专题07 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）（几何模型讲义）数学华东师大版九年级下册

该初中数学讲义聚焦圆的辅助线构造，通过八大类模型系统梳理知识体系，以圆的定义、性质定理为基础，结合框架图呈现“遇弦连半径”“遇切线连圆心”等模型与垂径定理、圆周角定理的内在联系，清晰标注重难点分布。 讲义亮点在于“真题现模型-提炼模型-模型运用”的递进设计，通过2025年江苏宿迁中考切线证明题等真题实例，引导学生用数学眼光抽象辅助线构造规律，培养推理意识。每个模型配备基础例题和综合练习题，助力分层提升，教师可据此实施精准复习教学。

专题07 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类） 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，∴，∴劣弧，故答案为：． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接，是的直径，， 和所对的弧为，， 在中，，．故选：B． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作于，， 的半径为，圆心到的距离为，，， ，．故选C． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)． 【详解】（1）解：直线与相切，理由，如图，连接，， ∵直线与相切，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵是半径，∴直线与相切； （2）解：由（）得，，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵，∴，∵，∴， ∵，，∴，， ∴，∴， ∴．∴的度数20°．故选：C． 例2（2025·广东佛山·三模）如图，是的直径，，是上的点，，则弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵，，∴，∴， ∵，∴，∴弧的长为 故答案为：． 例3（2025·广东佛山·三模）如图，在圆内接正六边形中，若，则阴影面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵正六边形是的内接正六边形，， ∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴， ∴，故答案为：． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线，∴圆心一点在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，，∴，， 设圆形工件的半径为，则，∵，∴， 在中，，即，解得，∴圆形工件的半径为，故选：B． 例2（2025·四川甘孜·三模）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点O作于H，连接，∴ 在中，，∴， ∴，∴，故答案为：． 例3（2025·河南商丘·二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵等边是的内接三角形，∴, ∵，，∴，，∴， ∵的半径为2，∴，∴， 由勾股定理得：，∴， ∴，， ∴，故选：D． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（2025·湖北十堰·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，∵∴点C在上，由题意得：， ，，故选：A． 例2（2025·陕西咸阳·二模）如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵的半径为2，∴，∴，故选：B． 例3（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∴，∴的长为，故答案为：． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图2，连接，    ∵是的直径，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 例2（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵是的直径，∴，即． ∵，∴，∴， ∵，∴的半径为1，∴劣弧的长．即劣弧的长为，故答案为：． 例3（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图： ∵是的直径，∴，∵，，∴， 在中，，∴，．故选：D． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【详解】解：连接， ，， 为的直径，，， 在中,， ．.故选：A． 例2（2025·河南·校考三模）孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    【答案】 【详解】∵，∴为的直径，即，∴， ∴（平方厘米），∴故答案为：．    例3（2023·重庆·统考中考真题）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）    【答案】 【详解】解：连接，∵四边形是矩形，∴是的直径， ∵，∴，∴的半径为， ∴的面积为，矩形的面积为， ∴阴影部分的面积为；故答案为；      模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（2025·浙江杭州·三模）如图，的切线交直径的延长线于点，连接，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：如图，连接，∵是的切线，∴； ∵，∴；故答案为：． 例2（2025·宁夏·模拟预测）如图,与相切于点A与弦相交于点C，若，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：连接，如图，∵与☉O相切于点A，∴，∴． ∵，∴．∵，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴．设，则， ∵，∴，解得，即的长为4． 例3（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【详解】解：连接、， ∵绳子分别与空竹相切于点C，D，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴弧的长度， ∴图中阴影部分的周长弧的长． 故答案为：． 例4（24-25·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，分别切的两边于点D，E，点F在上．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接、，    与的两边分别相切于点、，，，， ，，即， ∴，故选：B． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（2025·河南郑州·三模）如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作,恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D，小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示，请你用尺规作图：作出点O与点D,并补全. （2）推理与计算：在（1）的条件下，若 ①求证：直线是的切线；②若则半径的长度为 。 【答案】（1）见解析（2）①见解析② 【详解】解：（1）点，点和即为所求作； （2）①如图，连接，由图可知，，∴，， ∵，∴，∴，∴直线是的切线； ②假设的半径为，则， 由①得，由勾股定理得，， 即，解得，∴半径的长度为，故答案为：． 例2（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，∵于点F，∴, ∵∴， ∵∴，∴，即 ∵是的半径，∴是的切线； （2）∵为的直径，∴ ∵，∴，∴ ∵，∴∵∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设，则， ∵，∴∴， ∵，∴，∴解得， ∵∴解得，∴ ∴，∴ 例3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线．(2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）方法一：证明：过点作于点，，， 与相切于点，，， ，，，， 为的半径，为的半径，，是的切线； 方法二：证明：过点作于点，与相切于点，， ，是的平分线，， 为的半径，为的半径，，是的切线； （2），为半径，，，，， ，，，，， ，，，， 在中，， ，， ，，， ，设，则，，解得，． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ． 【答案】 【详解】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF， ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC， ∵∠C=90°，∴四边形CDOE为正方形，∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°， 设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x， ∴4-x+3-x=5，解得x=1， ∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE=×3×4-×1×1=5-．故答案为：5-． 例2（2025·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，    ， ，， 的长为，，，，，故选：A． 例3（2023年湖北中考数学真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    【答案】/度 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵是的内切圆，∴分别是的角平分线， ∴，∵，∴， ∴，∴， ∵与分别相切于点，，∴， 又∵，∴是的垂直平分线，∴，即， ∴，故答案为：．    1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，如图，、分别切于点、，点为优弧上一点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，∵、分别切于点、， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：C． 2．（2025·吉林长春·校联考三模）如图，在中，，，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是上一点，连结并延长交半圆于点P，若，则点P在量角器上显示的读数为（    ）度 A．64 B．26 C．52 D．32 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵，∴点C在点O为圆心的圆上，∴， ∵，∴，∴， 即点P在量角器上显示的读数为．故选：C 3．（24-25·浙江温州·九年级校联考期中）如图，在中，C是的中点，D是上一点，若，则的度数为（    ）    A．70° B．55° C．40° D．27.5° 【答案】D 【详解】解：连接，∵C是的中点，∴. ∵.∴.故选：D    4．（25-26·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，直线切于点，、是上的点，且弦，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，∵直线切于点，，∴， ∵是的直径，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴．故选：B．    5．（24-25·湖北黄石·九年级校联考开学考试）如图，和分别是的外切正三角形和内接正三角形，若的面积为，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点O作垂足为N，交于点M，连接，    设圆的半径为r，∵和分别是的外切正三角形和内接正三角形， ∴，则，∵， ∴，，即，， ∴，∴．故选：C． 6．（24-25·山东·九年级专题练习）如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度．    【答案】55 【详解】解：连接，如图，∵切于点C，∴， ∵，∴，∵，∴．故答案为：55．    7．（24-25·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，直径，弦，垂足为E，弦，则 ．    【答案】1 【详解】解：如图，连接，    ∵为直径，弦，∴，， 由勾股定理得，，∴，故答案为：1． 8．（24-25·广东·九年级期中）如图，是的直径，点，在上，若，则 度． 【答案】24 【详解】解：如图，连接，，，， ，，故答案为：24． 9．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，，    ∵、是的切线，∴，， ∵四边形是正方形，∴，，∴，∴四边形是正方形， ∵，∴，∴， ∴阴影部分面积故答案为：． 10．（2023·江苏泰州·统考中考真题）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．    【答案】9 【详解】解：如图，表示圆形城堡，    由题意知：切圆于D，切圆于C，连接，∴，里， ∵里，∴里，∴， ∵，∴，∴（里）． ∴城堡的外围直径为（里）．故答案为：9． 11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留与根号）    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，设交于点        ∵将沿弦翻折，使点与圆心重合，∴， 又∴，∴是等边三角形， ∴，，∴, ∴阴影部分面积故答案为：． 12．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    【答案】或 【详解】解：连接，       ∵以为直径的半圆O与相切于点D，∴，，∴ 设，则， 在中：，即：，解得：， ∴，∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； ∵为等腰三角形，当时，， 当时，∵，∴点与点重合，∴， 不存在的情况；综上：的长为或．故答案为：或． 13．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，内接于，，，于点，若的半径为2，则的长为 .    【答案】 【详解】解：如图，连接，    ∵，则，∵，∴是等边三角形， ∵的半径为2，∴，∵，， ∴，故答案为：． 14．（24-25·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）如图，是的弦，点C在上，以为边作等边三角形，点A在圆内，且恰好经过点O，其中，，则的长为 ．    【答案】20 【详解】过O作于E，由垂径定理得：．    ∵是等边三角形，，∴，， ∵，∴，，  ∴ ∴，∴．故答案为：20． 15．（24-25·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，在中，尺规作图的部分作法如下：    （1）分别以弦的端点A、为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点； （2）作直线交于点．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，∴，    根据作图过程可知：是的垂直平分线，在中，，， 根据勾股定理得，，∴，故答案为：． 16．（24-25·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，点在矩形的内部，与，都相切，且经过点，与相交于点．若的半径为，．则的长是 ．    【答案】 【详解】设与、相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，      ∴，，，∴， ∵四边形是矩形，，的半径为， ∴，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形为正方形，∴，  ∴， ∵，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，，，∴，∴， ∴，∴，∴的长是．故答案为：． 17．（24-25·湖北·九年级校考周测）如图，的直径的延长线与过点B的切线相交于点D，点C为上一点，且，则 °． 【答案】115 【详解】解：如图：连接，    ∵， ∴， ∵，∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25·福建福州·九年级校考期中）如图，在中，直径，与弦相交于点E，连接，若，求的值． 【答案】 【详解】解：连结，如图，是直径，， 在中，，，， ，． 19．（24-25·绵阳市九年级月考）如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.(1)如图1,当半径为,若,求弦的长; (2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长. 【答案】(1)8 (2) 【解析】解：(1) 连接，根据垂径定理求出的长， 即：, ,设，则，由勾股定理得：, 即：，解得：,; (2)连接,过点D作于点M，如图所示： ，在中根据勾股定理可得： ,, ， 而,, 又 在和中，,,, , ,, , 为等腰直角三角形，, 把代入到中， 解得：. 20．（24-25·江西南昌·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，过原点，且与x轴，y轴交于点A，B，点B的坐标为，的直径为12．    (1)求点A的坐标；(2)将绕着点B逆时针旋转，若与x轴仅有唯一一个交点A时，如图2，则此时的旋转角是__________°，判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)点A的坐标．(2)，四边形是正方形． 【详解】（1）解：连接，，    ∵，∴是直径，∴．， 又∵点B的坐标为，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴点A的坐标． （2）解：若与x轴仅有唯一一个交点A时，   则，轴，∴，又，∴四边形是平行四边形， 又轴，即，∴四边形是矩形， 又，∴四边形是正方形，∴，∴旋转角是，故答案为：． 21．（24-25·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线；(2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 　　　　． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，又∵是半径，∴是的切线； （2）解：∵，∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∵，，，∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为．故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类） 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 例2（2025·广东佛山·三模）如图，是的直径，，是上的点，，则弧的长为 ． 例3（2025·广东佛山·三模）如图，在圆内接正六边形中，若，则阴影面积为 ． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 例2（2025·四川甘孜·三模）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 例3（2025·河南商丘·二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（2025·湖北·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 例2（2025·陕西咸阳·二模）如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为（   ） A．2 B． C． D． 例3（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为 ． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（   ） A． B． C． D． 例2（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 例3（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．4 例2（2025·河南·校考三模）孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    例3（2023·重庆·统考中考真题）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）    模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（2025·浙江杭州·三模）如图，的切线交直径的延长线于点，连接，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 例2（2025·宁夏·模拟预测）如图,与相切于点A与弦相交于点C，若，则的长为 ． 例3（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 例4（24-25·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，分别切的两边于点D，E，点F在上．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（2025·河南郑州·三模）如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作,恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D，小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示，请你用尺规作图：作出点O与点D,并补全. （2）推理与计算：在（1）的条件下，若 ①求证：直线是的切线；②若则半径的长度为 。 例2（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长． 例3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线．(2)当，时，求线段的长． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ． 例2（2025·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 例3（2023年湖北中考数学真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，如图，、分别切于点、，点为优弧上一点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（2025·吉林长春·校联考三模）如图，在中，，，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是上一点，连结并延长交半圆于点P，若，则点P在量角器上显示的读数为（    ）度 A．64 B．26 C．52 D．32 3．（24-25·浙江温州·九年级校联考期中）如图，在中，C是的中点，D是上一点，若，则的度数为（    ）    A．70° B．55° C．40° D．27.5° 4．（25-26·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，直线切于点，、是上的点，且弦，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25·湖北黄石·九年级校联考开学考试）如图，和分别是的外切正三角形和内接正三角形，若的面积为，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25·山东·九年级专题练习）如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度．    7．（24-25·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，直径，弦，垂足为E，弦，则 ．    8．（24-25·广东·九年级期中）如图，是的直径，点，在上，若，则 度． 9．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 ．    10．（2023·江苏泰州·统考中考真题）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．    11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留与根号）    12．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    13．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，内接于，，，于点，若的半径为2，则的长为 .    14．（24-25·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）如图，是的弦，点C在上，以为边作等边三角形，点A在圆内，且恰好经过点O，其中，，则的长为 ．    15．（24-25·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，在中，尺规作图的部分作法如下： （1）分别以弦的端点A、为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点； （2）作直线交于点．若，，则 ． 16．（24-25·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，点在矩形的内部，与，都相切，且经过点，与相交于点．若的半径为，．则的长是 ．    17．（24-25·湖北·九年级校考周测）如图，的直径的延长线与过点B的切线相交于点D，点C为上一点，且，则 °． 18．（24-25·福建福州·九年级校考期中）如图，在中，直径，与弦相交于点E，连接，若，求的值． 19．（24-25·绵阳市九年级月考）如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.(1)如图1,当半径为,若,求弦的长; (2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长. 20．（24-25·江西南昌·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，过原点，且与x轴，y轴交于点A，B，点B的坐标为，的直径为12． (1)求点A的坐标；(2)将绕着点B逆时针旋转，若与x轴仅有唯一一个交点A时，如图2，则此时的旋转角是__________°，判断四边形的形状，并证明． 21．（24-25·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线；(2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 　　　　． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $