重合，连接交于点，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：将半圆沿弦所在的直线折叠，半圆上的点与点重合，连接交于点， 是的直径，且， ， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ，， ， 是的半径，是的弦，且于点， ， ， 故答案为： 例4（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连结，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 例5（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，O为与的角平分线的交点，以为半径的交三边于点D，E，F，G． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）点作于点，作于点N，由角平分线性质定理得到，然后证明，则，再由垂径定理即可求证； （2）过点作于点，连接，则四边形为正方形，那么，然后证明，则，则，则，设，则，，然后在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：过点作于点，作于点N，连接， ∵O为的角平分线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，连接， 同理可得， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∴， 设，则，， ∵在中， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，角平分线的性质定理，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是圆O的直径，是圆O的弦，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 连接，根据是直径，得到，结合，得到，根据同弧所对的圆周角相等，得到． 【详解】解：连接， 是圆O的直径， ， ， ， ． 故选：B． 例2（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理， 由圆周角定理得到，，求出，即可得到的度数． 【详解】解：连接， 是圆的直径， ， ， ， ． 故选：C． 例3（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵平分， ∴， 故答案为：. 例4（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理（直径所对的圆周角为直角、同弧所对的圆周角相等），熟练掌握圆周角定理的相关性质是解题的关键． 先利用直径所对圆周角为直角得到，再求出的度数，最后根据同弧所对圆周角相等得出的度数． 【详解】解：连接． ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， ∵在中，， ∴， ∵和都对应弧， ∴， 故答案为：． 例5（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的直径，弦于点E，得，由垂直平分，得，则，所以； （2）连接，由，，求得，则，所以，则，求得． 【详解】（1）解：连接， 是的直径，弦于点E， ， 垂直平分， ， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：连接， ，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 的长是． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，的弦垂直于弦，，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大，解题的关键是掌握的圆周角所对的弦是直径定理的应用． 首先连接，由的弦垂直于，即可得是直径，又由，，根据勾股定理即可求得的长，则可求得的半径． 【详解】解：连接， ， ， 是的直径， ∵，， ， 的半径为：． 故选：A． 例2（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．根据矩形的性质，得出，根据，得出点P在以为直径的圆上，设此圆的圆心为点Q，连接，交于点P，得出此时最小，求出线段的最小值为即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，点在上，， ∴，， ∵， ∴点P在以为直径的圆上，设此圆的圆心为点Q，连接，交于点P，如图所示： 此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 故选：A． 例3（2025·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质求出，根据弧、弦的关系及等腰三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 例4（浙江省金华市开发区2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试题）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理． 连接，根据圆内接四边形的性质求出的度数，再利用直角所对圆周角是直角求出，继而求出，再利用等弦对等弧，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵四边形是半圆的内接四边形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例5（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． （1）由角平分线得出，得出，由圆周角定理得出证出再由三角形的外角性质得出即可得出 （2）由（1）得：，得出由圆周角定理得出是直径，由勾股定理求出即可得出外接圆的半径． 【详解】（1）证明：平分，平分， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）解：连接，如图所示； 由（1）得：， ， ， 是直径， ， ， 外接圆的半径： 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（23-24九年级上·山东泰安·月考）如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理，首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， 点在以为直径的上，当、、共线时最小， 在中，，， ∴， ， ． 最小值为． 故选：A． 例2（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 例3（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面几何中的最值问题，将转换成圆的直径是解题的关键． 由可知，点在以为直径的圆上，故以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此即可求出最值． 【详解】解：于点E，D为边上动点， 点E的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的圆， 当点B，O，E共线时，最小， ∵等边三角形，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 例4（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 【答案】(1)是等边三角形．证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，进而可得出结论； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，得出是直径，再结合第（1）问的结论，可得是含的直角三角形，列方程求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 证明：， ． 同理，， ， 是等边三角形． （2）解：由（1），得． ， 线段为圆的直径． 在中，， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴圆的半径是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 例5（24-25九年级上·天津红桥·期末）已知的半径为5，四边形内接于，． (1)如图①，若，求弦和的长； (2)如图②，连接，若，求弦的长和的大小． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）连接．由已知得，为的直径，则得，在中，由勾股定理求得．在中，由勾股定理即可求得； （2）连接．由及直径对的圆周角是直角得，，进而有，则有．在中，由勾股定理求得．由，得是等边三角形，则可求得的度数． 【详解】（1）解：如图，连接． ， ． 为的直径． ． 的半径为5， ． 又， 在中，． 在中，由， 解得． （2）解：如图，连接． ， ． ． ． 在中，． ， ∴是等边三角形， ． ． 【点睛】本题考查了90度角对的弦是直径，同弧对的圆周角相等，相等的圆周角对的弦也相等，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形内接于，，点E在延长线上，且，求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，90度圆周角所对的弦是直径，证明直线是圆的切线，由可得是直径，由同弧所对的圆周角相等可得，结合题意可得，再求出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图：连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 则， ∵是半径， ∴是的切线． 例2（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，在中，，以为直径的交于点，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理． （1）利用等边对等角求得，，推出，证得，即可得到是的切线； （2）利用圆周角定理结合勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴． 例3（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E． (1)求证：直线是的切线 (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答． （2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 直线是的切线； （2）解：作，垂足为，如图2所示： ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 例4（2026·江西·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，． (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出，利用已知条件进行等量转换即可求出，最后利用可证明，从而证明是切线． （2）根据互余的两个角相等，利用可求出，设参数表示出和，再根据勾股定理用参数表示出和，最后利用即可求出参数的值，从而求出长度，即可求的长． 【详解】（1）解：连接，，如图所示，   ，为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是切线． （2）解：连接，如图所示，    由（1）得，， ， ， ． ， ． 设则， 在中，， ． 在中，． ， ， ． ． ， ． ． 故答案为： ． 例5（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，以的边上一点为圆心的圆经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了圆的切线判定、勾股定理的应用，利用弧中点性质与等腰三角形角的关系推导垂直是解题的关键． （1）连接，，由为的下半圆弧的中点得，可得，由得，由得，结合对顶角可得即，得出，结合是的半径即可证明是的切线； （2）由的半径，，得，，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵为的下半圆弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径，， ∴，， ∴． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质． （1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：． 故答案为：。 例2（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)的直径长为20 【分析】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）利用角平分线的定义、等边对等角等可得出，利用平行线的性质判定可得出，利用平行线的性质可得出，然后利用切线的判定即可得证； （2）作于点I，由垂径定理得，再证明四边形是矩形，得，则，由勾股定理得，求得，即可求的直径． 【详解】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径； ∴直线是的切线； （2） 解：如图，作于点I， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的直径长为20． 例3（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接、，过点作，交的延长线于点，已知． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查圆的切线判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用圆周角定理推导角的关系证明切线，通过相似三角形对应边成比例求解直径． （1）由直径所对圆周角为直角得，结合 推得；由得，证得是切线． （2）证，利用相似三角形对应边成比例，结合勾股定理求出直径． 【详解】（1）证明：∵ 是的直径， ∴ ，即 ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ 又∵ 是的直径， ∴ 为的切线． （2）解：∵ ， ∴ 在中，，， 由勾股定理得： 由得, 由得, ∴, ∵ ， ∴ ， ∴ ，即， 解得． 答：的直径为． 例4（2025九年级上·西藏林芝·学业考试）如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用角平分线的性质证明，再根据切线的判定求解； （2）先利用勾股定理求得，再证明，从而可求得，进而求得，设的半径为，再利用勾股定理得到关于的方程求解，从而可求得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， 又为半径，， ∴是的切线； （2）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），证明某直线是圆的切线，切线的性质定理，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 例5（25-26九年级上·广西柳州·月考）如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）连接，则，等边对等角得到，角平分线得到，进而得到，推出，得到，即可得出结论； （2）直径所对的圆周角为直角，得到，易得，根据含的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若， 求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接交于点H，由的内心得到，再由得到，即可证明； （2）连接，证出，得到，在中，求出，在中，设，则，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：连接交于点H， ∵点E是的内心， ∴平分，即， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵点E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， 设，则， 在中， ， 解得， ∴的半径为． 例2（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，点E是的内心，的延长线交于点F，交的外接圆于点D，连接，过点D作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，且，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，三角形的内心等知识，解题的关键是： （1）首先根据三角形内心的性质得出，然后利用圆周角定理、垂径定理等可得出，最后利用切线的判定即可得证； （2）先求出，然后代入计算即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵点E是的内心， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， ∴． 例3（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由同弧所对的圆周角相等得到，再由内心性质得到，，结合外角性质得到，再由，等量代换即可得到，结合等腰三角形的判定与性质即可得证； （2）由（1）知，再由圆周角定理及三角形内角和定理可得，再由三角形内心的性质得到，，然后在中，由三角形内角和定理代值计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， 点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 点是的内心， 平分，平分， ，， 在中， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及同弧所对的圆周角相等、三角形内心性质、角平分线定义、外角性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，熟记三角形内心等相关几何性质，掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键． 例4（2024九年级上·全国·专题练习）如图，I是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)若于点M．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，理解内心的概念及性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键， （1）连接，根据是的内心，可得，由数量关系可得，由此即可求解； （2）连接交于点E，可得，，，可证，由数量代换即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的内心， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：连接交于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ． 例5（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，可证明，得，则平分，再由点I是的内心，证明平分，所以与在同一条直线上，即可证明所在的直线经过点I； （2）连接，推导出，则，再证明，则，再推导出，则，由，，证明，则，所以，即可证明点D是的中点． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴与在同一条直线上， ∴所在的直线经过点I． （2）证明：连接，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点D是的中点． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，CD为的直径，弦于点E．寸，寸，则直径的长为（   ）    A．13寸 B．18寸 C．24寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是关键． 连接．设圆的半径是寸，在直角中，寸，，在直角中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长． 【详解】解：如图，连接．    设圆的半径是寸，在直角中，寸，寸， ∵， ∵，且， ∴， 则， 解得：． 则（寸）． 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角定理，等腰三角形的判定及性质等；由弧的度数得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】解：连接， 的度数为， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，半径为的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，连接，，根据可得，推出，由可得，推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质定理． 连接，根据直径得出直角，求出，然后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025·广东江门·二模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据可知点E在以为直径的半上，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴点E在以为直径的半上， 连接交于点， ∴当点E位于点位置时，线段取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 则. 故选：B． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在的内接中，．射线与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形的内角和定理、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得；如图：连接，由圆周角定理可得；再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图：连接，则， ∵， ∴． 故选B． 8．（2024·湖北·模拟预测）如图，A，C，B，D四点都在上，是的直径，圆的半径为3，，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 4 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，根据圆周角定理可得，然后利用勾股定理可求得． 【详解】解：连接， ， ， 圆的半径为3， ， ， 故选：C． 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、切线长定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线长定理得到，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的周长为26， ∴， ∵， ∴， ∵与三边分别相切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点E，F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 11．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图所示，中，弦交直径于点，，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查利用垂径定理和勾股定理，含30度的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过圆心O作于E，连接，先证明，，再求出，，得到，继而求出，根据勾股定理，求出，则，即可解得． 【详解】解：过圆心O作于E，连接，如图 ∴，． ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．过作于交于，求得，设半径为，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于交于，如图所示： 则， 设半径为，则， 根据勾股定理得，， 解得：， 这个球的直径为． 故答案为：20． 13．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：3． 14．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D，E在上，，则所对的圆心角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆的相关性质．连接，，，由，，可得，故，即所对的圆心角为． 【详解】解：连接，，，如图， 点，，，，在上， ， ， ，即， ， ， 即所对的圆心角为； 故答案为：． 15．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，C，D均在上，且是直径，为优弧的中点，连接，，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连接，得出，，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据为优弧的中点，得出，进而根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径，， ∴， ∴ ∵为优弧的中点， ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 16．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，P是外一点，分别和切于是弧上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查切线长定理，知识点是“从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等”．解题方法是利用切线长定理将的周长转化为的长度关系；解题关键是识别相等的切线长，易错点是忽略切线长的等量转换．解题思路：根据切线长定理，将的周长转化为，结合求解． 【详解】由切线长定理： ． 的周长为： 已知周长为，且，故，解得． 故答案为：8． 17．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理．连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点是的内心， 平分， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ， ， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是半圆O的直径，，点C在半圆O上，D为的中点，连接并延长交半圆O于点E． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，过点E作，垂足为F，若，求的长． 【答案】(1)6 (2)2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据三线合一的性质得出，，在中，根据勾股定理可得出，求出，即可求解； （2）由（1）可求出，根据勾股定理求出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，D为的中点， ∴，， ∴， 又，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 19．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理、三角形全等判定与性质、勾股定理： （1）连接并延长交于点，根据垂径定理可得，，再证明可得，由此即可得到结论； （2）设的半径为，在中根据勾股定理列出方程求出R，在中，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）解：设的半径为则， ∵，， ∴， 在中，， 解得， ， ， ． 21．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在中，，以为直径的半圆O分别交、于点D、E，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质和圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等腰三角形的三线合一得到即可得到结论； （2）由（1）可得，根据勾股定理求出长，再根据的面积求出长即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，以的边为直径的分别交，于点，，连接，且． (1)求证：． (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，三线合一的性质以及圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质与判定； （1）连接，由为直径，可证得，根据，利用三线合一即可得证； （2）根据已知可得，根据圆内接四边形对角互补可得，进而得出是等边三角形，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为直径， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 23．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，是的直径；弦，垂足为点，弦与相交于点，且点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． （1）如图，连接，由垂径定理得到，再根据题意得到，进而得到，推出，由同弧所对圆周角相等推出，结合，证明，即可得出结论； （2）由（1）知，得到，推出，由垂径定理求出，连接，设，则，利用勾股定理建立方程分别求出的值，得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 由（1）知， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 连接， 设，则， 在中，，即， 解得，即； 在中，，即， 解得，即； 在中，． 24．（25-26九年级上·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，求的半径； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）作于，得到四边形是矩形，得到，根据垂径定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分， ， ， ， ， ∴， ， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图， 设的半径为， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得，， 即的半径为； （3）证明：作于，连接，如图， 则， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质、等边对等角及勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． 25．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理等，掌握切线的判定与性质、圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接、，则，由等腰三角形的性质得，由同弧所对的圆周角相等得，即可得证； （2）由，得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接、，则， ， ， ， ， ， 是的直径，D是的中点， ∴， ， ， ， 为的切线． （2）解：，，， ， ， ， ， 解得， 的半径长为3． 26．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，是的弦，平分，过点B作的切线交的延长线于点C，连接，延长交于点E，交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、含30度角直角三角形的性质以及勾股定理等知识， （1）连接，欲证明是的切线，只要证明，由即可解决问题； （2）先证明，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ． 27．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，内接于，是的直径，点D在上，点C是的中点，过点C作，垂足为点E，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，然后证明，由，得到，即可证明； （2）先证明，进一步可求，则，可证明为等边三角形，则，可求，那么． 【详解】（1）证明：连接，   点C是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，即：， 是半径， 是的切线； （2）连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ∴， ，， ， ， ∴的长为． 28．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，为直角三角形，，直角边与半圆O交于点E，，平分，是半圆O的直径． (1)求证：与半圆O相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，，得到，为半径，即可得证； （2）连接，交于点F，证明四边形为矩形，得到．由勾股定理可得，即得结论． 【详解】（1）证明：∵，即， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即为半径， ∴与半圆O相切． （2）如图，连接，交于点F． ∵平分，，为半圆O的直径， ∴，，，， ∴四边形为矩形， ∴． 由勾股定理可得， ∴． 【点睛】本题考查圆与三角形综合，熟练掌握圆周角定理，切线的判定和性质，解直角三角形，矩形判定和性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆中的重要模型之辅助线八大模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（25-26九年级上·江西·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一个杯子杯口的直径．他们想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm，，．请你帮忙计算杯口的直径为（   ） A．10cm B． C． D．12cm 例3（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的割线，和它的延长线分别交于和，如果，，，那么的半径长为 ． 例4（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为，罐内液体已经过半， 燃料液面弦长为，则液面最大深度为 ． 例5（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图所示的是某景区“咏月碑林”景点入口处的门洞，这类圆形门洞因形如满月而得名“月洞门”，是中国古典建筑中常见的过径门．某数学兴趣小组利用周末时间实地勘测，测得该门洞地面入口宽为4米，拱高为4米，求该门洞所在圆（）的半径． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，中，，，，以点为圆心，为半径的圆与、分别交于点、，则的长为（    ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弦的长是 ． 例4（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 例5（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，O为与的角平分线的交点，以为半径的交三边于点D，E，F，G． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是圆O的直径，是圆O的弦，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为 ． 例4（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为 ． 例5（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，的弦垂直于弦，，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 例3（2025·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 例4（浙江省金华市开发区2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试题）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数为 ． 例5（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（23-24九年级上·山东泰安·月考）如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 例2（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 例3（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 例4（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 例5（24-25九年级上·天津红桥·期末）已知的半径为5，四边形内接于，． (1)如图①，若，求弦和的长； (2)如图②，连接，若，求弦的长和的大小． 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形内接于，，点E在延长线上，且，求证：是的切线． 例2（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，在中，，以为直径的交于点，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是5，求的长． 例3（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E． (1)求证：直线是的切线 (2)若，的半径为5，求的长． 例4（2026·江西·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，． (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 例5（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，以的边上一点为圆心的圆经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径，，求的长． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 例2（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的直径． 例3（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接、，过点作，交的延长线于点，已知． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的直径． 例4（2025九年级上·西藏林芝·学业考试）如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，试求的长． 例5（25-26九年级上·广西柳州·月考）如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若， 求的半径． 例2（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，点E是的内心，的延长线交于点F，交的外接圆于点D，连接，过点D作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，且，求长． 例3（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 例4（2024九年级上·全国·专题练习）如图，I是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)若于点M．求证：． 例5（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，CD为的直径，弦于点E．寸，寸，则直径的长为（   ）    A．13寸 B．18寸 C．24寸 D．26寸 2．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，半径为的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东江门·二模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在的内接中，．射线与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖北·模拟预测）如图，A，C，B，D四点都在上，是的直径，圆的半径为3，，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 4 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 11．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图所示，中，弦交直径于点，，，且，则 ． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径为 ． 13．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 14．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D，E在上，，则所对的圆心角度数为 ． 15．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，C，D均在上，且是直径，为优弧的中点，连接，，．若，则的度数为 ． 16．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，P是外一点，分别和切于是弧上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为 ． 17．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ． 18．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是半圆O的直径，，点C在半圆O上，D为的中点，连接并延长交半圆O于点E． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，过点E作，垂足为F，若，求的长． 19．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在中，，以为直径的半圆O分别交、于点D、E，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，以的边为直径的分别交，于点，，连接，且． (1)求证：． (2)若，求证：为等边三角形． 23．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，是的直径；弦，垂足为点，弦与相交于点，且点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长度． 24．（25-26九年级上·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，求的半径； (3)求证：． 25．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 26．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，是的弦，平分，过点B作的切线交的延长线于点C，连接，延长交于点E，交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 27．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，内接于，是的直径，点D在上，点C是的中点，过点C作，垂足为点E，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 28．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，为直角三角形，，直角边与半圆O交于点E，，平分，是半圆O的直径． (1)求证：与半圆O相切； (2)若，，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $