专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)；(2)2． 【详解】（1）解：如图2，连接．    ，；； （2），，，． 是的内切圆，，，， ，∴设，则， ，，即（，解得，， ，，． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵点E是的内心，∴平分，∴，故①正确； 设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分， ∵点G为的中点，∴点G为与的交点，即，故②正确； ∵，∴， ∵点E是的内心，∴，， ∴，故③错误； ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，故④正确， 综上，正确的有3个，故选：B． 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接、、，，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，， 【详解】解：连结接、、，，，，设半径为，   ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径． 例2（24-25九年级上·全国·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令，根据选项中关系式计算比较判断即可． 【详解】解：为直角三角形， 令． 选项A：，选项B：，选项C：，选项D：， 只有D选项结果跟其他选项结果不一致， 表达式错误的是D选项， 故选：D． 例3（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）如图，已知的内切圆与两个锐角的角切圆（与角的两边及的内切圆均相切）的半径分别为3，2，1，则的周长为 ． 【答案】 【分析】连接，，，，，，，，，根据切线的性质得出，，，，，，，证明，得出，求出，同理可得：，根据勾股定理求出，，证明四边形为正方形，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：如图，标记圆心和切点，连接，，，，，，，，， 根据题意可知，，，，，，，， ∵是的内切圆， ∴平分， ∵，，， ∴圆心在上， 同理：圆心在上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴的周长为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内切圆的性质，切线性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 例4（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内切圆，切点分别是、、．若，则 °． 【答案】 【分析】连接、，由切线的性质得，，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 是的内切圆，切点分别是、、， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、四边形的内角和等于、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 例5（25-26九年级上·山西忻州·月考）阅读与思考 下面是小康学习了《圆》的知识后的学习笔记，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 勾股容圆问题【概念】 在直角三角形中、已知勾与股的长，求直角三角形能容纳的圆（直角三角形的内切圆）的直径，这就是勾股容圆问题． 【问题1】 如图1，在中，，，，，的内切圆的半径为，内切圆与三边相切于点，，，则，这就是勾股容圆公式，下面是该公式的部分推理过程： 解：连接，，则四边形是正方形， 根据切线长定理，可设，，…… 【问题2】 在一直角三角形中，勾（短直角边）为8步，股（长直角边）为15步，则可利用勾股容圆公式直接求得该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径为▲步． 任务： (1)请补全【问题1】中的勾股容圆公式的推理过程． (2)【问题2】中的“▲”处应填______． (3)如图2，在中，，，．请求出的内切圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】本题考查，切线长定理，正方形的性质，勾股定理，读懂题意，证明并运用勾股容圆公式是解题的关键． （1）连接，，则四边形是正方形，根据切线长定理，可设，，，因此，，，从而可推出，根据四边形是正方形，得到，即可解答； （2）先根据勾股定理求出弦（斜边）的长，再根据勾股容圆公式求解即可； （3）先根据勾股定理求出，再根据勾股容圆公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，，则四边形是正方形， 根据切线长定理，可设，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∵的半径为r，即， ∴． （2）解：∵在一直角三角形中，勾（短直角边）为8步，股（长直角边）为15步， ∴弦（斜边）为（步）， ∴根据勾股容圆公式直接求得该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径为（步）， ∴直径为（步）． 故答案为：6 （3）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴根据勾股容圆公式可得，的内切圆的半径为． 模型2.外接圆模型 例1（24-25九年级上·江苏南京·期中）解答下列问题 (1)【习题再现】完成原习题；（教材P74 第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．和相等吗？为什么？ (2)【逆向思考】如图②，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心． (3)【迁移运用】如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图①，连接．首先根据三角形内心的概念得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后通过角度之间的转化即可证明，进而得到； （2）连接．首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据得到，然后根据角度之间的转化得到，即可证明出I为的内心； （3）根据题意作出和的角平分线，两条平分线的交点即为的内心I． 【详解】（1）证明：如图①，连接． ∵I是的内心， ∴． ∵是所对的圆周角， ∴． ∴． 根据角之间的关系可得． 又∵是的一个外角， ∴． ∴． ∴； （2）证明：连接． ∵， ∴． ∴． 即平分． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∵， ∴，即平分． ∴I为的内心； （3）文字说明：①以点B为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点M和N， ②以点M和点N为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点H，作射线， ③以点C为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点E和F， ④以点E和点F为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线， ∴射线和射线交于点I， ∴点I即为的内心． 画图如下： 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内心的定义，圆周角定理的推论是解答本题的关键． 例2（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形的内心、圆周角定理、勾股定理、弧与弦的关系等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）先根据三角形内心的定义可得，，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证； （2）连接，先根据圆周角定理可得是的直径，，再求出，然后在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵是的内心， ∴，， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵是的外接圆，且， ∴是的直径， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴外接圆的半径为． 例3（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． (1)若，求的度数； (2)若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的判定． （1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解； （2）由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，即． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，点E是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 例4（23-24九年级上·江苏扬州·月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)若，求的度数； (2)求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形的内心、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）先根据三角形的内心可得，再根据圆周角定理求解即可得； （2）先根据三角形的内心可得，则可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵点是的内心，， ∴， 由圆周角定理得：． （2）证明：∵点是的内心， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∴． 例5（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连接、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明； （2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线． （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的半径为，直线与相切于点，动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点到直线的距离是时，点运动的时间为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，特殊的三角函数值；如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，，，设与交于点，可知，，先通过三角函数值可知，得到，进而再对P点进行两种情况分析即可得到结果． 【详解】解：如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，，， 设与交于点，可知，， 则，， 在中，， ∴， ∴， ∵动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时， ∴的运动速度为， 当点运动到点时，运动了，所以运动时间为， 同理可知， 当点运动到点时，运动了，所以运动时间为， 综上点运动的时间为或． 故选：A． 2．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，已知为的直径，，和是的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作的切线，分别交于点M、N，连接．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由切线长定理可得，则可证明，进而推出，由勾股定理可得，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵都是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理和相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，如图，先根据切线的性质得到，利用勾股定理可计算出，再根据圆周角定理得到，然后证明，于是利用相似比可求出的长． 【详解】解：连接，如图， 为的切线， ， ， 的直径为4， ，， 在中，，， ， 是的直径， ， ∵， ∴， ∵ ， 而， ， ，即， 解得． 故选：D． 4．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，是等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D．若，则的半径为（   ） A．6 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，连接，根据是等腰三角形，O是底边的中点，得出，根据腰与相切于点D，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边的中点， ∴， ∵腰与相切于点D， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为3， 故选：C． 5．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·月考）如图，的边与相交于C、D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．由切线的性质可得，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图， 边与相切， ， ， ，与是所对的圆心角和圆周角， ， ， 故选：C． 6．如图，、切于A、B，及其延长线分别交于C、D，为⊙O的直径，连接、，下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质： ①在圆中相等圆心角所对应弧相等，，连接，，则． ②，，则，正确． ③根据角的互余关系证明即可； ④条件不足，无法确定． 【详解】解：连接，如图， 由切线性质知，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，①正确； 由切线性质知，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴平分，③正确； ④若，则，即是等边三角形， 根据已知条件无法得到这一结论，故④错误． 故选：A． 7．（2025·山西长治·二模）如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，切线的性质，勾股定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理可得，根据补角的性质可得，结合题意，与相切于点，可得，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 即圆的半径为． 故选：D． 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 9．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）刘徽是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，在中，，，，的长分别为10，6，8，则的内切圆直径 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，三角形面积公式，过点分别作于点，于点，于点，连接、、，则，再由计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点分别作于点，于点，于点，连接、、， ， 则， ∵， ∴， ∵，，的长分别为10，6，8， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，O是上一点，与相切于点E，交于点F，连接，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质等，连接，根据圆周角定理和切线的性质得出，，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出，求得，得出，然后根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：连接， ∵与相切于点E， ∴， ∵交于点F， ∴是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，即 ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·北京·月考）如图，，，分别切于点．若，则的周长为 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解答本题的关键． （1）根据切线长定理，由，，分别切于，，点得，，，然后三角形周长的定义得到的周长，然后用等线段代换后得到的周长，即可解答； （2）由三角形内角和定理得到，则，连接，根据角平分线的判定得到平分，平分，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1），，分别切于，，点， ，，， 的周长 ； （2）∵， ∴， ∴ ， 连接， ∵，，分别切于点， ∴， ∵， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 12．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】证明，得出，证，从而求出，则可得出答案． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·广西柳州·月考）如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，以O为圆心作半圆，使它与，都相切，切点分别为D，E，则的半径为 ． 【答案】4 【分析】连接，，得到是等腰直角三角形，求出，由切线的性质得到，得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵在等腰直角三角形中，，为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ， ∴的半径为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形性质，三线合一和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 14．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，点为上的一点，与相切于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、勾股定理、圆周角的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、勾股定理、圆周角的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）连接，由（1）得，然后可得，，，进而可得，则由相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（云南省大理州2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷）如图，四边形中，，点E是的中点，平分，以为直径的交于点E、交于点F． (1)求的度数： (2)求证：直线与相切： (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角为即可求解； （2）连接，证明，由得到，即，即可证明直线与相切； （3）连接，交于点G，证明四边形，四边形为矩形，得到，，，根据垂径定理得到，从而是的中位线，进而，设，则，，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵CD是的直径， ∴． （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． （3）解：连接，交于点G， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴ ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，中，，以为直径的分别与边和相交于点E和F，过点E作的切线交边于点H． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接和，根据圆周角定理和等腰三角形的性质可得，再利用三角形的中位线性质可得，结合切线的性质得到，利用四边形的内角和定理和等腰三角形的判定与性质可证得结论； （2）过点作于点，根据垂径定理可得D为中点，设的半径为r，利用勾股定理可列方程求解． 【详解】（1）证明：①连接和， 为的直径， ， ， ， 又， ， 为的切线， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：过点作于点，则D为中点， 设的半径为r，则,， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得，即， 解得 （舍去）或， 的半径为2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、三角形的中位线性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 17．（25-26九年级上·山西忻州·月考）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们探讨有关不同情况下扇形与圆的关系问题． 【初步探究】 （1）如图1，已知的半径为10，扇形的顶点，，都在上，扇形ABC的圆心角，求扇形的半径． 【深入探究】 （2）“智慧小组”提出问题：如图2，扇形的圆心角，半径为10，若与扇形的两条半径，及都相切，求的半径． 【拓展探究】 （3）“创新小组”突发奇想，提出问题：如图3，在正方形中，与扇形相切，与边，相切，若扇形的半径为10，请直接写出的半径． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）在根据勾股定理中得到，再根据即可求解； （2）过点G作于点M，设与的切点为，由切线的性质可得，由切线长定理得到平分，即，从而，根据求出，即可解答； （3）过点作于点F，连接，根据正方形的性质得到，，，．根据切线长定理得到，因此点在上．设的半径为r，与扇形相切于点H，则，，根据切线的性质得到，进而在中求出，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵的半径为10， ∴， ∵， ∴， ∴， 即扇形的半径为． （2）过点G作于点M，设与的切点为， ∵是的切线， ∴是的半径， ∴， ∵，是的切线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 即的半径为． （3）过点作于点F，连接， ∵扇形的半径为10， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ∴在中，． ∵与边，相切， ∴， ∴点在上， 设的半径为r，与扇形相切于点H， 则，， ∵，与边相切， ∴是的半径，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，即， ∴， ∴的半径为． 18．（2025·辽宁抚顺·一模）在中，，点D是斜边上一点，点E是直角边上一点，连接，且，，以为直径画，交边于点F，交边于点G． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，得，，而，所以，则，即可证明是的切线； （2）根据直径所对圆周角为直角，可知，在中，利用勾股定理求出，在中，设，则，利用勾股定理即可求解题目． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵为直径， ∴． ∴在中， ∵，， ∴， 在中， 设，则 ∵ ∴， ∴． 答：的直径CD长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，切线的判定，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键 19．（25-26九年级上·北京·期末）如图，点O在的边上一点，与边相切于点E，与边，分别交于点D，F，且． (1)求证：； (2)若，时，求半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为， 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，得到，根据等腰三角形的性质得到，得出，得到，根据切线的性质得到，即可得到结论； （2）设的半径为，根据三角函数求出，同理求出． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ， ， ， ， ， ∴， 与边相切于点， ， ； （2）解：设的半径为，则， 在中， ， ， 在中，，， ，即 ． 20．（2025九年级上·西藏林芝·学业考试）如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用角平分线的性质证明，再根据切线的判定求解； （2）先利用勾股定理求得，再证明，从而可求得，进而求得，设的半径为，再利用勾股定理得到关于的方程求解，从而可求得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， 又为半径，， ∴是的切线； （2）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），证明某直线是圆的切线，切线的性质定理，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 21．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，为上一点，． (1)求证：与相切； (2)若，，，求半圆的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，根据，得，证明，得，进而可得结论； （2）设半径为r，连接，，则，求得，再由勾股定理，利用为中间变量列出r的方程便可求得结果． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是半圆O的切线； （2）解：连接，如图2， 设圆的半径为r，则， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴圆的半径为． 22．（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，是直角三角形，，以为直径的与相切于点，交于两点，连接． (1)求证：是的平分线； (2)，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是切线的性质定理、圆周角定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，再根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可； （2）连接，设的半径为，先证明四边形是矩形，从而可得，，，再根据勾股定理在中列出方程，求出，进而在由勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：连接，交于点， 是的切线， ，， ， ， ， ， ， ，即是的平分线； （2）连接， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得，， 则． ∵，是半径， ∴， ∴． 23．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D． (1)求证：直线为的切线． (2)如图2，连结．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等，掌握切线的判定和性质是解题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质得，由角平分线定义得到，因此推出，得到半径，即可得证； （2）连接，根据三角函数的定义求出，设，根据三角函数的定义求得，得到，由直角三角形斜边中线的性质即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ∴半径于点D， 是的切线； （2）解：连接， ， ， ，，， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ． 24．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，内接于，是的直径，点D在上，点C是的中点，过点C作，垂足为点E，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，然后证明，由，得到，即可证明； （2）先证明，进一步可求，则，可证明为等边三角形，则，可求，那么． 【详解】（1）证明：连接，   点C是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，即：， 是半径， 是的切线； （2）连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ∴， ，， ， ， ∴的长为． 25．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，与分别交于点E，F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径． （1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． 【详解】（1）证明：连接 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：过点作，垂足为点， ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， 的半径为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 例2（24-25九年级上·全国·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 例3（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）如图，已知的内切圆与两个锐角的角切圆（与角的两边及的内切圆均相切）的半径分别为3，2，1，则的周长为 ． 例4（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内切圆，切点分别是、、．若，则 °． 例5（25-26九年级上·山西忻州·月考）阅读与思考 下面是小康学习了《圆》的知识后的学习笔记，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 勾股容圆问题【概念】 在直角三角形中、已知勾与股的长，求直角三角形能容纳的圆（直角三角形的内切圆）的直径，这就是勾股容圆问题． 【问题1】 如图1，在中，，，，，的内切圆的半径为，内切圆与三边相切于点，，，则，这就是勾股容圆公式，下面是该公式的部分推理过程： 解：连接，，则四边形是正方形， 根据切线长定理，可设，，…… 【问题2】 在一直角三角形中，勾（短直角边）为8步，股（长直角边）为15步，则可利用勾股容圆公式直接求得该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径为▲步． 任务： (1)请补全【问题1】中的勾股容圆公式的推理过程． (2)【问题2】中的“▲”处应填______． (3)如图2，在中，，，．请求出的内切圆的半径． 模型2.外接圆模型 例1（24-25九年级上·江苏南京·期中）解答下列问题 (1)【习题再现】完成原习题；（教材P74 第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．和相等吗？为什么？ (2)【逆向思考】如图②，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心． (3)【迁移运用】如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 例2（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 例3（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． (1)若，求的度数； (2)若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 例4（23-24九年级上·江苏扬州·月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)若，求的度数； (2)求证． 例5（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连接、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的半径为，直线与相切于点，动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点到直线的距离是时，点运动的时间为（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，已知为的直径，，和是的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作的切线，分别交于点M、N，连接．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，是等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D．若，则的半径为（   ） A．6 B． C．3 D．4 5．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·月考）如图，的边与相交于C、D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 6．如图，、切于A、B，及其延长线分别交于C、D，为⊙O的直径，连接、，下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④ 7．（2025·山西长治·二模）如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为 ． 9．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）刘徽是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，在中，，，，的长分别为10，6，8，则的内切圆直径 ． 10．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，O是上一点，与相切于点E，交于点F，连接，若，则的度数是 ． 11．（25-26九年级上·北京·月考）如图，，，分别切于点．若，则的周长为 ；若，则 ． 12．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·广西柳州·月考）如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，以O为圆心作半圆，使它与，都相切，切点分别为D，E，则的半径为 ． 14．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，点为上的一点，与相切于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 15．（云南省大理州2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷）如图，四边形中，，点E是的中点，平分，以为直径的交于点E、交于点F． (1)求的度数： (2)求证：直线与相切： (3)若，，求的长． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，中，，以为直径的分别与边和相交于点E和F，过点E作的切线交边于点H． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的半径． 17．（25-26九年级上·山西忻州·月考）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们探讨有关不同情况下扇形与圆的关系问题． 【初步探究】 （1）如图1，已知的半径为10，扇形的顶点，，都在上，扇形ABC的圆心角，求扇形的半径． 【深入探究】 （2）“智慧小组”提出问题：如图2，扇形的圆心角，半径为10，若与扇形的两条半径，及都相切，求的半径． 【拓展探究】 （3）“创新小组”突发奇想，提出问题：如图3，在正方形中，与扇形相切，与边，相切，若扇形的半径为10，请直接写出的半径． 18．（2025·辽宁抚顺·一模）在中，，点D是斜边上一点，点E是直角边上一点，连接，且，，以为直径画，交边于点F，交边于点G． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的直径． 19．（25-26九年级上·北京·期末）如图，点O在的边上一点，与边相切于点E，与边，分别交于点D，F，且． (1)求证：； (2)若，时，求半径及的长． 20．（2025九年级上·西藏林芝·学业考试）如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，试求的长． 21．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，为上一点，． (1)求证：与相切； (2)若，，，求半圆的半径长． 22．（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，是直角三角形，，以为直径的与相切于点，交于两点，连接． (1)求证：是的平分线； (2)，求的长． 23．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D． (1)求证：直线为的切线． (2)如图2，连结．若，，求的长． 24．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，内接于，是的直径，点D在上，点C是的中点，过点C作，垂足为点E，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 25．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，与分别交于点E，F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $