专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级下册

专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)；(2)2． 【详解】（1）解：如图2，连接．    ，；； （2），，，． 是的内切圆，，，， ，∴设，则， ，，即（，解得，， ，，． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵点E是的内心，∴平分，∴，故①正确； 设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分， ∵点G为的中点，∴点G为与的交点，即，故②正确； ∵，∴， ∵点E是的内心，∴，， ∴，故③错误； ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，故④正确， 综上，正确的有3个，故选：B． 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（2025·宁夏银川·一模）如图，在中，，点I是内心，则 ． 【答案】/122度 【详解】解：∵在中，，∴， ∵点I是的内心，∴、分别平分、， ∴，，∴， ∴，故答案为： 例2（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦，∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，，设，∵，∴，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，（不合题意，舍去），∴设，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴的半径为，故答案为：． 例3（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，，截三边所得的弦长相等，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：截三边所得的弦长相等，到三条边的距离相等，即是的内心， ，，，， ，，故答案为：． 例4（24-25·湖北武汉·九年级期中）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3， ∴，如图， 设这个三角形内切圆的半径为，则，即， ∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3， ∴，解得：，∴这个三角形内切圆的半径为．故选：B． 例5（24-25九年级上·湖北·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线，∴，， ∵，，， ∴，∴，则四边形是正方形， ∵是的内切圆，∴内切圆的半径， ∴，∴，∴， ∴的周长为：．故选：B． 例6（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）如图，已知的内切圆与两个锐角的角切圆（与角的两边及的内切圆均相切）的半径分别为3，2，1，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，标记圆心和切点，连接，，，，，，，，， 根据题意可知，，，，，，，， ∵是的内切圆，∴平分， ∵，，，∴圆心在上， 同理：圆心在上，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，即，解得：， 同理可得：，∴，， ∴，， ∵，∴四边形为矩形， ∵，∴四边形为正方形，∴， ∴的周长为：．故答案为：． 例7（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，过O作分别交、于D、E，则的长为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【详解】解：如图，为的内切圆，切点分别为，连接，，，过作于，∴，， ∵，∴，∴四边形为矩形，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故选:B 模型2.外接圆模型 例1（24-25·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ． 【答案】 【详解】解：如图，∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16， ∴过A作AD⊥BC于D，则外接圆的圆心O在AD上，连接OB、OC， ∴BD=CD=BC=8，AD==6，∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2， ∴R2=（6-R）2+82，∴R=；如图，过A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC， ∴△ABC的外心I在AD上，过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC， 则IF=IE=ID=r，∵S△ABC=S△BIC+S△AIC+S△ABI， ∴由三角形的面积公式得：BC×AD=BC×r+AC×r+AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r=， 即三角形ABC的外接圆半径R=，内切圆半径r=，故答案为：，． 例2（2024·山东济宁·二模）如图，四边形接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点I是的内心，∴ ∵，∴， 又四边形内接于，∴，故选：D． 例3（2025·广东广州·九年级校考期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，延长交于H，连接，作出的内接圆，确定圆心I，连接， ∵，∴，∴， ∵，∴， 设，在中，∵， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，故选D． 例4（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：∵点是的内心，∴，∴对应的圆心角相等， ∴，∴，故①说法正确；如图，连接，， ∵点是的内心，∴，，∴， ∵，∴∴，∴，故②说法正确； ∵，∵点为的中点，∴线段经过圆心O，∴， ∴成立，故③说法正确；∵点是的内心， ∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，故④说法正确； 综上分析可知，①②③④正确．故选：A． 例5（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，．(1)求证：；(2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）是的内心，平分，平分，，， ，，，，； （2）连接．，，， ，，， ，设，，则，， 同法可证：，，， ：：，设，， ，，， ，， 或舍弃，，，，，． 例6（2025·浙江·模拟预测）如图，点O是的内心，的延长线交的外接圆于点D，交于E，设．(1)求证：；(2)探究的值与a之间的数量关系； (3)若，E为的一个三等分点，求的外接圆的半径． 【答案】(1)见解析(2)(3)的外接圆的半径为或 【详解】（1）证明：点是的内心，为的平分线，， ，．，； （2）解：的值与之间的数量关系为：． 理由：连接，如图，点是的内心，为的平分线，． ，，， ，．由（1）知：，，， 平分，点E到的距离相等，设该距离为，， 以为底边的高相同，设该高为，， ，，，， ，，，，； （3）解：若为的一个三等分点，则或，或，或． ①当时，，，， ，，， 为直角三角形，为外接圆的直径，的外接圆的半径为； ②当时，，．作出的外心，连接并延长交于点，连接，过点作于点，如图，设，则， ，，， ，．． 为直径，，． ，，，，． 的外接圆的半径为．综上，的外接圆的半径为或． 1．（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，，，∴， 如图，设与的切点分别为D，E，F，连接，则，设的半径为r，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴， ∵是的内切圆，∴，分别平分， ∴，∴，∵，∴， ∵分别平分，∴， ∴，∴阴影部分的面积是．故选：C 2．（24-25·浙江·九年级专题练习）如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（    ） A．60° B．65 C．70° D．75° 【答案】B 【详解】解：连接OB，OC，如图， 点 O 是△ABC 的内心，，， ， ， 点 O是△DBC 的外心，，故选：B． 3．（2025·陕西宝鸡·校考一模）如图所示，内接于，点M为的内心，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵且， ∴ ∵点M为的内心，∴ ∴∴ ∵且 ∴，故选：A． 4．（24-25·山东潍坊·九年级统考期末）如图，点I为的内切圆的圆心，连接并延长交的外接圆于点D，连接，若，则的长为（    ）． A．1 B．2 C．2.5 D．3.5 【答案】B 【详解】解：∵点I为的内切圆的圆心， ∴平分，平分，∴，， ∵，，， ∴，∴，∴，故选：B． 5．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴，∴．故选：D． 6．（24-25·浙江九年级期中）如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（  ）度 A．70 B．135 C．55 D．125 【答案】D 【详解】解：在中，，是外心， ，，， 为的内心，，， ，，故选：D． 7．（24-25·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是 ． 【答案】9 【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，∴可以假设切点分别为E、H、G、F， ∴， ∴， ∵，，∴，故答案为：9． 8．（2025·广东·九年级专题练习）已知，点为的外心，点为的内心． （1）若，则 ；（2）若，则 ． 【答案】 /100度 /125度 【详解】解：（1）如图，的内心为点， ，，， ，，故答案为：； （2）如图，点为的外心， ，， 点为的内心，平分平分， ，，故答案为：． 9．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，，，，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：令，，，在中，，可得：， ，，又，，， 即：，，同理可得：， ，，即：， ∵，，的内切圆半径分别记为，，， ，，，；， ，，．故答案为：． 10．（24-25九年级·江苏南京·自主招生）已知内接于，为内心，交于．证明：． 【答案】见解析 【详解】证明：连接，∵点是的内心，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 11．（2025·北京·校考一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI R2Rr . 下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）： 延长AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN. ∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等）， ∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ① 如图②，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF ∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°. ∵⊙I 与 AB 相切于点 F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA． ∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），∴△AIF∽△EDB． ∴，∴②， 由（2）知：，∴ 又∵，∴ 2Rr(R d )(R d ) ，∴ R d 2Rr∴ d R 2Rr 任务：（1）观察发现： IM R d ， IN （用含R，d 的代数式表示）； （2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图 1 证明）；（3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 6cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 　　cm． 【答案】（1）   （2），证明见解析   （3） 【详解】（1）∵IM R d∴； （2）∵点I是△ABC的内心∴ ∵ ∴∴； （3）由（2）知∴ ∵∴∴ ∴∴∴． 12．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，的半径为1，A，，，是上的四个点，． (1)判断的形状：　 　；(2)试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)记 的面积分别为 ，若 ，求 的长． 【答案】(1)等边三角形(2)，见解析(3) 【详解】（1）解： 是等边三角形． 理由如下： 与 是 所对的圆周角， 与 是 所对的圆周角， ， 又 ， ， 为等边三角形． （2）解：，证明如下：如图：在 上截取 ，连接 ， ，是等边三角形， ，即 又 ， ， 在 和 中， ， ， ， 又，． （3）解：如图：过点 作 ，则 ， ，即 ， 设 ，则，由题意可得：，解得 ∵，∴，则（舍去）， ∴，检验∶ 是原分式方程的根， ． 13．（2025·广东深圳·三模）综合与实践：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持． (1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形； (2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明； (3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）． 【答案】(1)等边(2)；证明见解析(3) 【详解】（1）解：，对应的圆周角为， ，，， 为等边三角形．故答案为：等边． （2）解：如图，在上截取，连接， ，为等边三角形，，，， ，， 在和中，，，， ，．故答案为：． （3）解：根据题意可知，如图：的轨迹是以为直径的圆，设圆心为，连接，过作于，过作，， ，，，， 是的中点，是三角形的中位线， 为的中点，， 又是的中点，，， ，．故答案为：． 14．（2025河北石家庄·模拟预测）已知I是的内心，的延长线交的外接圆于点D，连接．(1)在图1中：①证明：；②判断外心的位置，并证明；(2)如图2，若为的外接圆直径，取中点O，且于点I，切圆O于点D，求的值． 【答案】(1)①见解析；②D为外心，证明见解析(2)2 【详解】（1）①连接． ∵I是的内心∴平分，∴，∴，∴ ②D为外心，证明如下：∵I是的内心∴平分，∴， ∵，∴ ∴，∴∴D为外心； （2）连接．∵为的外接圆直径，O为中点，∴O为的外接圆圆心． ∵切圆O于点D，∴，即， ∵，∴， ∵为的外接圆直径， ∴，∴，∵，，∴． ∵由（1）得，∴，∴． 15．（2024·吉林长春·一模）如图，为等边三角形的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与点A、B重合），连接． (1)求的长；(2)求证：是的平分线；(3)当时，求的长； (4)若点M、N分别在线段上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，则所有t值中的最大值为______． 【答案】(1)(2)见解析(3)(4) 【详解】（1）解：连接并延长，交于点，连接， ∵为等边三角形的外接圆，半径为4， ∴，∴， 设，则：，，∴， 在中，由勾股定理，得：，解得：或（舍去）；∴； （2）∵等边三角形，∴， ∵，∴，∴是的平分线； （3）过点作，由（1）可知：， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， 由（2）知：，∴，∴，∴； （4）作点关于的对称点，关于的对称点，连接， 则：，， ∴，即：， ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最小，，∴当最大时，最大， 过点作，∵，，∴，， ∴，∴，∴当最大时，最大， ∵是的一条弦，∴当为直径时，最大，为， ∴的最大值为，即：的最大值为；故答案为：． 16．（2025·江苏无锡·校考一模）如图，在中，．    (1)在图①中作的外接圆；在图②中作的内切圆．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若O、I两点在同一中，当，时，______，______．（如需画草图，请使用图③） 【答案】(1)见解析(2)， 【详解】（1）解：如图①，为所作；    如图②，为所作； （2）如图③，设与各边的切点为、、，连接、、，则，，，过点作于点，设的半径为，则， ，为的直径， ，，，，， ，四边形为矩形， ，四边形为正方形，，，， ，，解得，，， 在中，，在中，，，， ，，， ．故答案为：，． 17．（2025·江西新余·九年级校考阶段练习）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形． 如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）；(2)利用图证明你的猜想；(3)若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长． 【答案】(1)(2)见解析(3)，，， 【详解】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点，，，， 猜想，故答案为：； （2）解：已知：四边形的四边，，，都于相切于，，，， 求证：， 证明：，和相切，，同理：，，， ， 即：圆外切四边形的对边和相等； （3）解：相邻的三条边的比为∶∶，设此三边为，，， 根据圆外切四边形的性质得，第四边为， 圆外切四边形的周长为，，， 此四边形的四边的长为，，，． 即此四边形各边的长为：，，，． 18．（2025·湖北武汉·校考一模）如图，E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D． (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)10 【详解】（1）证明：连接． ∵E是的内心，则平分，平分，∴，． 又∵，∴．∴． ∵，，∴．∴． （2）解：连接，，，交于点． ∵，∴．∵，∴垂直平分． ∴，， ∵，∴．由圆周角定理可得：，∴， ∵，∴．∴，．∴． 在中，．∴．∴． 19．（24-25·江苏·九年级假期作业）【问题提出】苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题： 1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？    (1)小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明： 是的直径，∴　　，，∵四边形内角和等于，∴　　． (2)请回答问题2，并说明理由； 【深入探究】如图（3），的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，．(3)直接写出四边形边满足的数量关系 　　；(4)探究、满足的位置关系； (5)如图（4），若，，，请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，(2)成立，理由见解析 (3)，理由见解析(4)，理由见解析(5) 【详解】（1）解：是的直径，，， 四边形内角和等于，； 故答案为：，； （2）成立，理由如下：连接、， ，，， ，；同理，；          （3），理由如下：连接、、、， 圆是四边形的内切圆，，，，， ，即， 故答案为：； （4），理由如下：连接、、、、， 四边形是圆的内接四边形，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，； （5）连接，    ，，是圆的内接圆，是圆的直径， 连接、，是四边形的内切圆圆心，，， ，，，， ， ，， ，，，， 四边形是正方形，，点在上， ，，， ，，， ，， ，即，解得，，阴影部分的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（2025·宁夏银川·一模）如图，在中，，点I是内心，则 ． 例2（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ． 例3（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，，截三边所得的弦长相等，则的度数是 ． 例4（24-25·湖北武汉·九年级期中）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（    ） A． B． C． D． 例5（24-25九年级上·湖北·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 例6（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）如图，已知的内切圆与两个锐角的角切圆（与角的两边及的内切圆均相切）的半径分别为3，2，1，则的周长为 ． 例7（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，过O作分别交、于D、E，则的长为（    ） A． B．4 C．5 D． 模型2.外接圆模型 例1（24-25·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ． 例2（2024·山东济宁·二模）如图，四边形接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（2025·广东广州·九年级校考期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（    ） A．1 B． C． D． 例4（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 例5（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，．(1)求证：；(2)若，，，求的长． 例6（2025·浙江·模拟预测）如图，点O是的内心，的延长线交的外接圆于点D，交于E，设．(1)求证：；(2)探究的值与a之间的数量关系； (3)若，E为的一个三等分点，求的外接圆的半径． 1．（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25·浙江·九年级专题练习）如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（    ） A．60° B．65 C．70° D．75° 3．（2025·陕西宝鸡·校考一模）如图所示，内接于，点M为的内心，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25·山东潍坊·九年级统考期末）如图，点I为的内切圆的圆心，连接并延长交的外接圆于点D，连接，若，则的长为（    ）． A．1 B．2 C．2.5 D．3.5 5．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 6．（24-25·浙江九年级期中）如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（  ）度 A．70 B．135 C．55 D．125 7．（24-25·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是 ． 8．（2025·广东·九年级专题练习）已知，点为的外心，点为的内心． （1）若，则 ；（2）若，则 ． 9．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，，，，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则 ． 10．（24-25九年级·江苏南京·自主招生）已知内接于，为内心，交于．证明：． 11．（2025·北京·校考一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI R2Rr . 下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）： 延长AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN. ∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等）， ∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ① 如图②，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF ∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°. ∵⊙I 与 AB 相切于点 F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA． ∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），∴△AIF∽△EDB． ∴，∴②， 由（2）知：，∴ 又∵，∴ 2Rr(R d )(R d ) ，∴ R d 2Rr∴ d R 2Rr 任务：（1）观察发现： IM R d ， IN （用含R，d 的代数式表示）； （2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图 1 证明）；（3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 6cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 　　cm． 12．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，的半径为1，A，，，是上的四个点，． (1)判断的形状：　 　；(2)试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)记 的面积分别为 ，若 ，求 的长． 13．（2025·广东深圳·三模）综合与实践：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持． (1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形； (2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明； (3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）． 14．（2025河北石家庄·模拟预测）已知I是的内心，的延长线交的外接圆于点D，连接．(1)在图1中：①证明：；②判断外心的位置，并证明；(2)如图2，若为的外接圆直径，取中点O，且于点I，切圆O于点D，求的值． 15．（2024·吉林长春·一模）如图，为等边三角形的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与点A、B重合），连接． (1)求的长；(2)求证：是的平分线；(3)当时，求的长； (4)若点M、N分别在线段上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，则所有t值中的最大值为______． 16．（2025·江苏无锡·校考一模）如图，在中，．    (1)在图①中作的外接圆；在图②中作的内切圆．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若O、I两点在同一中，当，时，______，______．（如需画草图，请使用图③） 17．（2025·江西新余·九年级校考阶段练习）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形． 如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）；(2)利用图证明你的猜想；(3)若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长． 18．（2025·湖北武汉·校考一模）如图，E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D． (1)求证：；(2)若，，求的长． 19．（24-25·江苏·九年级假期作业）【问题提出】苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题： 1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？    (1)小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明： 是的直径，∴　　，，∵四边形内角和等于，∴　　． (2)请回答问题2，并说明理由； 【深入探究】如图（3），的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，．(3)直接写出四边形边满足的数量关系 　　；(4)探究、满足的位置关系； (5)如图（4），若，，，请直接写出图中阴影部分的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $