专题04 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题05 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1.阿基米德折弦模型 6 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 12 16 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ （2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即，，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 1）阿基米德折弦（定理）模型 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 模型1.阿基米德折弦模型 例1（23-24九年级上·江苏常州·期中）小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． (1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论．    (2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图，古希腊数学家阿基米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程．    (3)如图，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，于点，则的周长为_________．    例2（2023·山西吕梁·模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．    阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．    这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接． ∵M是的中点， ∴． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长． 例3（2024九年级·全国·专题练习）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 即．    (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ； (2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ． 例4（2025·山东滨州·二模）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为______． 【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦即折线段是圆的一条折弦，，点是的中点，从向作垂线，垂足为，则这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， 点M是的中点， ， ． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】 （3）如图4，若点M是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 例1（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日   晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为． ． ，． ． 与都是所对的圆周角， ．（依据1） ． ． ．（依据2） 同理，． ． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． (2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 例2（24-25九年级上·河南信阳·月考）阅读下列材料，完成相应的任务 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，直线ME⊥BC，垂足为E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD． 证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90° ∴∠CBD＝∠CME ∵______，∠CME＝∠AMF ∴∠CAD＝∠AMF ∴AF＝MF … 任务： （1）材料中划横线部分短缺的条件为：______； （2）下面是“布拉美古塔定理”的逆命题，请证明该命题的正确性：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．求证：FE⊥BC． 例3阅读下列材料，完成相应的任务 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，直线ME⊥BC，垂足为E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD． 证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90° ∴∠CBD＝∠CME ∴　 　，∠CME＝∠AMF ∴∠CAD＝∠AMF ∴AF＝MF … 任务： （1）材料中划横线部分短缺的条件为：　 　； （2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性： 已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E， ①　 　． 求证：②　 　． 证明： 例4（24-25九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程 证明：如图2，在上截取，连接，，和 是弧的中点， ∴， …… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______. (3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长. 2．（24-25九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．其部分证明过程如下： 证明：如图2，在上截取，连接，，和． ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， …… 任务： (1)补全证明过程， (2)如图3，在中，，，若，，，则到的距离是____________，到的距离是____________，的半径是____________． 3．（2023·河南·模拟预测）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务． 阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下： 命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则． 证明：如图1，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT． ∵DT，BT与半圆O相切， ∴……① ∴． ∵AB是半圆O的直径， ∴．② 在中，由，可得， ∴． ∴． 又∵， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 任务： (1)请将①处的证明过程补充完整． (2)证明过程中②的证明依据是 ． (3)如图2，AB为⊙O的直径，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，点D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F．若⊙O的半径为2，求CF的长． 4．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子． 阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA=MC． … 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ． 5．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，阿基米德的折弦定理是其推导出来的重要定理之一．阿基米德折弦定理：如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程． 证明：如图，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是弧ABC的中点， ∴MA＝MC． … 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 6．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理，其中第三个引理是：如图1，是的弦，点在上，于点，点在弦上且，在上取一点，使，连接，则．小明思考后，给出如下证明： 如图2，连接、、、． ∵， ∴（依据1） ∴ ∵ ∴（依据2） … 图1                   图2 任务： (1)写出小明证明过程中的依据： 依据1：________ 依据2：________ (2)请你将小明的证明过程补充完整； (3)小亮想到了不同的证明方法：如图3，连接、、、．请你按照小亮的证明思路，写出证明过程； (4)结论应用：如图4，将材料中的“弦”改为“直径”，作直线与相切于点，过点作于点，其余条件不变，若，且是的中点，则________． 7．（24-25九年级下·山西晋中·期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他流传于世的数学著作有十余种．下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：如图1，AB是⊙O的弦，C在⊙O上，CD⊥AB于点D，在弦AB上取一点E，使AD＝DE，点F是弧BC上的一点，且，连接BF，则BF＝BE． 小颖思考后，给出了如下证明： 如图2，连接AC、CE、CF、EF ∵CD⊥AB，AD＝DE ∴AC＝CE（依据1） ∴∠A＝∠CEA ∵ ∴CF＝AC（依据2） ∴CF＝CE ∴∠CEF＝∠CFE 任务： （1）依据1：________；依据2：_______； （2）请按照上面的证明思路，完成该命题证明的剩余部分； （3）如图3，将图2中的“弦AB”改为“直径AB”，作直线 与⊙O相切于点F，过点B作BG⊥于点G，其余条件不变．若AB＝10，AD＝2，则线段FG的长为___________． 8．（2025·山西大同·三模）阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题： 如图1，以为直径作半圆O，弦是一个内接正五边形的一条边（即：），点D是的中点，连接并延长与直径的延长线交于点E，连接交于点F，过点F作于点M．求证：是半圆的半径． 下面是勤奋小组的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作于点H． ∵， ∴．（依据1） ∵点D是的中点， ∴． ∵， ∴． ∴．（依据2） ∵以为直径作半圆O， ∴．（依据3） ∴． ∵四边形是半圆O的内接四边形， ∴．（依据4） ∵， ∴． ∵于点M， ∴． ∵， ∴． ∵． ∵． ∴． ∴． …… 通过上面的阅读，完成下列任务： (1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4； (2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出的度数，再根据等腰三角形的性质或判定完成该题的证明过程） 9．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA＝MC① 又∵∠A＝∠C② ∴△MAB≌△MCG③ ∴MB＝MG 又∵MD⊥BC ∴BD＝DG ∴AB+BD＝CG+DG 即CD＝DB+BA 根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ①　 　， ②　 　， ③　 　； 【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　 　； 【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，和是的两条弦（即折线是的一条折弦），，M是的中点，过点M作垂足为D，求证：．（阿基米德折弦定理） 11．（23-24九年级上·浙江温州·期中）阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题： 如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是 ． 13．（23-24九年级上·四川南充·期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ① 又② 又 即． 根据证明过程，分别写出步骤①，②的理由：① ；② ； 【理解运用】在图（1）中，若，则 ； 【变式探究】如图（3），是的两条弦，点M是的中点，于点D，请写出之间存在的数量关系： ； 【实践应用】如图（4），内接于，是的直径，点D为圆周上一动点，满足．若，的半径为5，求的长． 14．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 16．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论． 某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，是的中点，过点作，垂足为，小明通过度量、、的长度，发现点平分折弦，即．小丽和小军改变折弦的位置发现仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明： 小军采用了“截长法”（如图2），在上㵶取，使得，…… 小丽则采用了“补短法”（如图3），延长至，使，…… 小明采用了“平行线法”（如图4），过点作，交圆于点，过点作，…… (1)请你任选一位同学的方法，并完成证明； (2)如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，内接于（A、B、C均是格点），点A、D关于对称，连接并延长交于点，连接． ①请用无刻度的直尺作直线，使得直线平分的周长； ②求的周长． 17．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）阿基米德折弦定理：如图1， 和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和． ∵M是的中点， ∴ 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图（3），已知等边内接于，，D为上 一点, ，与点E,则的周长是 ． 18．（24-25九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    19．（23-24九年级·江苏·假期作业）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点， 于点，延长交于点． 求证：． 证明：，， ，， ． …… 任务： (1)请完成该证明的剩余部分； (2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长． 20．（2023·山西·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线，垂足为点，并且交直线于点，则． 证明：∵，， ∴ ∴，． ∴． ∵， ∴．（依据） 又∵， ∴． ∴． …… 任务： （1）上述证明过程中的依据是______； （2）将上述证明过程补充完整； （3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线交于点，交于点．若，则．请证明该命题． 21．（23-24九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为，点为的中点，连结并延长，交于点，则． 证明：， ， ， （依据）， ， … (1)上述证明过程中的依据是指______． (2)请补全上述证明过程． (3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形内接于，，点是弧的中点，，请直接写出线段的长度． 22．（2023·河南南阳·一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务： （1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1.阿基米德折弦模型 6 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 12 16 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ （2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3(2)，证明见解析；(3)或． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ，，，； （2）解：，证明如下：如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点，，， 在和中，，，，， ，，，即； （3）解：是的直径，， 的半径为10，，，由勾股定理得：，， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ，，，，， ，即点是的中点，， ，； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，，，，即点是的中点， 由（2）可知，，，在中，， 综上可知，长为或． （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即，，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，，即， ，，在中，，， 又∵，∴，∴， ∵，∴∴，∴； （2）证明：∵∴，∴ 又∵，∴， ∵，∴∴，∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ，， ，，即，，， ，，，由（1）中结论可得， ，，在中，，． 1）阿基米德折弦（定理）模型 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 模型1.阿基米德折弦模型 例1（23-24九年级上·江苏常州·期中）小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． (1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论．    (2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图，古希腊数学家阿基米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程．    (3)如图，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，于点，则的周长为_________．    【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）连接，，易证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得． （2）如图，在上截取＝，连接、、、，由是的中点，得，进而证明，根据全等三角形的性质及等腰三角形的三线合一即可得证； （3）根据，从而证明，得出，然后判断出，进而求得． 【详解】（1）如图，连接，，      ∵是劣弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取＝，连接、、、，      ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵＝， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴由（）得， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为∶． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理及其推论，等边三角形得性质，勾股定理，弧、弦、弦心距之间得关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，掌握并熟练运用等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 例2（2023·山西吕梁·模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．    阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．    这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接． ∵M是的中点， ∴． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证，推出，．再证，推出，等量代换可得； （2）先利用等边三角形的性质证明，进而证明，，求出，再利用（1）中结论可得，通过等量代换可得． 【详解】（1）证明：如图，，    ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，    ∵是等边三角形， ∴，． ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C是的中点． ∴由（1）的结论得，， ∴的周长是． 【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等，解题的关键是熟练运用等量代换思想． 例3（2024九年级·全国·专题练习）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 即．    (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ； (2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ． 【答案】(1)1 (2)；证明见解析 (3)或 【分析】（1）由“问题呈现”结论可求解； （2）在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）分两种情况讨论，由“问题呈现”结论可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，即， ， ， ． （2）解：． 证明：在上截取，连接、、、， 是弧的中点， ，， 又， ， ， ， 又， ， ，即． （3）解：如图，当点在下方时，过点作于点， 是圆的直径， ， ，圆的半径为5， ， ， ， ， ． 当点在上方时，，同理易得． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是本题的关键． 例4（2025·山东滨州·二模）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为______． 【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦即折线段是圆的一条折弦，，点是的中点，从向作垂线，垂足为，则这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， 点M是的中点， ， ． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】 （3）如图4，若点M是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据切线的性质和含角的直角三角形的性质求出，然后折线段的中点的定义求解即可； （2）在BC上截取CG=AB，连接MC、MG、MB、MA，根据弧、弦的关系可得，根据圆周角定理可得，根据证明，得出，根据三线合一的性质得出，然后根据线段和差关系即可得证； （3）在上截取，连接、、，，类似（2）探究即可得出结论。 【详解】（1）解：∵PA是的切线，A为切点， ， ， ， ， ， ∵B是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）证明：如图3，在BC上截取CG=AB，连接MC、MG、MB、MA， 点M是的中点， ， ． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 解：，理由如下： 如图4，在上截取，连接、、，， 点M是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； . 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 例1（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日   晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为． ． ，． ． 与都是所对的圆周角， ．（依据1） ． ． ．（依据2） 同理，． ． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． (2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等，等角对等边 (2)正确，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等以及等腰三角形的性质即可得到答案； （2）根据，，可推出，再由圆内接四边形的性质可知，从而得到，结合，可得，则，同理，，即可得到结论； （3）取的中点，连接，，利用三角形中位线的性质可推出，，，，结合，可知，最后利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：与都是所对的圆周角， ，（同弧所对的圆周角相等） 依据1为同弧所对的圆周角相等； ， ，（等角对等边） 依据2为等角对等边； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；等角对等边． （2）解：正确，理由如下， ，， ，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 又， ， ， 同理，， ． （3）解：取的中点，连接，，如图， 则， 根据题意可知，， 为中位线， ，， 同理，，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 例2（24-25九年级上·河南信阳·月考）阅读下列材料，完成相应的任务 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，直线ME⊥BC，垂足为E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD． 证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90° ∴∠CBD＝∠CME ∵______，∠CME＝∠AMF ∴∠CAD＝∠AMF ∴AF＝MF … 任务： （1）材料中划横线部分短缺的条件为：______； （2）下面是“布拉美古塔定理”的逆命题，请证明该命题的正确性：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．求证：FE⊥BC． 【答案】（1）∠CBD=∠CAD；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据圆周角定理可得结论； （2）把题设与结论交换可得逆命题，利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可． 【详解】解：（1）由题意：空格处为∠CBD=∠CAD； 故答案为：∠CBD=∠CAD； （2）理由：∵AF=FD，AC⊥BD， ∴∠AMD=90°， ∴AF=MF=FD， ∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°， ∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC， ∴∠DBC+∠BME=90°， ∴∠MEB=90°， ∴FE⊥BC． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等角的余角相等，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关图形的性质和判定． 例3阅读下列材料，完成相应的任务 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，直线ME⊥BC，垂足为E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD． 证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90° ∴∠CBD＝∠CME ∴　 　，∠CME＝∠AMF ∴∠CAD＝∠AMF ∴AF＝MF … 任务： （1）材料中划横线部分短缺的条件为：　 　； （2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性： 已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E， ①　 　． 求证：②　 　． 证明： 【答案】（1）∠CBD=∠CAD；（2）①FA=FD，②FE⊥BC；证明见解析． 【分析】（1）根据圆周角定理可得结论． （2）把题设与结论交换可得逆命题，利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可． 【详解】解：（1）由题意：空格处为∠CBD=∠CAD． 故答案为：∠CBD=∠CAD； （2）①FA=FD，②FE⊥BC． 故答案为：FA=FD，FE⊥BC． 理由：∵AF=FD，AC⊥BD， ∴∠AMD=90°， ∴AF=MF=FD， ∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°， ∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC， ∴∠DBC+∠BME=90°， ∴∠MEB=90°， ∴FE⊥BC． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等角的余角相等，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键． 例4（24-25九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再根据同弧所对的圆周角相等推出，则，再证明，得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，同角的余角相等，直角三角形两锐角互余，证明，是解题的关键． 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程 证明：如图2，在上截取，连接，，和 是弧的中点， ∴， …… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______. (3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可证明结论； （2）直接根据阿基米德折弦定理，即可证明结论； （3）过点作，根据阿基米德折弦定理，勾股定理求得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和． 是的中点， ． 在和中 ， ， ， 又， ， ． （2）解：根据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为 故答案为：． （3）解：如图所示，过点作， 由阿基米德折弦定理得：， ∵ ∴ ∴， ∴的周长为 【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，理解“截长法”是解答本题的关键． 2．（24-25九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．其部分证明过程如下： 证明：如图2，在上截取，连接，，和． ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， …… 任务： (1)补全证明过程， (2)如图3，在中，，，若，，，则到的距离是____________，到的距离是____________，的半径是____________． 【答案】(1)证明见解析 (2)；； 【分析】（1）在上截取，连接，，和，根据圆心角定理，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）过点作于点，于点，连接，根据线段之间的数量关系，得出，再根据垂径定理，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而得出到的距离是，再根据垂径定理，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而得出到的距离是，再根据勾股定理，计算即可得出的半径． 【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和． ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点，于点，连接， ∵，， ∴， ∴， 由（1）的结论，并结合图形，可得：， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴到的距离是， ∵，， ∴， ∴， ∴到的距离是， ∵，， ∴， ∴的半径是． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、圆心角定理、全等三角形的判定与性质、三线合一的性质、垂径定理、勾股定理，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的性质定理． 3．（2023·河南·模拟预测）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务． 阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下： 命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则． 证明：如图1，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT． ∵DT，BT与半圆O相切， ∴……① ∴． ∵AB是半圆O的直径， ∴．② 在中，由，可得， ∴． ∴． 又∵， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 任务： (1)请将①处的证明过程补充完整． (2)证明过程中②的证明依据是 ． (3)如图2，AB为⊙O的直径，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，点D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F．若⊙O的半径为2，求CF的长． 【答案】(1)见解析 (2)直径所对的圆周角是直角 (3) 【分析】（1）根据切线的性质可知，再利用直角三角形的判定定理证明； （2）利用直径所对的圆周角等于； （3）证明DE为⊙O的切线，然后解直角三角形求出，利用求出； 【详解】（1）解：∴， 在和中， ∴， （2）解：直径所对的圆周角是直角． （3）解：连接OD，如图所示． ∵是等边三角形， ∴， ∵BE是⊙O的切线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴DE为⊙O的切线． 在中，， 由题意，可知， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，直径所对的圆周角等于直角．解题的关键是熟知判定定理和性质，在第（3）问中巧妙利用（1）的结论． 4．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子． 阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA=MC． … 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ． 【答案】(1)详见解析；（2）2+2． 【详解】试题分析：（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案． 试题解析：（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA=MC． 在△MBA和△MGC中 ∵， ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB=MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD=GD， ∴DC=GC+GD=AB+BD； （2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD， 由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD， 在△ABF和△ACD中 ∵， ∴△ABF≌ACD（SAS）， ∴AF=AD， ∵AE⊥BD， ∴FE=DE，则CD+DE=BE， ∵∠ABD=45°， ∴BE==， 则△BDC的周长是2+2． 考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质． 5．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，阿基米德的折弦定理是其推导出来的重要定理之一．阿基米德折弦定理：如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程． 证明：如图，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是弧ABC的中点， ∴MA＝MC． … 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 【答案】见解析. 【分析】首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案． 【详解】如图，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG， ∵M是的中点， ∴MA＝MC， 在△MBA和△MGC中， ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB＝MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD＝GD， ∴DC＝GC+GD＝AB+BD． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键． 6．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理，其中第三个引理是：如图1，是的弦，点在上，于点，点在弦上且，在上取一点，使，连接，则．小明思考后，给出如下证明： 如图2，连接、、、． ∵， ∴（依据1） ∴ ∵ ∴（依据2） … 图1                   图2 任务： (1)写出小明证明过程中的依据： 依据1：________ 依据2：________ (2)请你将小明的证明过程补充完整； (3)小亮想到了不同的证明方法：如图3，连接、、、．请你按照小亮的证明思路，写出证明过程； (4)结论应用：如图4，将材料中的“弦”改为“直径”，作直线与相切于点，过点作于点，其余条件不变，若，且是的中点，则________． 【答案】(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）依据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等和等弧所对的圆周角相等来作答； （2）结合小明的证明思路，利用四边形是⊙的内接四边形得到，再结合，即有，又因为，则有，即可证得； （3）根据小亮的作图，，，即有继而得到再根据=得，推出，则有，根据四边形是⊙的内接四边形有即，又根据，即可得，则有； （4）根据题条件易求得AB、BD的长度，则利用结论有BQ=BD可求BQ，根据直线l是圆的切线以及BM⊥l，可得∠BMQ=∠QBM+∠BMQ=90°，则有，继而得∠MBQ=∠OQB，∠MBQ=∠OQB=∠OBQ，则可证得，即有，在Rt△AQB中，利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】（1）依据1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 依据2：等弧所对的圆周角相等； （2）∵四边形是⊙的内接四边形 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴ ∴ ∵=， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是⊙的内接四边形 ∴ 即， ∵， ∴， ∴； （4）QM=， 理由如下： 如图，连接AQ， ∵直径AB=4， ∴半径OA=OQ=OB=2，∠AQB=90°， ∴∠OQA=∠OAQ，∠OQB=∠OBQ， ∵D为OA中点， ∴AD=DO=1， ∴BD=BO+OD=3， 则利用结论有BQ=BD=3， ∵直线l是⊙O的切线， ∴OQ⊥l， ∴∠OQM=∠OQB+∠BQM=90°， ∵BM⊥l， ∴∠BMQ=∠QBM+∠BMQ=90°， ∴， ∴∠MBQ=∠OQB， ∴∠MBQ=∠OQB=∠OBQ， 再结合∠AQB=90°=∠BMQ，有， ∴， 在Rt△AQB中，， ∴由， 得． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（24-25九年级下·山西晋中·期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他流传于世的数学著作有十余种．下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：如图1，AB是⊙O的弦，C在⊙O上，CD⊥AB于点D，在弦AB上取一点E，使AD＝DE，点F是弧BC上的一点，且，连接BF，则BF＝BE． 小颖思考后，给出了如下证明： 如图2，连接AC、CE、CF、EF ∵CD⊥AB，AD＝DE ∴AC＝CE（依据1） ∴∠A＝∠CEA ∵ ∴CF＝AC（依据2） ∴CF＝CE ∴∠CEF＝∠CFE 任务： （1）依据1：________；依据2：_______； （2）请按照上面的证明思路，完成该命题证明的剩余部分； （3）如图3，将图2中的“弦AB”改为“直径AB”，作直线 与⊙O相切于点F，过点B作BG⊥于点G，其余条件不变．若AB＝10，AD＝2，则线段FG的长为___________． 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理，弧、弦、圆心角的关系可得结论； （2）由（1）得∠CEF＝∠CFE，再根据圆内接四边形的性质和平角的定义查得出∠CFB＝∠CEB，再进一步得出结论； （3）过点O作OH⊥BF于点H，分别求出OH，OF的长，证明，得，再根据正弦值相等求解即可． 【详解】解：（1）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等； 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等； （2）补充证明如下： ∵∠A＋∠CFB＝180°  ∠CEA＋∠CEB＝180° ∴∠CFB＝∠CEB ∴∠BEF＝∠BFE ∴BE＝BF （3）过点O作OH⊥BF于点H，如图， ∵AD=2 ∴AE=AD+DE=4 ∴BE=AB-AE=10-4=6 ∴BF=6 ∵OH⊥BF，BO=OF ∴H为BF的中点 ∴FH==3 ∵OF= ∴ ∵直线 与⊙O相切于点F， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角函数值、勾股定理的应用等知识． 8．（2025·山西大同·三模）阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题： 如图1，以为直径作半圆O，弦是一个内接正五边形的一条边（即：），点D是的中点，连接并延长与直径的延长线交于点E，连接交于点F，过点F作于点M．求证：是半圆的半径． 下面是勤奋小组的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作于点H． ∵， ∴．（依据1） ∵点D是的中点， ∴． ∵， ∴． ∴．（依据2） ∵以为直径作半圆O， ∴．（依据3） ∴． ∵四边形是半圆O的内接四边形， ∴．（依据4） ∵， ∴． ∵于点M， ∴． ∵， ∴． ∵． ∵． ∴． ∴． …… 通过上面的阅读，完成下列任务： (1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4； (2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出的度数，再根据等腰三角形的性质或判定完成该题的证明过程） 【答案】(1)依据1：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．（或圆周角定理）；依据2：同弧或等弧所对的圆周角相等；依据3：直径所对的圆周角是直角；依据4：圆内接四边形的对角互补 (2)见解析 【分析】（1）分析条件和结论的关系写出依据； （2）求出，再求出，得到，推出； 【详解】（1）解：依据1：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半（或圆周角定理）； 依据2：同弧或等弧所对的圆周角相等； 依据3：直径所对的圆周角是直角； 依据4：圆内接四边形的对角互补； （2）解：∵， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是半圆的半径． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及知识点：圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定及性质、三角形的外角的性质，解题关键结合图形应用条件推理论证． 9．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA＝MC① 又∵∠A＝∠C② ∴△MAB≌△MCG③ ∴MB＝MG 又∵MD⊥BC ∴BD＝DG ∴AB+BD＝CG+DG 即CD＝DB+BA 根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ①　 　， ②　 　， ③　 　； 【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　 　； 【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长． 【答案】（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB＝CD+BA；证明见解析；（实践应用）7或． 【分析】（问题呈现）根据圆的性质即可求解； （理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解； （变式探究）证明△MAB≌△MGB（SAS），则MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，则DC＝DG，即可求解； （实践应用）已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝． 【详解】（问题呈现） ①相等的弧所对的弦相等 ②同弧所对的圆周角相等 ③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等； （理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5， BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1， 故答案为：1； （变式探究）DB＝CD+BA． 证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG， ∵M是弧AC的中点， ∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG． 又MB＝MB ∴△MAB≌△MGB（SAS） ∴MA＝MG ∴MC＝MG， 又DM⊥BC， ∴DC＝DG， AB+DC＝BG+DG， 即DB＝CD+BA； （实践应用） 如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°． 因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8． 已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1， 则CG1′+AB＝AG1， 所以AG1＝（6+8）＝7． 所以AD1＝7． 如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝． 所以AD的长为7或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧. 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，和是的两条弦（即折线是的一条折弦），，M是的中点，过点M作垂足为D，求证：．（阿基米德折弦定理） 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，在上截取，连接，，，，由题意可得，由圆周角定理可得，从而得出，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，，， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（23-24九年级上·浙江温州·期中）阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆与勾股定理的综合应用；连接，，，根据圆周角定理，结合已知条件易证得为的直径，，则，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得，，设，，其中，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得，的长度，再结合可证得，则，最后利用勾股定理列得方程，解方程求出或，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为矩形， ， 为的直径，， 的半径为4， ， 点为的中点， ， ， ，， ，， 设，，其中， 则， 解得：或 舍去， 即，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， ∴或， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题： 如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是 ． 【答案】/ 【分析】过点Q作于T，在上截取，连接，，先求出，得到等腰直角，利用勾股定理求得，再证明，得，从而利用等腰三角形三线合一性质得出，即可得出，则，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：如图，过点Q作于T，在上截取，连接，， ∵等边 ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 由题意可得：，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 13．（23-24九年级上·四川南充·期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ① 又② 又 即． 根据证明过程，分别写出步骤①，②的理由：① ；② ； 【理解运用】在图（1）中，若，则 ； 【变式探究】如图（3），是的两条弦，点M是的中点，于点D，请写出之间存在的数量关系： ； 【实践应用】如图（4），内接于，是的直径，点D为圆周上一动点，满足．若，的半径为5，求的长． 【答案】[问题呈现]①相等的弧所对的弦相等；②同弧所对的圆周角相等；[理解运用]1；[变式探究]；[实践应用] 或． 【分析】[问题呈现]：根据圆的性质即可求解； [理解运用]，即，即，解得：，即可求解； [变式探究]证明，则，，又，则，即可求解； [实践应用]已知，过点作于点，则，所以．如图，同理易得． 【详解】[问题呈现] 由证明过程可知， （相等的弧所对的弦相等）； （同弧所对的圆周角相等）； 故答案为：①相等的弧所对的弦相等；②同弧所对的圆周角相等； [理解运用]， 即， 即， 解得：， ， 故答案为：1； [变式探究]． 证明：在上截去，连接、、、， 是弧的中点， ，． 又 ， 又， ， ， 即， 故答案为：； [实践应用] 是圆的直径， ． 因为，圆的半径为5，所以． 已知， 过点作于点， 则， 所以． 所以． 如图，同理易得． 所以的长为或． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 14．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 【答案】60°． 【分析】连接OA、OC、OE，由已知条件，根据阿基米德折弦定理，可得到点E为弧ABC的中点，即,进而推得∠AOE＝∠COE，已知∠ABC＝60°，则∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，可知∠AOE＝∠COE＝120°，故∠CAE＝∠COE＝60°. 【详解】解：如图2，连接OA、OC、OE， ∵AB＝8，BC＝6，BD＝1， ∴AD＝7，BD+BC＝7， ∴AD＝BD+BC， 而ED⊥AB， ∴点E为弧ABC的中点，即， ∴∠AOE＝∠COE， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°， ∴∠AOE＝∠COE＝120°， ∴∠CAE＝∠COE＝60°． 故答案为60°． 【点睛】本题是新定义型题，考查了圆周角定理及推论，解本题的关键是掌握题中给出的关于阿基米德折弦定理的内容并进行应用. 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可； （2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点； （3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到； （4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出． 【详解】（1）解：是的切线，为切点， ， ， ，， ， ， 是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）证明：在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， 是折弦的中点； （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， ； （4）解：是的直径， ， ，， ， 当点在上时，如图， ， ， 过点作交于点， ， ， ； 当点在上时，如图，， 过点作交于点， ， ， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 16．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论． 某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，是的中点，过点作，垂足为，小明通过度量、、的长度，发现点平分折弦，即．小丽和小军改变折弦的位置发现仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明： 小军采用了“截长法”（如图2），在上㵶取，使得，…… 小丽则采用了“补短法”（如图3），延长至，使，…… 小明采用了“平行线法”（如图4），过点作，交圆于点，过点作，…… (1)请你任选一位同学的方法，并完成证明； (2)如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，内接于（A、B、C均是格点），点A、D关于对称，连接并延长交于点，连接． ①请用无刻度的直尺作直线，使得直线平分的周长； ②求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，② 【分析】（1）证，得到，再由待腰三角形“三线合一”性质得，即可得出结论 （2）①作直径，交于H，连接交于G，过点G、H作直线l即可； ②先由勾股定理，求得，再证，得，即可求得，从而得出，则，然后由由①可知周长，即可求解． 【详解】（1）解：选小军采用了“截长法”（如图2），在上㵶取，使得， 证明：∵点M是的中点， ∴ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，直线l即为所作， 理由：∵点A与点D关于对称， ∴，， ∴，即， ∴F是的中点， ∵，， ∴， 由（1）得平分折弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 即l平分周长； ②由题意可得：，，， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 由①知周长 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，属圆的综合探究题目，熟练掌握相关性质与判定并能灵活运用是解题的关键． 17．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）阿基米德折弦定理：如图1， 和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和． ∵M是的中点， ∴ 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图（3），已知等边内接于，，D为上 一点, ，与点E,则的周长是 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案； （2）方法一、首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案． 方法二、先求出，再用（1）的结论得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接和． ∵M是的中点， ∴ 在和中 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：方法一、如图3，截取，连接， 由题意可得：， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， 则的周长是． 故答案为． 方法二、∵是等边三角形， ∴， ∴由（1）的结论得，， ∵， ∴， ∴， ∴则的周长是． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键． 18．（24-25九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    【答案】1 【分析】连接，交于点E，连接并延长交于F，连接，设的半径为r，根据圆周角定理的推论得出，然后求出，再利用勾股定理得出，同理可得，然后得出，即可求出的半径． 【详解】解：连接，交于点E，连接并延长交于F，连接，设的半径为r，      ∵是直径， ∴， 由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴，即的半径为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，作出合适的辅助线，证明是解题的关键． 19．（23-24九年级·江苏·假期作业）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点， 于点，延长交于点． 求证：． 证明：，， ，， ． …… 任务： (1)请完成该证明的剩余部分； (2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）应用圆周角定理，等腰三角形的判定，可证明； （2）应用（1）的结论，圆内接四边形的性质，可求解． 【详解】（1）解：证明：，， ，， ， ，， ， ， 同理，， ； （2）四边形是内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是能熟练应用圆的有关性质． 20．（2023·山西·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线，垂足为点，并且交直线于点，则． 证明：∵，， ∴ ∴，． ∴． ∵， ∴．（依据） 又∵， ∴． ∴． …… 任务： （1）上述证明过程中的依据是______； （2）将上述证明过程补充完整； （3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线交于点，交于点．若，则．请证明该命题． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）根据圆周角定理可得结论； （2）证明为等腰三角形即可； （3）用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可． 【详解】（1）同弧所对的圆周角相等 （2）…，∵，， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是熟练转换题目中角的关系． 21．（23-24九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为，点为的中点，连结并延长，交于点，则． 证明：， ， ， （依据）， ， … (1)上述证明过程中的依据是指______． (2)请补全上述证明过程． (3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形内接于，，点是弧的中点，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)等边对等角； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据条件和结论即可判断出答案； （2）根据前面的证明过程得到，由等量代换得到，即可得到，结论得证； （3）由圆周角定理求出，根据等腰三角形三线合一得到，，由勾股定理求出，由等积法求出，在中，由勾股定理求出，根据布拉美古塔定理可得，则，即可证明，得到，代入已知线段即可得到答案． 【详解】（1）∵， （等边对等角）， ∴上述证明过程中的依据是指等边对等角； 故答案为：等边对等角 （2）证明：， ， ， （等边对等角）， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点是弧的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由题意得，四边形内接于，对角线，垂足为F，点G为的中点，连结并延长，交于点，根据布拉美古塔定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理并进行正确推理是解题的关键． 22．（2023·河南南阳·一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务： （1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 【答案】（1）见解析；（2）菱形 【分析】（1）先写出已知、求证，先证明，再证明，即可证明 （2）先证明，再证明,由布拉美古塔定理证明即可证明 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 证明： ， ， ， ， ， 同理可证， ， ∴点E是的中点 故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 （2）四边形是菱形 理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点， 是中点 ∴四边形是菱形 故答案为：四边形是菱形 【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $